Bab 4. Usaha Dan Momentum-signed

USAHA DAN ENERGI

KINANTI B.M TT-37-11

USAHA DAN ENERGI

Usaha dalam pengertian di Fisika sebanding dengan gaya

dan perpindahan

Usaha yang dilakukan makin besar jika gaya yang bekerja

pada benda juga besar

Jika gaya yang bekerja pada benda besar namun benda

belum bergerak maka tidak ada usaha

Energi didefinisikan sebagai kemampuan untuk melakukan

usahaBeberapa contoh energi

Energi yang dimiliki oleh benda yang bergerak dinamakan

energi kinetik

Energi yang ada karena letak atau konfigurasi sistem dinamakan

energi potensial

Contoh mobil yang bergerak akan memiliki energi kinetik


Usaha

Usaha disimbolkan dengan lambang W memiliki satuan Interna-

sional Joule [J]

Jika gaya (F) konstan dan berimpit

dengan perpindahan (r) benda maka

WAB=F(r)

Jika gaya (F) konstan dan tidak berimpit

dengan perpindahan (r) benda maka

cos)(. rFrFW

Secara umum jika gaya tidak konstan

dan/atau lintasan tidak membentuk

garis lurus maka

..B

A

AB rdFW

F

A B

F

A B

F

A

B


Contoh

Gaya bekerja pada sebuah partikel. Dengan gaya

tersebut partikel berpindah dari titik A(0,0) ke titik B(2,4). Hitung

usaha yang dilakukan gaya tersebut jika lintasan partikel adalah

NjxiyF ˆ2ˆ

a. Garis patah ACB

b. Garis patah ADB

c. Garis lurus AB

d. Garis parabola

x(m)

y(m)

A

B

C

D

Usaha yang dilakukan gaya tsb

dari A ke B adalah

dyjdxijxiyW

B

A

ABˆˆ.ˆ2ˆ

xdyydxW

B

A

AB 2


a. Melalui lintasan ACB

xdyydxxdyydxWWW

B

C

C

A

CBACAB 22

xdyydxxdyydxWAB 22

)4,2(

)0,2(

)0,2(

)0,0(

Untuk lintasan AC hanya koordinat x yang berubah sementara

y tetap, yaitu y=0 (dy=0), Sedangkan untuk lintasan CB koordinat x

tetap, yaitu x=2 (dx=0) dan koordinat y berubah.

JdyxdyWAB 1642

4

0

)4,2(

)0,2(


b. Melalui lintasan ADB

xdyydxxdyydxWWW

B

D

D

A

DBADAB 22

xdyydxxdyydxWAB 22

)4,2(

)4,0(

)4,0(

)0,0(

Untuk lintasan AD hanya koordinat y yang berubah sementara

x tetap, yaitu x=0 (dx=0), Sedangkan untuk lintasan DB koordinat y

tetap, yaitu y=4 (dy=0) dan koordinat x berubah.

JdyydxWAB 84

2

0

)4,2(

)4,0(


c. Melalui lintasan garis lurus AB

Persamaan garis lurus AB adalah

dxdyxy 22

xdyydxxdyydxW

B

A

AB 22

)4,2(

)0,0(

2

0

2

0

642 xdxxdxxdxWAB

Usaha yang dilakukan melalui garis lurus AB adalah

Ganti variabel y dan dy sesuai dengan persamaan garis AB

sehingga

JWAB 12


c. Melalui lintasan garis parabola AB

Persamaan garis parabola AB adalah

xdxdyxy 22

Usaha yang dilakukan melalui garis lurus AB adalah

xdyydxxdyydxW

B

A

AB 22

)4,2(

)0,0(

Ganti variabel y dan dy sesuai dengan persamaan garis para-

bola AB sehingga

2

0

2

2

0

22 54 dxxdxxxWAB

JWAB 3/40


Usaha Gaya Konservatif dan Non Konservatif

Gaya Konservatif (Fk) adalah gaya yang usahanya tidak ber-

gantung pada lintasan tempuh

Gaya Non Konservatif (Fnk) adalah gaya yang usahanya ber-

gantung pada lintasan tempuh

Gaya pada contoh di atas termasuk gaya non

konservatif karena usaha yang dilakukan gaya ini dari A ke B

melalui tiap lintasan berbeda-beda nilainya

NjxiyF ˆ2ˆ

Untuk Gaya Non Konservatif (Fnk), usaha yang dilakukan gaya

ini pada suatu lintasan tertutup tidak nol,

0.....

