YOU ARE DOWNLOADING DOCUMENT

Please tick the box to continue:

Transcript
Page 1: UKURAN GEJALA PUSAT · 2016. 9. 16. · Rumus varians populasi: ¦ 2 n Xi X 2 V Rumus varians sampel: 2¦ 2 1 n Xi X s 3. Standar Deviasi / Simpangan Baku Merupakan suatu ukuran untuk

1

PEMBELAJARAN 1

UKURAN GEJALA PUSAT

Kompetensi Dasar

Mahasiswa memahami tentang uji ukuran gejala pusat yang terdiri dari

means, modus, median, kuartil, desil, persentil, dan variabilitas, , serta mampu

menggunakannya untuk menganalisis data kuantitatif.

Indikator pencapaian

Mahasiswa dapat:

a. menjelaskan , menghitung, dan menerapkannya means untuk analisis

statistik.

b. menjelaskan , menghitung, dan menerapkannya modus untuk analisis

statistik.

c. menjelaskan , menghitung, dan menerapkannya median untuk

analisis statistik.

d. menjelaskan , menghitung, dan menerapkannya kuartil untuk analisis

statistik.

e. menjelaskan , menghitung, dan menerapkannya desil untuk analisis

statistik.

f. menjelaskan , menghitung, dan menerapkannya persentil untuk

analisis statistik.

g. menjelaskan , menghitung, dan menerapkannya variabilitas untuk

analisis statistik.

Page 2: UKURAN GEJALA PUSAT · 2016. 9. 16. · Rumus varians populasi: ¦ 2 n Xi X 2 V Rumus varians sampel: 2¦ 2 1 n Xi X s 3. Standar Deviasi / Simpangan Baku Merupakan suatu ukuran untuk

2

Uraian Materi

Setiap penelitian selalu berkenaan dengan sekelompok data. Yang

dimaksud kelompok disini adalah: Satu orang mempunyai sekelompok data,

atau sekelompok orang mempunyai satu macam data lain. Dalam

penelitian, peneliti akan memperoleh sekelompok data variabel tertentu dari

sekelompok responden, atau obyek yang diteliti. Misalnya melakukan penelitian

tentang motivasi pegawai di yayasan A, maka peneliti akan mendapatkan data

tentang motivasi pegawai di yayasan A tersebut. Prinsip dasar dari penjelasan

terhadap kelompok yang diteliti adalah bahwa penjelasan yang diberikan harus

betul-betul mewakili seluruh kelompok pegawai di yayasan A tersebut.

Beberapa teknik untuk menjelaskan kelompok yang diobservasi dengan

data kuantitatif, selain dapat dijelaskan dengan menggunakan tabel dan grafik,

dapat juga dijelaskan menggunakan teknik statistik yang disebut mean, median,

modus, kuartil, desil, maupun persentil. Teknik-teknik tersebut termasuk dalam

golongan statistik deskriptif.

A. Mean (Rata-Rata Hitung)

Merupakan teknik penjelasan kelompok yang didasarkan atas nilai

rata-rata dari kelompok tersebut. Rata-rata (mean) biasanya disimbolkan dengan

X , dan dapat diperoleh dengan cara sesuai dengan bentuk datanya, yaitu:

1. Data mentah yang belum disusun dalam bentuk distribusi frekuensi,

dalam mencari rata-ratanya sebagai berikut:

X = n

XnXXX ...........321

dimana:

X = rata-rata hitung yang dicari

X1, X2, X3, ....Xn = skor individual

n = jumlah subyek data

Contoh: Data mentah nilai matematika 45 siswa sebelum disusun dalam

tabel 4.1 sebagai berikut.

