BAB 5POTENSIAL LISTRIK

Dari bahasan Fisika Matematika diperoleh, bahwa jika: V x F = 0, maka F Oapat dituliskansebagaisebuah gradien skalarF:

-V0 atau (V x V0 = 0).Bagaimana dengan elektrostatik ?

Analog dengan persamaan di atas maka dalam medan listrik dapat dituliskan sebagai:v x d = 0, dimana f adalah gradien skalar F,: -vv.Potensial listrik sering juga disebut sebagai potensial skalar, sebagai konsekuensi dariperkalian sebuah operator nabla V dengan besaran lain tanpa operasi dot (o) atau cros(x). Dengan kata lain bahwa perkalian sebuah operator nabla V dengan besaran laintanpa operasi dot (o) atau cros (x) memastikan bahwa besaran tersebut adalah skalar.Tanda negatif dapat diterangkan dari pelajaran mekanika yang menyatakan bahwaperubahan energi potensial (Al) yang berkaitan dengan sebuah sistim adalah negatif dariusaha/kerja yang dilakukan (A\.J--W1. Potensial gravitasi dapat dituliskan sebagai:

LU- _(Us - Uis _AVs=Ve-Ve=;=ff= =-{:%m (Fn /*). dv : - [' a. ol = G M (;- ;)

LVn adalah negatif kerja yang dilakukan oleh gravitasi per satuan massa untukmemindahkan sebuah partikel bermassa m dari A ke B.

PERUMUSAN POTENSIAL SKALAR LISTRIK

Analogi pembahasan potensial listrik dapat tinjau pada konsep potensial gravitasi. Hal inididasarkan pada fakta bahwa gaya listrik (Coulomb) dan gaya gravitasi sama-samabersifat konservatif dan berbanding terbalik dengan kuadrat iarak.Perubahan energi potensial

Lu : -LW = - J: F .aV = -eo tf E .ai. 5.1

tntegral dilakukan sepanjang jalur yang dilalui Qo saat bergerak dari A ke B. Oleh karena-qoE bersifat konservatif, maka integral garis initidak bergantung pada lintasan dariA keB, Jika terjadi pemindahan muatan uji di antara dua posisi A dan B dalam medan listrik,maka sistim medan muatan mengalami perubahan/perbedaan energi potensial. Bedapotensial diantara dua titik A dan B dalam medan listrik didefenisikan sebagai perubahanenergi potensial sistim saat muatan uji dipindahkan diantara titik-titik dibagi denganmuatan uji. Beda Potensial listrik antara titik A dan B dituliskan dalam persamaan 5.2berikut:

LV = vs -vA -

^y =yo# = -X: - f' tr tq,).di = - fu t.ov 5.2

dimana qs adalah muatan uji. Perbedaan potensial listrik AZ menyatakan kerja yangdilakukan per satuan muatan untuk memindahkan muatan uji dari titik A ke titik B tanpamengubah energi potensial listriknya. Energi potensial adalah besaran skalar sehinggapotensial listrik juga merupakan besaran skalar (potensial skalar).Satuan potensial listrik adalah Volt, dimana 1 Volt = 1 JoulelCoulomb (1V=1 J/C). Dalamsistim atom atau molekul biasanya digunakan elektron volt (eV), dimana 1 eV = (1,6 x 10-1sC.V) = 1,6 x 10-1s J adalah energi sebuah elektron yang dibutuhkan (hilang) ketika elektrontersebut bergerak melalui perbedaan potensial 1 volt.

Note:

Secara fisis harus difahami bahwa pendefenisian yang memiliki arti hanyalah perbedaanpotensial, oleh karena itu sangat penting pemilihan titik referensi sedemikian sehinggapotensial pada titik tersebut - Q (yaitu pada jarak titik referensi di oo).AV = vB - ve - - r:i.d7 = kqe - *) = kq (;- :) = e' atausecara integral dituliskan bahwa potensial listrik pada titik tertentu adalah:

POTENSIAL LISTRIK OLEH MUATAN TITIKUntuk menentukan potensial listrik pada sebuah titik (P) yang berjarak r dari muatan,maka akan digunakan perumusan perbedaan potensial persamaan 5.2.