2121

B

CA

nk

B

CA

nk

A

CB

nk

B

CA

nknk rdFrdFrdFrdFrdFW

A B

C1

C2


Usaha Gaya Konservatif dan Non Konservatif (2)

Gaya gesekan juga termasuk gaya non konservatif karena gaya gesekan

adalah gaya disipasif yang usahanya selalu negatif (gaya gesekan arahnya

selalu melawan perpindahan) sehingga usahayang dilakukan gaya gesekan

pada suatu lintasan tertutup tidak akan pernah nol

Contoh gaya konservatif adalah gaya gravitasi, gaya pegas, dan gaya

Listrik. Ketiga gaya ini usahanya tidak bergantung lintasan.

Gaya adalah contoh lain gaya konservatif, karena gaya ini

tidak bergantung pada lintasan tempuh. Coba kita masukkan gaya ini pada

contoh sebelumnya.

NjxiyF ˆˆ

B

A

B

A

AB xdyydxdyjdxijxiyW ˆˆ.ˆ2ˆ

)4,2(

)0,0(

)4,2(

)0,0(

8)( JxydxdyydxWAB


Daya

Daya menyatakan seberapa cepat usaha berubah terhadap

waktu atau didefinisikan sebagai laju usaha yang dilakukan

per detik

Contoh :

Daya disimbolkan dengan P memiliki satuan Joule/detik atau

Watt

vFdt

rdF

dt

dWP

..

dengan F adalah gaya yang bekerja dan v adalah kecepatan benda

Sebuah pompa air tertulis 100 Watt artinya dalam satu detik pompa

tersebut memiliki usaha 100 J. Jika dibutuhkan usaha10 KJoule untuk

memompa 100 liter air dari kedalaman 10 m maka pompa tersebut

dapat memompa 100 liter dalam waktu100 detik.


Energi Kinetik

Energi kinetik adalah energi yang dimiliki oleh setiap benda

yang bergerak

Energi kinetik sebanding dengan massa benda dan sebanding

juga dengan kuadrat laju benda

Jika suatu gaya F bekerja pada benda bermassa m maka usaha

yang dilakukan gaya tsb dari A ke B adalah

B

A

AB rdFW

. drdt

vdm

B

A

.

Ingat Hk. Newton F=ma

ABAB

B

A

EkEkmvmvvvmd 2

2

12

2

1.

dengan EkB adalah energi kinetik di B dan EkA energi kinetik di A

Dari persamaan terakhir disimpulkan :

Usaha = Perubahan Energi Kinetik


Contoh

Sebuah benda bermassa 2 kg dilepaskan dari ketinggian 5 m. Berapa

usaha yang dilakukan gaya gravitasi dan berapa laju benda setelah

sampai di tanah?

B

A

mg

h

Usaha gaya gravitasi

B

A

gravAB JmghmgdyWW 100

Mencari kecepatan di tanah (B)

smv

mvmgh

mvmvW

B

B

BBAB

/10

2

21

2

212

21


Pembahasan Usaha dari Grafik

Jika gaya yang bekerja pada benda adalah satu dimensi, dan

gaya tersebut dinyatakan dalam bentuk kurva atau grafik maka

usaha adalah luas daerah di bawah kurva

x

F(x)

A B

B

A

AB dxxFW )(

= luas daerah arsir

Contoh

Gaya yang bekerja pada benda 2kg

digambarkan dalam grafik di samping.

Jika kecepatan awal benda 2 m/s,

berapa kecepatannya setelah 6 detik?

