LIMIT DAN KONTINUITASArum Handini Primandari
■ Jika sebuah fungsi yang terdefinisi pada suatu selang bukayang memuat a, kecuali di a sendiri, maka kita katakan bahwalimit f(x) untuk x mendekati a adalah L, dapat ditulis:
Jika untuk setiap bilangan ε>0 terdapat δ>0 sedemikiansehingga |f(x)-L|<ε bila |x-a|<δ
lim ( )
x af x L
■ Limit kanan:
Mengatakan bahwa: lim𝑥→𝑐+
𝑓 𝑥 = 𝐿 berarti bahwa bilamana x
dekat dekat dari kanan c, maka f(x) dekat dengan L.
■ Limit kiri:
Mengatakan bahwa: lim𝑥→𝑐−
𝑓 𝑥 = 𝐿 berarti bahwa bilamana x
dekat dekat dari kiri c, maka f(x) dekat dengan L.
Teorema A:
lim𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝐿 ⇔ lim𝑥→𝑐−
𝑓(𝑥) = 𝐿 dan lim𝑥→𝑐+
𝑓(𝑥) = 𝐿
Suatu fungsi dikatakan memiliki limit jika dan hanya jika nilai dari
limit kanan sama dengan nilai dari limit kiri.
Tentukan nilai dari lim𝑥→2
𝑥3−8
𝑥−2
Penyelesaian:
x f(x)
1.7 10.29
1.8 10.84
1.9 11.41
1.99 11.9401
1.999 11.994001
2 tak terdefinisi
2.001 12.006001
2.01 12.0601
2.1 12.61
2.2 13.24
2.3 13.89
Limit dari
kiri
Limit dari
kanan
lim𝑥→2−
𝑥3−8
𝑥−2= 12 dan lim
𝑥→2+
𝑥3−8
𝑥−2= 12
Oleh karena limit kanan dan kirinya sama, maka
fungsi tersebut memiliki limit.
Diberikan 𝑓 𝑥 =𝑥
𝑥
Fungsi 𝑓(𝑥) memiliki dua nilai yaitu:
𝑓 𝑥 = ቊ−1, 𝑥 < 01, 𝑥 > 0
Tentukan lim𝑥→0
𝑓(𝑥)
Penyelesaian:
lim𝑥→0−
𝑓 𝑥 = −1, tetapi lim𝑥→0+
𝑓 𝑥 = 1
Sehingga dikatakan 𝑓(𝑥) tidak memiliki limit ketika 𝑥 mendekati 0
■ Untuk sebarang konstanta k, maka:
1. lim𝑥→𝑐
𝑘 = 𝑘
– Limit dari suatu konstanta adalah konstanta itu sendiri
2. lim𝑥→𝑐
𝑥 = 𝑐
– Limit dari 𝑓 𝑥 = 𝑥 ketika 𝑥 mendekati 𝑐 adalah 𝑐
■ Jika 𝑝(𝑥) dan 𝑞(𝑥) adalah polinomial, maka:
– lim𝑥→𝑐
𝑝(𝑥) = 𝑝(𝑐)
– lim𝑥→𝑐
𝑝 𝑥
𝑞 𝑥=
𝑝 𝑐
𝑞 𝑐, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑞(𝑐) ≠ 0
■ Contoh:
1. lim𝑥→1
𝑥2−1
𝑥2−3𝑥+2
■ Penyelesaian:
lim𝑥→1
𝑥2 − 1
𝑥2 − 3𝑥 + 2= lim
𝑥→1
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)= lim
𝑥→1
𝑥 + 1
𝑥 − 2= −2
2. lim𝑥→1
𝑥−1
𝑥−1
■ Penyelesaian:
lim𝑥→1
𝑥 − 1
𝑥 − 1= lim
𝑥→1
( 𝑥 − 1)( 𝑥 + 1)
(𝑥 − 1)( 𝑥 + 1)= lim
𝑥→1
𝑥 − 1
(𝑥 − 1)( 𝑥 + 1)= lim
𝑥→1
1
𝑥 + 1=1
2
1. lim𝑥→0
𝑥 𝑥2−1
𝑥2
2. lim𝑥→−2
𝑥2−𝑥−6
𝑥2+3𝑥+2
3. lim𝑥→4
𝑥−2
𝑥−4
■ Jika nilai dari fungsi 𝑓(𝑥) mendekati suatu bilangan 𝐿 ketika 𝑥 naik tanpa suatubatasan, maka dapat dituliskan:
1. lim𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 𝐿, sama halnya dengan
2. lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = 𝑀
