TURUNAN
Departemen MatematikaFMIPA IPB
Bogor, 2015
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 1 / 52
Topik Bahasan
1 Pendahuluan
2 Turunan Fungsi
3 Tafsiran Lain Turunan
4 Kaitan Turunan dan Kekontinuan
5 Rumus-rumus Turunan
6 Turunan Fungsi Trigonometri
7 Aturan Rantai
8 Turunan Implisit
9 Turunan Tingkat Lebih Tinggi
10 Laju Terkait
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 2 / 52
Pendahuluan
Mengapa Turunan Penting?
Pemahaman yang baik tentang konsep turunan fungsi akan memudahkanmemahami laju perubahan suatu variabel yang bergantung pada variabellain, misalnya penentuan:
Laju pertumbuhan suatu populasi (manusia, ikan, harimau, bakteri,dsb).
Biaya marjinal suatu produk.
Kecepatan mobil seorang pembalap pada suatu waktu tertentu.
Laju perubahan kecepatan aliran darah berdasarkan jarak dengandinding pembuluh.
Laju penyebaran informasi, gosip.
Laju peluruhan bahan radioaktif.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 3 / 52
Turunan Fungsi
Turunan Fungsi pada Suatu Titik/Bilangan
Definisi (Turunan Fungsi pada Suatu Titik/Bilangan)
Turunan fungsi f pada titik/bilangan a dinyatakan dengan f ′ (a) , adalah
f ′ (a) = limh→0
f (a+ h)− f (a)h
(1)
asalkan limit tersebut ada.
Bila limit tersebut ada (bukan ∞ atau −∞), maka fungsi f dikatakanterturunkan (memiliki turunan, differentiable) di a.Perhatikan Gambar (a) berikut.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 4 / 52
Turunan Fungsi
Ilustrasi Geometris Definisi Turunan pada SuatuTitik/Bilangan
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 5 / 52
Turunan Fungsi
Alternatif Formula Turunan
Bila pada Definisi (1) diambil x = a+ h, akan diperoleh alternatifformula:
f ′(a) = limx→a
f (x)− f (a)x− a
(2)
(lihat Gambar (b))
∴
f ′ (a) = limh→0
f (a+ h)− f (a)h
= limx→a
f (x)− f (a)x− a
�
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 6 / 52
Turunan Fungsi
Contoh (Definisi Turunan pada Suatu Titik/Bilangan)
Gunakan definisi turunan untuk menentukan:
1 f ′ (0) bila f (x) = 2x+ 1. SOLUSI
2 f ′ (3) bila f (x) =3x
. SOLUSI
3 f ′ (1) bila f (x) = 5.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 7 / 52
Turunan Fungsi
Turunan Kiri dan Turunan Kanan
Definisi (Turunan Kiri dan Turunan Kanan)
Turunan kiri dan turunan kanan dari f pada a didefinisikan oleh
f ′− (a) = limh→0−
f (a+ h)− f (a)h
dan f ′+ (a) = limh→0+
f (a+ h)− f (a)h
jika limit-limit ini ada.
Jadi, f ′ (a) ada jika dan hanya jika turunan-turunan sepihak ini ada dansama.Alternatif Formula:
f ′− (a) = limx→a−
f (x)− f (a)x− a
dan f ′+ (a) = limx→a+
f (x)− f (a)x− a
.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 8 / 52
Turunan Fungsi
Contoh
Gunakan definisi turunan untuk menentukan f ′(1) bagi fungsi-fungsiberikut.
1 f (x) =
x2 + 1 ; x ≤ 1
2x ; x > 1
2 f (x) = x |x− 1| .
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 9 / 52
Turunan Fungsi
Turunan Sebagai Kemiringan Garis Singgung
Garis singgung pada kurva y = f (x) di titik (a, f (a)) adalah garisyang melalui (a, f (a)) yang kemiringan/gradiennya sama denganf ′ (a), yakni turunan f di x = a.Persamaan garis singgung pada kurva y = f (x) di titik (a, f (a))adalah
y− f (a) = f ′ (a) (x− a) (3)
DEMO ANIMASI TURUNAN
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 10 / 52
Turunan Fungsi
Ilustrasi Geometris Persamaan Garis Singgung
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 11 / 52
Turunan Fungsi
Contoh
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva f (x) = x2 + 2x di titik(1, 3) .SOLUSI
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 12 / 52
Turunan Fungsi
Turunan Sebagai Fungsi
Ganti titik tetap a dengan variabel x pada definisi turunan (1) dan(2), akan diperoleh fungsi f ′ dengan
f ′ (x) = limh→0
f (x+ h)− f (x)h
= limz→x
f (z)− f (x)z− x
(4)
f ′ pada Persamaan (4) merupakan suatu fungsi, disebut turunanpertama fungsi f .Daerah asal f ′, Df ′ = {x | f ′ (x) ada} , Df ′ ⊆ Df .Nilai f ′ (a) juga dapat dihitung dari Persamaan (4) kemudianmengevaluasi f ′ (x) untuk x = a. �
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 13 / 52
Turunan Fungsi
Contoh
Diketahui fungsi f dengan f (x) =√
x. Gunakan definisi turunan untukmenentukan f ′ (x) dan f ′(4). Tentukan Df dan Df ′ .
SOLUSI
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 14 / 52
Turunan Fungsi
Soal
Gunakan definisi turunan untuk menentukan f ′ (x) , Df , dan Df ′
fungsi-fungsi berikut:
1 f (x) = x2 − 5.
2 f (x) = x23 .
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 15 / 52
Turunan Fungsi
Notasi Lain Turunan
Misalkan y = f (x). Beberapa notasi yang menyatakan turunan f :
y′ = f ′ (x) =dydx=
dfdx=
ddx
f (x) = Df (x) = Dxf (x)
Catatan: notasidydx
,dfdx
,ddxhanya merupakan simbol, bukan
merupakan operasi pembagian.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 16 / 52
Tafsiran Lain Turunan
Aplikasi TurunanFisika: Kecepatan Sesaat
Nilai f ′ (a) merupakan laju perubahan sesaat dari y = f (x) terhadap xdi x = a.Misalkan s = f (t) menyatakan fungsi posisi suatu objek pada waktu t,
kecepatan sesaat objek pada saat t = a adalah
v = f ′ (a) = lim∆t→0
∆s∆t= lim
∆t→0
f (a+ ∆t)− f (a)∆t
laju objek pada saat t = a adalah |f ′ (a) |, yakni nilai mutlak kecepatansesaat.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 17 / 52
Tafsiran Lain Turunan
Aplikasi TurunanEkonomi, Demografi
Misalkan C = f (x) menyatakan total biaya produksi (Rp) untukmenghasilkan x barang (ton),
f ′ (x) = lim∆x→0
∆C∆x bermakna laju total biaya produksi terhadap
banyaknya barang (Rp/ton). f ′ (x) dikenal sebagai biaya marjinal.
Misalkan P = f (t) menyatakan banyaknya populasi pendudukIndonesia pada waktu t (tahun),
f ′ (t) = lim∆t→0
∆P∆t bermakna laju perubahan populasi pada waktu t
(orang/tahun).
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 18 / 52
Kaitan Turunan dan Kekontinuan
Kaitan Turunan dan Kekontinuan
Teorema (Keterturunan Berimplikasi Kekontinuan)
Jika f terturunkan di a, maka f kontinu di a.
Makna
Kekontinuan adalah syarat perlu agar f terturunkan, tetapi bukansyarat cukup.Untuk memeriksa keberadaan f ′ (a), terlebih dahulu periksakekontinuan f di a.Jika f kontinu di a, maka f ′(a) belum tentu ada.
Jika f tidak kontinu di a, maka f ′(a) tidak ada. �
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 19 / 52
Kaitan Turunan dan Kekontinuan
Contoh (Kontinu, Tidak Terturunkan)
Tunjukkan bahwa f (x) = |x| kontinu di x = 0 tetapi f ′ (0) tidak ada.SOLUSI
Contoh (Kontinu, Terturunkan)
Tentukan f ′ (1), bila
f (x) =
x2 + 1 ; x < 1
2x ; x ≥ 1SOLUSI
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 20 / 52
Kaitan Turunan dan Kekontinuan
Contoh
Tentukan nilai dari a dan b agar fungsi f dengan
f (x) =
√
x ; 0 ≤ x ≤ 1
ax− b ; x > 1
terturunkan di x = 1.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 21 / 52
Kaitan Turunan dan Kekontinuan
Soal (Keterkaitan Turunan dan Kekontinuan)
1 Tentukan g′(−1) dan g′ (1) bila
g(x) =
−1− 2x ; x < −1
x2 ; −1 ≤ x ≤ 1
2x ; x > 1
2 Fungsi f didefinisikan sebagai f (x) =
x2 ; x ≤ a
mx+ b ; x > aNyatakan nilai m dan b terhadap a agar f terturunkan di a.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 22 / 52
Kaitan Turunan dan Kekontinuan
Di mana Turunan Tidak Ada?