F(N)

X(m)2 4 6

8


Usaha = luas daerah di bawah kurva

mWAB 328168

Usaha = perubahan energi kinetik

smvvmvmvWAB /6)2)(2()2(32 2

212

212

0212

21

Contoh 2

Balok 2 kg meluncur ke kanan dengan

laju 10 m/s pada lantai kasar dengan

μk seperti grafik di samping

x(m)

μk

4 10

0,5

Tentukan :

Usaha yang dilakukan oleh gaya

gesekan dari x=0 sampai x=10 m

Kecepatan balok saat sampai pada titik x=10 m


Besar gaya gesekan adalah

kkkk mgNf 20

Usaha yang dilakukan gaya gesekan adalah

Jkurvadaerahluasx

dxdxfW

x

x

k

x

x

kges

80)31(20)(20

20

10

0

10

0

Usaha=perubahan energi kinetik

2

212

21

2

0212

21

)10)(2()2(80

v

mvmvWges

smv /20

(tanda minus pada usaha yang dilakukan gaya gesekan disebabkan

Karena gaya gesekan berlawanan arah dengan perpindahan balok)

Ada gesekan menyebabkan

kecepatan balok menjadi ber-

kurang (perlambatan)


Energi Potensial

Jika gaya yang bekerja pada benda adalah gaya konservatif

maka usaha yang dilakukan gaya ini tidak bergantung pada

lintasan tempuh, usahanya hanya bergantung pada titik awal

dan titik akhir saja (usahanya hanya bergantung pada posisi)

Oleh karena itu dapat didefinisikan besaran U yang merupakan

fungsi dari posisi

)()(. AUBUrdFW

B

A

kAB

dengan U(B) adalah energi potensial di titik B dan

U(A) adalah energi potensial di titik A

Biasanya dalam pendefinisian energi potensial digunakan titik

acuan, yaitu suatu titik yang diketahui energi potensialnya.


Energi Potensial (2)

Misalnya dalam kasus di atas diambil titik A sebagai acuan, di

mana U(A)=0 maka

)()()(. BUAUBUrdFW

B

Acuan

kAB

Dengan kata lain, untuk sembarang posisi r, energi potensial

di posisi r tersebut adalah

r

Acuan

k rdFrU

.)(

Jadi energi potensial di titik r adalah usaha untuk melawan gaya

Konservatif yang bekerja pada benda agar benda berpindah dari

Titik acuan ke titik r tersebut


Contoh

Energi potensial benda bermassa m yang terletak pada keting-

gian h :

mghdyjjmghU

h

0

ˆ).ˆ()(

Titik acuan diambil di permukaan h=0 dengan energi potensial

sama dengan nol

Energi potensial benda bermassa m yang terletak pada sistem

pegas yang teregang sejauh x :

2

2

1

0

)( kxkxdxxU

x

Titik acuan diambil di x=0, yaitu saat pegas dalam keadaan

Kendur, dengan energi potensial sama dengan nol


Hukum Kekal Energi

Jika gaya yang bekerja pada benda adalah gaya konservatif

maka usaha yang dilakukan gaya ini dari A ke B adalah

)()(. AUBUrdFW

B

A

kAB

Di sisi lain semua usaha yang dilakukan suatu gaya dari A ke B

sama dengan perubahan energi kinetik

AB

B

A

kAB EkEkrdFW

.

Dari dua pernyataan di atas dapatdisimpulkan jika gaya yang

bekerja pada benda adalah gaya konservatif maka

)()( AUBUEkEk AB

)()( BUEkBUEk AB atau


Hukum Kekal Energi (2)

Pernyataan di atas dikenal dengan Hukum Kekal Energi (HKE),

yang arti fisisnya adalah bahwa energi total di titik B sama de-

ngan energi total di titik A (energi di semua titik adalah sama)

