PENGUJIAN HIPOTESIS BEDA TIGA RATA-RATA ATAU LEBIHradiasari.lecture.ub.ac.id/files/2014/10/4-ANOVA.pdf · 2014-10-08 · Alat uji statistik yang digunakan untuk menguji apakah k populasi

PENGUJIAN HIPOTESIS BEDA TIGA RATA-RATA ATAU LEBIH

Statistik Industri II

Teknik Industri Universitas Brawijaya

Pengujian Hipotesis 3 rata-rata atau lebih

Dengan teknik ANOVA (Analisis Varians)

Pengujian hipotesis 1 arah

Pengujian hipotesis 2 arah

Tanpa interaksi

Dengan interaksi

ANALISIS VARIANSI SEARAHAlat uji statistik yang digunakan untuk menguji apakah k populasiyang independen mempunyai rata-rata yang berbeda atau tidak

Menguji homogenitas nilai rata-rata k buah sampelrandom dari populasi yang berdistribusi normal danhomogen

22

2

2

1 ... k

Terdapat : 1 variabel tak bebas (dependen) dengan skala

interval atau ratio level Faktor (k buah perlakuan) 1 variabel bebas (independen) dengan skala nominal

atau ordinal Faktor

Hipotesis ANOVA 1 Arah

•

– Seluruh mean populasi adalah sama

– Tak ada efek treatment (tak ada keragaman mean dalam

grup)

•

– Minimal ada 1 mean populasi yang berbeda

– Terdapat sebuah efek treatment

– Tidak seluruh mean populasi berbeda (beberapa pasang

mungkin sama)

k3210 μμμμ:H

samaadalahpopulasimeanseluruhidakH A T:

ANOVA 1 Faktor

Semua mean bernilai sama

Hipotesis nol adalah benar

(Tak ada efek treatment)

k3210 μμμμ:H

sama μ T:H iA seluruhidak

321 μμμ

ANOVA 1 Arah

Minimal ada 1 mean yg berbeda

Hipotesis nol tidak benar

(Terdapat efek treatment)

k3210 μμμμ:H

sama μ T:H iA semuaidak

321 μμμ 321 μμμ

or

(sambungan)


dengan satu faktor yang berpengaruh

Langkah-langkah:

1. Menentukan formulasi hipotesis

H0 : 1 = 2 = 3 = ... = k

H1 : 1 ≠ 2 ≠ 3 ≠ ... ≠ k


Langkah-langkah:

2. Menentukan taraf nyata () beserta F tabel

Derajat pembilang (1) = k - 1

Derajat penyebut (2) = k (n- 1)

3. Menentukan kriteria pengujian

Fα (1 ;2)= ...

H0 diterima jika F0 ≤ Fα(1 ;2)

H0 ditolak jika F0 > Fα(1 ;2)0

Reject H0Do not reject H0

Daerah kritis

penolakan H0

Daerah

penerimaan H0


Langkah-langkah:

4. Membuat analisis varians dalam bentuk tabel ANOVA

Sumber Variasi

Derajat bebas

Jumlah Kuadrat

Rata-rata kuadrat Fhit

Rata-rata

kolom

Eror

)1( k

k 1n

JKK

JKE

s12 =

)1( k

JKK

s22 =

)( kn

JKE

s12/s2

2

Total 1nk JKT


Langkah-langkah:


nk

TxJKT ij

n

j

k

i

...2

11

JKE = JKT - JKK k = kolom, n = baris

Untuk ukuran sampel yang sama banyak


Langkah-langkah:


N

TxJKT ij

n

j

k

i

...2

11

JKE = JKT - JKK Derajat bebas error = N – kN = jumlah sampel

Untuk ukuran sampel yang tidak sama banyak

N

TiTJKK

k

i

...2

1

2

ni


Langkah-langkah:

5. Membuat kesimpulan

Menyimpulkan H0 diterima atau ditolak

langkah ke-4 VS langkah ke-3

ContohAkan diuji apakah rata-rata jumlah produk yang dihasilkan perminggu dari 3 buah stasiun kerja manual yang paralel adalah homogen?

