UNIMED Undergraduate 22148 10. BAB II

7

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Renang

2.1.1 Sejarah Renang

Perlombaan berenang dimulai di Eropa sekitar tahun 1800. Sebagian besar

perenang berenang dengan memakai gaya dada. Pada 1873, John Arthur Trudgen

memperkenalkan gaya trudgen di lomba-lomba renang setelah meniru renang

gaya bebas suku Indian. Akibat ketidaksukaan orang Inggris terhadap gerakan

renang yang memercikkan air ke sana ke mari, Trudgen mengganti gerakan kaki

gaya bebas yang melecut ke atas dan ke bawah menjadi gerakan kaki gunting

seperti renang gaya samping.

Renang menjadi salah satu cabang olahraga yang dilombakan sejak

Olimpiade Athena 1896. Nomor renang putri dilombakan sejak Olimpiade

Stockholm 1912. Pada 1902, Richard Cavill memperkenalkan renang gaya bebas.

Federasi Renang Internasional dibentuk pada 1908. Gaya kupu-kupu pertama kali

dikembangkan pada tahun 1930-an. Pada awalnya, gaya kupu-kupu merupakan

variasi gaya dada sebelum dianggap sebagai gaya renang tersendiri pada 1952.

Di Hindia Belanda, Perserikatan Berenang Bandung (Bandungse

Zwembond) didirikan pada 1917. Pada tahun berikutnya didirikan Perserikatan

Berenang Jawa Barat (West Java Zwembond), dan Perserikatan Berenang Jawa

Timur (Oost Java Zwembond) didirikan pada 1927. Sejak itu pula perlombaan

renang antardaerah mulai sering diadakan. Rekor dalam kejuaraan-kejuaraan

tersebut juga dicatatkan sebagai rekor di Belanda.

(Roeswan dan Soekarno,1979 ; http://goenawanb.com/sports/pengertian-renang-

dan-sejarahnya/).

Pada 1936, perenang Hindia Belanda bernama Pet Stam mencatat rekor

59,9 detik untuk nomor 100 meter gaya bebas di kolam renang Cihampelas

Bandung. Persatuan Berenang Seluruh Indonesia (PBSI) didirikan 21 Maret 1951.

Perenang Indonesia ikut berlomba dalam Olimpiade Helsinki 1952. Perkumpulan

7

8

renang bangsa kita dari saat itu terus bertambah antara lain Tirta Merta

(Bandung), Tirta Kencana (Jakarta), Tirta mitra (Surabaya). Pada tahun 1954 telah

ada 29 perkumpumpulan renang terbesar di seluruh Indonesia (Heri Z, 2007).

2.1.2 Pengertian Renang

Di dalam buku Drs. Zulfan Heri yang berjudul “Sejarah Teknik Dasar

Renang dan Peraturan Perlombaan Renang” menyatakan bahwa renang adalah

suatu bentuk gerakan yang sama tuanya dengan bentuk-bentuk gerakan yang lain

misalnya lari, lempar dan sebagainya.

Menurut Andreas Viklund berenang adalah gerakan yang dilakukan oleh

manusia atau hewan sewaktu bergerak di air, dan biasanya tanpa

perlengkapanbuatan. Berenang bisa menjadi kegiatan rekreasi dan olahraga

(http://teiop.wordpress.com/tag/pengertian-renang/ ).

Renang adalah olahraga yang melombakan kecepatan atlet renang dalam

berenang dengan gaya tertentu. Kegiatan ini dapat dimanfaatkan untuk rekreasi

dan olahraga. Berenang dipakai sewaktu bergerak dari satu tempat ke tempat

lainnya di air, mencari ikan, mandi, atau melakukan olahraga air.Olahraga renang

membuat tubuh sehat karena hampir semua otot tubuh dipakai sewaktu berenang.

(http://www.smpn7bgr.com/PUTRI%20NUR%20FADILLAH&jdl=Pengertian-

Berenang)

2.1.3 Gaya Renang

Gaya renang adalah cara melakukan gerakan lengan dan tungkai berikut

koordinasi dari kedua gerakan tersebut yang memungkinkan orang berenang maju

di dalam air. Gaya renang yang dilombakan dalam perlombaan renang adalah

gaya kupu-kupu, gaya punggung, gaya dada, dan gaya bebas. Dalam lomba

renang nomor gaya bebas, perenang dapat menggunakan berbagai macam gaya

renang, kecuali gaya dada, gaya punggung, dan gaya kupu-kupu. Dalam

perlombaan renang dikenal istilah renang gaya ganti (estafet) yang mengacu

kepada urutan gaya renang yang harus dilakukan. Adapun gaya renang tersebut

adalah:

9

a. Gaya Bebas

Gaya bebas merupakan gaya yang tidak terikat dengan teknik-teknik dasar

tertentu. Gaya bebas adalah berenang dengan posisi dada menghadap ke

permukaan air. Kedua belah tangan secara bergantian digerakkan jauh ke depan

dengan gerakan mengayuh, sementara kedua belah kaki secara bergantian

dicambukkan naik turun ke atas dan ke bawah. Sewaktu berenang gaya bebas,

posisi wajah menghadap ke permukaan air. Pernapasan dilakukan saat lengan

digerakkan ke luar dari air, saat tubuh menjadi miring dan kepala berpaling ke

samping. Sewaktu mengambil napas, perenang bisa memilih untuk menoleh ke

kiri atau ke kanan. Dibandingkan gaya berenang lainnya, gaya bebas merupakan

gaya berenang yang bisa membuat tubuh melaju lebih cepat di air.

b. Gaya Dada

Gaya dada atau gaya katak (gaya kodok) adalah berenang dengan posisi

dada menghadap ke permukaan air, namun berbeda dari gaya bebas, batang tubuh

selalu dalam keadaan tetap. Posisi tubuh stabil dan kepala dapat berada di luar air

dalam waktu yang lama. Kedua belah kaki menendang ke arah luar sementara

kedua belah tangan diluruskan di depan. Kedua belah tangan dibuka ke samping

seperti gerakan membelah air agar badan maju lebih cepat ke depan. Gerakan

tubuh meniru gerakan katak sedang berenang sehingga disebut gaya katak.

Dalam pelajaran berenang, perenang pemula belajar gaya dada atau gaya

bebas. Di antara ketiga nomor renang resmi yang diatur Federasi Renang

Internasional, perenang gaya dada adalah perenang yang paling lambat.

c. Gaya Punggung

Sewaktu berenang gaya punggung, orang berenang dengan posisi

punggung menghadap ke permukaan air. Posisi wajah berada di atas air sehingga

orang mudah mengambil napas. Namun perenang hanya dapat melihat ke atas dan

tidak bisa melihat ke depan. Sewaktu berlomba, perenang memperkirakan dinding

tepi kolam dengan menghitung jumlah gerakan.

Dalam gaya punggung, gerakan lengan dan kaki serupa dengan gaya

bebas, namun dengan posisi tubuh telentang di permukaan air. Kedua belah

tangan secara bergantian digerakkan menuju pinggang seperti gerakan mengayuh.

10

Mulut dan hidung berada di luar air sehingga mudah mengambil atau membuang

napas dengan mulut atau hidung.

Sewaktu berlomba, berbeda dari sikap start perenang gaya bebas, gaya

dada, dan gaya kupu-kupu yang semuanya dilakukan di atas balok start, perenang

gaya punggung melakukan start dari dalam kolam. Perenang menghadap ke

dinding kolam dengan kedua belah tangan memegang besi pegangan. Kedua lutut

ditekuk di antara kedua belah lengan, sementara kedua belah telapak kaki

bertumpu di dinding kolam.

Gaya punggung adalah gaya berenang yang sudah dikenal sejak zaman

kuno. Pertama kali diperlombakan di Olimpiade Paris 1900, gaya punggung

merupakan gaya renang tertua yang diperlombakan setelah gaya bebas.

d. Gaya Kupu-kupu

Gaya kupu-kupu atau gaya dolfin adalah salah satu gaya berenang dengan

posisi dada menghadap ke permukaan air. Kedua belah lengan secara bersamaan

ditekan ke bawah dan digerakkan ke arah luar sebelum diayunkan ke depan.

Sementara kedua belah kaki secara bersamaan menendang ke bawah dan ke atas

seperti gerakan sirip ekor ikan atau lumba-lumba. Udara dihembuskan kuat-kuat

dari mulut dan hidung sebelum kepala muncul dari air, dan udara dihirup lewat

mulut ketika kepala berada di luar air.

Gaya kupu-kupu diciptakan tahun 1933, dan merupakan gaya berenang

paling baru. Berenang gaya kupu-kupu juga menuntut kekuatan yang lebih besar

dari perenang. Kecepatan renang gaya kupu-kupu didapat dari ayunan kedua belah

tangan secara bersamaan. Perenang tercepat gaya kupu-kupu dapat berenang lebih

cepat dari perenang gaya bebas.