)()( BUEkBUEk AB

Energi total di suatu titik adalah jumlah semua energi potensial

pada benda tersebut ditambah energi kinetiknya

)(rUEkE

Jika gaya yang bekerja pada benda adalah gaya gravitasi maka

hukum kekal energi menjadi

AABB mghmvmghmv 2

2

12

2

1

dengan vB dan vA adalah kecepatan di titik B dan A, serta

hB dan hA adalah ketinggian titik B dan A


Contoh 1

Balok 2 kg meluncur pada bidang miring dari titik A tanpa kecepa-

tan awal menuju titik B. Jika bidang miring 37o licin dan jarak AB

adalah 5 m, tentukan :

Usaha yang dilakukan gaya

gravitasi dari A ke B

Kecepatan balok di BA

B

37omg

N

mgsin37

x

hA

Usaha yang dilakukan gaya gravitasi adalah

B

A

B

A

gravgrav JABmgdxmgrdFW 60)5)(6,0)(10)(2()(37sin37sin.


Pada balok hanya bekerja gaya gravitasi yang termasuk gaya

Konservatif sehingga untuk persoalan di atas berlaku Hukum

Kekal Energi

AABB mghmvmghmv 2

2

12

2

1

,)10(200)2( 2

21

AB hv mABhA 337sin)(

smvB /60

Menentukan kecepatan balok di titik B dapat pula dicari dengan

cara dinamika (Bab II), dengan meninjau semua gaya yang bekerja,

kemudian masukkan dalam hukum Newton untuk mencari percepatan,

setelah itu cari kecepatan di B.


Contoh 2

Balok m=2 kg bergerak ke kanan

dengan laju 4 m/s kemudian me-

nabrak pegas dengan konstanta

pegas k.

m

A B C

Jika jarak AB=2m, BC=0,5m dan titik C adalah titik pegas tertekan

maksimum, tentukan

kecepatan balok saat manabrak pegas di B

konstanta pegas k

Penyelesaian :

Gunakan hukum kekal energi untuk titik A sampai B

)()( 2

212

21 AUmvBUmv AB

karena energi potensial di A dan di B tidak ada U(A)=U(B)=0

maka kecepatan di B sama dengan kecepatan balok di A, yaitu

4 m/s


Kecepatan balok di C adalah nol karena di titik C pegas tertekan

maksimum sehingga balok berhenti sesaat sebelum bergerak

kembali ke tempat semula

Gunakan hukum kekal energi untuk titik B sampai C

2

212

212

212

21

BBCC kxmvkxmv

mNk

k

BCk

/128

)4)(2()(

0)4)(2()(0

2

212

21

21

2

212

21


Contoh 3

Benda bermassa m diputar dengan tali sehingga

membentuk lintasan lingkaran vertikal berjejari R

berapa kecepatan awal minimum di titik A

agar m dapat mencapai ¼ lingkaran (titik B)

berapa kecepatan awal minimum di titik A

agar m dapat mencapai satu putaran penuh

Tinjau benda m di titik B, gaya yang bekerja pada m adalah mg dan T

Usaha yang dilakukan T adalah nol karena tegak lurus perpindahan

Penyelesaian

A

B

C

R

mg

T

Gunakan hukum kekal energi di titik A dan B

AABB mghmvmghmv 2

2

12

2

1

00 2

21 AmvmgR gRvA 2


A

B

C

RmgT

Agar m dapat mencapai satu putaran penuh

maka saat m mencapai titik C semua komponen

gaya pada m yang berarah ke pusat lingkaran

harus bertindak sebagai gaya sentripetal, shg

gRm

TRv

R

vmFmgT

C

Csp

2

2

Gunakan Hukum kekal energi di titik A dan C

CCAA mghmvmghmv 2

212

21

RmggRmmvmTR

A 2)(0212

21

gRvmTR

A 52 gRvA 5min (ambil T=0)


Hukum Kekal Energi dalam gaya non konservatif

Jika gaya yang bekerja pada benda adalah gaya konservatif dan gaya

non konservatif maka gaya total

nkk FFF

Usaha yang dilakukan gaya total ini dari A ke B adalah

nkAB

B

A

nk

B

A

kAB

WAUBUW

rdFrdFW

)()(

..

dengan adalah usaha yang dilakukan gaya non konservatif B

A

nknk rdFW

.

Ruas kiri WAB adalah sama dengan perubahan energi kinetik, sehingga

nkAB WAUEkBUEk )()(

Persamaan terakhir ini yang disebut dengan Hukum Kekal Energi

dalam gaya konservatif dan non konservatif


Contoh 1

Balok 2 kg meluncur pada bidang miring dari titik A tanpa kecepa-

tan awal menuju titik B. Jika bidang miring 37o kasar dengan μk=1/2

dan jarak AB adalah 5 m, tentukan :

Usaha yang dilakukan gaya

gesekan dari A ke B

Kecepatan balok di BA

B

37omg

N

mgsin37

x

hA

fk

Usaha yang dilakukan gaya gesekan adalah

B

A

k

B

A

gesges JdxmgmrdFW 30)5)(6,0)(10)(2)(2/1(37cos.

Tanda minus diatas karena gesekan berlawanan arah dengan perpindahan


Gaya gesekan adalah gaya non konservatif sehingga dalam per-

soalan di atas terdapat Wnk

Selain gesekan, pada balok hanya bekerja gaya gravitasi yang

termasuk gaya Konservatif sehingga untuk persoalan di atas berlaku

Hukum Kekal Energi dalam gaya konservatif dan non konservatif

JWW gesnk 30

nkAABB Wmghmvmghmv 2

212

21

,30)10(200)2( 2

21 AB hv mABhA 337sin)(

smvB /30


Contoh 2

B

A37o

F

Balok 0,1 kg didorong pada bidang

miring dengan gaya horisontal F=1 N

di titik A tanpa kecepatan awal. Jika

bidang miring 37o kasar dengan μk=1/2

dan jarak AB adalah 5 m, tentukan :

Usaha yang dilakukan gaya gravitasi sepanjang AB

Usaha yang dilakukan gaya gesekan sepanjang AB

Usaha yang dilakukan gaya F sepanjang AB

Kecepatan balok di titik B

Penyelesaian

Usaha yang dilakukan gaya gravitasi sepanjang AB

B

A

B

A

gravgrav JABmgdxmgrdFW 3)5)(6,0)(10)(1,0()(37sin37sin.


Usaha yang dilakukan gaya gesekan sepanjang AB

JW

dxFmgrdFW

ges

B

A

k

B

A

gesges

3)5)}(6,0)(1()6,0)(10)(1,0){(2/1(

)37sin37cos(.

Usaha yang dilakukan gaya F sepanjang AB

B

A

B

A

F JdxFrdFW 3)5)(6,0)(1(37cos.

Kecepatan di titik B dapat dicari dengan menggunakan konsep

usaha total = perubahan energi kinetik

ABFgesgravAB EkEkWWWW

0)1,0(333 2

21 BAB vW

smvB /60


1. Balok dengan massa 20 kg didorong sepanjang permukaan

mendatar tanpa gesekan dengan gaya F yang membentuk sudut

dengan permukaan. Selama gerakannya gaya bertambah mengi-

kuti hubungan F=6x, dengan F dalam Newton dan x dalam meter.

Sudut pun berubah menurut cos = 0,7 0,02x. Berapa kerja

yang dilakukan oleh gaya bila balok bergerak dari x = 10 m sampai

x = 20 m.

2. Benda seberat 20 N didorong ke atas bidang miring yang panjang-

nya 30 cm (kemiringan 30o), tanpa gesekan dengan gaya horizontal

F. Bila laju di dasar adalah 6 cm/s dan di puncak adalah 30 cm/s,

a. berapa usaha yang dilakukan F

b. Berapa besar gaya F

c. Bila bidang adalah kasar dengan k=0,15, berapa jarak mak-

simum yang dapat ditempuh benda.

Soal KINANTI B.M TT-37-11

Sebuah benda diputar dengan tali sehingga

membentuk lintasan lingkaran vertikal dengan

jarijari R.

a. Tentukan kecepatan minimum di titik A agar

dapat menempuh ¼ lingkaran (titik B)

b.Tentukan kecepatan minimum di titik A agar

benda dapat mencapai satu lingkaran penuh.

A

B

C

3.

A

B

F

Sebuah benda 0,1 kg ada di atas bidang

miring dengan sudut kemiringan 37o.

Pada benda ini bekerja gaya F=1 N

mendatar. Mulamula benda diam di A

kemudian bergerak ke B, panjang AB=5 m.

Jika koefisien gesekan kinetis bidang

adalah 0,5 tentukanlah kecepatan benda

ketika sampai di Bdengan cara energi

4


MOMENTUM LINIER


IMPULS DAN MOMENTUM LINIER

Secara matematis impuls didefinisikan sebagai integral dari

gaya yang bekerja pada benda terhadap waktu

Momentum linier atau ditulis momentum saja adalah kuantitas

gerak yang bergantung pada massa dan kecepatan benda (v)

Momentum adalah vektor dan besarnya disimbolkan dengan p

memiliki satuan kg m/s

vmp

Definisi Momentum

Definisi Impuls

Impuls juga besaran vektor, disimbolkan dengan I memiliki

satuan Ns

t

t

dtFI

0


Hukum Newton dalam Impuls

Hukum Newton dapat ditulis kembali

dalam bentuk rm

dt

d

dt

pdF

00

0 0

vmvmpppddtF

p

p

t

Jika gaya F tersebut diintegralkan untuk seluruh waktu maka

persamaan di atas menjadi

dengan p adalah momentum akhir, p0 momentum awal, v kecepatan

akhir dan v0 kecepatan awal

Dengan definisi impuls dan momentum maka diperoleh

pppI

0

Atau dengan kata lain :

Impuls = perubahan momentum


Contoh

Benda bermassa 2 kg bergerak dengan

kecepatan awal 2 m/s dalam arah sb x,

dan 4 m/s dalam arah sb y. Kemudian

pada benda bekerja gaya dalam arah

sb y Fy=2t N, dan gaya dalam arah sb x

seperti gambar di samping.

Fx (N)

t(s)2

4

5

-5

Tentukan : a. Impuls antara t=0 sampai t=4 s

b. Kecepatan saat t=4 s

Penyelesaian

a. Impuls pada benda yang gayanya dua dimensi ditulis dalam

bentuk

jIiII yxˆˆ

dengan Ix dan Iy adalah komponen impuls dalam arah sumbu x

dan sumbu y


Komponen impuls dalam arah sumbu x dapat diperolah dengan

cara mencari luas daerah dari grafik, yaitu

0)5)(2()5)(2(21

21 xI

Komponen impuls dalam arah sumbu y adalah

NsttdtI y 1624

0

2

4

0

Jadi : NsjI ˆ16

b. Impuls = perubahan momentum

jipjppI ˆ4ˆ22ˆ160

skgmjip /ˆ12ˆ4

Sehingga kecepatan saat t=4 s adalah

smjim

pv /ˆ6ˆ2


Sistem Banyak Partikel

Tinjau suatu sistem yang terdiri atas banyak partikel, katakan-

sejumlah N partikel

Momentum total sistem adalah resultan dari momentum setiap

partikel

Nppppp

321

Jika pada partikel 1 dalam sistem tersebut bekerja gaya ekster-

nal Fe1 maka dinamika partikel 1 adalah

N

e FFFFdt

pd113121

1

dengan F12, F13,…, F1N adalah gaya internal/interaksi antara

Partikel ke-1 dengan ke-2, dengan ke-3, ….., dengan ke-N


Sistem Banyak Partikel (2)

Hal yang sama akan terjadi pada partikel ke-2, ke-3, …, ke-N,

jika pada setiap partikel tsb bekerja gaya eksternal

N

e FFFFdt

pd223212

2

N

e FFFFdt

pd332313

3

)1(21 NNNN

e

NN FFFF

dt

pd

Dinamika sistem banyak partikel ini akan ditentukan oleh resultan

dari dinamika masing-masing partikel, yaitu

112112321

321 )...(

NN

e

N

eee

N

FFFFFFFF

ppppdt

d


Sistem Banyak Partikel (3)

Pasangan gaya interaksi antar partikel saling meniadakan karena

masing-masing gaya interaksi besarnya sama dan berlawanan

arah.

