Top Banner
SISTEM PERSAMAAN LINIER TIGA VARIABEL DAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN KUADRAT Makalah Ini Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Kajian Matematika SMA 1 Dosen Pengampu : Padrul Janna, M.Sc. Disusun Oleh : Kelompok 7 Kelas V A4 1. Nur Fajar Yuniarti 14144100121 2. Siam Tri Khasanah 14144100122 3. Andon Insani Fahrika 14144100136
30

siamtk64.files.wordpress.com€¦  · Web viewa 1 x 0 + b 1 y 0 + c 1 z 0 = d 1 a 2 x 0 + b 2 y 0 + c 2 z 0 = d 2 a 3 x 0 + b 3 y 0 + c 3 z 0 = d 3 . Dalam hal demikian, ( x 0 ,

Dec 12, 2020

Download

Documents

dariahiddleston
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: siamtk64.files.wordpress.com€¦  · Web viewa 1 x 0 + b 1 y 0 + c 1 z 0 = d 1 a 2 x 0 + b 2 y 0 + c 2 z 0 = d 2 a 3 x 0 + b 3 y 0 + c 3 z 0 = d 3 . Dalam hal demikian, ( x 0 ,

SISTEM PERSAMAAN LINIER TIGA VARIABEL DAN SISTEM

PERSAMAAN LINIER DAN KUADRAT

Makalah Ini Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Kajian Matematika

SMA 1

Dosen Pengampu : Padrul Janna, M.Sc.

Disusun Oleh :

Kelompok 7

Kelas V A4

1. Nur Fajar Yuniarti 14144100121

2. Siam Tri Khasanah 14144100122

3. Andon Insani Fahrika 14144100136

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA

2016

Page 2: siamtk64.files.wordpress.com€¦  · Web viewa 1 x 0 + b 1 y 0 + c 1 z 0 = d 1 a 2 x 0 + b 2 y 0 + c 2 z 0 = d 2 a 3 x 0 + b 3 y 0 + c 3 z 0 = d 3 . Dalam hal demikian, ( x 0 ,

1. SISTEM PERSAMAA LINIER DENGAN TIGA VARIABEL (SPLTV)

Sistem persamaan linier dengan tiga variabel (SPLTV) terdiri atas tiga persamaan linier yang masing-masing memuat tiga variabel. Dengan demikian SPLTV dalam variabel x,y dan z dapat ditulis sebagai berikut:

{ax+by+cz=dex+ fy+gz=hix+ jy+kz=l

atau {a1 x+b1 y+c1 z=d1

a2 x+b2 y+c2 z=d2

a3 x+b2 y+c2 z=d3

Dengan a , b , c , d , e , f , g , h , I , j , k ,dan l atau a1, b1 , c1 ,d1 , a2 , b2 , c2 , d2 , a3 , b3 , c3 , dan d3 ,merupakan bilangan-bilangan real. Untuk selanjutnya kita gunakan bentuk umum sistem persamaan linier yang kedua.

Jika x=x0 , y= y0 , dan z=z0, dapat ditulis dengan pasangan terurut (x0 , y0 , z0), memenuhi SPLTV diatas, maka haruslah berlaku hubungan:

{a1 x0+b1 y0+c1 z0=d1

a2 x0+b2 y0+c2 z0=d2

a3 x0+b3 y0+c3 z0=d3

Dalam hal demikian, (x0 , y0 , z0) disebut penyelesaaian sistem persamaan linier tersebut dan himpunan penyelesaaiannya ditulis sebagai {(x0, y0 , z0)}. Seperti halnya dalam SPLDV, penyelesaian atau himpunan penyelesaian SPLTV dapat ditentukan dengan beberapa cara, diantaranya adalah dengan menggunakan:

i) Metode subtitusiii) Metode eliminasi, daniii) Metode determinan.

Dalam pasal ini, hanya akan dibahas dua metode yang pertama.

1. Metode SubtitusiLangkah-langkah penyelesaaian SPLTV ( dalam x , y , dan z¿

dengan menggunakan metode subtitusi adalah sebagai berikut.Langkah 1:

Pilihlah salah satu persamaan yang sederhana, kemudian nyataan x sebagai fungsi y dan z, atau y sebagai fungsi x dan z , atau zsebagai fungsi x dan y .Langkah 2:

Page 3: siamtk64.files.wordpress.com€¦  · Web viewa 1 x 0 + b 1 y 0 + c 1 z 0 = d 1 a 2 x 0 + b 2 y 0 + c 2 z 0 = d 2 a 3 x 0 + b 3 y 0 + c 3 z 0 = d 3 . Dalam hal demikian, ( x 0 ,

Subtitusikan x atau y atau zyang diperoleh pada Langkah 1 ke dalam dua persamaan yang lainnya sehingga didapat SPLDV.Langkah 3:

Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada Langkah 2.Contoh:

Carilah himpunan SPLTV berikut dengan metode subtitusi.