LV=va*vA:-['t.oi s.2Jg

dimana A dan B adalah titik sembarang yang ditunjukkan pada Gambar 5.1 dan medanlistrik E :Yi yang disebabkan oleh muatan titik pada seluruh ruang dan i adalah vektorsatuan dari muatan menuju titik. Besaran E.aV dalam persamaan 5.2 dapatdisederhanakanmenjadi :

ka kaE.dl : +i ' dl = ,---:dl cos0Dari Gambar 5.1b diperoleh bahwa cosO: dr/dl, atau dlcos0: dr, dan persamaan 5.2ditulis menjadi:

rf-%--fE.dt

J5.3

LM1 /Potensial Listrik/Togar Saragi Hal2

f B -

fra kaAV :Ve

-VA - - Jor.dl : J,, *11 1r o 11 1t

vs -ve = kqlrr- ,^l:

^""\e-al 5's

Beda potensial listrik AV diantara dua titik A an B dalam medan yang dihasilkan olehmuatan titik hanya bergantung pada koordinat rs dan rs (titik-titik ujung) dan bukanbergantung pada lintasan. Note: ingat kembali bahwa medan listrik adalah medankonservatif yang berkaitan dengan gaya konservatif.

(a) (b)Gambar 5.1 Muatan gyang bergantung pada koordinat awal redan koordinat

akhir a (a), sudut 0 yang dibentuk elemen panjang di dan dr.Biasanya dipilih acuan potensial listrik untuk muatan titik adalah V = 0 pada 2 = o.Dengan pilihan acuan tersebut potensial listrik yang dihasilkan oleh muatan titik denganjarak r dari muatan adalah:

1.q4teo r

Jika muatan lebih dari satu, maka total potensial listrik pada titik P adalah jumlah darimasing-masing potensial (prinsip superposisi) dan dituliskan sebagai:

V, = k?: 5.4

5.5u. = uT+ 4fies/-t ri1 YqircrL ri

LM 1 lPotensial Listrik/Togar Saragi Hal 3

POTENSIAL LISTRIK OLEH DISTRIBUSI MUATAN KONTINUPotensial listrik dV pada titik P yang disebabkan oleh elemen muatan dg adalah

dv=,1 dQ4nto rmaka potensial listrik total pada titik P adalah:

,:n;/+dimana r adalahjarak dari elemen muatan ke titik P.

5.6

Tentukanlah potensial listrik pada titik P dari distribusi muatan kontinu seperti padagambar berikut:

Contohv

III

rapat muatan garis = A

dq= Adl =Adx'

,=(*n+yr)'/'

-------.x

1do 1.lrr -"' - 4Trro. - 4"t. e

A dx'

* y'')t/'Ardx'

v:4n%J @r;WDengan mengambilV: 0 diV-, maka

+t/2

-t/2(*'' + y'')

LMliPotensial Listrik/Togar Saragi Hal 4

Plot Vo vs Vq =1 Vo : ;| sebagai fungsi dari y/latLco

Dalam limit { >> y

,r _ A ,^[G/z)+Uu[TT@E1rrEr'tr 4neo.. L_gtzl + t1z,[t + av/Dr)^ ^[,:_JTfIrriflvo : o*l [-r + Jt+ 1zy1t:z]

vo =# ^(#):# m(*p'z)u, = r*rn(s/y)

Densan menssunakan persamaan E = -w : - (*, * *i * *fr)fftn1t1y1Dari diferensial tersebut maka diperoleh:

_dvht/2Er: - dy = zrtw

.IOEWPersamaan ini sama dengan medan listrik yang dihasilkan dengan menggunakanpersamaan E = *t#i

Hal 5LM 1 /Potensial Listrik/Togar Saragi

POTENSIAL DIPOL LISTRIK

v- 1 $ q,' - 4o"s f=rlh - ,rl

u= , L 1 ,-, ,' ,l" - 4o,s Ll+ - a.l l+ - t-lj,,- q l1

-

1l'

= A*ollel-ETl'dimana i+ = xi + (y * a;j Oan f- = xi

l;&-

+(y+a)j

(*'*(,*rf)t''Berapa V(P) ?Untuk itu kita tinjau penyebut dalam ekspansi binomial:

I'

Ii

L--

i

l

*s

trJ-r'nl

I*Iofrl

i{-{l

LMllPotensial Listrik/Togar Saragi Hal 6

(r*)-t'' = {*' * U x r91-t'' = 1*' * y' * a2 xzav)-1l2,,isalk ?t1 r :(*' *,')t'',= (r, * rr)-t'' *(rz trrn)-t' = r-1 *(az xur)t''

dari gambar dapat diperoleh bahwa cos d - f,,* y = r cos 9, dan persamaan diatasdapat ditulis menjadi:

(r*)-''' = r-1 *(a2 xrrr)-' =r-1 +(r'*2ar cos r)t'', atau(r=)-t'' = r-1 +(u' ,2ar cos ,)-t'': r-'[,. [(:l - r[:) cos dL \'kasus limit r >> a, dengan bantuan ekspansi binomial,