■ Reciprocal Power Rules (Aturan Pangkat Berbanding Terbalik)
– Jika 𝐴 dan 𝑘 adalah konstanta dengan 𝑘 > 0 dan 𝑥𝑘 berlaku untuk semua 𝑥, maka:
■ lim𝑥→+∞
𝐴
𝑥𝑘= 0
■ lim𝑥→−∞
𝐴
𝑥𝑘= 0
■ Menyelesaikan limit mendekati tak hingga dimana 𝑓 𝑥 =𝑝 𝑥
𝑞 𝑥
1. Bagilah baik pembilang maupun penyebut dengan pangkat tertinggi dari 𝑥𝑘 yang muncul pada penyebut polinomial 𝑞(𝑥)
2. Hitung lim𝑥→∞
𝑓(𝑥) menggunakan sifat aljabar limit dan reciprocal power rules
■ Tentukan nilai lim𝑥→+∞
2𝑥2+3𝑥+1
3𝑥2−5𝑥+2
Penyelesaian:
Pangkat tertinggi dari penyebut adalah 𝑥2, maka bagi pembilang dan penyebut dengan 𝑥2
untuk mendapatkan:
lim𝑥→+∞
2𝑥2 + 3𝑥 + 1
3𝑥2 − 5𝑥 + 2= lim
𝑥→+∞
2 +3𝑥+
1𝑥2
3 −5𝑥+
2𝑥2
=2 + 0 + 0
3 − 0 + 0=2
3
■ Suatu limit lim𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) disebut limit tak hingga jika 𝑓(𝑥) naik atau turun tanpa adanya
batas 𝑥 → 𝑐, dapat ditulis:
– lim𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = +∞
Jika 𝑓(𝑥) naik tanpa batasan seperti 𝑥 → 𝑐
– lim𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = −∞
Jika 𝑓(𝑥) turun tanpa batasan seperti 𝑥 → 𝑐
■ Tentukan lim𝑥→+∞
−𝑥3+2𝑥+1
𝑥−3
Penyelesaian:
Pangkat tertinggi dari penyebut adalah 𝑥, sehingga baik pembilang maupun penyebutdibagi oleh 𝑥,
lim𝑥→+∞
−𝑥3 + 2𝑥 + 1
𝑥 − 3= lim
𝑥→+∞
−𝑥3
𝑥+2𝑥𝑥+1𝑥
𝑥𝑥−3𝑥
= lim𝑥→+∞
−𝑥2 + 2 +1𝑥
1 −3𝑥
= −∞
1. lim𝑥→∞
1−3𝑥3
2𝑥3−6𝑥+2
2. lim𝑥→∞
𝑥2+𝑥−5
1−2𝑥−𝑥3
3. lim𝑥→∞
𝑥2−7𝑥5
1−2𝑥+3𝑥3
4. Diketahui fungsi 𝑓 𝑥 = ቐ1 − 𝑥2, 𝑥 < 1
1
𝑥−1, 𝑥 > 1
Tentukan:
a. lim𝑥→1
𝑓(𝑥)
b. lim𝑥→1.5
𝑓(𝑥)
5. PENDAPATAN PER KAPITA:
Suatu studi mengindikasikan bahwa t tahun dari
sekarang, populasi dari negara tertentu akan
menjadi 𝑝 = 0.2𝑡 + 1500 ribu orang. Sedemikian
sehingga pendapatan kotor negara dalam E juta
dollar, akan menjadi:
𝐸 𝑡 = 9𝑡2 + 0.5𝑡 + 179
a) Ekspresikan pendapatan per kapita dari
negara tersebut 𝑃 = 𝐸/𝑝 sebagai suatu fungsi
terhadap waktu t.
b) Apa yang terjadi pada pendapatan per kapita
dalam jangka waktu sangat panjang? (𝑡 → ∞)
6. KONSENTRASI OBAT:
Konsentrasi obat di aliran darah seorang pasien
setelah t jam dari suntikan adalah C(t) milligram per
millimeter:
𝐶 𝑡 =0.4
𝑡1.2 + 1+ 0.013
a) Berapakah konsentrasi obat tepat setelah
suntikan? (𝑡 = 0)b) Berapa banyak konsentrasi berubah selama jam
ke-5? Apakah naik atau turun selama periode
waktu tersebut?
c) Berapa banyak residual obat, dimana konsentrasi
obat tersisa dalam jangka waktu sangat lama?
