YOU ARE DOWNLOADING DOCUMENT

Please tick the box to continue:

Transcript
Page 1: Turunan - Handout

TURUNAN

Departemen MatematikaFMIPA IPB

Bogor, 2015

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 1 / 52

Page 2: Turunan - Handout

Topik Bahasan

1 Pendahuluan

2 Turunan Fungsi

3 Tafsiran Lain Turunan

4 Kaitan Turunan dan Kekontinuan

5 Rumus-rumus Turunan

6 Turunan Fungsi Trigonometri

7 Aturan Rantai

8 Turunan Implisit

9 Turunan Tingkat Lebih Tinggi

10 Laju Terkait

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 2 / 52

Page 3: Turunan - Handout

Pendahuluan

Mengapa Turunan Penting?

Pemahaman yang baik tentang konsep turunan fungsi akan memudahkanmemahami laju perubahan suatu variabel yang bergantung pada variabellain, misalnya penentuan:

Laju pertumbuhan suatu populasi (manusia, ikan, harimau, bakteri,dsb).

Biaya marjinal suatu produk.

Kecepatan mobil seorang pembalap pada suatu waktu tertentu.

Laju perubahan kecepatan aliran darah berdasarkan jarak dengandinding pembuluh.

Laju penyebaran informasi, gosip.

Laju peluruhan bahan radioaktif.

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 3 / 52

Page 4: Turunan - Handout

Turunan Fungsi

Turunan Fungsi pada Suatu Titik/Bilangan

Definisi (Turunan Fungsi pada Suatu Titik/Bilangan)

Turunan fungsi f pada titik/bilangan a dinyatakan dengan f ′ (a) , adalah

f ′ (a) = limh→0

f (a+ h)− f (a)h

(1)

asalkan limit tersebut ada.

Bila limit tersebut ada (bukan ∞ atau −∞), maka fungsi f dikatakanterturunkan (memiliki turunan, differentiable) di a.Perhatikan Gambar (a) berikut.

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 4 / 52

Page 5: Turunan - Handout

Turunan Fungsi

Ilustrasi Geometris Definisi Turunan pada SuatuTitik/Bilangan

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 5 / 52

Page 6: Turunan - Handout

Turunan Fungsi

Alternatif Formula Turunan

Bila pada Definisi (1) diambil x = a+ h, akan diperoleh alternatifformula:

f ′(a) = limx→a

f (x)− f (a)x− a

(2)

(lihat Gambar (b))

f ′ (a) = limh→0

f (a+ h)− f (a)h

= limx→a

f (x)− f (a)x− a

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 6 / 52

Page 7: Turunan - Handout

Turunan Fungsi

Contoh (Definisi Turunan pada Suatu Titik/Bilangan)

Gunakan definisi turunan untuk menentukan:

1 f ′ (0) bila f (x) = 2x+ 1. SOLUSI

2 f ′ (3) bila f (x) =3x

. SOLUSI

3 f ′ (1) bila f (x) = 5.

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 7 / 52

Page 8: Turunan - Handout

Turunan Fungsi

Turunan Kiri dan Turunan Kanan

Definisi (Turunan Kiri dan Turunan Kanan)

Turunan kiri dan turunan kanan dari f pada a didefinisikan oleh

f ′− (a) = limh→0−

f (a+ h)− f (a)h

dan f ′+ (a) = limh→0+

f (a+ h)− f (a)h

jika limit-limit ini ada.

Jadi, f ′ (a) ada jika dan hanya jika turunan-turunan sepihak ini ada dansama.Alternatif Formula:

f ′− (a) = limx→a−

f (x)− f (a)x− a

dan f ′+ (a) = limx→a+

f (x)− f (a)x− a

.

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 8 / 52

Page 9: Turunan - Handout

Turunan Fungsi

Contoh

Gunakan definisi turunan untuk menentukan f ′(1) bagi fungsi-fungsiberikut.