(t+ x)' =1+ mx.ryarz * m(m -!!m -2)x3 *... untuk m:

misarkan *=((g\' ,r(9\.o, ,l-"': maka[(r/ (r/ )dengan bantuan ekspansi binomial

(t+x)m =1+ mx.ryarz *m(m -1)(m -2) x3 *,., untuk m: negatif

densan memisatka" * = [1e'1'* z[e] "o"

,l-"': maka diperoteh[\r/ \r) )fi + x\-1t2 =t - 1r *1r' - 11rt... . drn2816

(r, *(,l-rf)-1t2 =,-t, - ;[(:)' . , [:) .o, ,]-"' *

I,,,]negatif

;[(;)",[:) ".",)-''"

-tu(St\' r r1,9) "o=

,l-"" *1o[(r) \r) )

LM 1 /Potensial ListriklTogar Saragi HalT

Tinjauan 1:f _ \

-ltzl(r=)-t'' = r-1 +(r' *2ar cos r)'''-'-,,l', *{ ( g\' * r( 9)cos dl - |

L [(') -(r)---") ]untuk r >>> ,,(r*)-'''= .-' [, ,(rE).o, ,l-t"] = ,-' 3. i"os al, sehinssaL((ri ) ) ( r )It+ :)=(: g"o" e -!- |.o")=4"o",V(P)=h!"osd, karen aF =Zaqi dan i = sind /" + cos e i,makaV(P) =:--F . i, Momen dipol F = ldpdt4ttegr'Dari E - -vv, dan daram koordinat bora v =fit.i*a.#&a,

AV pcos? -

1 AV psin4 ^Er=- ar=r;F,Eo=-V ar= 4o0r3,=Q=u

LM 1 /Potensial Listrik/Togar Saragi Hal 8

Tinjauan 2: (kontribusi monopol, dipol, quadrupol, oktopol, dst...)

(rr)-t'' = r-1 + (r' *2ar cos ,)-t''= r-,,L. [[;)' .r(1).", ,]-"']pilih q saja:

, ;[(:)' -,(i) ".,,)-''' . ;[(:)' -,(1) "o",)-'' "(r*)-1t2 =

'-tH[tr' -,(l) "o",)-''" *

dalam polinomial Legendre dapat ditulis sebagai:

(r*\-t'' = !, ir(i )'r,,"* r,v (P) = Lo o*,1 i#) r'e, t.o, o) pd t

tv(p)=*l llro, .)lacos ,pdr +ilu[i*,' , -:)ro,. )

-

I suku monopol suku"dipol suku quiadropol .]Perumusan potensial dipol dan momen dipol dapatdituliskan sebagai

v(P)= .+0.i, dan p=!apdr4tegr'

Momen dipotditentukan berdasarkan geometri (ukuran, bentuk, dan density),sehingga momen dipoldari sekumpulan muatan titik (secara umum d -+i):

n

i = Zqi/ii=1

Hal 9

adalah Polinomial Legendre

LM1 lPotensial ListriUTogar Saragi

SYARAT BATAS ELEKTROSTATIK

Griffith hal89 ed. 2

%t", - Vba*ah =

IT _ I7vatas -

vbawah

Hubungan E dan Potensial V:

Dari persamaan di atas diperoleh bahwa : E lrrur- E iba*rh=maka:

oV7"trr- VTrr*rh = -;-ffL6

)V^t^t 1Vb^*^h O ^

a, - a" :

-ron

AV o^;- =

--rldn toav

o__eo6n

Dengan menggunakan persaman ini maka diperoleh besaran potensial listrik V, rapatmuatan o dan akhirnya dapat ditentukan medan listrik E pada daerah tersebut denganbantuan E = -VV

bf--J E.dr

9ff,karenaE=-vv,

,iik-;?ai- o

LM 1 /Potensial ListriUTogar Saragi Hal 10

Kesimpulan:

1. Potensial listrik oleh muatan diskrit:

v-=,1 9t 4Ttto r2. Dalam bentuk integral persamaan diatas dapat dituliskan sebagai:

i-v.--J E.dt3. Potensial listrik oleh beberapa muatan Oisl* superposisi:

v*= 1 YQ'- 1 (9t*9*91*.*!)' 4rresL ri 4rrs \r1 t2 13 ri/

4. Potensial listrik oleh distribusi muatan:v=,1 l.dQ4reo J r

langkah-langkah penyelesaian potensial listrik oleh distribusi muatan ini padaprinsipnya samadengan kasus medan listrik oleh muatan disk?tt.*rftffat{

5. Medan listrik E dapat ditentukan jika potensial skalar listriknya diketahui denganmenggunakan persamaan :

E=-vv= rd d d^r- (a'* uni + azk)v

6. Jika E diketahui maka potensial listrik dapat dicari;-v(i):- I E.drJ

referensi

Sebaliknya jika potensial listrik diketahui, makaE: _w

7.