{ x−2 y+z=63 x+ y−2 z=4

7 x−6 y−z=10

Jawab:

Dari persamaan x−2 y+z=6 x=2 y−z+6. Peubah x ini disubtitusikan ke persamaan 3 x+ y−2 z=4 dan 7 x−6 y− z=10 diperoleh:

3 (2 y−z+6 )+ y−2 z=4

6 y−3 z+18+ y−2 z=4

7 y−5 z=−14 …………………(1)

Dan

7 (2 y−z+6 )−6 y−z=10

14 y−7 z+42−6 y−z=10

8 y−8 z=−32

y−z=−4 ……….(2)

Persamaan (1) dan (2) membentuk SPLDV y dan z:

{7 y−5 z=−14y−z=−4

Dari persamaan y−z=−4 y=z−4.

Peubah y disubtitusikan ke persamaan 7 y−5 z=−14, diperoleh:

7(z−4)−5 z=14

7 z−28−5 z=−14

2 z=14

Page 4: siamtk64.files.wordpress.com€¦  · Web viewa 1 x 0 + b 1 y 0 + c 1 z 0 = d 1 a 2 x 0 + b 2 y 0 + c 2 z 0 = d 2 a 3 x 0 + b 3 y 0 + c 3 z 0 = d 3 . Dalam hal demikian, ( x 0 ,

z=7

Subtitusikan nilai z=7ke persamaan y=z−4, diperoleh:

y=7−4=3

Subtitusikan nilaiy=3 dan z=7 ke persamaan x=2 y−z+6, diperoleh:

x=2 (3 )−7+6=5

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(5,3,7)}

1. Metode EliminasiLangkah-langkah penyelesaian SPLTV (dalam x , y , daan z) dengan

menggunakan metode eliminasi adalah sebagai berikut,Langkah 1:

Eliminasi salah saatu peubah x dan y atau z sehingga diperoleh SPLDV.Langkah 2:

Selesaiakan SPLTV yang didapat paada langkah 1.Langkah 3:

Subtitusikan nilai-nilai peubah yang diperoleh pada Langkah 2 ke dalam salah satu persamaan semula untuk mendapatkan nilai peubah lainnya.

Contoh:

Carilah himpunan penyelesaian dari tiap SPLTV berikut denga metode eliminasi.

{ 2 x− y+z=6x−3 y+ z=−2x+2 y−z=3

Jawab:

Eliminasi peubah z:

Dari persamaan pertama dan kedua:

2 x− y+z=6

x−3 y+z=−2

x+2 y=8………………………..(1)

Page 5: siamtk64.files.wordpress.com€¦  · Web viewa 1 x 0 + b 1 y 0 + c 1 z 0 = d 1 a 2 x 0 + b 2 y 0 + c 2 z 0 = d 2 a 3 x 0 + b 3 y 0 + c 3 z 0 = d 3 . Dalam hal demikian, ( x 0 ,

Dari persamaan kedua dan ketiga:

x−3 y+z=−2

x+2 y−z=3 +

2 x− y=1…....................................(2)

Persamaan (1) dan (2) membentuk SPLDV x dan y .

{x+2 y=82x− y=1

Eliminasi peubah y:

x+2 y=82 x− y=1|×1

× 2|¿ x+2 y=84 x−2 y=2 +

5 x=10

x=2

Eliminasi peubah x :

x+2 y=82 x− y=1|× 2

×1|¿2 x+4 y=262 x− y=1 +

5 y=15

y=3

Nilai z dicari dengan mensubtitusikan x=2 dan y=3 ke salah satu persamaaan semula,

Misalnya dipilih persamaan x+2 y−z=3, diperoleh:

2+2 (3 )−z=3

z=5

Jadi, himpunan peyelesaian SPLTV itu adalah {(2,3,5)}.

Catatan:

Setelah diperoleh sistem persamaan:

Page 6: siamtk64.files.wordpress.com€¦  · Web viewa 1 x 0 + b 1 y 0 + c 1 z 0 = d 1 a 2 x 0 + b 2 y 0 + c 2 z 0 = d 2 a 3 x 0 + b 3 y 0 + c 3 z 0 = d 3 . Dalam hal demikian, ( x 0 ,

{x+2 y=82x− y=1

SPLTV ini dapat saja diselesaikan dengan menggunakan metode subtitusi. Dalam hal demikian, dikatakan menggunakan gabungan metode eliminasi dan subtitusi.

2. Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat

Sistem persamaan yang terdiri atas sebuah persamaan linier dan sebuah

persamaan berbentuk kuadrat yang masing masing bervariabel dua disebut sistem

persamaan linier dan kuadrat. Berdasarkan karakteristik dari bentuk bagian

kuadratnya, sistem persamaan linier dan kuadrat (SPLK) dapat dikelompokkan

menjadi SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk eksplisit dan SPLK dengan

bagian kuadrat berbentuk implisit.

1. SPLK dengan Bagian Kuadrat Berbentuk Eksplisit

Suatu persamaan dua peubah x dan y dikatakan bentuk eksplisit jika

persamaan itu dapat dinyatakan dalam bentuk y=f (x ) atau x=f ( y ).

Contoh persamaan dua peubah (x dan y) dalam bentuk eksplisit:

a. y=3 x−2

b. x=5−4 y

c. y=x2−4 x+5

d. x=3 y2+6 y−2

Bentuk umum SPLK dengan bagian kuadratnya berbentuk eksplisit

dapat dituliskan sebagai berikut.

{ y=ax+b … bagianliniery=p x2+qx+r … bagiankuadrat

Dengan a, b, p, q, dan r merupakan bilangan-bilangan real.

Secara umum, penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari SPLK

{ y=ax+by=p x2+qx+r

dapat ditentukan melalui langkah langkah sebagai berikut.

Langkah 1:

Page 7: siamtk64.files.wordpress.com€¦  · Web viewa 1 x 0 + b 1 y 0 + c 1 z 0 = d 1 a 2 x 0 + b 2 y 0 + c 2 z 0 = d 2 a 3 x 0 + b 3 y 0 + c 3 z 0 = d 3 . Dalam hal demikian, ( x 0 ,

Substitusikan bagian linier y=ax+b ke bagaian kuadrat y=p x2+qx+r,

diperoleh:

ax+b=p x2+qx+r

p x2+qx−ax+r−b=0

p x2+(q−a ) x+(r−b )=0 , merupakan persamaan kuadrat dalam x

Langkah 2:

Nilai-nilai x pada Langkah 1 (jika ada) disubstitusikan ke persamaan

y=ax+b.

Untuk lebih memahami cara menentukan penyelesaian SPLK, akan

diberikan contoh sebagai berikut:

{y=x+2 … bagianliniery=x2 … bagian kuadrat

Substitusi bagian linier y=x+2 ke bagian kuadrat y=x2, diperoleh:

x+2=x2

x2−x−2=0 (merupakan persamaan kuadrat dalam x)

( x+1 ) ( x−2 )=0x=−1atau x=2

Substitusi x=−1 atau x=2 ke persamaan y=x+2, diperoleh:

y=−1+2=1 atau y=2+2=4

Jadi, himpunan penyelesaian SPLK itu adalah {(−1,1 ) , (2,4 ) }.

Secara geometri, anggota anggota dari himpunan penyelesaikan SPLK

di atas dapat ditafsirkan sebagai koordinat titik potong antara garis y=x+2

dengan parabola y=x2. Perhatikan gambar berikut.

Page 8: siamtk64.files.wordpress.com€¦  · Web viewa 1 x 0 + b 1 y 0 + c 1 z 0 = d 1 a 2 x 0 + b 2 y 0 + c 2 z 0 = d 2 a 3 x 0 + b 3 y 0 + c 3 z 0 = d 3 . Dalam hal demikian, ( x 0 ,

Dapat diingat bahwa nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat

p x2+(q−a ) x+(r−b )=0 disebut akar-akar dari persamaan kuadrat itu. Banyak

nilai x (banyak akar) dari persamaan kuadrat tersebut ditentukan oleh nilai

diskriminan D= (q−a )2−4 p (r−b ). Dengan demikian, banyak anggota

himpunan dalam penyelesaian SPLK { y=ax+by=p x2+qx+r ditentukan oleh nilai

diskriminan D= (q−a )2−4 p (r−b ) sebagai berikut:

a. Jika D>0, maka SPLK mempunyai dua anggota dalam himpunan

penyelesaiannya.

b. Jika D=0, maka SPLK tepat mempunyai satu anggota dalam himpunan

penyelesaiannya.

c. Jika D<0, maka SPLK tidak mempunyai anggota dalam himpunan

penyelesaiannya. Dikatakan himpunan penyelesaiannya adalah himpunan

kosong, ditulis .