1 f (x) =

x2 + 1 ; x ≤ 1

2x ; x > 1

2 f (x) = x |x− 1| .

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 9 / 52

Page 10: Turunan - Handout

Turunan Fungsi

Turunan Sebagai Kemiringan Garis Singgung

Garis singgung pada kurva y = f (x) di titik (a, f (a)) adalah garisyang melalui (a, f (a)) yang kemiringan/gradiennya sama denganf ′ (a), yakni turunan f di x = a.Persamaan garis singgung pada kurva y = f (x) di titik (a, f (a))adalah

y− f (a) = f ′ (a) (x− a) (3)

DEMO ANIMASI TURUNAN

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 10 / 52

Page 11: Turunan - Handout

Turunan Fungsi

Ilustrasi Geometris Persamaan Garis Singgung

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 11 / 52

Page 12: Turunan - Handout

Turunan Fungsi

Contoh

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva f (x) = x2 + 2x di titik(1, 3) .SOLUSI

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 12 / 52

Page 13: Turunan - Handout

Turunan Fungsi

Turunan Sebagai Fungsi

Ganti titik tetap a dengan variabel x pada definisi turunan (1) dan(2), akan diperoleh fungsi f ′ dengan

f ′ (x) = limh→0

f (x+ h)− f (x)h

= limz→x

f (z)− f (x)z− x

(4)

f ′ pada Persamaan (4) merupakan suatu fungsi, disebut turunanpertama fungsi f .Daerah asal f ′, Df ′ = {x | f ′ (x) ada} , Df ′ ⊆ Df .Nilai f ′ (a) juga dapat dihitung dari Persamaan (4) kemudianmengevaluasi f ′ (x) untuk x = a. �

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 13 / 52

Page 14: Turunan - Handout

Turunan Fungsi

Contoh

Diketahui fungsi f dengan f (x) =√

x. Gunakan definisi turunan untukmenentukan f ′ (x) dan f ′(4). Tentukan Df dan Df ′ .

SOLUSI

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 14 / 52

Page 15: Turunan - Handout

Turunan Fungsi

Soal

Gunakan definisi turunan untuk menentukan f ′ (x) , Df , dan Df ′

fungsi-fungsi berikut:

1 f (x) = x2 − 5.

2 f (x) = x23 .

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 15 / 52

Page 16: Turunan - Handout

Turunan Fungsi

Notasi Lain Turunan

Misalkan y = f (x). Beberapa notasi yang menyatakan turunan f :

y′ = f ′ (x) =dydx=

dfdx=

ddx

f (x) = Df (x) = Dxf (x)

Catatan: notasidydx

,dfdx

,ddxhanya merupakan simbol, bukan

merupakan operasi pembagian.

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 16 / 52

Page 17: Turunan - Handout

Tafsiran Lain Turunan

Aplikasi TurunanFisika: Kecepatan Sesaat

Nilai f ′ (a) merupakan laju perubahan sesaat dari y = f (x) terhadap xdi x = a.Misalkan s = f (t) menyatakan fungsi posisi suatu objek pada waktu t,

kecepatan sesaat objek pada saat t = a adalah

v = f ′ (a) = lim∆t→0

∆s∆t= lim

∆t→0

f (a+ ∆t)− f (a)∆t

laju objek pada saat t = a adalah |f ′ (a) |, yakni nilai mutlak kecepatansesaat.

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 17 / 52

Page 18: Turunan - Handout

Tafsiran Lain Turunan

Aplikasi TurunanEkonomi, Demografi

Misalkan C = f (x) menyatakan total biaya produksi (Rp) untukmenghasilkan x barang (ton),

f ′ (x) = lim∆x→0

∆C∆x bermakna laju total biaya produksi terhadap

banyaknya barang (Rp/ton). f ′ (x) dikenal sebagai biaya marjinal.

Misalkan P = f (t) menyatakan banyaknya populasi pendudukIndonesia pada waktu t (tahun),

f ′ (t) = lim∆t→0

∆P∆t bermakna laju perubahan populasi pada waktu t

(orang/tahun).

