Vektor potensial

MAKALAH

“Vektor Potensial Magnetik dan Syarat Batas Magnetostatik”

( disusun guna memenuhi tugas mata kuliah Listrik Magnet dengan dosen pengampu

mata kuliah Drs. Maryani)

Oleh :

Miranda Wahyuning Tyas (100210102013)

Millathina Puji Utami (100210102029)

Henry Ayu Kartikasari (100210102035)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS JEMBER

2012

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Telah diketahui ribuan tahun lalu, bahwa ada suatu bahan di alam ini, yang mempunyai

sifat, benda terbuat dari bahan tadi memberikan gaya kepada benda lain.benda semacam itu

berperan sebagai suatu bahan magnet, dan gaya yang ditimbulkan tersebut akibat karena adanya

kutub magnet Utara dan kutub magnet Selatan. Sering diungkapkan bahwa suatu batang magnet

mempunyai dua kutub Utara dan Selatan yang berpisah.

Peninjauan seperti ini, mengingatkan kita akan adanya keserupaan dengan elektrostatis

walaupun sesungguhnya konsepnya berbeda.

Pada elektrostatistika telah dibahas adanya medan karena muatan listrik yang diam, dan

dalam materi ini dikemukakan terjadinya medan magnet oleh muatan yang bergerak. Formulasi

matematika serta contoh disajikan dengan batasan bahwa arus listrik menyebabkan terjadinya

medan ini, dianggap stasioner dan mantap.

1.2 Rumusan Masalah

1. Bagaimana potensial vektor magnetik dari suatu magnet?

2. Bagaimana syarat batas magnetostatik dari suatu magnet?

1.3 Tujuan

1. Untuk mengetahui potensial vektor magnetik suatu magnet.

2. Untuk mengetahui syarat batas megnetostatik dari suatu magnet.

BAB II

PEMBAHASAN

3.6 Potensial Vektor Magnetik

Persamaan diferensial dasar tentang magnetostatik dapat dituliskan sebagai:

3.50)

(operasi curl dari medan magnet)

3.51)

(operasi divergensi dari medan magnet)

Ingat kembali bahwa kita memiliki vektor A (Laplacian)

3.52)

Sehingga 3.53)

A (r) adalah vektor yang berubah-ubah yang disebut sebagai vektor potensial magnetic. Kita

dapat menambahkan beberapa fungsi curl dengan tidak mempengaruhi B. Hal ini berarti

A’ ≠ A; dimana

A’ = A + 3.54)

Dari vektor analisis, dengan mempertimbangkan

3.55)

(laplacian)

Kita dapatkan:

3.56)

Kemudian substitusikan persamaan (3.53) dengan (3.50) sehingga

3.57)

Kita dapatkan persamaan Coulomb Gauge.

3.58)

Setelah itu substitusikan persamaan (3.58) dengan (3.57), dan diperoleh

3.59)

Untuk komponen x, y, dan z dapat ditulis:

Persamaan tersebut di atas identik dengan persamaan Poisson. Solusi dari persamaan ini adalah

(untuk bidang 3 dimensi)

Sedangkan untuk densitas aliran permukaan, dapat dipecahkan dengan persamaan

(untuk bidang 2 dimensi)

Untuk aliran pada kawat 1 dimensi, dipecahkan dengan persamaan

(untuk bidang 1 dimensi)

3.7 Syarat Batas Magnetostatik

Sesuai dengan uraian di atas, kita mempunyai hubungan di antara b, A, dan J, kecuali:

A=A(B) 3.63

Atau satu fungsi seperti B. Diperolah hubungan dengan melihat persamaan 3.50 dan 3.51 :

Lihat pula persamaan 3.58 and 5.35:

dari solusi B (lihat persamaan 3.32) yakni:

Untuk syarat batas yang sama, solusi dari Aadalah:

3.64)

Akhirnya kita dapat membangun hubungan diagram dari b,A,dan J.

Sekarang, kita akan mempertimbangkan hubungan di antara b,A, dan J pada batas di antara dua

medium.