(http://goenawanb.com/sports/pengertian-renang-dan-sejarahnya/)

2.1.4 Nomor Perlombaan

Perlombaan renang terdiri dari nomor-nomor perlombaan menurut jarak

tempuh, jenis kelamin, dan empat gaya renang (gaya bebas, gaya kupu-kupu, gaya

punggung, dan gaya dada). Nomor-nomor pertandingan renang dalam PON sudah

11

disesuaikan dengan nomor-nomor pertandingan renang nasional, sama dengan

nomor-nomor renang di Asian Games atau Olympic Games. Nomor perlombaan

renang menurut Perserikatan Berenang Seluruh Indonesia (PBSI) ialah:

Untuk Putra Untuk Putri

100 m gaya bebas 100 m gaya bebas

200 m gaya bebas 200 m gaya bebas

400 m gaya bebas 400 m gaya bebas

1500 m gaya bebas 800 m gaya bebas

100 m gaya kupu-kupu 100 m gaya kupu-kupu

200 m gaya kupu-kupu 200 m gaya kupu-kupu

100 m gaya punggung 100 m gaya punggung

200 m gaya punggung 200 m gaya punggung

100 m gaya dada 100 m gaya dada

200 m gaya dada 200 m gaya dada

200 m gaya ganti perorangan 200 m gaya ganti perorangan

400 m gaya ganti perorangan 400 m gaya ganti perorangan

4 x 100 m estafet gaya bebas 4 x 100 m estafet gaya bebas

4 x 200 m estafet gaya bebas -

4 x 100 m estafet gaya ganti 4 x 100 m estafet gaya ganti

(Roeswan dan Soekarno,1979).

Pada nomor gaya ganti perorangan, seorang perenang memakai keempat

gaya secara bergantian untuk satu putaran, dengan urutan: gaya kupu-kupu, gaya

punggung, gaya dada, dan gaya bebas. Pada nomor renang gaya ganti perorangan

12

100 m, perlombaan diadakan di kolam renang lintasan pendek 25 m.

Pada nomor 4 x 100 m gaya ganti estafet, satu regu diwakili empat orang

perenang yang masing-masing berenang 100 m. Perenang pertama memulai

dengan renang gaya punggung, dilanjutkan perenang gaya dada, perenang gaya

kupu-kupu, dan diakhiri oleh perenang gaya bebas.

2.1.5 Manfaat Berenang

Berenang adalah salah satu jenis olahraga yang mampu meningkatkan

kesehatan seseorang yang juga merupakan olahraga tanpa gaya gravitasi bumi

(non weight barring). Berenang terbilang minim risiko cedera fisik, karena saat

berenang seluruh berat badan ditahan oleh air atau mengapung. Selain itu

berenang merupakan olahraga yang paling dianjurkan bagi mereka yang kelebihan

berat badan (obesitas), ibu hamil dan penderita gangguan persendian tulang atau

arthritis. Berenang memiliki banyak manfaat yang dapat dirasakan apabila kita

melakukannya secara benar dan rutin, manfaat tersebut antara lain :

1) Membentuk otot. Saat berenang, kita menggerakkan hampir keseluruhan

otot-otot pada tubuh, mulai dari kepala, leher, anggota gerak atas, dada,

perut, punggung, pinggang, anggota gerak bawah, dan telapak kaki. Saat

bergerak di dalam air, tubuh mengeluarkan energi lebih besar karena harus

"melawan" massa air yang mampu menguatkan dan melenturkan otot-otot

tubuh.

2) Membantu mengencangkan otot-otot yang kendur. Gerakan renang yang

benar akan membantu Anda mengencangkan otot-otot tubuh Anda yang

kendur. Otot-otot di bagian lengan, payudara, perut, paha, dan betis, akan

menjadi lebih kencang dan badan menjadi lebih liat.

3) Melangsingkan tubuh. Wanita-wanita dengan kelebihan berat badan

biasanya menggunakan renang sebagai salah satu terapi rutin untuk

membantu membakar lemak, selain senam. Ini dapat berlaku sebaliknya,

bagi wanita yang terlampau kurus, renang juga bisa menjadi terapi untuk

menaikkan berat badan.

4) Meningkatkan kemampuan fungsi jantung dan paru-paru. Gerakan

mendorong dan menendang air dengan anggota tubuh terutama tangan dan

13

kaki, dapat memacu aliran darah ke jantung, pembuluh darah, dan paru-

paru. Artinya, berenang dapat dikategorikan sebagai latihan aerobik dalam

air.

5) Menambah tinggi badan. Berenang secara baik dan benar akan membuat

tubuh tumbuh lebih tinggi (bagi yang masih dalam pertumbuhan tentunya).

6) Melatih pernafasan. Sangat dianjurkan bagi orang yg terkena penyakit

asma untuk berenang karena sistem crdiovaskular dan pernafasan dapat

menjadi kuat. Penapasan kita menjadi lebih sehat, lancar, dan bisa

pernafasan menjadi lebih panjang.

7) Membakar kalori lebih banyak. Saat berenang, tubuh akan terasa lebih

berat bergerak di dalam air. Otomatis energi yang dibutuhkan pun menjadi

lebih tinggi, sehingga dapat secara efektif membakar sekitar 24% kalori

tubuh.

