Top Banner
DIKTAT KALKULUS 3 UNIVERSITAS INDRAPRASTA PGRI JAKARTA
23

nurhayatiunindra.files.wordpress.com  · Web viewBAB 1 . BILANGAN KOMPLEKS. Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari bilangan riil dan imajiner. Bilangan kompleks mempunyai

Oct 11, 2020

Download

Documents

dariahiddleston
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: nurhayatiunindra.files.wordpress.com  · Web viewBAB 1 . BILANGAN KOMPLEKS. Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari bilangan riil dan imajiner. Bilangan kompleks mempunyai

DIKTAT

KALKULUS 3

UNIVERSITAS INDRAPRASTA PGRI

JAKARTA

2012

Page 2: nurhayatiunindra.files.wordpress.com  · Web viewBAB 1 . BILANGAN KOMPLEKS. Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari bilangan riil dan imajiner. Bilangan kompleks mempunyai

BAB 1

BILANGAN KOMPLEKS

Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari bilangan riil dan imajiner.

Bilangan kompleks mempunyai bilangan konjugat yang digunakan pada operasi arimatik pembagian.

Bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam dua bentuk:

1. Bentuk Persegi (Rectangular)

2. Bentuk Polar

Gambar 1. Sistem Bilangan

A. Bentuk Persegi

Rumus Dasar :

C = A + jB

Page 3: nurhayatiunindra.files.wordpress.com  · Web viewBAB 1 . BILANGAN KOMPLEKS. Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari bilangan riil dan imajiner. Bilangan kompleks mempunyai

Dimana :

A = bilangan riil

j = tanda operator imajiner

B = bilangan imajiner

Gambar 2. Bentuk Persegi

B. Bentu Polar

A = C cos α + jC sin α

C = √ A2+B2

Operasi Aritmatik

1. Penambahan

Misal C1 = ±A1 ± jB1 dan C2 = ±A2 ± jB2

Maka :

FUNGSI N VARIABEL

A. Definisi Fungsi n VariabelSuatu fungsi f dari n variabel adalah suatu aturan yang memberikan

kepada masing-masing pasangan terurut bilangan real rangkap n di dalam

daerah asal sebuah bilangan real tunggal yag dinyatakan oleh :

Page 4: nurhayatiunindra.files.wordpress.com  · Web viewBAB 1 . BILANGAN KOMPLEKS. Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari bilangan riil dan imajiner. Bilangan kompleks mempunyai

Contoh :

1)

2)

B. Diferensial Parsial

Jika f adalah fungsi 2 variabel, dinotasikan , maka diferensial parsialnya adalah

Aturan untuk pencarian diferensial parsial dari :

1) Untuk mencari , anggap y konstanta dan diferensialkan terhadap x.

2) Untuk mencari , anggap x sebagai kostanta dan diferensialkan

terhadap y.

Pendiferensialan beserta aturannya ini berlaku juga untuk fungsi 3 variabel atau lebih.

Latihan 11) Carilah turunan parsial pertama dari fungsi berikut!

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Page 5: nurhayatiunindra.files.wordpress.com  · Web viewBAB 1 . BILANGAN KOMPLEKS. Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari bilangan riil dan imajiner. Bilangan kompleks mempunyai

g)

h)

i)

j)

2) Carilah diferensial parsial yang ditunjuk!

a) dari !

b) dari !

c) dari !

d) dari !

e) dari !

C. Bidang singgung dan Diferensial TotalAndaikan f mempunyai diferensial parsial kontinu. Satu persamaan

bidang singgung terhadap permukaan di titik adalah

Untuk fungsi 2 variabel , maka diferensial total didefinisikan oleh :

Untuk fungsi 3 variabel atau lebih, berlaku hampir sama dengan

fungsi 2 variabel. Sebagai contoh untuk fungsi 3 variabel ,

maka diferensial total didefinisikan oleh :

Latihan 2

Page 6: nurhayatiunindra.files.wordpress.com  · Web viewBAB 1 . BILANGAN KOMPLEKS. Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari bilangan riil dan imajiner. Bilangan kompleks mempunyai