Page 3: UKURAN GEJALA PUSAT · 2016. 9. 16. · Rumus varians populasi: ¦ 2 n Xi X 2 V Rumus varians sampel: 2¦ 2 1 n Xi X s 3. Standar Deviasi / Simpangan Baku Merupakan suatu ukuran untuk

3

X = 2,645

279

45

6......109105766

2. data distribusi tunggal

X = n

fX dimana: fX = jumlah skor X frekuensi

3. data distribusi kelompok

Terdapat dua cara penghitungan:

Berdasarkan jumlah frekuensi titik tengah, caranya:

a. menentukan titik tengah (Xt) tiap kelas interval

b. memperlakukan Xt sebagaimana skor (X) pada distribusi tunggal

c. rumus: X = n

fXt , dimana fXt = jumlah dari titik tengah X

frek

d. Contoh: berdasarkan tabel 5 distribusi kelompok

Tabel 1.2: penghitungan mean dari distribusi kelompok

No Interval Frekuensi (f)

TT

(Xt) fXt

1 75-79 2 77 154

2 70-74 3 72 216

3 65-69 5 67 335

4 60-64 4 62 248

5 55-59 6 57 342

6 50-54 8 52 416

7 45-49 7 47 329

8 40-44 5 42 210

9 35-39 5 37 185

Page 4: UKURAN GEJALA PUSAT · 2016. 9. 16. · Rumus varians populasi: ¦ 2 n Xi X 2 V Rumus varians sampel: 2¦ 2 1 n Xi X s 3. Standar Deviasi / Simpangan Baku Merupakan suatu ukuran untuk

4

10 30-34 3 32 96

11 25-29 2 27 54

Jumlah 50 2585

X = 7,5150

2585

Berdasarkan rata-rata hitung duga

X = X d +i

n

fd dimana:

X d = rata-rata hitung duga

i = interval

d = deviasi

a. X d adalah titik tengah kelas yang letaknya kurang lebih ditengah

dan mempunyai frekuensi tertinggi. Dari tabel diatas, adalah 52

(pada interval 50-54 dengan frekuensi 8).

b. Menentukan besarnya deviasi (d) yang merupakan penyimpangan

dari rata-rata hitung duga. Pada tabel diatas kelas yang titik

tengahnya merupakan X d = 0, pada kelas diatasnya berturut-turut

+1, +2, +3....dst. Pada kelas bawahnya berturut-turut -1, -2, -3........dst

c. Menentukan besarnya interval, yaitu 5

Tabel 1.3: penghitungan mean dari distribusi kelompok

No Interval

Frekuensi

(f) TT d Fd fd2

1 75-79 2 77 5 10 50

2 70-74 3 72 4 12 48

3 65-69 5 67 3 15 45

Page 5: UKURAN GEJALA PUSAT · 2016. 9. 16. · Rumus varians populasi: ¦ 2 n Xi X 2 V Rumus varians sampel: 2¦ 2 1 n Xi X s 3. Standar Deviasi / Simpangan Baku Merupakan suatu ukuran untuk

5

4 60-64 4 62 2 8 16

5 55-59 6 57 1 6 6

6 50-54 8 52 0 0 0

7 45-49 7 47 -1 -7 7

8 40-44 5 42 -2 -10 20

9 35-39 5 37 -3 -15 45

10 30-34 3 32 -4 -12 48

11 25-29 2 27 -5 -10 50

Jumlah 50 0 -3 335

X = X d + i

n

fd= 52 + 5

50

3= 52 + 5 (-0,06) = 51,7

Jika penghitungan menggunakan data kasar (contoh data sebelum

dimasukkan tabel 4), maka X = 51,96

Terdapat perbedaan sebesar 51,96-51,7=0,26

51,96 merupakan X yang sesungguhnya

Adanya perbedaan tersebut disebabkan oleh grouping error /

kesalahan pengelompokan dari data kasar ke dalam distribusi

kelompok

B. Modus (Mode)

Merupakan teknik penjelasan kelompok yang didasarkan atas nilai yang

paling sering muncul dalam kelompok tersebut. Apabila dalam kelompok

data tersebut skornya mempunyai frekuensi yang sama, maka data tersebut

tidak memiliki modus. Sedangkan jika terdapat dua skor yang frekuensinya

sama, maka kedua skor dijumlah kemudian dibagi 2.

Page 6: UKURAN GEJALA PUSAT · 2016. 9. 16. · Rumus varians populasi: ¦ 2 n Xi X 2 V Rumus varians sampel: 2¦ 2 1 n Xi X s 3. Standar Deviasi / Simpangan Baku Merupakan suatu ukuran untuk

6

Pada data distribusi tunggal (contohnya tabel 4), modusnya adalah 6

karena mempunyai frekuensi tertinggi yaitu 14.Sedangkan pada distribusi

kelompok, maka

Mo = B +

1_1

1

ffoffo

ffoX i dimana:

Mo = modus yang dicari

B = Batas bawah dari kelas modus

fo = frekuensi kelas modus

f1 = frekuensi diatas kelas modus

f-1= frekuensi dibawah kelas modus

i = interval

dari tabel 5, maka modusnya adalah

Mo = 49,5 +

7868

68X 5 = 49,5 + (0,667X5) = 52,83

C. Median (Md)

Merupakan salah satu teknik penjelasan kelompok yang didasarkan atas nilai

tengah dari kelompok data yang telah disusun urutannya dari yang terkecil

sampai yang terbesar, atau sebaliknya dari yang terbesar sampai yang

terkecil

Jika n ganjil, maka Md = (n + 1) : 2

Contoh: data 21, 22, 23, 24, 25, 25, 26

Maka Md = (7 + 1) : 2 = 8 : 2 = 4

Jadi mediannya adalah bilangan ke-4 yaitu 24

Jika n genap, maka Md = n : 2

Contoh: data 21, 22, 23, 24, 25, 25, 26, 27

Page 7: UKURAN GEJALA PUSAT · 2016. 9. 16. · Rumus varians populasi: ¦ 2 n Xi X 2 V Rumus varians sampel: 2¦ 2 1 n Xi X s 3. Standar Deviasi / Simpangan Baku Merupakan suatu ukuran untuk

7

Maka Md = 8 : 2 = 4

Yang dimaksud adalah bilangan ke-4 dan ke-5 dijumlah dan dibagi 2

Md = (24 + 25) : 2 = 24,5

Jika data berdistribusi kelompok, maka Md = B + fmd

fkbn 2/ X i

Md = nilai median yang dicari

B = batas bawah kelas tempat median berada

fkb = jumlah frekuensi di kelas yang terletah di bawahnya.

fmd = jumlah frekuensi kelas tempat median berada

i = interval

Contoh dari tabel 7, maka mediannya adalah:

Md = 49,5 + 58

222/50x

= 49,5 + 1,875 = 51,375

D. Kuartil (K)

Merupakan bilangan yang membagi data menjadi empat sub kelompok data.

Kuartil 1, kuartil 2, kuartil 3

Untuk data distribusi tunggal, Ki = skor ke i x 4

1n

Ki = kuartil ke i

N = jumlah data

Contoh: data 3, 3, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 12

Maka K3 = skor ke 3 x 4

116 = skor ke 12 ¾

= skor ke 12 + ¾ (skor ke-13 – skor ke-12)

= 10 + ¾ ( 10 - 10 )

= 10 + 0

Page 8: UKURAN GEJALA PUSAT · 2016. 9. 16. · Rumus varians populasi: ¦ 2 n Xi X 2 V Rumus varians sampel: 2¦ 2 1 n Xi X s 3. Standar Deviasi / Simpangan Baku Merupakan suatu ukuran untuk

8

= 10

Untuk data distribusi kelompok

Ki = B + fd

fkbni 4/ x i

Ki = kuartil ke i

n = jumlah data

B = batas bawah pada interval yang mengandung kuartil

fkb = frekuensi kumulatif di bawah kelas yang mengandung kuartil

fd = frekuensi kelas yang mengandung kuartil

i = interval

contoh : untuk menghitung K1

Tabel 1.4: distribusi frekuensi kelompok

No Interval Frekuensi TT FK

1 75-79 2 77 50

2 70-74 3 72 48

3 65-69 5 67 45

4 60-64 4 62 40

5 55-59 6 57 36

6 50-54 8 52 30

7 45-49 7 47 22

8 40-44 5 42 15

9 35-39 5 37 10

10 30-34 3 32 5

Page 9: UKURAN GEJALA PUSAT · 2016. 9. 16. · Rumus varians populasi: ¦ 2 n Xi X 2 V Rumus varians sampel: 2¦ 2 1 n Xi X s 3. Standar Deviasi / Simpangan Baku Merupakan suatu ukuran untuk

9

11 25-29 2 27 2

Jumlah 50

Dari tabel di atas diketahui:

¼ n = ¼ x 50 = 12,5 (terletak pada FK 15, interval 40-44)

fd = 5

fkb = 10

B = 39,5

i = 5

Maka harga K1 = 39,5 + 5

105,12 x 5 = 42

Dengan perhitungan yang sama, maka K2 = 51,375, K3 = 61. Sehingga

apabila dibuat norma pengukuran berdasarkan nilai kuartil adalah

sebagai berikut:

Jenis kuartil Nilai Kategori

Baik

Sekali

K3 61

Baik

K2 51,375

Sedang

K3 42

Page 10: UKURAN GEJALA PUSAT · 2016. 9. 16. · Rumus varians populasi: ¦ 2 n Xi X 2 V Rumus varians sampel: 2¦ 2 1 n Xi X s 3. Standar Deviasi / Simpangan Baku Merupakan suatu ukuran untuk

10

Tidak

Baik

E. Desil

Merupakan bilangan yang membagi data menjadi sepuluh sub kelompok

data.

Sehingga terdapat D1 sampai D9

Untuk data distribusi tunggal, Di = skor ke i x 10

1n

Di = desil ke i

n = jumlah data

Contoh: data 3, 3, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 12

Maka D4 = skor ke 4 x 10

116 = skor ke 6,8

= skor ke 6 + 0,8 (skor ke-7 – skor ke-6)

= 7 + 0,8 ( 7 - 7 )

= 7 + 0

= 7

Untuk data distribusi kelompok

Di = B + fd

fkbni 10/ x i

Di = desil ke i

n = jumlah data

B = batas bawah pada interval yang mengandung kuartil

fkb = frekuensi kumulatif di bawah kelas yang mengandung kuartil

Page 11: UKURAN GEJALA PUSAT · 2016. 9. 16. · Rumus varians populasi: ¦ 2 n Xi X 2 V Rumus varians sampel: 2¦ 2 1 n Xi X s 3. Standar Deviasi / Simpangan Baku Merupakan suatu ukuran untuk

11

fd = frekuensi kelas yang mengandung kuartil

i = interval

Berdasarkan tabel 11, untuk mencari D6, diketahui:

6/10 n = 6/10 x 50 = 30 (terletak pada FK 30, interval 50-54)

fd = 8

fkb = 22

B = 49,5

i = 5

Maka harga D6 = 49,5 + 8

2230 x 5 = 54,5

F. Persentil

Merupakan bilangan yang membagi data menjadi seratus sub kelompok

data.

Sehingga terdapat P1 sampai P99

Untuk data distribusi tunggal, Pi = skor ke i x 100

1n

Pi = desil ke i

n = jumlah data

Contoh: data 3, 3, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 12

Maka P60 = skor ke 60 x 100

116 = skor ke 10,2

= skor ke 10 + 0,2 (skor ke-11 – skor ke-10)

= 9 + 0,2 ( 10 - 9 )

= 9 + 0,2

= 9,2

Page 12: UKURAN GEJALA PUSAT · 2016. 9. 16. · Rumus varians populasi: ¦ 2 n Xi X 2 V Rumus varians sampel: 2¦ 2 1 n Xi X s 3. Standar Deviasi / Simpangan Baku Merupakan suatu ukuran untuk

12

Untuk data distribusi kelompok

Pi = B + fd

fkbni 100/ x i

Pi = persentil ke i

n = jumlah data

B = batas bawah pada interval yang mengandung kuartil

fkb = frekuensi kumulatif di bawah kelas yang mengandung kuartil

fd = frekuensi kelas yang mengandung kuartil

i = interval

Berdasarkan tabel 11, untuk mencari P75, diketahui:

75/100 n = 75/100 x 50 = 37,5 (terletak pada FK 40, interval 60-64)

fd = 4

fkb = 36

B = 59,5

i = 5

Maka harga P75 = 59,5 + 4

365,37 x 5 = 61,375

G. Variabilitas

Variabilitas adalah ukuran tentang derajat penyebaran nilai-nilai variabel

(variasi) dari suatu tendensi sentral dalam sebuah distribusi. Untuk mengetahui

tingkat variasi kelompok data dapat dilakukan dengan melihat rentang data

(range), varians, standar deviasi atau simpangan baku dari kelompok data yang

telah diketahui tersebut.