Persoalan syarat batas akan disinggung berikut ini. Seperti halnyaterjadi pada medan listrik

yang menjadi tidak kontinu bila ada muatan permukaan , demikian pula terjadi pada medan

magnet yang tidak kontinu biala ada arus permukaan K. hal ini dapat dijelaskan sebagai

berikut :

Mengetahui sifat perubahan vektor medan pada batas dua medium atau bahan. Pandang

dua buah medium yang mempunyai permeabilitas berbeda (yang satu boleh hampa/udara)

2

1

Pada umumnya jika mediumnya berlainan, maka medan magnetnya juga berbeda.

Integrasikan untuk divergensi dari b (penyamaan 3.38) kita peroleh:

(Hukum magnetostatik)

a = 0 3.65)

Dimana :

B = medan magnetic yang menembus bidang

= vektor satuan yang tegak lurus dengan elemen permukaan (da)

da = elemen permukaan

diambil permukaan tertutup itu pada permukaan batas, dimana S = permukaan selubung silinder

tinggi silinder dipresentasikan d 0:

Karena = - maka :

Kemudian

3.66)

d

Komponen normal dari B kontinu pada batas.

Dengan :

Ban = medan magnet pada bidang bagian atas

Bbn = medan magnet pada bidang bagian bawah

S = Permukaan bidang

(gambar 3.18)

Untuk selanjutnya akan dibahas mengenai medan magnet yang menembus bidang dua dimensi.

Untuk permukaan garis lintang sejajar komponen, dipertimbangkan sesuai dengan hukum Amper

(lihat persamaan 3.49) :

tinggi silinder d 0, kemudian :

3.67a)

Dimana :

Bat = medan magnet yang menembus bidang dibagian atas dengan ketebalan tertentu

Bbt = medan magnet yang menembus bidang bagian bawah dengan ketebalan tertentu.

Total arus yang menutup loop adalah:

3.67b)

Dimana :

K = rapat arus pada elemen luas

= garis yang ditembus oleh medan magnet

Substitusi persamaan (3.67a) and (3.67b) ke persamaan (3.49) kemudian didapatkan :

3.68)

=

Persamaan (3.66) and (3.68) dapat ditulis sebagai :

3.69)

Berdasarkan persamaan gauge Coloumb (persamaan 3.58), atau divergensi persamaan (3.51) dan

persamaan (3.66), kemudian :

3.70)

adalah potensial vektor magnet bagian atas pada komponen normal.

adalah potensial vektormagnet bagian bawah pada komponen tangensial.

Selanjutnya untuk komponen tangensial, kita dapatkan fluks magnet sebagai:

3.71)

Menurut untuk gambar 3.18, ketika d 0 lalu luasnya adalah 0 dan didapatkan fluks magnetik:

adalah potensial vektor magnet bagian atas pada komponen tangensial.

adalah potensial vektor magnet bagian bawah pada komponen tangensial.

Karena itu, A ;

Namun derifatif dari A tentang ketidaksinambungan B :

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil diskusi kelompok kami, didapatkan beberapa kesimpulan. Bahwasanya:

1. Potensial vektor magnetik dari suatu magnet dapat dituliskan sebagai

2. Syarat batas magnetostatik dari suatu magnet

3.2 Saran

Agar lebih memahami tentang potensial magnetic disarankan kepada pembaca untuk mencari

referensi lainnya, baik dari buku maupun internet.

DAFTAR PUSTAKA

Supeno, 2011. ELECTRICITY AND MAGNETISM. Jember : JEMBER UNIVERSITY

Contoh soal:

Sebuah kulit bola dengan jari-jari R memiliki densitas (kepadatan) σ diputar pada kecepatan

anguler . Temukan vektor potensial di titik P!

i)

Dimana

ii)

iii)

da = R2 sinθ dθ dϕ iv)

kecepatan dari tiitk r dapat ditulis sebagai:

=

Untuk;

Maka

)

Meletakkan u= integralnya menjadi:

Jika point P berada dalam bola, dan R>s maka persamaan (viii) menjadi (2s/ . jika P berada

di luar bola, dan R<s, maka persamaan (viii) menjadi (2s/ . Tidak ada yang berubah dari (

x s) = - . Akhirnya kita dapatkan :

A (P) ( x s) untuk titik didalam bola

untuk titik diluar bola

For the rotating axis z then a point is in r (=s), , and we get :

A (r, , ) =

Medan magnetic di dalam kulit bola: