Top Banner
VEKTOR di R 2 dan R 3
31

VEKTOR di R2 dan R3

Jan 01, 2016

Download

Documents

Yuri Nadia C

alin
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: VEKTOR di R2 dan R3

VEKTOR di R2 dan R3

Page 2: VEKTOR di R2 dan R3

• Skalar besaran

• Vektor besaran dan arah

mempunyai titik awal (pangkal) dan

titik akhir (ujung).

contoh : . B

A . Dinotasikan : atauAB v

Page 3: VEKTOR di R2 dan R3

.penjumlahan vektor bersifat komutatif:

a

a

b

b + a b

a b b a

Page 4: VEKTOR di R2 dan R3

Vektor dengan panjang nol disebut vektor nol (zero vector), ditulis 0

• .

v

v

( ) ( ) 0v v v v

Page 5: VEKTOR di R2 dan R3

Definisi : Jika v dan w adalah dua buah vektor, maka selisih dua buah vektor dinyatakan : v – w = v + (-w)

• .

ww

v( )v w

Page 6: VEKTOR di R2 dan R3

Vektor dalam sistem koordinat

• Vektor v dengan titik awal (0,0) dan titik akhir (v1,v2) , ditulis v = (v1,v2)

X

Y

v1

v2 (v1,v2)

(0,0)

v

Page 7: VEKTOR di R2 dan R3

.

Q (w1,w2)

O(0,0)

P(v1,v2)

v

w

1 2 1 2

1 1 2 2

( , ), ( , )

( , )

v OP v v w OQ w w

PQ v w w v w v

x

y

Page 8: VEKTOR di R2 dan R3

• .

x

(v1,v2)

(k v1, k v2)

y

(0,0)

v

Page 9: VEKTOR di R2 dan R3

Definisi:

Jika v bukan vektor nol dan skalar k > 0 , maka k v didefinisikan sebagai vektor yang punya panjang |k| kali panjang vektor v .

bila k < 0, maka k v adalah vektor yang panjang |k| kali panjang vektor v dengan arah berlawanan dengan vektor v.

bila k = 0 atau v = 0 k v = 0

Page 10: VEKTOR di R2 dan R3

R3

• Terdapat 3 buah sumbu yaitu x,y dan z

• Setiap vektor v dengan titik awal (0,0,0) dan titik akhir (v1,v2,v3) ditulis v = (v1,v2,v3).

• k skalar , k v = (k v1,k v2,k v3)

• Vektor dengan titik awal P(p1,p2,p3) dan titik akhir Q(q1,q2,q3), ditulis :

1 1 2 2 3 3( , , )PQ q p q p q p

Page 11: VEKTOR di R2 dan R3

Translasi Sumbu

. Y’ X’ = x - k , Y’ = y - l

O(0,0) X

Y

O’(k,l) X’

P (x,y) or (x’,y’)

Page 12: VEKTOR di R2 dan R3

3.2 Norm dan aritmatika vektor Sifat-sifat aritmatika vektor:

jika u , v , w vektor vektor pada R2 atau R3 , k dan l skalar, maka :

a. u + v = v + u b. ( u + v ) + w = u + ( v + w)

c. u + 0 = 0 + u = u d. u + ( - u ) = 0

e. k ( l u ) = ( k l ) u f. k ( u + v ) = k u + k v

g. ( k + l ) u = k u + l u

h. 1 u = u

Page 13: VEKTOR di R2 dan R3

Norm atau panjang vektor u

• . 2

1 2

2 2

1 2

3

1 2 3

2 2 2

1 2 3

u R u = (u ,u )

panjang u dinotasikan u .

u u u

jika u R u = (u ,u ,u )

u u u u

Page 14: VEKTOR di R2 dan R3

Vektor satuan adalah vektor dengan norm = 1

Jika P1(x1,y1,z1) dan P2(x2,y2,y3) adalah dua titik di R3, maka jarak kedua titik adalah :

1 2 2 1 1 2 2 1

2 2 2

1 2 2 1 1 2 2 1

P P ( , , )

P P

x x y y z z

x x y y z z

k u k u

Page 15: VEKTOR di R2 dan R3

3.3 Hasil kali titik dan proyeksi

Definisi:

Jika u dan v adalah vektor vektor pada ruang berdimensi2 atau 3 dan adalah sudut antara

u dan v, maka hasilkali titik (dot product) atau hasilkali dalam Euclidean (Euclidean inner product) uv didefinisikan oleh :

u v= u v cos ; 0 dan v 0

= 0 ; 0 0

jika u

u atau v

Page 16: VEKTOR di R2 dan R3

Bentuk komponen Hasilkali Titik . 1 2 3 1 2 3

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

2 2 2

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

u ( , , ) dan v= ( , , )

hukum cosinus :

2 cos

1 cos

2

;

Jika ,

OP u u u OQ v v v

PQ u v u v

u v u v v u

u u u u v v v v

v u v u v u v u

u v u v u v u v

u v 2

1 1 2 2

R

u v u v u v

Page 17: VEKTOR di R2 dan R3

. adalah sudut antara vektor u dan v :

cos

lancip 0

tumpul 0

10

2

u v

u v

u v

u v

u v

Page 18: VEKTOR di R2 dan R3

Vektor yang tegak lurus garis

Akan ditunjukkan :

pada R2 ada vektor n=(a,b) yang garis ax +by+c=0

Misal P1(x1,y1) dan P2(x2,y2) pada garis ax +by+c=0, maka:

ax1 +by1+c=0 dan ax2 +by2+c=0 substitusi kedua pers

menjadi a(x1-x2) +b(y1-y2)=0. . . . (1)

vektor P1P2 ={(x1-x2),(y1-y2)} dan n=(a,b) yang P1P2

maka P1P2 . n = 0 ↔ {(x1-x2), (y1-y2)} . (a,b) =0 ↔

a(x1-x2) +b(y1-y2)=0 . . . (2) . Pers (1) dan (2) sesuai , sedang P1P2 terletak pada garis ax +by+c=0 . Maka terbukti bahwa vektor yang garis ax +by+c=0 adalah

n=(a,b).