1. Rentang data (Range)

Digunakan untuk mengetahui tingkat homogenitas suatu data

Range = (Nilai tertinggi – Nilai terendah) +1

Page 13: UKURAN GEJALA PUSAT · 2016. 9. 16. · Rumus varians populasi: ¦ 2 n Xi X 2 V Rumus varians sampel: 2¦ 2 1 n Xi X s 3. Standar Deviasi / Simpangan Baku Merupakan suatu ukuran untuk

13

Contoh:

Tabel 1.5: homogenitas data

Data A Data B

24, 24, 25, 25, 25, 26, 26 16, 19, 22, 25, 28, 30, 35

X = n

X= 25

7

175 X =

n

X= 25

7

175

Range = (26-24)+1 = 3 Range = (35-16)+1 = 20

Distribusi lebih homogen Distribusi lebih heterogen

2. Varians

Varians merupakan jumlah kuadrat semua deviasi nilai-nilai individual

terhadap rata-rata kelompok. Contoh menghitung dan tabel penolong untuk

varians pada data kelompok diberikan pada tabel 14.

Rumus varians populasi:

n

XXi2

2

Rumus varians sampel:

2

2

1

n

XXis

3. Standar Deviasi / Simpangan Baku

Merupakan suatu ukuran untuk mengetahui seberapa besar penyimpangan

dalam sebuah distribusi atau disebut juga sebagai akar varians. Contoh

menghitung dan tabel penolong untuk standar deviasi data kelompok

diberikan pada tabel 14.

Rumus simpangan baku populasi:

n

XXi2

Rumus simpangan baku sampel:

1

2

n

XXis

a Penghitungan standar deviasi dari penyimpangan skor individual

Page 14: UKURAN GEJALA PUSAT · 2016. 9. 16. · Rumus varians populasi: ¦ 2 n Xi X 2 V Rumus varians sampel: 2¦ 2 1 n Xi X s 3. Standar Deviasi / Simpangan Baku Merupakan suatu ukuran untuk

14

Dari tabel 5.5, dapat disusun tabel kerja sebagai berikut:

Tabel 1.6: simpangan baku skor individual

X x = X - X x2 X x = X - X x2

24 -1 1 16 -9 81

24 -1 1 19 -6 36

25 0 0 22 -3 9

25 0 0 25 0 0

25 0 0 28 3 9

26 1 1 30 5 25

26 1 1 35 10 100

jumlah 0 4 jumlah 0 260

s = n

x 2

s = n

x 2

s = 7

4 s =

7

260

s = 0,75 s = 6,09

b Penghitungan standar deviasi untuk data distribusi tunggal

Tabel 5.7: simpangan baku skor individual

No Nilai (X)

Frekuensi

(f) fX fX2

1 4 7 28 112

2 5 9 45 225

Page 15: UKURAN GEJALA PUSAT · 2016. 9. 16. · Rumus varians populasi: ¦ 2 n Xi X 2 V Rumus varians sampel: 2¦ 2 1 n Xi X s 3. Standar Deviasi / Simpangan Baku Merupakan suatu ukuran untuk

15

3 6 14 84 504

4 7 6 42 294

5 8 3 24 192

6 9 4 36 324

7 10 2 20 200

Jumlah 45 279 1851

s =

n

n

fXfX

2

2

= 45

45

2791851

2

= 45

2,121= 1,64

c Penghitungan standar deviasi untuk data distribusi kelompok

dengan cara frekuensi titik tengah

s =

1

2

n

XXtf dimana:

f = frekuensi

Xt = titik tengah

X = rata-rata hitung

Berdasarkan tabel 10 diketahui bahwa X = 51,7, maka untuk

menghitung simpangan baku disusun tabel kerja sebagai berikut:

Tabel 1.8: menghitung simpangan baku

No Interval

Frekuensi

(f)

TT

(Xt) (Xi- X )

(Xi- X

)2 f (Xi- X )2

1 75-79 2 77 25.3 640.09 1280.18

2 70-74 3 72 20.3 412.09 1236.27

Page 16: UKURAN GEJALA PUSAT · 2016. 9. 16. · Rumus varians populasi: ¦ 2 n Xi X 2 V Rumus varians sampel: 2¦ 2 1 n Xi X s 3. Standar Deviasi / Simpangan Baku Merupakan suatu ukuran untuk