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 18 / 52

Page 19: Turunan - Handout

Kaitan Turunan dan Kekontinuan

Kaitan Turunan dan Kekontinuan

Teorema (Keterturunan Berimplikasi Kekontinuan)

Jika f terturunkan di a, maka f kontinu di a.

Makna

Kekontinuan adalah syarat perlu agar f terturunkan, tetapi bukansyarat cukup.Untuk memeriksa keberadaan f ′ (a), terlebih dahulu periksakekontinuan f di a.Jika f kontinu di a, maka f ′(a) belum tentu ada.

Jika f tidak kontinu di a, maka f ′(a) tidak ada. �

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 19 / 52

Page 20: Turunan - Handout

Kaitan Turunan dan Kekontinuan

Contoh (Kontinu, Tidak Terturunkan)

Tunjukkan bahwa f (x) = |x| kontinu di x = 0 tetapi f ′ (0) tidak ada.SOLUSI

Contoh (Kontinu, Terturunkan)

Tentukan f ′ (1), bila

f (x) =

x2 + 1 ; x < 1

2x ; x ≥ 1SOLUSI

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 20 / 52

Page 21: Turunan - Handout

Kaitan Turunan dan Kekontinuan

Contoh

Tentukan nilai dari a dan b agar fungsi f dengan

f (x) =

x ; 0 ≤ x ≤ 1

ax− b ; x > 1

terturunkan di x = 1.

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 21 / 52

Page 22: Turunan - Handout

Kaitan Turunan dan Kekontinuan

Soal (Keterkaitan Turunan dan Kekontinuan)

1 Tentukan g′(−1) dan g′ (1) bila

g(x) =

−1− 2x ; x < −1

x2 ; −1 ≤ x ≤ 1

2x ; x > 1

2 Fungsi f didefinisikan sebagai f (x) =

x2 ; x ≤ a

mx+ b ; x > aNyatakan nilai m dan b terhadap a agar f terturunkan di a.

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 22 / 52

Page 23: Turunan - Handout

Kaitan Turunan dan Kekontinuan

Di mana Turunan Tidak Ada?

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 23 / 52

Page 24: Turunan - Handout

Rumus-rumus Turunan

Rumus-rumus Turunan

Rumus-rumus turunan berikut dapat diperoleh melalui definisi turunan.

Teorema (Turunan Fungsi)

Misalkan u = f (x), v = g(x), dan c suatu konstanta

1.ddx(c) = 0 4.

ddx(u± v) =

dudx± dv

dx= u′ + v′

2∗).

ddx(xn) = nxn−1 5.

ddx(uv) =

dudx

v+ udvdx= u′v+ uv′

3.ddx(cu) = c

dudx

6.ddx

(uv

)=

dudx

v− udvdx

v2 =u′v− uv′

v2

∗) n : bil. bulat positif

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 24 / 52

Page 25: Turunan - Handout

Rumus-rumus Turunan

Contoh

1 Buktikan Teorema Rumus Turunan No. 1, yaitud

dx(c) = 0. SOLUSI

2 Tunjukkan bahwaddx(xm) = mxm−1 juga berlaku untuk bilangan

bulat negatif m. SOLUSI

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 25 / 52

Page 26: Turunan - Handout

Rumus-rumus Turunan

Turunan Fungsi Pangkat

Teorema (Turunan Fungsi Pangkat Umum)

Jika n sebarang bilangan real, maka

ddx(xn) = nxn−1 (5)

Dari pembahasan sebelumnya, berlaku

ddx(xn) = nxn−1, n : bilangan bulat (6)

Pada pembahasan turunan fungsi implisit akan ditunjukkan bahwa(6) berlaku untuk n : bilangan rasional (pecahan).Pada pembahasan teknik penurunan logaritmik akan ditunjukkanbahwa (6) berlaku untuk n : bilangan real.