1. Diambil sampel random dari pengamatan 6 minggu untuk setiap stasiun kerja

Var independen : produk yg dihasilkan perminggu (ratio)

Var dependen : stasiun kerja (nominal)Minggu

keStasiun kerja 1

(unit)Stasiun kerja

2 (unit)Stasiun kerja

3 (unit)

1 76 72 71

2 63 63 54

3 66 65 62

4 83 78 76

5 74 69 65

6 53 49 50

Hasil pengamatan :

Penyelesaian:

kH ...: 210 Rata-rata perlakuan homogen (tidak ada pengaruh perlakukan atau tidak ada pengaruh variabel bebas terhadap variabel tak bebas)

H1 : tidak semua sama i

Rata-rata perlakuan tidak homogen ( ada pengaruh perlakukan)Tingkat signifikansi uji : α %

)1(

)1(

nkJKE

kJKK

dbJKE

dbJKKFhitung

Statistik uji yang digunakan :

~ F (k-1);k(n-1)

Daerah kritis:

Fhitung > F α;(k-1);k(n-1)

ANALISIS VARIANSI SEARAHTabel Analisis Variansi ANOVA (Analysis of Variance)

Sumber Variasi

Derajat bebas

Jumlah Kuadrat

Rata-rata kuadrat Fhit

Rata-rata

kolom

Eror

)1( k

k 1n

JKK

JKE

s12 =

)1( k

JKK

s22 =

)( kn

JKE

s12/s2

2

Total 1nk JKT

CONTOH 1Minggu ke Stasiun kerja I Stasiun kerja II Stasiun kerja III Total

1 76 72 71

2 63 63 54

3 66 65 62

4 83 78 76

5 74 69 65

6 53 49 50

Jumlah (Xi) 415 396 378 1189 = T

k

i

n

j

ij

i

x1 1

280201

n = 6 k = 3

= 762 + 632+ ... + 502

944,1660056,78540802011 1

22

k

i

n

j

ij

i

nk

TXJKT

(1189)2 / 18𝑇2

𝑛𝑘=

CONTOH 1111,114056,78540

6

378396415 222

JKK

833,1546111,114944,1660 JKKJKTJKE

SUMBER VARIASI db Jumlah kuadrat

(JK)

Rata-rata kuadrat / kuadrat tengah

Fhitung

Kelas/perlakuan

F = 0,55JKK 3-1=2 114,111 s1

2 = 57,055

JKE 3(6-1)= 15 1546,833 s22 = 103,122

TOTAL 18-1= 17 1660,944

CONTOH 1

• Tingkat signifikansi uji : α = 5 %• Statistik uji yang digunakan Fhitung ~ F2;15

• Daerah kritis : Jika Fhitung > F0,05;(2;15)=3,682

• Kesimpulan : Karena Fhitung = 0,55 < F0,05;(2;15)=3,682maka Ho diterima rata-rata jumlah produk yangdihasilkan ketiga stasiun tiap minggunya homogen(sama) atau tidak ada pengaruh jenis stasiun kerjaterhadap jumlah produksi perminggu

ANOVA – 1 Arah dengan MS ExcelContoh 1

EXCEL: tools / data analysis / ANOVA: single factor

19

ANOVA – 1 arah Excel OutputContoh 1

20

Anova: Single Factor

SUMMARY

Groups Count Sum Average Variance

Column 1 6 415 69.16667 114.1667

Column 2 6 396 66 97.6

Column 3 6 378 63 97.6

ANOVA

Source of Variation SS df MS F P-value F crit

Between Groups 114.1111 2 57.05556 0.553281 0.586358 3.68232

Within Groups 1546.833 15 103.1222

Total 1660.944 17

CONTOH 2

Operator A

Operator B

Operator C

Operator D

62 63 68 56

60 67 66 62

63 71 71 60

59 64 67 61

65 68 63

69 68 64

63

59

Untuk menguji apakah operator yang berbeda akan mempengaruhi waktu proses (dalam menit) untuk membuat suatu komponen produk, dilakukan pengamatan terhadap 4 orang operator (A, B, C, D) yang diamati dalam waktu yang bersamaan. Hasil pengamatannya. Berikut hasil pengamatannya :

Waktu proses (dalam menit)

Tingkat signifikansi uji : α = 5 %

Penyelesaian:

DCBAH :0

Rata-rata waktu proses keempat operator sama atau tidak ada pengaruh operator terhadap waktu proses

H1 : tidak semua sama

Rata-rata waktu proses keempat operator tidak semua sama atau ada pengaruh operator terhadap waktu proses

• Tingkat signifikansi uji : α = 5 %• Statistik uji yang digunakan Fhitung ~ F3;20

• Daerah kritis : Jika Fhitung > F0,05;(3;20)=3,099

N-k

CONTOH 2Operator

AOperator

BOperator

COperator

D

62 63 68 56

60 67 66 62

63 71 71 60

59 64 67 61

65 68 63

69 68 64

63

59

ni 4 6 6 8 N = 24

Xi 244 399 408 488 T = 1539

Xi 61 66,5 68 61

Tingkat signifikansi uji : α = 5 %

k

i

n

j

ij

i

X1 1

299049

625,36038,98688990491 1

22

k

i

n

j

ij

i

N

TXJKT

125,24138,986888

488

6

408

6

399

4

244 2222

JKK

5,119125,241625,360 JKKJKTJKE

SUMBER VARIASI db Jumlah kuadrat (JK)

Rata-rata kuadrat / kuadrat tengah

Fhitung

Kelas/perlakuan

13,452JKK k-1= 3 241,125 s1

2 = 80,375

JKE N-k= 20 119,5 s22= 5,975

TOTAL 23 360,625

Tabel Anova

CONTOH 2

• Kesimpulan : Karena Fhitung = 13,452 > F0,05;(3;20)=3,099• maka Ho ditolak

rata-rata waktu proses keempat operator tidak semuasama atau ada pengaruh operator terhadap waktuproses


EXCEL: tools / data analysis / ANOVA: single factor

26


27

Anova: Single Factor

SUMMARY

Groups Count Sum Average Variance

Column 1 4 244 61 3.333333

Column 2 6 399 66.5 9.5

Column 3 6 408 68 2.8

Column 4 8 488 61 6.857143

ANOVA


Between Groups 241.125 3 80.375 13.45188 4.94E-05 3.098391

Within Groups 119.5 20 5.975

Total 360.625 23

KEKUATAN HUBUNGAN ANTARA VARIABEL BEBAS DAN TAK BEBAS

Kekuatan hubungan / asosiasi antara variabel x (perlakuan) dengan variabel y dalam sampel dinyatakan dalam ρ = JKK/JKT

(ρ/100)% variasi yang terjasi dalam variabel y dari data sampel disebabkan oleh pengaruh variabel x (perlakuan)

Contoh : untuk contoh 1 (sebelumnya)

%87,60687,0944,1660

111,114

JKT

JKK

Hipotesis ANOVA Dua Arah tanpa interaksi

Pengujian hipotesis beda tiga rata-rata atau lebih dengan 2 faktor yang berpengaruh

Interaksi ditiadakan

Langkah-langkah:


a. H0 : 1 = 2 = 3 = ... = 0 (pengaruh baris nol)

H1 : sekurang-kurangnya satu i tidak sama dengan nol

b. H0 : 1 = 2 = 3 = ... = 0 (pengaruh kolom nol)

H1 : sekurang-kurangnya satu j tidak sama dengan nol



Langkah-langkah:


a. Untuk baris: (1) = b – 1 (2) = (k-1)(b-1)

b. Untuk kolom: (1) = k – 1 (2) = (k-1)(b-1)


Fα (1 ;2)= ...


H0 ditolak jika F0 > Fα(1 ;2)0

Reject H0Do not reject H0

Daerah kritis

penolakan H0

Daerah

penerimaan H0


Langkah-langkah:



Langkah-langkah:



kb

TxJKT ij

n

j

k

i

...2

11

JKE = JKT - JKB - JKK

∑ =-++

=-==

k

1j

22222j

11,11406,785406

378396415

kb

T

b

TJKK

CONTOH 3. ANALISIS VARIANSI DUA ARAH

Dari contoh 1 apabila minggu yang berbeda dicurigai akanmemberi jumlah atau hasil produksi yang berbeda uniteksperimen dalam tiap stasiun kerja dibagi dalam minggu

Minggu ke Stasiun kerja I

Stasiun kerja II

Stasiun kerja III

Total

1 76 72 71 219

2 63 63 54 180

3 66 65 62 193

4 83 78 76 237

5 74 69 65 208

6 53 49 50 152

Jumlah (Xi) 415 396 378 1189 = Y


k

i

n

j

ij

i

x1 1

280201 N = 18

06,7854018

118922

kb

T

k

i

n

j

ij

i

kb

TxJKT

1 1

22

94,166006,7854080201

k

j kb

T

b

jTJKK

1

22222

11,11406,785406

378396415.

3210 : H Rata-rata jumlah produk yang dihasilkan perminggu homogen

H1 : tidak semua sama Tidak homogen

• Tingkat signifikansi uji : α = 5 %• Daerah kritis : Jika Fhitung > F0,05;(2;10)=4,103

UJI HIPOTESIS

94,150806,785403

152208237193180219

1

22222222

b

i

i

kb

T

k

TJKB

89,3711,11494,150894,1660 JKKJKBJKTJKE


SUMBER VARIASI

db Jumlah kuadrat

(JK)

KT Fhitung

- Rata-rata baris 2 114,11 57,055 f1= 15,058

f2= 79,4- Rata-rata kolom 5 1508,94 301,788

- Kesalahan / error 10 37,89 3,789

TOTAL 17 1660,944

CONTOH 3• Kesimpulan : Karena Fhitung = 15,06 >

F0,05;(2;10)= 4,103 maka Ho ditolak rata-rata jumlah produk yang dihasilkan ketigastasiun kerja tiap minggunya tidak homogen(tidak sama)

• Kesimpulan : Karena Fhitung = 79,44 >F0,05;(5;10)= 3,326 maka Ho ditolak rata-rata jumlah produk yang dihasilkan ketigastasiun kerja tiap minggunya tidak homogen(tidak sama)


EXCEL: tools / data analysis / ANOVA: two factor without replication

38


39

Anova: Two-Factor Without Replication

SUMMARY Count Sum Average Variance

Row 1 3 219 73 7

Row 2 3 180 60 27

Row 3 3 193 64.33333 4.333333

Row 4 3 237 79 13

Row 5 3 208 69.33333 20.33333

Row 6 3 152 50.66667 4.333333

Column 1 6 415 69.16667 114.1667

Column 2 6 396 66 97.6

Column 3 6 378 63 97.6

ANOVA


Rows 1508.944 5 301.7889 79.65103 1E-07 3.325835

Columns 114.1111 2 57.05556 15.05865 0.000962 4.102821

Error 37.88889 10 3.788889

Total 1660.944 17

Hipotesis ANOVA Dua Arahdengan interaksi

Pengujian hipotesis beda tiga rata-rata atau lebih dengan 2 faktor yang berpengaruh

Pengaruh interaksi kedua faktor tersebut diperhitungkan

Langkah-langkah:


a. H0 : 1 = 2 = 3 = ... = b = 0

H1 : sekurang-kurangnya satu i tidak sama dengan nol

b. H0 : 1 = 2 = 3 = ... = b = 0

H1 : sekurang-kurangnya satu j tidak sama dengan nol

c. H0 : ()11 = ()12 = ()13 = ... = ()bk = 0

H1 : sekurang-kurangnya satu ()ij tidak sama dengan nol

Hipotesis ANOVA Dua Arah dengan interaksi


Langkah-langkah:


a. Untuk baris: (1) = b – 1 (2) = (kb)(n-1)

b. Untuk kolom: (1) = k – 1 (2) = (kb)(n-1)

c. Untuk interaksi: (1) = (k – 1)(b-1) (2) = (kb)(n-1)

Fα (1 ;2)= ...


Langkah-langkah:


a. Untuk baris, kolom dan untuk interaksi


H0 ditolak jika F0 > Fα(1 ;2)

0Reject H0Do not

reject H0

Daerah kritis

penolakan H0

Daerah

penerimaan H0


Langkah-langkah:



Langkah-langkah:



bkn

TxJKT

n

c

ijc

k

j

b

i

...2

1

2

11

JKE = JKT - JKB - JKK - JKI

n = ulangan percobaan

CONTOH 4. ANALISIS VARIANSI DUA ARAH DGN INTERAKSI

• Empat varietas padi hendak dibandingkan hasilnya dengan memberikan pupuk. Percobaan dilakukan dengan menggunakan 8 petak yang seragam, masing-masing di 4 lokasi yang berbeda. Di setiap lokasi, dicobakan pada 2 petak yang ditentukan secara acak. Hasilnya (dalam kg) per petak adalah sbb:

Tabel hubungan antara jenis pupuk, varietas padi dan hasil panen

penyelesaian

penyelesaian

penyelesaian

penyelesaian

penyelesaian

PENGUJIAN HIPOTESIS BEDA TIGA RATA-RATA ATAU LEBIHradiasari.lecture.ub.ac.id/files/2014/10/4-ANOVA.pdf · 2014-10-08 · Alat uji statistik yang digunakan untuk menguji apakah k populasi

Documents

PENGUJIAN HIPOTESIS BEDA TIGA RATA-RATA ATAU LEBIHradiasari.lecture.ub.ac.id/files/2014/10/4-ANOVA.pdf · 2014-10-08 · Alat uji statistik yang digunakan untuk menguji apakah k populasi