8) Self safety. Dengan berenang kita tidak perlu khawatir apabila suatu saat

mengalami hal-hal yang tidak diinginkan khususnya yang berhubungan

dengan air (jatuh ke laut, dll).

9) Merefreshkan pikiran dan menghilangkan stress. Anda mungkin lelah,

capek, stress dengan semua pekerjaan Anda yang memforsir tenaga dan

pikiran Anda. Nah, masuk ke dalam air akan membantu Anda merilekskan

badan, merefreshkan pikiran Anda. Secara psikologis, berenang juga dapat

membuat hati dan pikiran lebih relaks. Gerakan berenang yang dilakukan

dengan santai dan perlahan, mampu meningkatkan hormon endorfin dalam

otak. Suasana hati jadi sejuk, pikiran lebih adem, badan pun bebas gerah.

10) Memperlancar aliran darah bagi ibu hamil. Bagi ibu hamil, kegiatan

berenang dapat membantu memperlancar aliran darah ibu kepada janinnya

dan membantu menguatkan otot-otot. Juga dapat membantu pernapasan.

11) Manfaat psikologis tambahan, melatih pengaturan waktu, mengembangkan

jiwa sportif, dan meningkatkan rasa kepercayaan diri.

(http://www.iniunik.web.id/2011/06/11-manfaat-12-tips-berenang-yang-

benar.html)

14

2.1.6 Faktor Seseorang Pandai Berenang

Ada beberapa faktor seseorang pintar berenang yaitu:

a) Bakat

Bakat adalah kemampuan bawaan yang merupakan potensi yang masih

perlu dikembangkan atau dilatih untuk mencapai suatu kecakapan, pengetahuan

dan keterampilan khusus. Bakat baru muncul bila ada kesempatan untuk

berkembang atau dikembangkan. Sehingga mungkin saja seseorang tidak

mengetahui dan mengembangkan bakatnya sehingga tetap merupakan

kemampuan yang terpendam.

b) Kesehatan

Kesehatan adalah keadaan sejahtera dari badan, jiwa dan sosial yang

memungkinkan setiap orang hidup produktif secara sosial dan ekonomis. Dalam

berenang dibutuhkan kesehatan jasmani maupun rohani yang baik. Kesehatan

jasmani sangat dibutuhkan dalam berenang karena dengan kondisi tubuh yang

baik (fisik dan organ dalam) seseorang memungkinkan untuk dapat berenang

dengan lebih cepat. Kesehatan rohani juga sangat dibutuhkan karena dengan

kondisi mental yang baik seseorang tidak akan terbebani dan lebih tenang serta

fokus dalam mengikuti suatu pertandingan.

c) Tinggi badan

“Berenang adalah seni berselanjar pada gelombang yang tercipta dari gerakan

renang ,”kata Prof.Bejan. Para perenang yang membuat gelombang besar akan

lebih cepat. Tubuh lebih panjang berarti gelombang yang tercipta lebih besar.

Contoh bangsa Eropa memiliki tubuh tiga persen lebih tinggi dari Afrika Barat

yang memberikan 1,5 persen keuntungan kecepatan di kolam renang.

d) Fasilitas yang Mendukung

Seseorang yang memiliki bakat, haruslaah disertai fasilitas yang

mendukung karena tanpa fasilitas maka seseorang tersebut tidak akan memiliki

wadah untuk menlatih bakatnya agar lebih mahir lagi.

15

e) Motivasi

Motivasi adalah daya penggerak seseorang yang menjadi aktif pada saat

saat tertentu dimana seseorang tersebut ingin mencapai tujuan. Motivasi ini

sendiri terbagi menjadi 3 bagian yaitu motivasi internal, motivasi eksternal, dan

motivasi berprestasi.

1. Motivasi Internal : motivasi dari dalam diri sendiri dimana dia ingin

mencapai sesuatu yang dia inginkan, biasa disebut dengan “niat”

2. Motivasi Eksternal : motivasi yang didapat dari orang lain seperti halnya

pujian, taua pemberian hadiah atas kesuksesannya.

3. Motivasi berprestrasi : dimana seseorang memiliki keinginan bejuang

untuk sukses dan memilih kegiatan yang berorientasi sukses. Motivasi ini

tidak jauh berbeda dengan motivasi internal.

(http://www.anneahira.com/olah-raga-atletik.htm ;http://dohkamtis.blogspot.com/) 2.1.7 Kondisi yang Harus Dipenuhi Atlet

Kondisi yang harus dipenuhi seorang atlet adalah:

1. Sehat secara Fisik

Kemampuan fisik adalah karakteristik fungsional dari semua organ

kekuatan. Keadaan kondisi fisik yang baik akan mempengaruhhi pula

terhadap aspek-aspek kejiwaan seperti peningkatan motivasi kerja,

semangat kerja, rasa percaya diri, ketelitian,dan sebagainya. Karena bila

seorang atlet memiliki kondisi fisik yang baik, maka dapat

membangkitkan reaksi-reaksi yang positif dalam organisme tubuhnya, dan

akan dapat melakukan gerakan-gerakan dengan efisien .Apabila

kemampuan tersebut dikembangkan pada seseorang, maka ia akan

mempergunakan secara benar dan efisien dalam melakukan suatu gerakan.

Oleh karena itu maka tingkat kemampuan fisik harus dikembangkan untuk

mendapatkan kemampuan yang efisien.

2. Sehat secara rohani

Sehat secara rohanni berarti memliki kondisi kejiwaan yang baik, dimana

jiwanya tidak terganggu dan hidup secara normal.

16

3. Latihan yang cukup

Dengan kondisi fisik dan jasmani yang sehat saja tidak akan menjamin

bahwa seorang atlit akan berhasil tanpa latihan yang cukup dan benar.

Oleh sebab itu atlet sangat membutuhkan latihan, berikut ini diuraikan

unsur-unsur dalam latihan yaitu:

a. Intensitas: yang dimaksud intensitas latihan adalah tingkat kegiatan

didalam melakukan suatu latihan, misalnya; pace atau kecepatan lari atau

sering juga disebut kualitas latihan. Intensitas latihan dapat ditentukan

dengan menggunakan Teori Karvoner.

b. Duration: adalah lamanya waktu yang diperlukan untuk melaksanakan satu

pembebanan latihan tanpa harus istirahat. seorang atlit dapat meningkat

kemampuannya apabila kian menambah waktu latihannya namun

demikian perlu dijaga agar jangan sampai melebihi batas (over trainning)

karena hal ini juga bisa membahayakan atlit tersebut.

c. Volume: dalam latihan olahraga prestasi hal yang tidak kalah untuk

diperhatikan yaitu volume latihan, yang dimaksud adalah jumlah waktu

yang diperlukan untuk menyelesaikan seluruh pembebanan latihan

didalam satu session latihan. Jadi semakin cepat seorang atlit

menyelesaikan beban latihan dalam satu session maka mengindikasikan

bahwa kemampuannya semakin baik.

d. Istirahat/Rest: adalah waktu yang diperlukan untuk pemulihan/recovery

antara periode pembebanan.latihan. Masing-masing atlit membutuhkan

itirahat/rest yang berbeda-beda, ada atlit yang harus istirahat lebih lama

dalam melakukan recovery dan ada yang sebaliknya hal ini dipengaruhi

oleh kemampuan kardiovasculer dari atlit yang bersangkutan, semakin

baik kardiovaskulernya akan semakin cepat waktu yang dibutuhkan untuk

recovery.

e. Repetisi: adalah jumlah pengulangan yang dilakukan dalam suatu bentuk

latihan. Biasanya repetisi dilakukan antara delapan sampai sepuluh kali

dari satu bentuk latihan. Hal ini bertujuan agar bentuk latihan/gerakan

lebih gampang dikuasai sehingga otomatisai gerakan atau reflek gerak

17

cepat tercapai. Apabila semua unsur-unsur latihan olahraga dikelola

dengan baik ditambah dengan kedisiplinan yang tinggi, prestasi akan

gampang di raih.

4. Stamina yang baik

Seorang atlet renang harus mempunyai stamina yang baik dalam

menunjang peningkatan prestasinya. Agar dapat menjaga stamina seorang

atlet harus makan makanan bergizi tiap harinya, karena dengan latihan

terus menerus tanpa diimbangi dengan gizi yang baik maka dapat

menurunkan stamina. Dengan kondisi fisik dan jasmani yang baik, latihan

yang cukup dan stamina yang prima maka kemengan dalam pertandingan

akan dapat diraih.

(http://www. skripsi-penjas.com/olah-raga-atletik.html)

2.1.8 Risiko dalam Renang

Kecelakaan di air karena bisa menyebabkan cedera hingga kematian akibat

tenggelam. Sebelum memasuki air, perenang harus mencari tahu kedalaman

kolam renang, sungai, atau laut yang ingin direnangi. Berenang di sungai atau di

laut bisa sangat berbahaya bila datang arus deras atau ombak besar secara tiba-

tiba. Orang yang sedang dalam pengaruh alkohol dan obat-obatan dilarang untuk

berenang.

Kaca mata renang bisa mencegah mata orang yang memakainya dari

iritasi. Berenang di air kotor akan menyebabkan penyakit kulit dan iritasi mata. Di

kolam renang, bakteri penyebab penyakit dikendalikan dengan pemberian kaporit.

Pergantian air yang teratur akan meningkatkan kualitas air kolam yang sehat.

2.2 Matriks

2.2.1 Pengertian Matriks

Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan.

Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks. Jika

kita gunakan A untuk menyatakan sebuah matriks, maka kita akan menggunakan

18

aij untuk entrinya dalam baris i dan kolom j. Jadi matriks m x n yang umum dapat

dituliskan sebagai berikut:

𝐴 = �

𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22

⋯ 𝑎1𝑛⋯ 𝑎2𝑛

⋮ ⋮𝑎𝑛1 𝑎𝑛2

⋮⋯ 𝑎𝑚𝑛

� (1)

(Anton H, 1987)

Contoh:

A = �7 7 21 4 6� , matriks A berukuran 2 x 3

2.2.2 Penjumlahan matriks

Jika A dan B ada sebarang dua matriks yang ukurannya sama adalah

sebarang dua matriks yang ukurannya sama, maka jumlah A + B adalah matriks

yang diperoleh dengan menambahkan bersama – sama entri yang bersesuaian

dalam kedua matriks tersebut. Matriks – matriks yang ukurannya berbeda tidak

dapat dijumlahkan (Anton H, 1987).

Contoh : Misalkan 𝐴 = �1 3 56 4 75 1 2

� dan 𝐵 = �2 4 13 6 14 8 5

�

Maka 𝐴 + 𝐵 = �1 3 56 4 75 1 2

� + �2 4 13 2 14 8 5

� = �3 7 69 6 89 9 7

�

2.2.3 Perkalian Matriks

Jika A adalah matriks m x r dan B adalah r x n maka hasil kali AB adalah

matriks m x n yang entri – entrinya ditentukan sebagai berikut. Untuk mencari

entri dalam baris-i dan kolom- j dari AB, pisahkan baris-i dari matriks A dan

kolom- j dari matriks B. Kalikanlah entri – entri yang bersesuaian dari baris dan

kolom tersebut bersama – sama dan kemudian jumlahkanlah hasil yang

diperoleh (Anton H , 1987).

19

Contoh :

Diketahui 𝐴 = �2 56 1 84�, dan 𝐵 = �

1 43 87 2

�

Tinjaulah perkalian matriks A dan B. Karena A adalah matriks berukuran

2 x 3 dan B adalah matriks berukuran 3 x 2 maka hasil kali AB adalah matriks 2 x

2.

Perhitungan – perhitungan untuk hasil kali adalah :

(2.1) + (5.3) + (8.7) = 73

(2.4) + (5.8) + (8.2) = 64

(6.1) + (1.3) + (4.7) = 37

(6.4) + (1.8) + (4.2) = 40

Jadi, diperoleh 𝐴𝐵 = �73 6437 40 �

2.2.4 Perkalian Matriks Dengan Bilangan

Jika A adalah suatu matriks dan c adalah suatu bilangan, maka hasil kali

(product) cA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing – masing

entri dari A oleh c. Dalam hal ini ditulis cA = (caij). Khususnya dengan – A yang

disebut negatif dari A, diartikan matriks yang diperoleh dari A dengan cara

mengalikan setiap elemennya dengan -1 atau cukup dengan mengubah tanda

semua elemennya.

Contoh :

Diketahui matriks 𝐴 = �2 14 3−1 0

�

Maka 2𝐴 = �4 28 6−2 0

� dan (−1) 𝐴 = �−2 −1−4 −31 0

�

( Anton H, 1987)

20

2.3 Persoalan Optimasi dan Program Linier

Masalah optimasi merupakan masalah memaksimumkan atau

meminimumkan sebuah besaran tertentu yang disebut tujuan objektif (objective)

yang bergantung pada sejumlah berhingga variabel masukan (input variabels).

(Richard Bronson ,1996)

Program linear merupakan suatu model umum yang dapat digunakan

dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara

optimal. Masalah tersebut timbul apabila seseorang diharuskan untuk memilih

atau menentukan tingkat setiap kegiatan yang akan dilakukannya, dimana masing-

masing kegiatan membutuhkan sumber yang sama sedangkan jumlahnya terbatas

(Pangestu dkk, 1995).

Program linear merupakan matematika terapan dari aljabar linear dimana

dalam memecahkan persoalan dunia nyata melalui tahap-tahap sebagai berikut:

1. Memahami masalah di bidang yang bersangkutan

2. Menyusun model matematika

3. Menyelesaikan model matematika (mencari jawaban model)

4. Menafsirkan jawaban model menjadi jawaban atas masalah yang nyata.

Dalam model LP dikenal dua macam fungsi yaitu fungsi tujuan adalah

fungsi yang menggambarkan tujuan/sasaran didalam permasalahan LP yang

berkaitan dengan pengaturan secara optimal sumber daya, untuk memperoleh

keuntungan maksimal atau biaya minimal. Sedang fungsi batasan merupakan

bentuk penyajian secara matematis batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang

akan dialokasikan secara optimal keberbagai kegiatan. (Pangestu dkk, 1995)

Di waktu-waktu selanjutnya teori ini terus berkembang pesat dan

merambah berbagai bidang, terutama dibidang militer yang terkait dengan

optimasi strategi perang. Terbukti bahwa persoalan-persoalan pemrograman

linier dapat diuraikan dan diterapkan pada pemerintahan, perusahaan, bidang

kesehatan dan beberapa bidang yang lain.

21

Dalam bidang penugasan (assignment), pemrograman linier digunakan

dalam bentuk Metode Hungarian yang dapat menguraikan dan menentukan

seseorang atau barang (mesin-mesin) pada tempatnya atau pekerjaanya yang

bertujuan untuk mengecilkan biaya atau mendapatkan keuntungan yang

maksimal. (Kakiay, 2008).

Rumusan umum bentuk baku suatu program linear dapat dinyatakan

sebagai berikut:

Carilah nilai x1, x2, ..., xn yang dapat menghasilkan berbagai kombinasi optimum

(maksimum atau minimum).

𝑍 = 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2 + … + 𝑐𝑛𝑥𝑛

Dengan batasan:

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + … + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑎𝑡𝑎𝑢 ≥ 𝑏1

𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + … + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑎𝑡𝑎𝑢 ≥ 𝑏2

.... .... ....

𝛼𝑚1𝑥1 + 𝛼𝑚2𝑥2 + … + 𝛼𝑚𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑎𝑡𝑎𝑢 ≥ 𝑏𝑚

Syarat variabel 𝑥𝑗 ≥ 0 untuk j = 1, 2, ..., n

Dengan menggunakan notasi sigma :

Fungsi Tujuan 𝑍 = ∑ 𝑐𝑗𝑛𝑗=1 𝑥𝑗, untuk j = 1, 2, ..., n

Syarat ikatan ∑ 𝑎𝑖𝑗𝑛𝑗=1 𝑥𝑗 ≤ 𝑎𝑡𝑎𝑢 ≥ 𝑏𝑖

Untuk i = 1, 2, ..., m

Dan 𝑥𝑗 ≥ 0

keterangan:

𝑐𝑗 = koefisien harga variable pengambilan keputusan dalam fungsi tujuan .

𝑥𝑗 = variable pengambilan keputusan yang harus dicari atau variable aktivitas (keluaran atau output).

22

𝛼𝑖𝑗 = Konstanta variable aktivitas ke-j dalam pembatasan (kendala) ke-i.

𝑏𝑖 = Sumber daya yang terbatas atau konstanta (nilai sebelah kanan) dari pembatas ke-i, yang membatasi aktivitas berkaitan dengan usaha mengoptimalkan fungsi tujuan.

Z = Nilai skalar yang berkaitan dengan kriteria pengambilan keputusan fungsi tujuan.

(N. Soemartojo dan marthen, 1999 )

2.4 Metode Hungarian

Masalah penugasan merupakan kasus khusus dari masalah linear

programming pada umumnya. Masalah penugasan (assignment problem) adalah

suatu masalah mengenai pengaturan pada individu (objek) untuk melaksanakan

tugas (kegiatan), sehingga dengan demikian biaya/waktu/jarak yang digunakan

untuk pelaksanaan tugas tersebut dapat diminimalkan. Metode ini mula-mula

dikembangkan oleh seorang ahli matematika berkebangsaan hungaria yang

bernama D. Konig dalam tahun 1916. (Pangestu dkk, 1995).

Masalah penugasan mensyaratkan bahwa banyaknya penerima tugas sama

dengan banyaknya tugas, katakanlah sama dengan n. Dalam hal ini maka ada n!

cara yang berlainan untuk menetapkan tugas kepada penerima tugas berdasarkan

penugasan satu-satu (one-to-one basic). Banyaknya penugasan ini adalah n!

karena terdapat n cara untuk menetapkan tugas pertama, n-1 cara untuk

menetapkan tugas kedua, n-2 cara untuk menetapkan tugas ketiga, dan seterusnya

yang jumlah seluruhnya adalah: n.(n-1).(n-2)…3.2.1 = n! penugasan yang

mungkin.

Diantara n! penugasan yang mungkin ini, harus dicari satu penugasan yang

optimal. Sebuah penugasan optimal adalah penugasan dimana waktu total yang

ditempuh untuk menyelesaikan n tugas tersebut mempunyai nilai minimum

(Anton Rorres , 2005 ).

Berikut ini adalah persyaratan Metode Hungarian yaitu:

1. Jumlah sumber (m) yang ditugaskan harus sama dengan jumlah tugas (n)

yang harus diselesaikan.

23

2. Setiap sumber hanya mengerjakan satu tugas.

3. Apabila jumlah sumber tidak sama dengan jumlah tugas, maka

ditambahkan variabel dummy.