Jadi dinamika sistem hanya dipengaruhi gaya eksternal saja

e

N

eee FFFFdt

pd

....321

Jika dihubungkan dengan Impuls dan momentum maka persama-

an di atas menjadi

pdtFFFFI e

N

eee

N

....321

Impuls total yang bekerja pada sistem sama dengan perubahan

Momentum sistem


Pusat Massa

Dalam sistem banyak partikel, momentum total sistem adalah

resultan dari momentum setiap partikel penyusunnya

Nppppp

321

NNvmvmvmvmp

332211

dt

rdm

dt

rdm

dt

rdm

dt

rdmp N

N

3

32

21

1

Jika massa total sistem adalah M=m1+m2+m3+….+mN maka

momentum total sistem dapat ditulis

M

rmrmrmrm

dt

d

Mp 111111111

pmVMp


Pusat Massa (2)

dengan

pmpm Rdt

dV

disebut dengan kecepatan pusat massa sistem banyak partikel,

dan

M

rmrmrmrm

dt

dR NN

pm

332211

adalah posisi pusat massa


Contoh

Tentukan letak pusat massa sistem yang tersusun atas empat

buah partikel yang bermassa m1=1kg, m2=2kg, m3=3kg, dan

m4=4kg. Keempat partikel terletak pada titik sudut bujur sangkar

yang memiliki panjang sisi 1 m

Dengan sumbu koordinat seperti gambar

maka posisi pusat massa terbagi 2 kom-

ponen

mxpm 5,04321

0.41.31.20.1

m1m2

m3m4

x

y

my pm 7,04321

1.41.30.20.1


Pusat massa untuk benda kontinu

Pada prinsipnya sama dengan benda yang tersusun atas banyak

Titik, hanya notasi sigma diganti dengan integral

dmrM

rpm 1

Massa total sistem

dmM


Contoh

Batang yang panjangnya 10 m dibentangkan pada sumbu x dari

X=0 sampai dengan x=10 m. Jika batang tidak homogen, rapat

massanya fungsi dari posisi =12x kg/m, tentukanlah pusat massa

Batang!

elemen kecil batang pada posisi x yang panjangnya dx akan

memiliki elemen kecil massa dm= dx

Massa total batang

kgxdxdxdmM 60012

10

0

10

0

Pusat massa batang

mdxxM

xpm3

201


Hukum Kekal Momentum

Jika resultan gaya eksternal pada benda atau sistem sama dengan

nol maka

0dt

Pd

atau tankonsP

Momentum total sistem tetap (tidak berubah terhadap waktu)

Momentum tiap bagian boleh berubah, tetapi momentum total

sistem adalah tetap.

Sebagai contoh berlakunya hukum kekal momentum adalah pada

peristiwa tumbukan, misalnya dua buah benda bertumbukan maka

2 benda tsb dipandang sebagai satu sistem, sehingga momentum

total sistem sebelum tumbukan sama dengan momentum sistem

sesudah tumbukan


Tumbukan

Dalam setiap tmbukan berlaku hukum kekal momentum, meski-

pun dalam tumbukan antara 2 benda bekerja gaya yang sangat

singkat (gaya impulsif) namun jika 2 benda dipandang sebagai

satu sistem masing-masing gaya impulsif dapat dipandang se-

bagai pasangan gaya aksi-reaksi.

