RELASI

Produk Cartesius Relasi Relasi Khusus

Produk Cartesius

Jika A dan B masing-masing menyatkan himpunan yang tidak kosong, maka produk Cartesius himpunan A dan B adalah himpunan semua pasangan terutut (x,y) dengan dan , ditulisAx∈ By∈

}dan ),{( ByAxyxBA ∈∈=×

{1,2}Bdan },,{ == cbaA

)},3(),,3(),,2(),,2(),,1(),,1{(

)}2,(),1,(),2,(),1,(),2,(),1,{(

bababaAB

ccbbaaBA

=×

=×

Misalkan maka:

Pengertian Relasi Antara elemen-elemen dari dua buah himpunan

seringkali terdapat suatu relasi atau hubungan tertentu.Misalnya : A = { 2, 3, 5 } dan B = { 1, 4, 7, 10, 14 }

Akan kita tinjau relasi “ adalah faktor dari “ antara elemen-elemen himpunan A dengan elemen-elemen himpunan B. Tampaklah bahwa :

2 adalah faktor dari 42 adalah faktor dari 102 adalah faktor dari 145 adalah faktor dari 10

Sedangkan 3 ∈ A tidak berrelasi dengan suatuelemenpun dari himpunan B.

•2

•3

•5

•1

•4

•7

•10

•14

Diagram panahA B

Relasi tersebut jugan dapat dinyatakan sebagai himpunan pasangan terurut. Elemen dari himpunan A yang berrelasi dengan elemen dari himpunan B di susun menjadi suatu pasangan terurut, diman elemen dari A pada urutan pertama dan elemen dari B pada urutan yang kedua. Jadi kalau relasi “ adalah faktor dari “ tersebut diberi nama R, maka :R = { (2, 4), (2, 10), (2, 14), (5, 10) }

Jelaslah bahwa R ⊆ A x B

Secara umum dapat dikatakan bahwa suatu reelasi dari himpunan A ke himpunan B merupakan himpunan bagian dari A X B ( produk Cartesius A dan B ).

Definisi: R adalah suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B bhb R ⊆ A x B

A disebut daerah asal (domain), B disebut daerah kawan (kodomain),

RELASI KHUSUS

Bila A = B maka relasinya disebut sebagai relasi pada himpunan A.

Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi refleksif bhb setiap elemen dari A berrelasi R dengan dirinya sendiri.

R refleksif pada A bhb. (∀ x∈A). (x,x)∈R R non-refleksif pada A bhb. ( ∃x∈A).( x,x)∉R R irrefleksif pada A bhb. (∀ x∈A).( x,x)∉R

RELASI KHUSUS

Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi simetris bhb. Untuk setiap dua elemen x dan y dalam A, bila x berrelasi R dengan y, maka y berrelasi R dengan x.

R simetris pada A bhb(∀x,y∈A).(x,y)∈R⇒(y,x)∈R

R non- simetris pada A bhb(∃x,y∈A).(x,y)∈R∧(y,x)∉ R

R asimetris pada A bhb(∀x,y∈A).(x,y)∈R ⇒(y,x) ∉ R

R antisimetris pada A bhb(∀x,y∈A).(x,y)∈R ∧ (y,x)∈R ⇒x=y

RELASI KHUSUS

relasi R pada himpunan A disebut transitif bhb. Untuk setiap tiga elemen x,y dan z∈A, bila x berrelasi R dengan y dan y berrelasi R dengan z , maka x berrelasi R dengan z. R transitif pada A bhb.(∀x,y,z∈A).(x,y)∈R ∧ ( y,z )∈R ⇒ (x,z)∈ R

R non-transitif pada A bhb :( ∃x,y,z A).(x,y)∈R ∧ ( y,z )∈R ⇒ (x,z)∉R

R intransitif pada A bhb :( ∀x,y,z A).(x,y)∈R ∧ ( y,z )∈R ⇒ (x,z)∉R

RELASI KHUSUS

Suatu relasi R pada himpunan A yang sekaligus bersifat refleksif,simetris dan transitif disebut relasi ekuivalensi pada A.

