Home >Documents >VEKTOR di R2 dan R3

VEKTOR di R2 dan R3

Date post:01-Jan-2016
Category:
View:558 times
Download:14 times
Share this document with a friend
Description:
alin
Transcript:
  • VEKTOR di R2 dan R3

  • Skalar besaran

    Vektor besaran dan arah

    mempunyai titik awal (pangkal) dan

    titik akhir (ujung).

    contoh : . B

    A . Dinotasikan : atauAB v

  • .penjumlahan vektor bersifat komutatif:

    a

    a

    b

    b + a b

    a b b a

  • Vektor dengan panjang nol disebut vektor nol (zero vector), ditulis 0

    .

    v

    v

    ( ) ( ) 0v v v v

  • Definisi : Jika v dan w adalah dua buah vektor, maka selisih dua buah vektor dinyatakan : v w = v + (-w)

    .

    ww

    v( )v w

  • Vektor dalam sistem koordinat

    Vektor v dengan titik awal (0,0) dan titik akhir (v1,v2) , ditulis v = (v1,v2)

    X

    Y

    v1

    v2 (v1,v2)

    (0,0)

    v

  • .

    Q (w1,w2)

    O(0,0)

    P(v1,v2)

    v

    w

    1 2 1 2

    1 1 2 2

    ( , ), ( , )

    ( , )

    v OP v v w OQ w w

    PQ v w w v w v

    x

    y

  • .

    x

    (v1,v2)

    (k v1, k v2)

    y

    (0,0)

    v

  • Definisi:

    Jika v bukan vektor nol dan skalar k > 0 , maka k v didefinisikan sebagai vektor yang punya panjang |k| kali panjang vektor v .

    bila k < 0, maka k v adalah vektor yang panjang |k| kali panjang vektor v dengan arah berlawanan dengan vektor v.

    bila k = 0 atau v = 0 k v = 0

  • R3

    Terdapat 3 buah sumbu yaitu x,y dan z

    Setiap vektor v dengan titik awal (0,0,0) dan titik akhir (v1,v2,v3) ditulis v = (v1,v2,v3).

    k skalar , k v = (k v1,k v2,k v3)

    Vektor dengan titik awal P(p1,p2,p3) dan titik akhir Q(q1,q2,q3), ditulis :

    1 1 2 2 3 3( , , )PQ q p q p q p

  • Translasi Sumbu

    . Y X = x - k , Y = y - l

    O(0,0) X

    Y

    O(k,l) X

    P (x,y) or (x,y)

  • 3.2 Norm dan aritmatika vektor Sifat-sifat aritmatika vektor:

    jika u , v , w vektor vektor pada R2 atau R3 , k dan l skalar, maka :

    a. u + v = v + u b. ( u + v ) + w = u + ( v + w)

    c. u + 0 = 0 + u = u d. u + ( - u ) = 0

    e. k ( l u ) = ( k l ) u f. k ( u + v ) = k u + k v

    g. ( k + l ) u = k u + l u

    h. 1 u = u

  • Norm atau panjang vektor u

    . 21 2

    2 2

    1 2

    3

    1 2 3

    2 2 2

    1 2 3

    u R u = (u ,u )

    panjang u dinotasikan u .

    u u u

    jika u R u = (u ,u ,u )

    u u u u

  • Vektor satuan adalah vektor dengan norm = 1

    Jika P1(x1,y1,z1) dan P2(x2,y2,y3) adalah dua titik di R3, maka jarak kedua titik adalah :

    1 2 2 1 1 2 2 1

    2 2 2

    1 2 2 1 1 2 2 1

    P P ( , , )

    P P

    x x y y z z

    x x y y z z

    k u k u

  • 3.3 Hasil kali titik dan proyeksi

    Definisi:

    Jika u dan v adalah vektor vektor pada ruang berdimensi2 atau 3 dan adalah sudut antara u dan v, maka hasilkali titik (dot product) atau hasilkali dalam Euclidean (Euclidean inner product) uv didefinisikan oleh :

    u v= u v cos ; 0 dan v 0

    = 0 ; 0 0

    jika u

    u atau v

  • Bentuk komponen Hasilkali Titik . 1 2 3 1 2 3

    2 2

    2 2

    2 2 2 2 2 2

    1 2 3 1 2 3

    2 2 2

    1 1 2 2 3 3

    1 1 2 2 3 3

    u ( , , ) dan v= ( , , )

    hukum cosinus :

    2 cos

    1 cos

    2

    ;

    Jika ,

    OP u u u OQ v v v

    PQ u v u v

    u v u v v u

    u u u u v v v v

    v u v u v u v u

    u v u v u v u v

    u v 2

    1 1 2 2

    R

    u v u v u v

  • . adalah sudut antara vektor u dan v :

    cos

    lancip 0

    tumpul 0

    10

    2

    u v

    u v

    u v

    u v

    u v

  • Vektor yang tegak lurus garis

    Akan ditunjukkan :

    pada R2 ada vektor n=(a,b) yang garis ax +by+c=0

    Misal P1(x1,y1) dan P2(x2,y2) pada garis ax +by+c=0, maka:

    ax1 +by1+c=0 dan ax2 +by2+c=0 substitusi kedua pers

    menjadi a(x1-x2) +b(y1-y2)=0. . . . (1)

    vektor P1P2 ={(x1-x2),(y1-y2)} dan n=(a,b) yang P1P2 maka P1P2 . n = 0 {(x1-x2), (y1-y2)} . (a,b) =0

    a(x1-x2) +b(y1-y2)=0 . . . (2) . Pers (1) dan (2) sesuai , sedang P1P2 terletak pada garis ax +by+c=0 . Maka terbukti bahwa vektor yang garis ax +by+c=0 adalah n=(a,b).