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 23 / 52
Rumus-rumus Turunan
Rumus-rumus Turunan
Rumus-rumus turunan berikut dapat diperoleh melalui definisi turunan.
Teorema (Turunan Fungsi)
Misalkan u = f (x), v = g(x), dan c suatu konstanta
1.ddx(c) = 0 4.
ddx(u± v) =
dudx± dv
dx= u′ + v′
2∗).
ddx(xn) = nxn−1 5.
ddx(uv) =
dudx
v+ udvdx= u′v+ uv′
3.ddx(cu) = c
dudx
6.ddx
(uv
)=
dudx
v− udvdx
v2 =u′v− uv′
v2
∗) n : bil. bulat positif
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 24 / 52
Rumus-rumus Turunan
Contoh
1 Buktikan Teorema Rumus Turunan No. 1, yaitud
dx(c) = 0. SOLUSI
2 Tunjukkan bahwaddx(xm) = mxm−1 juga berlaku untuk bilangan
bulat negatif m. SOLUSI
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 25 / 52
Rumus-rumus Turunan
Turunan Fungsi Pangkat
Teorema (Turunan Fungsi Pangkat Umum)
Jika n sebarang bilangan real, maka
ddx(xn) = nxn−1 (5)
Dari pembahasan sebelumnya, berlaku
ddx(xn) = nxn−1, n : bilangan bulat (6)
Pada pembahasan turunan fungsi implisit akan ditunjukkan bahwa(6) berlaku untuk n : bilangan rasional (pecahan).Pada pembahasan teknik penurunan logaritmik akan ditunjukkanbahwa (6) berlaku untuk n : bilangan real.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 26 / 52
Rumus-rumus Turunan
Contoh1 Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut:a. y = 2x3 − x2 + 5.b. g(x) =
(√x− 1
) (x2 − 3x
).
c. u =x3 − 3x3x− 1
.
2 Tentukan g′ (x) jika g (x) = x2f (x) .3 Jika f (1) = 2 dan f ′ (1) = −4, tentukan
ddx
(f (x)
x2
)∣∣∣∣x=1
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 27 / 52
Rumus-rumus Turunan
Turunan Fungsi Sesepenggal
Teorema berikut memudahkan dalam mencari turunan fungsisesepenggal (piecewise functions), tanpa menggunakan definisiturunan.
Teorema (Turunan Fungsi Sesepenggal)
Andaikan f kontinu di a serta limx→a−
f ′ (x) dan limx→a+
f ′ (x) ada. Fungsi f
terturunkan di a jika dan hanya jika limx→a−
f ′ (x) = limx→a+
f ′ (x) dan
f ′ (a) = limx→a−
f ′ (x) = limx→a+
f ′ (x) (7)
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 28 / 52
Rumus-rumus Turunan
Contoh
1 Periksa apakah f terturunkan di x = 1, jika
f (x) =
x2 , x < 1√
x , x ≥ 1Tentukan f ′ (x) .
SOLUSI
2 Tentukan konstanta a dan b agar f terturunkan di x = 1.
f (x) =
3x2 , x ≤ 1
ax+ b , x > 1SOLUSI
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 29 / 52
Turunan Fungsi Trigonometri
Turunan Fungsi TrigonometriLimit Penting
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 30 / 52
Turunan Fungsi Trigonometri
Turunan Sinus, Cosinus
ddx
sin x = limh→0
sin (x+ h)− sin xh
= limh→0
sin x cos h+ cos x sin h− sin xh
= limh→0
[cos x sin h
h− sin x (1− cos h)
h
]= cos x
[limh→0
sin hh
]− sin x
[limh→0
1− cos hh
]= (cos x) (1)− (sin x) (0)
= cos x
dengan cara serupa, dapat ditunjukkan bahwa ddx cos x = − sin x.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 31 / 52
Turunan Fungsi Trigonometri
Turunan Fungsi Trigonometri
ddx
sin x = cos xddx
cos x = − sin x
ddx
tan x = sec2 xddx
cot x = − csc2 x
ddx
sec x = sec x tan xddx
csc x = − csc x cot x
(8)
Satuan sudut: radian (2π rad = 360o → 1 rad ∼= 57.3o).