1) Carilah persamaan bidang singgung terhadap kurva yang diberikan pada titik berikut ini!

a)

b)

c)

d)

e)

2) Carilah diferensial total dari fungsi berikut!

a)

b)

c)

d)

e)

D. Aturan Rantai dan Pendiferensialan Implisit

Andaikan adalah fungsi dari x dan y yang terdiferensiasi,

dengan dan . Keduanya adalah fungsi dari t yang terdiferensiasi maka z adalah fungsi dari t yang terdiferensiasi dan berlaku:

Andaikan adalah fungsi dari x dan y yang terdiferensiasi,

dengan dan . Keduanya adalah fungsi dari s dan t yang terdiferensiasi maka :

Untuk pendiferensialan implisit, rumus yang digunakan adalah :

Page 7: nurhayatiunindra.files.wordpress.com  · Web viewBAB 1 . BILANGAN KOMPLEKS. Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari bilangan riil dan imajiner. Bilangan kompleks mempunyai

dengan F didefinisikan sebagai .

Latihan 3

1) Gunakan aturan rantai untuk mencari atau !

a)

b)

c)

d)

e)

2) Gunakan aturan rantai untuk mencari dan !

a)

b)

c)

d)

e)

3) Gunakan diferensial implisit untuk mencari dan !

a)b)

Page 8: nurhayatiunindra.files.wordpress.com  · Web viewBAB 1 . BILANGAN KOMPLEKS. Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari bilangan riil dan imajiner. Bilangan kompleks mempunyai

c)

d)

e)

BAHAN UAS KALKULUS 3:

BAB 1 INTEGRAL LIPAT DUA

A. Sifat

1)

2)

3)

B. Integral Berulang

Secara umum :

Teorema Fubini :

Jika f kontinu pada segi empat , maka :

Page 9: nurhayatiunindra.files.wordpress.com  · Web viewBAB 1 . BILANGAN KOMPLEKS. Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari bilangan riil dan imajiner. Bilangan kompleks mempunyai

Catatan :

Latihan 1

1) Hitunglah integral berulang berikut ini!

a.

b.

c.

d.

e.

2) Hitunglah integral lipat dua berikut ini!

a. dengan

b. dengan

c. dengan

d. dengan

e. dengan

Page 10: nurhayatiunindra.files.wordpress.com  · Web viewBAB 1 . BILANGAN KOMPLEKS. Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari bilangan riil dan imajiner. Bilangan kompleks mempunyai

3) Carilah volume benda pejal jika dibatasi oleh :

a. Paraboloid eliptik dan di atas bujur sangkar

b. Bidang dan di atas segi empat

c. Paraboloid eliptik dan di atas bujur sangkar

TUGAS TERSTRUKTUR 1 MK. KALKULUS 3

Kerjakanlah soal-soal berikut ini dengan teliti!

1) Hitunglah integral berulang berikut ini!

a.

b.

2) Hitunglah integral lipat dua berikut ini!

a. dengan

b. dengan

3) Carilah volume benda pejal jika dibatasi oleh permukaan dan di

atas persegi panjang !

SELAMAT MENGERJAKAN

Page 11: nurhayatiunindra.files.wordpress.com  · Web viewBAB 1 . BILANGAN KOMPLEKS. Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari bilangan riil dan imajiner. Bilangan kompleks mempunyai

C. Integral pada Daerah Umum

Jika f kontinu pada daerah D jenis I sehingga

maka :

Jika f kontinu pada daerah D jenis II sehingga

maka :

Latihan 2

1)

Page 12: nurhayatiunindra.files.wordpress.com  · Web viewBAB 1 . BILANGAN KOMPLEKS. Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari bilangan riil dan imajiner. Bilangan kompleks mempunyai

2) dengan !

3) Hitunglah dengan D adalah daerah yang dibatasi oleh

parabola dan !

4) Carilah volume benda pejal yang terletak di bawah paraboloid

dan di atas daerah D di bidang-xy yang dibatasi oleh garis

serta parabola !

5) Hitunglah dengan D adalah daerah yang dibatasi oleh garis

dan parabola !

D. Integral Berulang pada Koordinat Polar

Jika f kontinu pada segi empat polar R yang diberikan oleh

, , dengan , maka :

Jika f kontinu pada daerah polar berbentuk :

maka :

Catatan :

Page 13: nurhayatiunindra.files.wordpress.com  · Web viewBAB 1 . BILANGAN KOMPLEKS. Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari bilangan riil dan imajiner. Bilangan kompleks mempunyai

Latihan 3

1) dengan !

2) Hitunglah dengan R adalah daerah di setengah bidang

atas yang dibatasi oleh lingkaran dan !

3) Hitunglah dengan R adalah daerah di kuadran I yang dibatasi

oleh lingkaran dan !

4) dengan !

5) dengan !

Page 14: nurhayatiunindra.files.wordpress.com  · Web viewBAB 1 . BILANGAN KOMPLEKS. Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari bilangan riil dan imajiner. Bilangan kompleks mempunyai

TUGAS TERSTRUKTUR 2 MK. KALKULUS 3

Kerjakanlah soal-soal berikut ini dengan teliti!

1)

2) dengan !

3) Hitunglah dengan D adalah daerah yang dibatasi oleh

dan !

4) Hitunglah dengan R adalah daerah di setengah bidang atas

yang dibatasi oleh lingkaran dan !

Page 15: nurhayatiunindra.files.wordpress.com  · Web viewBAB 1 . BILANGAN KOMPLEKS. Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari bilangan riil dan imajiner. Bilangan kompleks mempunyai

5) dengan

SELAMAT MENGERJAKAN

BAB 2 INTEGRAL LIPAT TIGA

A. Teori Fubini untuk Integral Lipat Tiga

Jika f kontinu pada kotak , maka :

B. Integral Lipat Tiga pada Daerah Umum

Jika f kontinu pada daerah E jenis I sehingga

maka :

Page 16: nurhayatiunindra.files.wordpress.com  · Web viewBAB 1 . BILANGAN KOMPLEKS. Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari bilangan riil dan imajiner. Bilangan kompleks mempunyai

Untuk :

maka :

Untuk :

maka :

Jika f kontinu pada daerah E jenis II sehingga

maka :

Jika f kontinu pada daerah E jenis III sehingga

maka :

Latihan 4

1) dengan !

2) dengan !

Page 17: nurhayatiunindra.files.wordpress.com  · Web viewBAB 1 . BILANGAN KOMPLEKS. Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari bilangan riil dan imajiner. Bilangan kompleks mempunyai

3)

4)

5)

C. Integral Lipat Tiga dalam Koordinat Silinder dan Koordinat Bola

Koordinat Silinder

Catatan :

Koordinat Bola

Page 18: nurhayatiunindra.files.wordpress.com  · Web viewBAB 1 . BILANGAN KOMPLEKS. Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari bilangan riil dan imajiner. Bilangan kompleks mempunyai

Catatan :

Latihan 5

1)

2)

3)

4)

5)

Page 19: nurhayatiunindra.files.wordpress.com  · Web viewBAB 1 . BILANGAN KOMPLEKS. Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari bilangan riil dan imajiner. Bilangan kompleks mempunyai

TUGAS TERSTRUKTUR 3 MK. KALKULUS 3

Kerjakanlah soal-soal berikut ini dengan teliti!

1) dengan :

2)

3)

Page 20: nurhayatiunindra.files.wordpress.com  · Web viewBAB 1 . BILANGAN KOMPLEKS. Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari bilangan riil dan imajiner. Bilangan kompleks mempunyai

4)

5)

Catatan :

Nilai a, b, dan c diambil dari 3 digit terakhir NPM Anda. Contoh : 20074150035.

Maka nilai a = 0, b = 3, dan c = 5.

SELAMAT MENGERJAKAN