Page 19: VEKTOR di R2 dan R3

Sifat – sifat hasilkali titik

• . Jika u , v , w Є R2 atau R3 dan k skalar.

a. u . v = v . U

b. u . ( v + w ) = u . v + u . w

c. k ( u . v ) = ( k u ) . v = u . ( k v)

d. v . v > 0 jika v 0 , dan v . v = 0 jika v = 0

Page 20: VEKTOR di R2 dan R3

Teorema 3.3.3

Jika u dan a adalah vektor vektor pada R2 atau R3 dan a 0 maka,

2

2

u aproj u= a (komponen u sepanjang a )

a

u au proj u = u a (komponen u orthogonal komponen a )

a

Bukti: lihat buku

a

a

Page 21: VEKTOR di R2 dan R3

Jarak titik Po(xo,yo) pada garis ax+by+c=d

Q(x1,y1) titik sembarang pada garis ax +by+c=d

n=(a,b) adalah vektor normal garis ax+by+c=d .

Q(x1,y1)

n=(a,b)

Po(xo,yo)

D

ax+by+c=d

Page 22: VEKTOR di R2 dan R3

• .

n

1 1

1 1 1 1

2 2

1 1

2 2

( , )

( , ) ( , ) ( ) ( )

( ) ( )

o

o

o o o

o o o o o

o o

QP nD proy QP

n

QP x x y y

QP n x x y y a b a x x b y y

n a b

a x x b y yD

a b

Page 23: VEKTOR di R2 dan R3

Hasilkali silang

• Jika u dan v vektor vektor pada R3, maka :

u x v = luas jajaran genjang (pararelogram

yang dibatasi oleh u dan v.

* u x v= u v sin

* u x v = {u v sin } n , dimana n adalah vektor satuan yang (u ,v) , mengikuti

“aturan tangan kanan”.

Page 24: VEKTOR di R2 dan R3

Hasilkali silang vektor standar • i = (1,0,0) , j = (0,1,0) , k = (0,0,1) , vektor –

vektor ini disebut vektor satuan standar

( standar unit vektor)

• i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0

• i x j = k j x k = i k x i = j

• j x i = -k k x j = -i i x k = - j

Page 25: VEKTOR di R2 dan R3

Definisi

• Jika u = ( u1,u2,u3) , v = (v1,v2,v3) Є R3 maka :

u x v = (u2v3-u3v2)i – (u3 v1 – u1v3)j + (u1v2-u2v1)k.

1 2 3

1 2 3

i j k

u v u u u

merupakan vektor (u,v) dengan panjang u v

u v luas jajaran genjang dibatasi u dan v

v v v

Page 26: VEKTOR di R2 dan R3

Hubungan hasilkali silang dan hasilkali titik

• u , v, w Є R3 maka : u . ( u x v ) = 0

v . ( u x v ) = 0

u x v2 =u 2 v 2 – ( u . v )2

u x ( v x w ) = ( u . w ) v – ( u . v ) w

(u x v )x w = ( u . w ) v – ( v . w ) u

Page 27: VEKTOR di R2 dan R3

Sifat sifat Hasilkali silang

u , v, w Є R3 dan k skalar maka :

• u x v = - ( v x u )

• u x ( v + w ) = ( u x v ) + ( u x w )

• (u + v) x w = ( u x w ) + ( v x w )

• k (u x v)= (k u) x v = u x (kv)

• u x 0 = 0 x u = 0

• u x u = 0

Page 28: VEKTOR di R2 dan R3

Definisi

• Jika u,v,w Є R3 , maka u . ( v x w ) disebut hasil kali tripel skalar ( scalar triple product ) dari u , v , w.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

merupakan volume pararel epipedum dengan rusuk

, , .

u u u

u v w v v v

w w w

u v w

Page 29: VEKTOR di R2 dan R3

• .

1 2 3

1 2 3

1 2 3

0

maka , dan sebidang.

u u u

u v w v v v

w w w

u v w

Page 30: VEKTOR di R2 dan R3

Vektor normal pada bidang ax+by+cz=d

• Misal P(x,y,z) dan Po(xo,yo,zo) adalah titik-titik pada bidang, r=OP dan ro = OPo adalah vektor posisi dari titik P dan Po , n(a,b) adalah vektor normal bidang, maka (r-ro) n(a,b)

n . (r-ro ) = 0

a(x-xo) + b(y-yo) + c(z-zo) = 0

a x + b y + c z + (- a xo – b yo – c zo) = 0

a x + b y + c z + d = 0

Page 31: VEKTOR di R2 dan R3

Jarak titik pada bidang • D adalah jarak titik Po(xo,yo,zo) pada bidang

ax + by + cz + d = 0 adalah

Bukti : lihat buku ( sejalan dengan bukti “jarak titik P(xo,yo) pada garis ax + by = c

2 2 2

o o oax by cz dD

a b c