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 32 / 52
Turunan Fungsi Trigonometri
SoalDengan menggunakan turunan fungsi sinus dan cosinus, tunjukkankebenaran turunan fungsi trigonometri lainnya pada (8) .
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 33 / 52
Aturan Rantai
Aturan Rantai
Misalkan ingin ditentukandydxbagi y = (x2 − 3x)2.
Teknik:
i) kuadratkan (karena bentuknya sederhana):
y = x4 − 6x3 + 9x2 → dydx= 4x3 − 18x2 + 18x
ii) pemisalan variabel baru:
misalkan y = u2, u = x2 − 3x→ dydu= 2u,
dudx= 2x− 3
dydx
=dydu
dudx= 2u (2x− 3) =
(2x2 − 6x
)(2x− 3)
= 4x3 − 18x2 + 18x ( = cara i)
Metode ii) dikenal dengan aturan rantai.
Misalkan y = (x2 − 3x)1000,dydx= · · ·? Teknik i) amat rumit, teknik
aturan rantai amat efisien. �(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 34 / 52
Aturan Rantai
Teorema (Aturan Rantai)
Misalkan f (u) terturunkan di u = g (x) dan g (x) terturunkan di x, makafungsi komposisi (f ◦ g) (x) = f (g (x)) terturunkan di x dan
(f ◦ g)′ (x) =ddx(f ◦ g) (x) =
ddx
f (g (x)) = f ′ (g (x)) g′ (x) (9)
Dengan notasi Leibniz, jika y = f (u) dan u = g (x) , maka
dydx=
dydu
dudx
(10)
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 35 / 52
Aturan Rantai
Ilustrasi Aturan RantaiKomposisi 2 Fungsi
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 36 / 52
Aturan Rantai
Perluasan Aturan RantaiKomposisi > 2 Fungsi
dst.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 37 / 52
Aturan Rantai
Contoh
1 Tentukanddx√
4x+ 10.SOLUSI
2 Diketahui
x f (x) g (x) f ′ (x) g′ (x)
0 1 1 5 13
1 3 −4 − 13 − 8
3
a) Jika h (x) = f (x) g3 (x), tentukan h′ (0) .
b) Jika h (x) = f(√
x), tentukan h′ (1) .
c) Jika h (x) = f (x+ g (x)), tentukan h′ (0) .
d) Jika h (x) =√
x5 + f (x), tentukan h′ (1) .(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 38 / 52
Aturan Rantai
Soal1 Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut:a. y =
(x2 + 1
)4 (2x3 − 3x+ 5)
.b. y = sin5 (2t− 1) .
2 Tentukan ddx cos x berdasarkan kesamaan cos x = sin
(π
2− x)dan
sin x = cos(π
2− x).
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 39 / 52
Turunan Implisit
Turunan Implisit
Fungsi eksplisit: y = f (x)
Contoh: y = 2x+ 1, y =√
1− x2
Fungsi implisit: F (x, y) = c (konstanta), dengan asumsi y fungsiterhadap x.
Contoh: y− 2x− 1 = 0, x2 + y2 = 1, sin (xy) + 2x2 = 3
Menurunkan fungsi implisit
turunkan kedua ruas terhadap x,gunakan aturan rantai,
tentukandydx.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 40 / 52
Turunan Implisit
Contoh
Tentukandydx= y′ pada lingkaran x2 + y2 = 25, dan tentukan persamaan
garis singgung di titik (4, 3) pada lingkaran.SOLUSI
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 41 / 52
Turunan Implisit
Turunan Fungsi Pangkat Rasional
TeoremaMisalkan p, q bilangan bulat,
ddx
xpq =
pq
xpq−1, q 6= 0 (11)
Soal
Gunakan teknik penurunan implisit untuk menunjukkan (11) .
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 42 / 52
Turunan Implisit
Soal
Tentukandydxbagi persamaan-persamaan berikut.