Definisi: Keluarga himpunan bagian yang tidakkosong dari suatu himpunan A disebut

P a r t i s i dari A bhb.1. Gabungan dari semua himpunan bagian itu

adalah himpunan A sendiri.2. Setiap dua himpunan bagian yang tidak sama

merupakan dua himpunan yang saling lepas.Jadi suatu keluarga himpunan bagian yang tidak

kosong dari himpunan A, misalnya{A1 , A2 , A3 , …..An }, adalah partisi dari A apabila1. A1∪ A2 ∪ A3 ∪ ….. ∪ An = A2. (∀Ai , Aj ). Ai ≠ Aj ⇒ Ai ∩ Aj = ∅

FUNGSI

Suatu relasi antara anggota-anggota himpunan Adengan anggota-anggota himpunan B disebutFungsi. (pemetaan) bhb relasi itu mengkaitkansetiap anggota A dengan tepat satu anggotaB.

f : A → B bhb. (∀ x ∈A).( ∃!y B) . y = f (x)

FUNGSI

Perhatikan bahwa suatu fungsi f dari A ke Badalah suatu relasi yang mempunyai duasifat khusus, yaitu:

1. Setiap anggota himpunan A (daerah asal)dikawankan dengan anggota himpunan B.(Seringkali dikatakan bahwa “ daerah asaldihabiskan “)

2. Kawan dari anggota-anggota himpunan A(daerah asal) adalah tunggal. Sifat ini dapatdinyatakan secara simbolis:

( ∀xi, xi ∈ A). x1 = x2 ⇒ f (x1) = f (x2)

FUNGSI

•2

•3

•5

•1

•4

•7

•10

•14

Diagram panahA B

FUNGSI

Contoh:Misalkan A : {1, 2, 3, 4}B : {a, b, c}Terdapat fungsi f : A→Ba. f : {(1,a), (2,b), (3,c)} → bukan fungsi

hanya relasi biasab. f : {(1,a), (1,b), (2,a), (3,b), (4,c)} →

bukan fungsi hanya relasi biasac. f : {(1,a), (2,a), (3,b), (4,c)} → fungsi

FUNGSI

Ada dua macam cara untuk menyajikansuatu fungsi, yaitu:

1. Cara aturan : fungsi itu disajikan dengancara menyatakan aturan yang menentukanrelasi antara angggota – anggota daerahasal dengan anggota – anggota daerahkawannya.Contoh :f: R→ R dimana f(x) = xR = himpunan semua bilangan nyata.

FUNGSI

2. Cara himpunan :Seperti halnya relasi, maka fungsi f dariA ke B dapat dipandang sebagaihimpunan bagian (khusus) dari A x B.Maka fungsi f : R →R dimana f ( x ) = xdapat juga disajikan sebagai suatuhimpunan, yaitu himpunan bagian dariR x R :

F = { (x,y)|x ∈ R, y∈ R, y = x2 }

FUNGSI

Kesamaan dua buah fungsi. Dua buah fungsi f : A → B dan g : A → B

dikatakan sama bila kedua fungsi itumengkaitkan anggota-anggota dari daerahasalnya dengan anggota-anggota yang samadidaerah kawannya.f = g bhb ( ∀ x ∈A).f(x) = g(x)

Contoh :f : R→ R dimana f(x) = 2(x+1)(x-2)g : R→ R dimana g(x) = 2x2-2x-4Karena f (x ) = 2(x+1)(x-2)

= 2(x2-x-2) = 2x2-2x-4 = g(x)Maka f = g

FUNGSI-FUNGSI KHUSUS

1. FUNGSI SURJEKTIF2. FUNGSI INJEKTIF3. FUNGSI BIJEKTIF4. FUNGSI KONSTAN5. FUNGSI IDENTITAS

FUNGSI SURJEKTIF/ONTO

Suatu fungsi f : A B disebut fungsi surjektif dari A kepada (onto) B bila setiap anggota B merupakan bayangan dari suatu anggota A.