  • Sifat sifat hasilkali titik

    . Jika u , v , w R2 atau R3 dan k skalar.

    a. u . v = v . U

    b. u . ( v + w ) = u . v + u . w

    c. k ( u . v ) = ( k u ) . v = u . ( k v)

    d. v . v > 0 jika v 0 , dan v . v = 0 jika v = 0

  • Teorema 3.3.3

    Jika u dan a adalah vektor vektor pada R2 atau R3 dan a 0 maka,

    2

    2

    u aproj u= a (komponen u sepanjang a )

    a

    u au proj u = u a (komponen u orthogonal komponen a )

    a

    Bukti: lihat buku

    a

    a

  • Jarak titik Po(xo,yo) pada garis ax+by+c=d

    Q(x1,y1) titik sembarang pada garis ax +by+c=d

    n=(a,b) adalah vektor normal garis ax+by+c=d .

    Q(x1,y1)

    n=(a,b)

    Po(xo,yo)

    D

    ax+by+c=d

  • .

    n

    1 1

    1 1 1 1

    2 2

    1 1

    2 2

    ( , )

    ( , ) ( , ) ( ) ( )

    ( ) ( )

    o

    o

    o o o

    o o o o o

    o o

    QP nD proy QP

    n

    QP x x y y

    QP n x x y y a b a x x b y y

    n a b

    a x x b y yD

    a b

  • Hasilkali silang

    Jika u dan v vektor vektor pada R3, maka :

    u x v = luas jajaran genjang (pararelogram yang dibatasi oleh u dan v.

    * u x v= u v sin * u x v = {u v sin } n , dimana n adalah

    vektor satuan yang (u ,v) , mengikuti aturan tangan kanan.

  • Hasilkali silang vektor standar i = (1,0,0) , j = (0,1,0) , k = (0,0,1) , vektor

    vektor ini disebut vektor satuan standar

    ( standar unit vektor)

    i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0

    i x j = k j x k = i k x i = j

    j x i = -k k x j = -i i x k = - j

  • Definisi

    Jika u = ( u1,u2,u3) , v = (v1,v2,v3) R3 maka :

    u x v = (u2v3-u3v2)i (u3 v1 u1v3)j + (u1v2-u2v1)k.

    1 2 3

    1 2 3

    i j k

    u v u u u

    merupakan vektor (u,v) dengan panjang u v

    u v luas jajaran genjang dibatasi u dan v

    v v v

  • Hubungan hasilkali silang dan hasilkali titik

    u , v, w R3 maka : u . ( u x v ) = 0

    v . ( u x v ) = 0

    u x v2 =u 2 v 2 ( u . v )2

    u x ( v x w ) = ( u . w ) v ( u . v ) w

    (u x v )x w = ( u . w ) v ( v . w ) u

  • Sifat sifat Hasilkali silang

    u , v, w R3 dan k skalar maka :

    u x v = - ( v x u )

    u x ( v + w ) = ( u x v ) + ( u x w )

    (u + v) x w = ( u x w ) + ( v x w )

    k (u x v)= (k u) x v = u x (kv)

    u x 0 = 0 x u = 0

    u x u = 0

  • Definisi

    Jika u,v,w R3 , maka u . ( v x w ) disebut hasil kali tripel skalar ( scalar triple product ) dari u , v , w.

    1 2 3

    1 2 3

    1 2 3

    merupakan volume pararel epipedum dengan rusuk

    , , .

    u u u

    u v w v v v

    w w w

    u v w

  • .

    1 2 3

    1 2 3

    1 2 3

    0

    maka , dan sebidang.

    u u u

    u v w v v v

    w w w

    u v w

  • Vektor normal pada bidang ax+by+cz=d

    Misal P(x,y,z) dan Po(xo,yo,zo) adalah titik-titik pada bidang, r=OP dan ro = OPo adalah vektor posisi dari titik P dan Po , n(a,b) adalah vektor normal bidang, maka (r-ro) n(a,b)

    n . (r-ro ) = 0

    a(x-xo) + b(y-yo) + c(z-zo) = 0

    a x + b y + c z + (- a xo b yo c zo) = 0

    a x + b y + c z + d = 0

  • Jarak titik pada bidang D adalah jarak titik Po(xo,yo,zo) pada bidang

    ax + by + cz + d = 0 adalah

    Bukti : lihat buku ( sejalan dengan bukti jarak titik P(xo,yo) pada garis ax + by = c

    2 2 2

    o o oax by cz dD

    a b c

Click here to load reader

Embed Size (px)
Recommended