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 26 / 52

Page 27: Turunan - Handout

Rumus-rumus Turunan

Contoh1 Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut:a. y = 2x3 − x2 + 5.b. g(x) =

(√x− 1

) (x2 − 3x

).

c. u =x3 − 3x3x− 1

.

2 Tentukan g′ (x) jika g (x) = x2f (x) .3 Jika f (1) = 2 dan f ′ (1) = −4, tentukan

ddx

(f (x)

x2

)∣∣∣∣x=1

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 27 / 52

Page 28: Turunan - Handout

Rumus-rumus Turunan

Turunan Fungsi Sesepenggal

Teorema berikut memudahkan dalam mencari turunan fungsisesepenggal (piecewise functions), tanpa menggunakan definisiturunan.

Teorema (Turunan Fungsi Sesepenggal)

Andaikan f kontinu di a serta limx→a−

f ′ (x) dan limx→a+

f ′ (x) ada. Fungsi f

terturunkan di a jika dan hanya jika limx→a−

f ′ (x) = limx→a+

f ′ (x) dan

f ′ (a) = limx→a−

f ′ (x) = limx→a+

f ′ (x) (7)

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 28 / 52

Page 29: Turunan - Handout

Rumus-rumus Turunan

Contoh

1 Periksa apakah f terturunkan di x = 1, jika

f (x) =

x2 , x < 1√

x , x ≥ 1Tentukan f ′ (x) .

SOLUSI

2 Tentukan konstanta a dan b agar f terturunkan di x = 1.

f (x) =

3x2 , x ≤ 1

ax+ b , x > 1SOLUSI

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 29 / 52

Page 30: Turunan - Handout

Turunan Fungsi Trigonometri

Turunan Fungsi TrigonometriLimit Penting

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 30 / 52

Page 31: Turunan - Handout

Turunan Fungsi Trigonometri

Turunan Sinus, Cosinus

ddx

sin x = limh→0

sin (x+ h)− sin xh

= limh→0

sin x cos h+ cos x sin h− sin xh

= limh→0

[cos x sin h

h− sin x (1− cos h)

h

]= cos x

[limh→0

sin hh

]− sin x

[limh→0

1− cos hh

]= (cos x) (1)− (sin x) (0)

= cos x

dengan cara serupa, dapat ditunjukkan bahwa ddx cos x = − sin x.

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 31 / 52

Page 32: Turunan - Handout

Turunan Fungsi Trigonometri

Turunan Fungsi Trigonometri

ddx

sin x = cos xddx

cos x = − sin x

ddx

tan x = sec2 xddx

cot x = − csc2 x

ddx

sec x = sec x tan xddx

csc x = − csc x cot x

(8)

Satuan sudut: radian (2π rad = 360o → 1 rad ∼= 57.3o).

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 32 / 52

Page 33: Turunan - Handout

Turunan Fungsi Trigonometri

SoalDengan menggunakan turunan fungsi sinus dan cosinus, tunjukkankebenaran turunan fungsi trigonometri lainnya pada (8) .

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 33 / 52

Page 34: Turunan - Handout

Aturan Rantai

Aturan Rantai

Misalkan ingin ditentukandydxbagi y = (x2 − 3x)2.

Teknik:

i) kuadratkan (karena bentuknya sederhana):

y = x4 − 6x3 + 9x2 → dydx= 4x3 − 18x2 + 18x

ii) pemisalan variabel baru:

misalkan y = u2, u = x2 − 3x→ dydu= 2u,

dudx= 2x− 3

dydx

=dydu

dudx= 2u (2x− 3) =

(2x2 − 6x

)(2x− 3)

= 4x3 − 18x2 + 18x ( = cara i)

Metode ii) dikenal dengan aturan rantai.

Misalkan y = (x2 − 3x)1000,dydx= · · ·? Teknik i) amat rumit, teknik

aturan rantai amat efisien. �(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 34 / 52

Page 35: Turunan - Handout

Aturan Rantai

Teorema (Aturan Rantai)

Misalkan f (u) terturunkan di u = g (x) dan g (x) terturunkan di x, makafungsi komposisi (f ◦ g) (x) = f (g (x)) terturunkan di x dan

(f ◦ g)′ (x) =ddx(f ◦ g) (x) =

ddx

f (g (x)) = f ′ (g (x)) g′ (x) (9)

Dengan notasi Leibniz, jika y = f (u) dan u = g (x) , maka

dydx=

dydu

dudx

(10)

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 35 / 52

Page 36: Turunan - Handout

Aturan Rantai

Ilustrasi Aturan RantaiKomposisi 2 Fungsi

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 36 / 52

Page 37: Turunan - Handout

Aturan Rantai

Perluasan Aturan RantaiKomposisi > 2 Fungsi

dst.

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 37 / 52

Page 38: Turunan - Handout

Aturan Rantai

Contoh

1 Tentukanddx√

4x+ 10.SOLUSI

2 Diketahui

x f (x) g (x) f ′ (x) g′ (x)

0 1 1 5 13

1 3 −4 − 13 − 8

3

a) Jika h (x) = f (x) g3 (x), tentukan h′ (0) .

b) Jika h (x) = f(√

x), tentukan h′ (1) .

c) Jika h (x) = f (x+ g (x)), tentukan h′ (0) .

d) Jika h (x) =√

x5 + f (x), tentukan h′ (1) .(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 38 / 52

Page 39: Turunan - Handout

Aturan Rantai

Soal1 Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut:a. y =

(x2 + 1

)4 (2x3 − 3x+ 5)

.b. y = sin5 (2t− 1) .

2 Tentukan ddx cos x berdasarkan kesamaan cos x = sin

2− x)dan

sin x = cos(π

2− x).

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 39 / 52

Page 40: Turunan - Handout

Turunan Implisit

Turunan Implisit

Fungsi eksplisit: y = f (x)

Contoh: y = 2x+ 1, y =√

1− x2

Fungsi implisit: F (x, y) = c (konstanta), dengan asumsi y fungsiterhadap x.

Contoh: y− 2x− 1 = 0, x2 + y2 = 1, sin (xy) + 2x2 = 3

Menurunkan fungsi implisit

turunkan kedua ruas terhadap x,gunakan aturan rantai,

tentukandydx.

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 40 / 52

Page 41: Turunan - Handout

Turunan Implisit

Contoh

Tentukandydx= y′ pada lingkaran x2 + y2 = 25, dan tentukan persamaan

garis singgung di titik (4, 3) pada lingkaran.SOLUSI

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 41 / 52

Page 42: Turunan - Handout

Turunan Implisit

Turunan Fungsi Pangkat Rasional

TeoremaMisalkan p, q bilangan bulat,

ddx

xpq =

pq

xpq−1, q 6= 0 (11)

Soal

Gunakan teknik penurunan implisit untuk menunjukkan (11) .

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 42 / 52

Page 43: Turunan - Handout

Turunan Implisit

Soal

Tentukandydxbagi persamaan-persamaan berikut.

1 3x3 + 4y3 + 8 = 02√

xy+ 4 = y3 cos (x+ y) = x2 + y2

4 Tentukan persamaan garis singgung kurva xy3 + x3y = 2 di titik(1, 2).

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 43 / 52

Page 44: Turunan - Handout

Turunan Tingkat Lebih Tinggi

Turunan Tingkat Lebih Tinggi

Turunan ke- Notasi f ′ Notasi y′ Notasi Leibniz Notasi D

1 f ′ (x) y′dydx

Dx y

2 f ′′ (x) y′′d2ydx2 D2

xy

3 f ′′′ (x) y′′′d3ydx3 D3

xy

n, n ≥ 4 f (n) (x) y(n)dnydxn Dn

xy

dnydxn =

ddx

(dn−1ydxn−1

)(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 44 / 52

Page 45: Turunan - Handout

Turunan Tingkat Lebih Tinggi

Aplikasi Turunan KeduaPenentuan Percepatan

Jika s = f (t) menyatakan fungsi posisi objek pada waktu t yang bergerakpada lintasan lurus, maka

v (t) =dsdt= f ′ (t) menyatakan kecepatan objek pada waktu t.

a (t) =dvdt=

d2sdt2 = f ′′ (t) menyatakan percepatan objek pada

waktu t.

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 45 / 52

Page 46: Turunan - Handout

Turunan Tingkat Lebih Tinggi

Contoh

1 Tentukan turunan ke-n bagi y =1x

.SOLUSI

2 Tentukan turunan ke-n bagi y = sin x.

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 46 / 52

Page 47: Turunan - Handout

Turunan Tingkat Lebih Tinggi

Soal1 Tentukan turunan ke-n bagi:a. f (x) = xn

b. f (x) = x/ (x+ 1)2 Didefinisikan

f (x) =

x2 ; x ≥ 0

−x2 ; x < 0

Buat sketsa grafik f . Tunjukkan bahwa f ′ (x) = 2 |x| dan simpulkanbahwa f ′′ (0) tidak ada.

3 Tunjukkan bahwa lingkaran x2 + y2 = r2 memiliki turunan keduay′′ = −r2/y3.

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 47 / 52

Page 48: Turunan - Handout

Laju Terkait

Laju Terkait

Bila terdapat suatu kaitan antar variabel serta masing-masing variabelbergantung pada waktu t, maka perubahan laju dalam satu variabeldapat berakibat perubahan laju pada variabel lainnya.Makna tanda laju:

dx/dt > 0 : t membesar (mengecil) ⇒ x membesar (mengecil)dx/dt < 0 : t membesar (mengecil) ⇒ x mengecil (membesar)dx/dt = 0 : x konstan

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 48 / 52

Page 49: Turunan - Handout

Laju Terkait

Strategi Menyelesaikan Masalah Laju Terkait

1 Pahami permasalahan.

2 Buat diagram, berikan notasi kepada variabel-variabel yangmerupakan fungsi terhadap waktu.

3 Nyatakan informasi dan laju yang diketahui dalam bentuk turunan.

4 Tuliskan persamaan yang mengaitkan variabel yang diketahui.

5 Gunakan aturan rantai untuk menurunkan kedua ruas terhadap t.6 Substitusi informasi yang diketahui dan tentukan laju yang diinginkan.

Kesalahan umum:terlalu dini menyubstitusi informasi numerik yang diketahui!

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 49 / 52

Page 50: Turunan - Handout

Laju Terkait

ContohSeberapa cepat ketinggian air di dalam silinder tegak berjari-jari 1 m turunjika silinder dipompa dengan laju 3000 liter/menit.

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 50 / 52

Page 51: Turunan - Handout

Laju Terkait

Soal (Laju Terkait)

1 Sebuah tangga dengan panjang 5 m bersandar pada dinding tegak.Jika puncak tangga bergeser mendekati lantai pada laju 1 m/detik,seberapa cepat alas tangga bergeser pada saat puncak tangga berada4 m dari lantai?

2 Seseorang sedang menguras sebuah penampung air berbentuk kerucutterbalik. Jari-jari kerucut 1 m dengan ketinggian 3 m. Air mengalirdari bagian bawah dengan laju 1/4 m3/menit. Seberapa cepat airmenurun ketika ketinggian air 2 m? Seberapa cepat jari-jaripermukaan air berubah ketika ketinggian air 2 m?

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 51 / 52

Page 52: Turunan - Handout

Laju Terkait

Tentang Slide

Penyusun: N. K. Kutha Ardana (Dosen Dep. Matematika FMIPAIPB)

Versi: 2015 (sejak 2009)

Media Presentasi: LATEX - BEAMER (PDFLATEX)

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 52 / 52