Jadi pada fungsi yang surjektif, daerah hasilnya berimpit dengan daerah kawan (atau daerah kawannya dihabiskan ).

f : A → B adalah fungsi surjektif bhb ( ∀y∈B) ( ∃x∈A). y = f (x)bhb Rf = Bbhb ( ∀y∈B) f-1 (y) = ∅

FUNGSI SURJEKTIF

Contoh

•2

•3

•5

•7

•10

Diagram panahA B

FUNGSI INJEKTIF/SATU-SATU

Suatu fungsi f : A → B disebut fungsi injektif bila anggota – anggota dari B merupakan bayangan dari tepat satu anggota A.

f : A → B adalah fungsi injektif bhb ( ∀ x1,x2 ∈ A ). x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) bhb ( ∀ x1,x2 ∈ A ). f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2

FUNGSI INJEKTIF

contoh

•2

•3

•5

•1

•4

•7

•10

•14

Diagram panahA B

FUNGSI BIJEKTIF

Suatu fungsi f : A→B merupakan fungsi bijektif apabila fungsi f adalah fungsi surjektif dan sekaligus injektif.

Fungsi bijektif sering dikatakan fungsi korespondensi satu-satu.

FUNGSI BIJEKTIF

Contoh

•2

•3

•5

•7

•10

•14

Diagram panahA B

FUNGSI KONSTAN

Suatu fungsi f : A → B disebut fungsi konstan bila bayangan semua anggota A adalah satu anggota yang sama di B.

f : A → B adalah fungsi konstan bhb.( ∃!c ∈ B)(∀x∈A).f(x) = c

Contoh:1. f(x) = 2

•2

•3

•5

•7•10•14

2. Diagram panahA B

FUNGSI IDENTITAS

Suatu fungsi f : A → B disebut fungsi indentitas bila bayangan dari setiap anggota dari A ialah dirinya sendiri.

Daerah asal dan saerah kawan dari suatu fungsi identits adalah himpunan yang sama.

f : A → A adalah fungsi indentitas bhb.( ∀x∈A). f(x) = x

FUNGSI IDENTITAS

CONTOH

•2

•3

•5

•2

•3

•5

Diagram panahA A

LATIHAN

MisalkanA : {a,b,c}B : {1,2,3}C: {x, y, z, w}D: {4,5,6}f: A→B g: B→C h: C→Di: B→DTentukan apakah fungsi berikut surjektif, injektif

atau bijektif?a. f: {(a,2), (b,1), (c,2)}b. g: {(1,y), (2,x), (3,w)}c. h: {(x,4), (y,6), (z,4), (w,5)}d. i: {(1,4), (2,6), (3,5)}

FUNGSI TERSUSUN

Dua buah fungsi yang memenuhi syarat tertentu dapatdisusun (dikomposisikan) menjadi suatu fungsi baruyang disebut fungsi tersusun (fungsi komposisi).

Misalnya kita mempunyai dua buah fungsif : A → B dan g : C → D di mana Rg ⊆ A,

C → A → B

maka kedua fungsi tersebut dapat disusun menjadifungsi baru, yang disajikan dengan lambangf o g : C → B

Dengan aturan ( f o g ) ( x ) = f [ g ( x ) ] ( lambang “ f o g “ dibaca “ f bundaran g “ )

f gf o g

FUNGSI TERSUSUN

CONTOH: Modul halaman 81Latihan:1. Misalkan

A : {a,b,c}B : {1,2}C: {1,2,3}D: {x, y, z, w}f: A→B, f: {(a,2), (b,1), (c,2) g: C→D, g: {(1,y), (2,x), (3,w)}Tentukan g o f!

2. Perhatikan fungsi f(x) = x2 + 3x + 1 dang(x) = 2x -3. Tentukan g o f (x)!

FUNGSI TERSUSUN

Sifat-sifat Komposisi Fungsi.1. Komposisi fungsi bersifat assosiatif, yaitu untuk tiap

tiga buah fungsi f,g dan h yang dapat dikomposisikan berlakulah: (f o g ) o h=f o (g o h)

2. Bila i adalah fungsi identitas, yaitu i (x) = x untuk tiap x anggota domainnya, dan i dapat dikomposisikan dengan suatu fungsi f, maka i o f = f dan f o i = f.

3. Bila f adalah fungsi bijektif, maka f o f = f o f = i dimana i adalah fungsi identitas.

Fungsi Nyata dan GrafikFungsi

Fungsi nyata ialah fungsi yang daerah asal dan daerah kawannya adalah himpunan bilangan – bilangan nyata.