Top Banner
Elektromagnetika I Bab I: Analisis Vektor (Vektor dan Sistem Koordinat)
33

Vektor Dan Sistem Koordinat

Nov 29, 2015

Download

Documents

Fisika Matematika...
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: Vektor Dan Sistem Koordinat

Elektromagnetika I

Bab I: Analisis Vektor(Vektor dan Sistem Koordinat)

Page 2: Vektor Dan Sistem Koordinat

MMR/KRU

Aljabar Vektor

Skalar : Besaran yang hanya memiliki nilai

Contoh : Temperatur, laju, jarak, dll

Vektor : Besaran yangmemiliki nilai dan arah

Contoh : Medan listrik, medan magnet, Gaya, kecepatan, posisi, percepatan, dll

Page 3: Vektor Dan Sistem Koordinat

MMR/KRU

Aljabar Vektor

Notasi Vektor A ditulis dengan A atau

AAA ˆrr=

dengan

Ar adalah besar vektor A atau

panjang vektor A

A adalah unit vektor A atauvektor satuan searah A

Vektor satuan atau unit vektor menya-takan arah vektor, besarnya satu

Page 4: Vektor Dan Sistem Koordinat

MMR/KRU

Sistem Koordinat

Lebih mudah menuangkan konsepvektor menggunakan sistemkoordinatTiga sistem koordinat :

- Koordinat Cartesius- Koordinat Silinder- Koordinat Bola

Page 5: Vektor Dan Sistem Koordinat

MMR/KRU

Koordinat Cartesius

Koordinat Cartesius tersusun atas tigasumbu koordinat yang saling tegak lurusmasing-masing sumbu x, y, dan z

adalah vektor satuan searahsumbu x, sumbu y, danSumbu z

zyx aaa ˆ,ˆ,ˆ

xa

za

y

x

z

ya

Page 6: Vektor Dan Sistem Koordinat

MMR/KRU

Koordinat Cartesius

Dalam koord. Cartesiussembarang vektor Aditulis

Ax, Ay, Az adalah komponenvektor A dalam arah sb x, sb y, dan sb z

zzyyxx aAaAaAA ˆˆˆ ++=r

yA y

x

z

Ar

xA

zA

Page 7: Vektor Dan Sistem Koordinat

MMR/KRU

Koordinat Cartesius

Besar vektor A ditulis

222zyx AAAA ++=

r

Unit vektor A atau vektor satuansearah A ditulis

222

ˆˆˆˆzyx

zzyyxx

AAA

aAaAaA

AAA

++

++== r

r

Page 8: Vektor Dan Sistem Koordinat

MMR/KRU

Contoh 1

Vektor A berpangkal di (0,0,0)dan memiliki komponen 2 ke arah x, 3 ke arah y, dan 4 ke arah z.Vektor A dapat ditulis:A = 2 ax + 3 ay + 4 az.

Page 9: Vektor Dan Sistem Koordinat

MMR/KRU

Contoh 2

Vektor B berpangkal di (3,0,0)dan memiliki komponen 1 ke arah x, -2 ke arah y, dan 4 ke arah z.Vektor B dapat ditulis:B = ax + -2 ay + 4 az.

Page 10: Vektor Dan Sistem Koordinat

MMR/KRU

x

y

z

2

4

3

A

A

B

Page 11: Vektor Dan Sistem Koordinat

MMR/KRU

Pada sistem koordinat kartesian, suatu vektor tidak tergantung titik pangkal dari vektor tersebut. Atau dengan kata lain, pada sistem koordinat kartesian, vektor adalah independen dengan titik pangkalnya.

Page 12: Vektor Dan Sistem Koordinat

MMR/KRU

Soal

Titik A terletak dalam koordinat Carte-sius (3,4,5), semua koordinat dalammeter.Tentukan :

Gambar vektor posisi APenulisan vektor posisi ABesar vektor AUnit vektor searah A

Page 13: Vektor Dan Sistem Koordinat

MMR/KRU

Koordinat Cartesius

Elemen kecil perpindahan (displace-ment infinitesimal) :

zyx adzadyadxld ˆˆˆ ++=r

dxdy

x

y

zP2

P1

Lihat jarak P1 ke P2dz

Page 14: Vektor Dan Sistem Koordinat

MMR/KRU

Koordinat Cartesius

Elemen kecil luasElemen kecil luas dalam bidang yz

yy adxdzdS r=

xx adydzdS r=

Elemen kecil luas dalam bidang xz

Elemen kecil luas dalam bidang xy

zz adxdydS r=

Elemen kecil volumedxdydzdV =

Page 15: Vektor Dan Sistem Koordinat

MMR/KRU

Koordinat Silinder

ρ

z

ϕ

za

ρaϕa

Dalam koord. Silindersembarang vektor Aditulis

zzaAaAaAA ˆˆˆ ++= ϕϕρρ

r

Aρ, Aϕ, Az adalah kompo-nen vektor A dalam arahsb ρ , sb ϕ , dan sb z

Page 16: Vektor Dan Sistem Koordinat

MMR/KRU

Contoh

Gambarkan vektor berikut pada sistem koordinat silinder

A= 3aρ + 2aφ + az berpangkal di M(2, 0, 0)B= 3aρ + 2aφ + az berpangkal di N(2, π/2, 0)

Page 17: Vektor Dan Sistem Koordinat

MMR/KRU

x

y

z

MN

3aρ

2aφ

az

3aρ

2aφaz

B

A

Page 18: Vektor Dan Sistem Koordinat

MMR/KRU

Meskipun vektor A dan B memiliki komponen yang sama, namun keduanya menunjuk ke arah berbeda karena titik pangkal yang berbeda.Dalam sistem koordinat kartesian, pembaca dengan mudah melihat bahwa vektor A ekivalen dengan 3ax+2ay + az. Dan vektor B ekivalen dengan –2ax + 3ay + az.