Ada 3 jenis tumbukan :

Tumbukan lenting sempurna

(pada tumbukan lenting sempurna berlaku hukum kekal

energi kinetik)

Tumbukan tidak lenting sama sekali

Tumbukan lenting sebagian


Contoh

Benda m1=2 kg bergerak dengan kecepatan 13 m/s ke kanan me-

numbuk benda lain m2=4 kg yang sedang bergerak ke kiri dengan

laju 2 m/s. Setelah tumbukan kedua benda bersatu. Tentukan :

Kecepatan kedua benda setelah tumbukan

Energi kinetik kedua benda sebelum dan setelah peristiwa

tumbukan terjadi

Penyelesaian :

Berlaku hukum kekal momentum

Momentum awal sistem = momentum akhir sistem

smv

v

vmvmvmvm

/3'

')42()2(4)13(2

'' 22112211


Energi kinetik benda 1 sebelum tumbukan

Energi kinetik benda 1 sebelum tumbukan

Energi kinetik kedua benda setelah tumbukan

JvmEk 1692

112

11

JvmEk 82

2221

2

JvmmEk 27')( 2

2121

1

Energi kinetik kedua benda sebelum dan setelah tumbukan

tidak sama


1. Sebuah pesawat angkasa 1000 kg bergerak dengan kecepatan

2000 i m/s. Sebuah meteor menumbuk pesawat tsb sehingga

kecepatannya menjadi 2000 i +2000 j m/s. Berapa Impuls

tumbukkan ?

Soal

2. Sebuah bola 0,5 kg bertumbukan lenting sempurna dengan bola

kedua yang sedang diam. Bola kedua tersebut menjauh dengan

laju setengah laju awal bola. Berapa persen energi kinetik yang

dipindahkan ke bola kedua

3. Sebuah bola bilyar bergerak dengan kecepatan 4 m/s menum-

buk bola lain yang identik dalam keadaan diam. Setelah tumbu-

kan bola pertama membentuk sudut 30o terhadap arah semula.

Bila tumbukkan lenting sempurna, tentukan kecepatan masing

masing bola setelah tumbukan.


R

Sebuah peluru bermassa m dan kecepatan v

menembus balok bermassa M, dan keluar dgn

kecepatan v/2. Balok ini ada pada ujung tali

dengan panjang R. Berapa kecepatan minimum

peluru agar balok berayun satu lingkaran penuh ?

5.

6. Rakit bujur sangkar 18 m kali 18 m, dengan massa 6200 kg

digunakan sebagai perahu feri. Jika tiga mobil masingmasing

dengan massa 1200 kg diletakkan di sudut timur laut, tenggara,

dan barat daya, tentukan pusat massa dari feri.

7. Sebuah peluru ditembakkan dengan kecepatan awal 80i +60j m/s.

Pada ketinggian tertentu peluru meledak menjadi dua bagian. Ba-

gian pertama bermassa 1/3 dari massa semula jatuh pada jarak

200 m dari titik asalnya. Kedua benda tiba di tanah pada waktu

bersamaan. Dimana letak jatuhnya bagian kedua.


8. Sebuah roket bergerak dalam ruang bebas tanpa meda gravitasi

dengan kecepatan awal 500 i m/s. Roket menyemburkan gas

dengan laju relatif terhadap roket 1000 m/s dalam arah berlawanan

dengan gerak roket.

a. Tentukan kecepatan akhir roket ketika massanya tinggal sete-

ngah kali massa semula,

b. Berapa besar gaya dorong selama perjalanan ini bila laju

penyemburan gas adalah 10 kg/s


TUMBUKAN

Dalam kejadian tumbukan dari dua atau

lebih benda berlaku hukum kekekalan momentum linier, karena benda-benda yang mengalami tumbukan berada dalam satu sistem. Sedangkan interaksi antar benda berupa gaya interaksi mempunyai resultan nol dan tidak ada

gaya dari luar sistem.

P =Pi = mAvA1 + mBvB1 = mAvA2 + mBvB2

A BvA1 vB1

Sebelum tumbukan

A BvA2 vB2

Sesudah tumbukanSimulasi


Bab 4. Usaha Dan Momentum-signed

Documents

Bab 4. Usaha Dan Momentum-signed