LM 1 /Potensial ListriklTogar Saragi Hal 11

BAB 6ENERGI ELEKTROSTATIK

6.1. Kerja yang Dilakukan untuk Memindahkan MuatanEnergi potensial listrik di titik / relatif terhadap acuan adalah:

i-u(i)=- lF(i').di 6.1,!,

6fi = q'LV 6'2Misalkan terdapat sekelompok muatan stasioner, dan sebuah muatan uji Q akan dipindahkandari titik a ke titik b ( seperti gambar), berapakah kerja yang dilakukan?

o,a e

aaaa ta

aaqz t'4i

Gambar 6.1. Muatan stationer dan muatan uji yang akan dipindahkan dari a ke b.Gaya listrik pada sembarang titik sepanjang lintasan adalah i = QE, dan gaya yang harusdiberikan berlawanan arah dengan gaya ini adalah

- QEt, maka total kerja yang harusdilakukan adalah:

\b

bbw : I F.dt = -, I E dt = +Qlv(b) -v(a)]

lntegral di atas tidak bergantung lintasan, sehingga F, adalah gaya konservatif. Jikapersamaan di atas dibagi dengan Q, maka diperoleh:

v(b) -v(o):Y 6.4u

Perbedaan potensial antara titik a dan b adalah usaha/kerja yang dilakukan per satuanmuatan untuk memindahkan sebuah muatan dari titik a dan b. Pada titik jauh tak terhinggadiperoleh 1,Y = QV(P).

'sama seperti kasus mengangkat benda, grafitasi mengalami gaya sebesar Fn=mg (ke bawah), dankita melakukan gaya sebesar F=mg (ke atas).

6.3

6.2. Energi Oleh Distribusi Muatan TitikBerapakah kerja yang dilakukan untuk mengumpulkan muatan-muatan titik? Kita mulai daridua muatan titik q,1 dan q2 daritempat tak hingga ke titik P adalah

tlt

Gambar 6.2. Muatan qz (yang ditempatkan pada titik P) berjarak rp dari muatan qr .Wz: \zYt (tidak ada kerja yang dilakukan untuk membawa q1 selama tidak ada medanuntuk melawannya, maka dalam hal iniWr=0).Energi potensial listrik statik U dari suatu muatan titik sangat terkait dengan potensial listrikstatik V pada posisi muatan titik tadi.Jika potensial pada qr adalah:

u,=*# 65Maka Energi Potensial U12 dapat dirumuskan sebagai:

l\rz = w, : -1 q'qz = ezvr,sebab Qtvr =0 6.6' 4nes rnJika muatan qr dan Qz sejenis maka kerja positif dilakukan untuk mengatasi gaya tolakelektrostatik, sehingga energi potensial sistem adalah positif, Ue > 0, tapi jika muatanberbeda jenis, maka U,,

Kerja pada muatan ketiga adalah:ws=Qz(vr+v2)=he.?)

Dengan demikian Energi Potensial konfigurasinya/kerja total adalah:

u = wz * wz = *(T.W.T) = un I uB + rr23

NN

,=*ZET=j>L

Persamaan di atas menyatakan bahwa Energi Potensial Total adalah penjumlahanpasangan-pasangan muatan yang berbeda.Jika digeneralisasikan dalam sistem muatan N, akan diperoleh:

,,_ t *$q,q,t,

-

-

" - 4nEshh ,,tj>t

Dimana j > 1 menghindari perhitungan pasangan dua kali.Namun cara di atas dapat juga dihitung dengan cara yangdua kalitapi membaginya dengan 2, sehingga diperoleh:

lain, yaitu menghitung pasangan

6.8

6.9

67

6.10N1s^

2 Ln'i=L

N

=;>,qrv(rt)i=L

Jika muatan-muatan titik dihimpun dalam bahan dielektrik, maka energinya sama denganpersamaan diatas, hanya dalam potensial es diganti dengan e (permitivitas bahan dielektrik).

Lisfrik Magnet llEnergi Elektrostatik Hal3

Contoh:1. Tiga muatan ditempatkan pada sudut bujursangkar (sisi: S) seperti gambar.