1 3x3 + 4y3 + 8 = 02√
xy+ 4 = y3 cos (x+ y) = x2 + y2
4 Tentukan persamaan garis singgung kurva xy3 + x3y = 2 di titik(1, 2).
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 43 / 52
Turunan Tingkat Lebih Tinggi
Turunan Tingkat Lebih Tinggi
Turunan ke- Notasi f ′ Notasi y′ Notasi Leibniz Notasi D
1 f ′ (x) y′dydx
Dx y
2 f ′′ (x) y′′d2ydx2 D2
xy
3 f ′′′ (x) y′′′d3ydx3 D3
xy
n, n ≥ 4 f (n) (x) y(n)dnydxn Dn
xy
dnydxn =
ddx
(dn−1ydxn−1
)(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 44 / 52
Turunan Tingkat Lebih Tinggi
Aplikasi Turunan KeduaPenentuan Percepatan
Jika s = f (t) menyatakan fungsi posisi objek pada waktu t yang bergerakpada lintasan lurus, maka
v (t) =dsdt= f ′ (t) menyatakan kecepatan objek pada waktu t.
a (t) =dvdt=
d2sdt2 = f ′′ (t) menyatakan percepatan objek pada
waktu t.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 45 / 52
Turunan Tingkat Lebih Tinggi
Contoh
1 Tentukan turunan ke-n bagi y =1x
.SOLUSI
2 Tentukan turunan ke-n bagi y = sin x.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 46 / 52
Turunan Tingkat Lebih Tinggi
Soal1 Tentukan turunan ke-n bagi:a. f (x) = xn
b. f (x) = x/ (x+ 1)2 Didefinisikan
f (x) =
x2 ; x ≥ 0
−x2 ; x < 0
Buat sketsa grafik f . Tunjukkan bahwa f ′ (x) = 2 |x| dan simpulkanbahwa f ′′ (0) tidak ada.
3 Tunjukkan bahwa lingkaran x2 + y2 = r2 memiliki turunan keduay′′ = −r2/y3.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 47 / 52
Laju Terkait
Laju Terkait
Bila terdapat suatu kaitan antar variabel serta masing-masing variabelbergantung pada waktu t, maka perubahan laju dalam satu variabeldapat berakibat perubahan laju pada variabel lainnya.Makna tanda laju:
dx/dt > 0 : t membesar (mengecil) ⇒ x membesar (mengecil)dx/dt < 0 : t membesar (mengecil) ⇒ x mengecil (membesar)dx/dt = 0 : x konstan
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 48 / 52
Laju Terkait
Strategi Menyelesaikan Masalah Laju Terkait
1 Pahami permasalahan.
2 Buat diagram, berikan notasi kepada variabel-variabel yangmerupakan fungsi terhadap waktu.
3 Nyatakan informasi dan laju yang diketahui dalam bentuk turunan.
4 Tuliskan persamaan yang mengaitkan variabel yang diketahui.
5 Gunakan aturan rantai untuk menurunkan kedua ruas terhadap t.6 Substitusi informasi yang diketahui dan tentukan laju yang diinginkan.
Kesalahan umum:terlalu dini menyubstitusi informasi numerik yang diketahui!
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 49 / 52
Laju Terkait
ContohSeberapa cepat ketinggian air di dalam silinder tegak berjari-jari 1 m turunjika silinder dipompa dengan laju 3000 liter/menit.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 50 / 52
Laju Terkait
Soal (Laju Terkait)
1 Sebuah tangga dengan panjang 5 m bersandar pada dinding tegak.Jika puncak tangga bergeser mendekati lantai pada laju 1 m/detik,seberapa cepat alas tangga bergeser pada saat puncak tangga berada4 m dari lantai?
2 Seseorang sedang menguras sebuah penampung air berbentuk kerucutterbalik. Jari-jari kerucut 1 m dengan ketinggian 3 m. Air mengalirdari bagian bawah dengan laju 1/4 m3/menit. Seberapa cepat airmenurun ketika ketinggian air 2 m? Seberapa cepat jari-jaripermukaan air berubah ketika ketinggian air 2 m?
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 51 / 52
Laju Terkait
Tentang Slide
Penyusun: N. K. Kutha Ardana (Dosen Dep. Matematika FMIPAIPB)
Versi: 2015 (sejak 2009)
Media Presentasi: LATEX - BEAMER (PDFLATEX)
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 52 / 52