Page 19: Vektor Dan Sistem Koordinat

MMR/KRU

Koordinat Silinder

dρ ρdϕ

dz

zadzadadld ˆˆˆ ++= ϕρ ϕρρ

Elemen kecil perpin-dahan :r

Elemen kecil volume

dzdddV ϕρρ=

Page 20: Vektor Dan Sistem Koordinat

MMR/KRU

Koordinat Silinder

Elemen kecil luas

ρρ ϕρ adzddS ˆ=

ϕϕ ρ adzddS ˆ=

zz adddS ˆϕρρ=

Page 21: Vektor Dan Sistem Koordinat

MMR/KRU

Koordinat Bola

x

y

z

θϕ

ϕara

θarr

Vektor A ditulis :

ϕϕθθ aAaAaAA rr ˆˆˆ ++=r

Ar, Aϕ, Aθ adalah kompo-nen vektor A dalam arahsb r , sb ϕ , dan sb θ

Page 22: Vektor Dan Sistem Koordinat

MMR/KRU

contoh

Gambarkan vektor berikut pada sistem koordinat bola

A= 3ar + aθ + 2aφberpangkal di M(2, π/2, 0) B= 3ar + aθ + 2aφberpangkal di N(2, π/2, π/2)

Page 23: Vektor Dan Sistem Koordinat

MMR/KRU

x

y

z

MN

B

3ar

2aϕ

2aϕ

3araθ

A

Page 24: Vektor Dan Sistem Koordinat

MMR/KRU

Meskipun vektor A dan B memiliki komponen yang sama, namun keduanya menunjuk ke arah berbeda karena titik pangkal yang berbeda.Dalam sistem koordinat kartesian, pembaca dengan mudah melihat bahwa vektor A ekivalen dengan: 3ax+2ay - az. Dan vektor B ekivalen dengan –2ax + 3ay - az.

Page 25: Vektor Dan Sistem Koordinat

MMR/KRU

Koordinat Bola

Elemen vektor perpindahan

Elemen volume

ϕθθ ddrdrdV sin2=

ϕθθ drrdrdld sin++=rr

Page 26: Vektor Dan Sistem Koordinat

MMR/KRU

Transformasi Koordinat

1. Kartesius (x,y,z) ke Silinder (ρ, ϕ ,z)

zzxy

yx

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+=

−1

22

tanϕ

ρ

zz

yx

yx

AA

AAA

AAA

=

+−=

+=

ϕϕ

ϕϕ

ϕ

ρ

cossin

sincos

Page 27: Vektor Dan Sistem Koordinat

MMR/KRU

Contoh

Titik P terletak pada koord. kartesian (3, 4, 5), dan Vektor B = xax+yay terletak pada bidang kartesian xy.Tentukan :

Koordinat titik P pada sistem koordinat SilinderVektor B dalam koord. SilinderBesar dan arah B pada titik x=3 dany=4

Page 28: Vektor Dan Sistem Koordinat

MMR/KRU

Transformasi Koordinat

2. Kartesius (x,y,z) ke Bola (r, θ, ϕ)

⎟⎟

⎜⎜

⎛ +=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

++=

zyx

xy

zyxr

221

1

222

tan

tan

θ

ϕ

ϕϕ

θθϕθϕ

θθϕθϕ

ϕ

θ

cossin

sincossincoscos

cossinsinsincos

yx

zyx

zyxr

AAA

AAAA

AAAA

+−=

−+=

++=

Page 29: Vektor Dan Sistem Koordinat

MMR/KRU

Contoh

Titik P terletak pada koord. kartesian (3, 4, 5), dan Vektor E = (xax+yay+zaz)/(x2+y2+z2)3/2

Tentukan :Koordinat titik P pada sistem koordinat BolaVektor E dalam koord. Bola

Page 30: Vektor Dan Sistem Koordinat

MMR/KRU

Transformasi Koordinat

3. Silinder (ρ, ϕ ,z) ke Kartesius (x,y,z)

zzyx

=⋅=⋅=

ϕρϕρ

sincos 00 sincos ϕϕ ϕρ ⋅−⋅= AAAx

00 cossin ϕϕ ϕρ ⋅+⋅= AAAy

zz AA =

Page 31: Vektor Dan Sistem Koordinat

MMR/KRU

Contoh

Vektor A= 3aρ+4aϕ+5az beradapada sistem koordinat silinderdengan titik pangkal di (10,π/2,0)Tentukan penulisan vektor inipada sistem koordinat kartesian

Page 32: Vektor Dan Sistem Koordinat

MMR/KRU

Transformasi Koordinat

4. Bola ke Kartesius (x,y,z)

θϕθϕθ

cossinsincossin

⋅=⋅⋅=⋅⋅=

rzryrx

ϕθθϕϕϕθ coscos0sincossin 00 ⋅⋅+⋅−⋅⋅= AAArAx

00000 sincoscossinsin ϕθϕϕθ θϕ ⋅⋅+⋅+⋅⋅= AAAA ry

00 sincos θϕθ ⋅−⋅= AArAz

Page 33: Vektor Dan Sistem Koordinat

MMR/KRU

Contoh

Vektor A=3ar+5aθ+4aϕ berada pada sistem koordinat bola dengan titik pangkal di (10,π/2,0) Tentukan penulisan vektor ini pada sistem koordinat kartesian