(𝑡 → ∞)
KONTINUITAS
Suatu fungsi 𝑓 kontinu di 𝑐 jika tiga dari kondisi berikut terpenuhi:
1. 𝑓(𝑐) terdefinisi
2. lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 ada
3. lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑐)
Jika 𝑓(𝑥) tidak kontinu di 𝑐, maka dikatakan 𝑓(𝑥) memiliki diskontinuitas di 𝑐.
■ Tunjukkan bahwa 𝑓 𝑥 =𝑥+1
𝑥−2kontinu di 𝑥 = 3
■ Periksa kontinuitas dari:
a) 𝑓 𝑥 =1
𝑥
b) 𝑓 𝑥 =𝑥2−1
𝑥+1
c) 𝑓 𝑥 = ቊ𝑥 + 1,2 − 𝑥,
𝑥 < 1𝑥 ≥ 1
■ Tentukan apakah fungsi berikut kontinu di titik yang diberikan:
1. 𝑓 𝑥 =2𝑥−4
3𝑥−2, di 𝑥 = 2
2. 𝑓 𝑥 =𝑥−2
𝑥−4, di 𝑥 = 4
3. 𝑓 𝑥 = ቊ𝑥2 + 1,2𝑥 + 4,
𝑥 ≤ 3𝑥 > 3
di 𝑥 = 3
4. CUACA
Misalkan tempereatur udara pada hari tertentu
adalah 30℉. Kemudian, temperature yang
diakibatkan oleh angin (dalam ℉) dengan
kecepatan 𝑣 mph, diberikan dengan rumus berikut:
𝑊 𝑣 = ቐ30
1.25𝑣 − 18.67 𝑣 + 62.3−7
𝑢𝑛𝑘 0 ≤ 𝑣 ≤ 4𝑢𝑛𝑘 4 < 𝑣 < 45𝑢𝑛𝑘 𝑣 ≥ 45
a. Berapakah temperature yang diakibatkan angin
dengan 𝑣 = 20 𝑚𝑝ℎ? Ketika 𝑣 = 50 𝑚𝑝ℎ?b. Berapakah kecepatan yang dihasilkan oleh
angin dengan temperature 0℉?
c. Apakah fungsi 𝑊(𝑣) kontinu di 𝑣 = 4?
Bagaimana dengan 𝑣 = 45?
5.
6. Tentukan nilai limit
a) lim𝑥→3+
𝑥+1−2
𝑥−3
b) lim𝑥→1−
𝑓(𝑥) dan lim𝑥→1+
𝑓(𝑥)
Dimana 𝑓 𝑥 = ቐ1
𝑥−1, 𝑥 < −1
𝑥2 + 2𝑥, 𝑥 ≥ −1
LIMIT TRIGONOMETRI
1. lim𝑥→𝑐
sin 𝑥 = sin 𝑐 dan lim𝑥→𝑐
cos 𝑥 = cos 𝑐
2. lim𝑥→0
sin 𝑥
𝑥= 1 dan lim
𝑥→0
1−cos 𝑥
𝑥= 0
3. lim𝑥→0
sin 𝑎𝑥
𝑎𝑥= 1 dan lim
𝑥→0
1−cos 𝑎𝑥
𝑎𝑥= 0 untuk 𝑎 ≠ 0
■ sin2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1
■sin 𝑥
cos 𝑥= tan𝑥
■ tan2 𝑥 + 1 = sec2 𝑥
Aturan kuadran
■ sin1
2𝜋 − θ = cos 𝜃
■ sin −𝜃 = −sin 𝜃
■ cos −𝜃 = cos 𝜃
1. lim𝑥→0
4𝑥
cot 3𝑥
2. lim𝑥→0
𝑥2−2𝑥
sin 3𝑥
3. lim𝑥→0
1−sec2 2𝑥
𝑥2
4. lim𝑥→
𝜋
2
cos 𝑥
𝑥−1
2𝜋
5. lim𝑥→
𝜋
4
sin𝑥
𝑥
