vektor di R2 dan R3

Pertemuan ke-8

Vektor di R2 dan R3

vektor• Vektor merupakan besaran yang mempunyai arah.

Secara geometri

• Setiap vektor dinyatakan secara geometris sebagai segmen garis berarah pada bidang atau ruang, dengan notasi garis berpanah. Ekor panah garis tersebut merupakan titik awal vektor, sedangkan ujung panah sebagai titik akhir (ujung) vektor tersebut. (contoh (a))

• Vektor-vektor yang mempunyai panjang dan arah yang sama dinamakan ekivalen. (contoh (b))

(b)

a

A

B

BAa

(a)

VEKTOR

Secara aljabar

• Misalkan u vektor di R2 u =(u1, u2), dimana u1, u2 ε R

• Misalkan v vektor di R3 v =(v1, v2, v3), dimana v1, v2, v3 ε R

u1, u2 disebut komponen u, sedangkan v1, v2, v3 disebut komponen v

• Dua vektor dikatakan ekivalen jika dan hanya jika besar dan arahnya sama atau dengan kata lain komponen yang bersesuaian sama

Misal: Diketahui u =(u1, u2) dan w =(w1, w2)

u = w u1= w1 dan u2 = w2

VEKTOR POSISI

• Vektor posisi adalah vektor yang berpangkal pada titik asal koordinat

A=(x1, y1)

O

=(x1, y1) vektor posisi titik A

AO

a

x

y

PENULISAN VEKTOR

• Penjumlahan

Misal vector di , maka

Secara Geometris

OPERASI VEKTOR

)yy,xx(wu 2121

wu

w

u

x

y

• Perkalian Skalar

Misal adalah sembarang vektor di R2 dan k bilangan riil tak nol (skalar), maka hasil kali didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya kali panjang dan arahnya sama seperti arah jika k > 0 dan berlawanan arah jika k < 0

• Pengurangan

OPERASI VEKTOR

Misal vector di , maka

)yy,xx()w(uwu 2121

Secara geometris wu

w

u

x

y

w

Misal dan vector di dan , maka panjang vector dan adalah:

Misal dan , maka jarak kedua vector tersebut adalah:

PANJANG (NORM) VEKTOR

222

1 uuu 23

22

21 wwww

222

211 )vu()vu(vu

• Hasil kali titik merupakan operasi antara dua buah vektor yang akan menghasilkan skalar.

Misal dan maka • Misal dan adalah vektor pada ruang yang sama maka hasil kali titik

dua vektor tersebut didefinisikan:

dimana adalah sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut (0<<). Sehingga, diperoleh kesimpulan

HASIL KALI TITIK

0batau0a0

0b,acosb.ab.a

0. ba

0b.a

0b.a

sudut tumpul

sudut lancip

=/2, atau dan saling tegak lurus/ortogonal

PROYEKSI ORTOGONAL

Secara geometri, proyeksi ortogonal suatu vektor terhadap vektor lain dapat diilustrasikan sebagai berikut :

= proyeksi orthogonal pada

= komponen yang tegak lurus terhadap

b

21 wwa

𝑤1

𝑤2

• Hasil kali silang merupakan perkalian antara dua vektor yang akan menghasilkan suatu vektor baru

• Definisi. Hasil kali silang dan vector di R3

Hasil kali silang dan didefinisikan:

HASIL KALI SILANG

kvv

uuj

vv

uui

vv

uu

vvv

uuu

kji

vxu21

21

31

31

32

32

321

321

kvuvujvuvuivuvu 122113312332

SIFAT HASIL KALI SILANG