Anggota anggota dari himpunan penyelesaian SPLK dapat ditafsirkan

secara geometri sebagai koordinat titik potong antara garis y=ax+b dengan

parabola y=p x2+qx+r. Kedudukan garis terhadap parabola itu ditentukan

oleh nilai diskriminan D= (q−a )2−4 p (r−b ) sebagai berikut.

a. Jika D>0, maka garis memotong parabola di dua titik yang berlainan.

Page 9: siamtk64.files.wordpress.com€¦  · Web viewa 1 x 0 + b 1 y 0 + c 1 z 0 = d 1 a 2 x 0 + b 2 y 0 + c 2 z 0 = d 2 a 3 x 0 + b 3 y 0 + c 3 z 0 = d 3 . Dalam hal demikian, ( x 0 ,

b. Jika D=0, maka garis memotong parabola tepat di sebuah titik. Dalam hal

demikian, dikatakan garis menyinggung parabola.

c. Jika D<0, maka garis tidak memotong maupun menyinggung parabola.

Pada gambar diperlihatkan tiga kemungkinan kedudukan garis

y=ax+b terhadap parabola y=p x2+qx+r.

Contoh:

Carilah himpunan penyelesaian dari tiap SPLK berikut ini, kemudian buatlah

sketsa tafsiran geometrinya.

a. { y=x−1y=x2−3 x+2

b. { y= x−3y=x2−x−2

c. { y=−2 x+1y=x2−4 x+3

Jawab:

a. Substitusikan bagian linier y=x−1 ke bagian kuadrat y=x2−3 x+2,

diperoleh:

x−1=x2−3 x+2x2−4 x+3=0

( x−1 ) ( x−3 )=0x=1 atau x=3

Nilai x=1 atau x=3 disubstitusikan ke persamaan y=x−1.

Untuk x=1 diperoleh y=1−1=0→ (1,0 )

Page 10: siamtk64.files.wordpress.com€¦  · Web viewa 1 x 0 + b 1 y 0 + c 1 z 0 = d 1 a 2 x 0 + b 2 y 0 + c 2 z 0 = d 2 a 3 x 0 + b 3 y 0 + c 3 z 0 = d 3 . Dalam hal demikian, ( x 0 ,

Untuk x=3 diperoleh y=3−1=2→ (3,2 )

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1,0 ) , (3,2 ) }Tafsiran geometrinya, garis y=x−1 memotong parabola

y=x2−3 x+2 di dua titik yaitu (1,0 ) dan di (3,2 ). Perhatikan gambar berikut.

b. Substitusikan bagian linier y=x−3 ke bagian kuadrat y=x2−x−2,

diperoleh:

x−3=x2−x−2x2−2 x+1=0

( x−1 )2=0x=1

Nilai x=1 disubstitusikan ke persamaan y=x−3.

y=1−3=−2→ (1 ,−2 )

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1 ,−2 ) }Tafsiran geometrinya, garis y=x−3 menyinggung parabola

y=x2−x−2 di titik (1 ,−2 ). Perhatikan gambar berikut.

Page 11: siamtk64.files.wordpress.com€¦  · Web viewa 1 x 0 + b 1 y 0 + c 1 z 0 = d 1 a 2 x 0 + b 2 y 0 + c 2 z 0 = d 2 a 3 x 0 + b 3 y 0 + c 3 z 0 = d 3 . Dalam hal demikian, ( x 0 ,

c. Substitusikan bagian linier y=−2 x+1 ke bagian kuadrat

y=x2−4 x+3, diperoleh:

−2 x+1=x2−4 x+3x2−2 x+2=0

Persamaan kuadrat ini tidak mempunyai akar real, sebab

D= (−2 )2−4 (1 ) (2 )=−4<0. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah

himpunan kosong, ditulis .

Tafsiran geometrinya, garis y=−2x+1 tidak memotong maupun

menyinggung parabola y=x2−4 x+3. Perhatikan gambar berikut.

2. SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit

Persamaan dua peubah x dan y dikatakan bentuk implisit jika

persamaan itu tidak dapat dinyatakan dalam bentuk y=f (x ) atau x=f ( y ).

Persamaan implisit dinyatakan dalam bentuk f ( x , y )=0.

Page 12: siamtk64.files.wordpress.com€¦  · Web viewa 1 x 0 + b 1 y 0 + c 1 z 0 = d 1 a 2 x 0 + b 2 y 0 + c 2 z 0 = d 2 a 3 x 0 + b 3 y 0 + c 3 z 0 = d 3 . Dalam hal demikian, ( x 0 ,

Contoh persamaan dua peubah (x dan y) dalam bentuk implisit:

a. x2+ y2+8=0

b. x2+ y2+2 x− y=0

c. x2+ y2−3 x+4 y+1=0

d. 2 x2−xy+ y2+3 x+ y−4=0

Secara umum, SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit dapat

dituliskan sebagai berikut.

px+qy+r=0 …bagianlinierax2+by2+cxy+dx+ey+ f =0 …bagian kuadrat berbentuk implisit

Dengan a, b, c, d, e, f, p, q, dan r merupakan bilangan bilangan real.

Bagian kuadrat yang berbentuk implisit ada dua kemungkinan, yaitu:

bentuk implisit yang tak dapat difaktorkan dan bentuk implisit yang dapat

difaktorkan.

a. SPLK dengan Bagian Kuadrat Berbentuk Implisit yang Tak Dapat

Difaktorkan

Penyelesaian SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit yang

tak dapat difaktorkan dapat ditentukan melalui langkah-langkah sebagai

berikut.

Langkah 1:

Pada bagian persamaan linier, nyatakan x dalam y atau y dalam x.

Langkah 2:

Substitusikan x atau y pada Langkah 1 ke bagian bentuk kuadrat, sehingga

diperoleh persamaan kuadrat dalam x atau y.

Langkah 3:

Selesaikan persamaan kuadrat yang diperoleh pada Langkah 2, kemudian

nilai-nilai yang didapat disubstitusikan ke persamaan linier.

Contoh:

Carilah himpunan penyelesaian dari SPLK berikut ini.

x+ y−1=0 … bagian linier

Page 13: siamtk64.files.wordpress.com€¦  · Web viewa 1 x 0 + b 1 y 0 + c 1 z 0 = d 1 a 2 x 0 + b 2 y 0 + c 2 z 0 = d 2 a 3 x 0 + b 3 y 0 + c 3 z 0 = d 3 . Dalam hal demikian, ( x 0 ,

x2+ y2−25=0 … bagian kuadrat berbentuk implisit yang tak dapat

difaktorkan

Jawab:

Dari persamaan x+ y−1=0 y=1−x.

Substitusikan y=1−x ke persamaan x2+ y2−25=0, diperoleh:

x2+ (1−x )2−25=0

x2+1−2 x+x2−25=0

2 x2−2 x−24=0

x2−x−12=0

( x+3 ) ( x−4 )=0

x=−3 atau x=4

Substitusikan nilai nilai x=−3 atau x=4 ke persamaan y=1−x.

Untuk x=−3 diperoleh y=1−(−3 )=4 (−3,4).

Untuk x=4 diperoleh y=1−4=−3 (4 ,−3).

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(−3,4 ) ,(4 ,−3)}.

Anggota-anggota dari himpunan penyelesaian SPLK itu dapat ditafsirkan

sebagai koordinat titik potong garis x+ y=1 dengan lingkaran

x2+ y2=25. Perhatikan gambar berikut.

Page 14: siamtk64.files.wordpress.com€¦  · Web viewa 1 x 0 + b 1 y 0 + c 1 z 0 = d 1 a 2 x 0 + b 2 y 0 + c 2 z 0 = d 2 a 3 x 0 + b 3 y 0 + c 3 z 0 = d 3 . Dalam hal demikian, ( x 0 ,

b. SPLK dengan Bagian Kuadrat Berbentuk Implisit yang Dapat

Difaktorkan

Cara menentukan penyelesaian SPLK dengan bagian kuadrat

berbentuk implisit yang dapat difaktorkan, sama dengan pembahasan pasal

a. Dalam pasal ini akan dipelajari cara lain. Untuk tujuan itu, simaklah

SPLK berikut ini.

{ x− y=3x2−4 xy+4 y2−25=0

(bagianlinier )(bagian kuadrat berbentuk implisit ¿ yangbisa difaktorkan)

Bagian kuadrat dapat difaktorkan sebagai berikut.

x2−4 xy+4 y2−25=0

( x−2 y )2−25=0

( x−2 y+5 ) ( x−2 y−5 )=0

x−2 y+5=0 atau x−2 y−5=0

Jika hasil ini digabungkan dengan persamaan linier semula, diperoleh dua SPLDV, yaitu:

{ x− y=3x−2 y−5=0

atau{ x− y=3x−2 y+5=0

Selanjutnya masing-masing SPLDV itu diselesaikan:

x− y=3

x−2 y=−5 -

y=8

Subtitusi y=8 ke persamaan x− y=3, diperolehx−8=3 x=11

SPLDV yang pertama ini memberikan penyelesaian (11,8) .

x− y=3

x−2 y=−5 -

y=−2

Page 15: siamtk64.files.wordpress.com€¦  · Web viewa 1 x 0 + b 1 y 0 + c 1 z 0 = d 1 a 2 x 0 + b 2 y 0 + c 2 z 0 = d 2 a 3 x 0 + b 3 y 0 + c 3 z 0 = d 3 . Dalam hal demikian, ( x 0 ,

Subtitusi y=−2 ke persamaan x− y=3, dperolehx−(−2)=3 x=1. SPLDV yang kedua ini memberikan penyelesaian (1 ,−2).

Jadi, himunan penyelesaian SPLK itu adalah {(11,8) ,(1 ,−2)}.

Berdasarkan pembahasan di atas, langkah-langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLK dengan pembagian kuadrat berbentuk implicit yang dapat difaktorkan adalah sebagai berikut.

Langkah 1

Nyatakan bagian bentuk kuadratnya ke dalam faktor-faktor dengan ruas kanan sama dengan nol, sehingga diperoleh L1 . L2=0.

L1 . L2=0L1=0 atau L2=0 dengan L1 danL2 masing-masing berbentuk linier.

Langkah 2:

Bentuk-bentuk linier yang diperoleh pada Langkah 1 digabungkan dengan persamaan linier semula, sehinngga diperoleh dua buah SPLDV. Kemudian selesaikan masing-masing SPLDV itu.

Langkah-langkah di atas dapat diperhatikan dalam bentuk bagan seperti di bawah ini.

3. Model Matematika Yang Berkaitan Dengan Sistem Persamaan

Dalam perhitungan matematika dan dalam kehidupan sehari-hari,

seringkali suatu masalah dapat diterjemahkan ke dalam model matematika yang

berbentuk sistem persamaan. Sistem persamaan yang diperoeh itu dapat berbentuk

Page 16: siamtk64.files.wordpress.com€¦  · Web viewa 1 x 0 + b 1 y 0 + c 1 z 0 = d 1 a 2 x 0 + b 2 y 0 + c 2 z 0 = d 2 a 3 x 0 + b 3 y 0 + c 3 z 0 = d 3 . Dalam hal demikian, ( x 0 ,

SPLDV, SPLTV, atau SPLK. Penyelesaian SPLDV, SPLTV, dan SPLK yang

telah dibahas di depan memegang peran penting dalam pemecahan masalah

tersebut.

Langkah pertama yang diperlukan adalah mengidentifikasi bahwa

karakteristik masalah yang akan diselesaikan berkaitan dengan sistem persamaan

(SPLDV, SPLTV, atau SPLK). Setelah masalahnya teridentifikasi, penyelesaian

selanjutnya melalui langkah-langkah sebagai berikut:

1. Menyatakan besaran yang ada dalam masalah sebagai variabel (dilambangkan

dengan huruf-huruf) sistem persamaan.

2. Merumuskan sistem persamaan yang merupakan model matematika dari

masalah.

3. Menentukan penyelesaian dari model matematika sistem persamaan yang

diperoleh pada Langkah 2.

4. Menafsirkan terhadap hasil yang diperoleh dan disesuaikan dengan masalah

semula.

Selanjutnya akan dibahas model matematika yang berbentuk SPLTV dan

SPLK.

1. Model Matematika yang Berbentuk SPLTV

Dalam poin ini akan dijelaskan bagaimana cara memecahkan masalah

yang berkaitan dengan model matematika yang berbentuk SPLTV. Untuk

tujuan itu, dapat disimak ilustrasi berikut ini:

Ali, Badar, dan Carli berbelanja di sebuah toko buku.

Ali membeli 2 buah buku tulis, sebuah pensil, dan sebuah penghapus.

Ali harus membayar Rp 4.700,00.

Badar membeli sebuah buku tulis, dua buah pensil, dan sebuah

penghapus. Badar harus membayar Rp 4.300,00.

Carli membeli 3 buah buku tulis, dua buah pensil, dan sebuah

penghapus. Carli harus membayar Rp 7.100,00.

Berapa harga untuk sebuah buku tulis, sebuah pensil, dan sebuah

penghapus?

Penyelesaian:

Page 17: siamtk64.files.wordpress.com€¦  · Web viewa 1 x 0 + b 1 y 0 + c 1 z 0 = d 1 a 2 x 0 + b 2 y 0 + c 2 z 0 = d 2 a 3 x 0 + b 3 y 0 + c 3 z 0 = d 3 . Dalam hal demikian, ( x 0 ,

Langkah 1:

Misalkan bahwa:

Harga untuk sebuah buku tulis adalah x rupiah,

Harga intuk sebuah pensil adalah y rupiah, dan

Harga untuk sebuah penghapus adalah z rupiah.

Langkah 2:

Dengan demikian, model matematika yang sesuai dengan data persoalan di atas

adalah:

{ 2 x+ y+z=4.700x+2 y+z=4.300

3 x+2 y+z=7.100

yang merupakan SPLTV dengan variabel x, y, dan z.

Langkah 3:

Penyelesaian SPLTV itu dapat ditentukan dengan metode substitusi,

metode eliminasi, atau gabungan keduanya.

Eliminasi peubah z:

2 x+ y+z=4.700x+2 y+z=4.300

x− y=400−¿

x+2 y+ z=4.3003x+2 y+z=7.100−2 x=−2.800

x=1.400

−¿

Substitusi nilai x=1.400 ke persamaan x− y=400, diperoleh:

1400− y=400 y=1.000

Substitusi nilai x=1.400 dan y=1.000 ke persamaan 2 x+ y+z=4.700,

diperoleh:

2 (1.400 )+1.000+z=4.7003.800+z=4.700

z=900

Jadi, harga sebuah buku tulis adalah Rp 1.400,00; harga sebuah pensil adalah

Rp 1.000,00; dan harga sebuah penghapus adalah Rp 900,00.

Page 18: siamtk64.files.wordpress.com€¦  · Web viewa 1 x 0 + b 1 y 0 + c 1 z 0 = d 1 a 2 x 0 + b 2 y 0 + c 2 z 0 = d 2 a 3 x 0 + b 3 y 0 + c 3 z 0 = d 3 . Dalam hal demikian, ( x 0 ,

Agar lebih memahami dalam memecahkan masalah yang berkaitan

dengan model matematika berbentuk SPLTV, dapat disimak contoh berikut ini.

Contoh:

Sebuah bilangan terdiri atas 3 angka. Jumlah ketiga angkanya sama dengan 16.

Jumlah angka pertama dan angka kedua sama dengan angka ketiga dikurangi 2.

Nilai bilangan itu sama dengan 21 kali jumlah ketiga angkanya kemudian

ditambah dengan 13. Carilah bilangan itu.

Jawab:

Misalkan bilangan itu xyz, x menempati tempat ratusan, y menempati tempat

puluhan, dan z menempati tempat satuan. Jadi, nilai bilangan itu

100 x+10 y+z. Berdasarkan data pada soal diperoleh SPLTV sebagai berikut.

{ x+ y+ z=16x+ y=z−2

100 x+10 y+z=21 ( x+ y+z )+13 { x+ y+z=16x+ y−z=2

79 x−11 y−20 z=13Eliminasi peubah y:

x+ y+z=16x+ y−z=2

2 z=18z=9

−¿

x+ y+z=1679x−11 y−20 z=13|×11

×1 |❑ +

11 x+11 y+11z=17679 x−11 y−20 z=13

90 x−9 z=189 +¿

Substitusi nilai z=9 ke persamaan 90 x−9 z=189, diperoleh:

90 x−9 (9 )=189

90 x−81=189

90 x=270

x=3

Substitusi nilai x=3 dan z=9 ke persamaan x+ y+z=16, diperoleh:

x+ y+z=16

y=4

Jadi, karena x=3, y=4, dan z=9 maka bilangan itu adalah 349.

2. Model Matematika yang Berbentuk SPLK

Page 19: siamtk64.files.wordpress.com€¦  · Web viewa 1 x 0 + b 1 y 0 + c 1 z 0 = d 1 a 2 x 0 + b 2 y 0 + c 2 z 0 = d 2 a 3 x 0 + b 3 y 0 + c 3 z 0 = d 3 . Dalam hal demikian, ( x 0 ,

Untuk lebih memahami cara memecahkan masalah yang berkaitan

dengan model matematika yang berbentuk SPLK, dapat disimak ilustrasi

berikut ini.

Sebuah mobil bergerak cepat dengan kecepatan tetap 80 m/detik di

suatu kawasan sekolah. Sebuah mobil pratoli mengejar mobil itu tepat

setelah mobil itu melewatinya. Mobil pratoli bergerak dari keadaan

berhenti dengan percepatan konstan 8 m/detik2. Tentukan waktu yang

diperlukan mobil pratoli untuk dapat menangkap mobil mengebut itu

dan dimana tempatnya.

Penyelesaian:

Langkah 1:

Misalkan x adalah jarak yang ditempuh (dalam meter) diukur ketika mobil

pratoli mulai bergerak dan t adalah waktu yang diperlukan (dalam detik) untuk

menempuh jarak sejauh x meter.

Langkah 2:

Berdasar ketentuan yang ada dalam soal:

Untuk mobil yang mengebut bergerak dengan kecepatan konstan

v0=80 m /detik , maka

x=v0 ∙ t

x=80 t

Untuk mobil pratoli bergerak dengan percepatan konstan a=8m /detik2,

maka

x=12

∙ a t2

x=4 t 2

Kedua persamaan yang diperoleh di atas merupakan model matematika dari

masalah yang berbentuk SPLK

x=80 t

x=4 t 2

Langkah 3:

Page 20: siamtk64.files.wordpress.com€¦  · Web viewa 1 x 0 + b 1 y 0 + c 1 z 0 = d 1 a 2 x 0 + b 2 y 0 + c 2 z 0 = d 2 a 3 x 0 + b 3 y 0 + c 3 z 0 = d 3 . Dalam hal demikian, ( x 0 ,

Penyelesaikan SPLK pada Langkah 2 diperoleh dengan metode substitusi,

yaitu dengan mensubstitusikan persamaan x=80 t ke persamaan x=4 t 2.

80 t=4 t2

4 t2−80 t=0

4 t (t−20 )=0

t=0atau t=20

Untuk t=0, diperoleh x=80 (0 )=0

Untuk t=20, diperoleh x=80 (20 )=1600

Langkah 4:

Untuk t=0 dan x=0, berarti peristiwa ini terjadi ketika pengebut tepat

melewati mobil patroli. Jelas bahwa solusi ini bukan merupakan jawaban dari

penyelesaian masalah. Jadi, mobil patroli dapat menangkap mobil pengebut

ketika t=20 detik dalam posisi x=1600 meter=1,6 km.

Model matematika SPLK yang berbentuk { y=ax+by=p x2+qx+r lebih

banyak digunakan untuk menganalis hubungan antara grafik fungsi linier

y=ax+b (berupa garis) dengan grafik fungsi kuadrat y=p x2+qx+r (berupa

parabola). Analisis itu dikaitkan dengan tafsiran geometri, diantaranya adalah:

Apakah garis memotong parabola di dua titik yang berlainan dan jika

berpotongan bagaimana menentukan koordinat titik potongnya?

Page 21: siamtk64.files.wordpress.com€¦  · Web viewa 1 x 0 + b 1 y 0 + c 1 z 0 = d 1 a 2 x 0 + b 2 y 0 + c 2 z 0 = d 2 a 3 x 0 + b 3 y 0 + c 3 z 0 = d 3 . Dalam hal demikian, ( x 0 ,

Apakah garis menyinggung parabola dan jika bersinggungan bagaimana

menentukan koordinat titik singgungnya serta persamaan garis

singgungnya?

Apakah garis tidak memotong maupun menyinggung parabola?

Untuk lebih memahami dan terampil dalam menganalisis hubungan

antara garis dan parabola, dapat disimak contoh berikut ini.

Contoh:

Suatu garis lurus dengan gradien −1 dan memotong parabola y=x2−6x+8 di

titik (2,0 ).

a) Tentukan persamaan garis lurus itu.

b) Tentukan koordinat titik potong yang lain.

Jawab:

a) Misalkan persamaan garis itu adalah y=−x+n

Titik (2,0 ) merupakan titik potong antara garis y=−x+n dengan parabola

y=x2−6 x+8, artinya titik (2,0 ) terletak pada garis dan sekaligus juga

terletak pada parabola. Substitusi x=2 dan y=0 ke persamaan garis

y=−x+n, diperoleh hubungan:

0=−(2 )+n

n=2

Jadi, persamaan garis lurus itu adalah y=−x+2

b) Substitusi persamaan y=−x+2 ke persamaan y=x2−6x+8, diperoleh:

x2−6 x+8=−x+2

x2−5 x+6=0

( x−2 ) ( x−3 )=0

x=2 atau x=3

Untuk x=2, diperoleh y=−(2 )+2=0 → (2,0 ). Titik potong ini sudah

diketahui dalam soal.

Untuk x=3, diperoleh y=−(3 )+2=−1 → (3 ,−1 )

Jadi, koordinat titik potong yang lain adalah -(3 ,−1 ).