16

3 65-69 5 67 15.3 234.09 1170.45

4 60-64 4 62 10.3 106.09 424.36

5 55-59 6 57 5.3 28.09 168.54

6 50-54 8 52 0.3 0.09 0.72

7 45-49 7 47 -4.7 22.09 154.63

8 40-44 5 42 -9.7 94.09 470.45

9 35-39 5 37 -14.7 216.09 1080.45

10 30-34 3 32 -19.7 388.09 1164.27

11 25-29 2 27 -24.7 610.09 1220.18

Jumlah 50 8370.5

s = 150

5,8370

= 13,07

dengan cara rata-rata hitung duga

Tabel 1.9: menghitung rata-rata duga

No Interval

Frekuensi

(f) TT d fd fd2

1 75-79 2 77 5 10 50

2 70-74 3 72 4 12 48

3 65-69 5 67 3 15 45

4 60-64 4 62 2 8 16

Page 17: UKURAN GEJALA PUSAT · 2016. 9. 16. · Rumus varians populasi: ¦ 2 n Xi X 2 V Rumus varians sampel: 2¦ 2 1 n Xi X s 3. Standar Deviasi / Simpangan Baku Merupakan suatu ukuran untuk

17

5 55-59 6 57 1 6 6

6 50-54 8 52 0 0 0

7 45-49 7 47 -1 -7 7

8 40-44 5 42 -2 -10 20

9 35-39 5 37 -3 -15 45

10 30-34 3 32 -4 -12 48

11 25-29 2 27 -5 -10 50

Jumlah 50 0 -3 335

s = i

n

n

fdfd

2

2

s = 5

50

50

3335

2

= 12,939

RANGKUMAN

1. Means data mentah yang belum disusun dalam bentuk distribusi frekuensi,

dalam mencari rata-ratanya sebagai berikut:

X = n

XnXXX ...........321

2. Means untuk data distribusi tunggal

X = n

fX dimana: fX = jumlah skor X frekuensi

3. Means untuk data distribusi kelompok

Page 18: UKURAN GEJALA PUSAT · 2016. 9. 16. · Rumus varians populasi: ¦ 2 n Xi X 2 V Rumus varians sampel: 2¦ 2 1 n Xi X s 3. Standar Deviasi / Simpangan Baku Merupakan suatu ukuran untuk

18

X = n

fXt , dimana fXt = jumlah dari titik tengah X frek

4. Modus untuk distribusi kelompok

Mo = B +

1_1

1

ffoffo

ffoX i dimana:

5. Median pada data berdistribusi kelompok, maka

Md = B + fmd

fkbn 2/ X i

6. Kuartil untuk data distribusi tunggal, Ki = skor ke i x 4

1n

7. Kuartil untuk data distribusi kelompok

Ki = B + fd

fkbni 4/ x i

8. Desil untuk data distribusi kelompok

Di = B + fd

fkbni 10/ x i

9. Persentil untuk data distribusi tunggal, Pi = skor ke i x 100

1n

10. Persentil untuk data distribusi kelompok

Pi = B + fd

fkbni 100/ x i

LATIHAN

1. Perhatikan tabel berikut ini, kemudian hitunglah mean, median dan modus

pada distribusi tunggal tersebut!

No Nilai (X)

Frekuensi

(f) fX

1 4 7 28

2 5 9 45

Page 19: UKURAN GEJALA PUSAT · 2016. 9. 16. · Rumus varians populasi: ¦ 2 n Xi X 2 V Rumus varians sampel: 2¦ 2 1 n Xi X s 3. Standar Deviasi / Simpangan Baku Merupakan suatu ukuran untuk

19

3 6 14 84

4 7 6 42

5 8 3 24

6 9 4 36

7 10 2 20

Jumlah 45 279

2. Berikut ini adalah mid point dari nila 60 orang mahasiswa beserta

frekuensinya.

Mid Point Frekuensi A Frekuensi B

55 3 15

59 15 4

63 4 3

67 19 14

71 13 19

75 6 5

Total 60 60

Buatlah distribusi Frekuensi Relatif Perbandingan, Desimal, dan Persen!

3. Dari tabel soal no.2 tentukan

Modus

Kuartil bawah

Kuartil Atas


Related Documents