-qo 5

-o10, cl-1.l ItttJ =q'!+qs-q

a) Berapakah kerja yang dilakukan untuk membawa muatan yang lain +q, dari suatutempat yang jauh dan menempatkannya pada sudut yangke 4?

b) Berapakah W,o,"'?Penyelesaian:a) Misalkan kerja yang dilakukan = W+

MakaWo=qVoV*:Yr+V2+V3

31 s-91= 1 (3L*3u*!')ur = onrrA.,i = +".r\* * ,^' ,ro)31 s--Qr_ 1 (Qt*9*(l1)u- : nn^!" : n* (;* fn' ,rol

u*=#(-:.#-:)rr- 1(-2q-a\'a-4neo\ s 'trl-z)u-:#:(-'.h)

b) Wtotal=WrfWr+%+W4Wr=0

wz=ezY,=#( {) -wz=#(*)w: = qs(v1 + v2) = :- eL* 9)4rreo \rr3 rzz)W,: Q, /aL*92\ -q/q 'q\- 4rrro \sVz ; ) : +"r" (r../z ";l

02 t I 1r s2 t't \*' = #r. (ro * ;J = 4"r, (.vz - tJ

Listrik Magnet l/Energi Elektrostatik Hal 4

Wn=q+(Vr+v2+v3)w+=*q(#*.h*-rh*)w-:#(+.#-:)*-=ffi(-'*#-,) =*(-.#)Wr= Wr+Wz+W3+W4

*,=#r,(-r* #-r-r. #)*,=#i(-n* #)=# (-,.+)

Listrik Magnet 1/Energi Elektrostatik Hal 5

6.3 Energi oleh Distribusi Muatan KontinuJika p adalah rapat muatan volum, maka energi/kerja yang dilakukan untuk mengumpulkandistribusi muatan kontinu adalah:

w =+ [ ,uo, 6.11Persamaan dalam rapat muatan garis Oan OiOang masing-masing adalah:

7 t 6.12w =ZJlvdt

lfw = 1) ovda 6.13

dimana V adalah potensial skalar listrik.

6.3.A Perumusan W dalam EAda bentuk lain perumusan W dalam medan listrik. Untuk menurunkan persamaan ini dapatdilakukan melalui penyederhanaan perumusan W (persamaan 6.11) dengan bantuan hukumGauss, sebagai berikut:Dari hukum Gauss:

v.E=9,p:eov.E o.i4t6sehingga persamaan 6.11 dapat dituliskan menjadi:

Lfw :1J ovdt7r

w=il'o(v.E)var2Jv. (Ev)=(v.E)v+E. 1vv1, karena W=-E, maka

v.(Ev) = (v.Ev) + E.(-E) = v.Ev + E2w =71[t, tnlo, + { r'a,l

Dariteorema Divergensi suku pertama pada ruas kanan dapat dituliskan dengan:

/{o.r)o'= f v.dr 615vol permukaan

dan

*: ?(,",Jn,".vE dr. / "*) 6.16Listrik Magnet 1/Energi Elektrostatik Hal6

wtot = [ {rr' + Erz + zrr.er)drwtot = I G^rr' +|roer' + EozEL.Er)a.

wtot = w1 + w, * r" f Er,E, d.Jika muatan dua kali lipat, maka energi total menjadi empat kali lipat, namun perumusandi atas dapat diuraikan sebagai:

wtot=?[r'd.=?U,r^**[)rt,o.l 618

Listrik Magnet llEnergi Elekrrostatik Hal B

Contoh:Tentukanlah energi dari muatan total uniform q pada sebuah kulit bola dengan jari-jari RPenyelesaian:Cara 1

w =! [ ovdA2Jt,

-

q ,V :

=-'-'----=: konstanUtesR

w=;(#"-) ["ae:ffirn,W: Q,

BresR

Cara2. Menggunakan persaman 6.18

6.18

muatan hanya

/Ztr\\9

PR

Tentukan energi yang dibutuhkan untuk membentuk sebuah muatan bola uniform denganjari-jari b dan rapat volume muatan pCara l. 41,Y : QdVCara ll. w =)[ pvarCara lil. w =+ IE2 dr

wtot=7lr'0.=?[1..dimana:

a. pada rR)_ q _q ^ ^1 qz 74Treo rir ' n' : ,nn^yV

sehingga

wtot = 7 [ r, o, :}U,._rro, * [,,_ri,oiw =! t&i(rzsinodrdodQ)

*=7#l!#=T#*fy-!{=R

\I

I

1q'Brreo R

Listrik Magnet 1/Energi Elektrostatik Hal9