4. Terdapat dua permasalahan yang bisa diselesaikan yaitu memaksimumkan

keuntungan atau meminimumkan biaya . (Zulfikarijah, 2004)

Secara matematis model untuk masalah penugasan dapat ditulis dalam

suatu bentuk program linear sebagai berikut:

Meminimumkan

𝑍 = ��𝐶𝑖𝑗𝑋𝑖𝑗

𝑛

𝑗=1

𝑚

𝑖=1

(2)

Dengan batasan : ∑ 𝑥𝑖𝑗𝑚𝑖=1 = 1, untuk i = 1, 2, ..., m

∑ 𝑥𝑖𝑗𝑛𝑗=1 = 1, untuk j = 1, 2, ..., n

𝑥𝑖𝑗 = 0 atau 𝑥𝑖𝑗 = 1

Dimana:

Z = fungsi tujuan problema

𝑥𝑖𝑗 = variabel keputusan

𝑐𝑖𝑗 = nilai kontribusi objek i terhadap tugas j

m = jumlah objek (individu atau sumber daya)

n = jumlah tugas yang akan diselesaikan

𝑥𝑖𝑗 = 1, apabila pekerja i ditugaskan ke pekerjaan j

𝑥𝑖𝑗 = 0, apabila pekerja i tidak ditugaskan ke pekerjaan j

Untuk dapat diselesaikan dengan menggunkan metode Hungarian, maka

data dari masalah tersebut harus dipresentasikan dalam bentuk tabel penugsan

seperti yang terlihat pada tabel dibawah ini:

24

Tabel 2.1 Tabel Umum Bentuk Penugasan ( M = N )

Tugas

Karyawan

1 2 ... N

1 𝐶11 𝐶12 ... 𝐶1𝑛

2 𝐶21 𝐶22 ... 𝐶2𝑛

... ... ... ... ...

M 𝐶𝑚1 𝐶𝑚2 ... 𝐶𝑚𝑛

Pada tabel 2.1, 𝐶11 , 𝐶21 hingga Cmn mempresentasikan data keuntungan

yang diperoleh atau kerugian yang ditimbulkan oleh setiap karyawan dalam

menyelesaikan tugas. Misalnya, C11 adalah data yang mempresentasikan

keuntungan yang diperoleh atau kerugian yang ditimbulkan oleh karyawan 1

dalam menyelesaikan tugas 1 (Zulfikarijah, 2004).

Langkah – langkah penyelesaian dengan metode Hungarian adalah sebagai

berikut:

1. Identifikasi dan penyederhanaan masalah dalam bentuk tabel penugasan.

2. Untuk kasus minimalisasi, mencari biaya terkecil untuk setiap baris, dan

kemudian menggunakan biaya terkecil tersebut untuk mengurangi semua

biaya yang ada pada baris yang sama. Sedangkan untuk kasus

maksimalisasi, mencari nilai tertinggi untuk setiap baris yang kemudian

nilai tertinggi tersebut dikurangi dengan semua nilai yang ada dalam baris

tersebut.

3. Memastikan semua baris dan kolom sudah memiliki nilai nol. Apabila

masih ada kolom yang belum memiliki nilai nol , maka dicari nilai terkecil

pada kolom tersebut untuk selanjutnya digunakan untuk mengurangi

semua nilai yang ada pada kolom tersebut.

4. Tutup elemen-elemen bernilai nol dengan garis-garis mendatar atau tegak

pada setiap baris/kolom. Dalam membuat garis ini dimulai dari nolnya

terbanyak dan dibuat garis penutup paling minimal. Usahakan, Misalkan n

adalah banyaknya baris atau kolom dan banyaknya garis elemen nol

sekurang-kurangnya k, maka:

25

Jika k = n, berarti sudah diperoleh program optimal. Proses

dihentikan dan susun penugasan

Jika k ≠ n, maka proses dilanjutkan dengan mengikuti

langkah 5.

5. Cari bilangan terkecil dari bilangan-bilangan yang tak tertutup garis,

misalkan e. Selanjutnya:

Semua elemen yang tidak tertutup garis dikurangi e.

Semua elemen yang tertutup oleh satu garis tidak diubah.

Semua elemen yang tertutup oleh dua garis ditambah

dengan e.

6. Setelah diperoleh tabel baru kembali ke langkah – 4

Berikut ini adalah beberapa contoh kegiatan yang termasuk dalam masalah

penugasan yaitu:

1. Penempatan karyawan pada suatu posisi jabatan di perusahaan

Misalkan suatu perusahaan mempunyai empat posisi jabatan yang kosong.

Direktur telah mempunyai empat kandidat yang akan ditempatkan pada keempat

posisi jabatan tersebut, tetapi direktur belum bisa memutuskan kandidat mana

yang akan ditempatkan pada jabatan sama. Dengan menggunakan data kelebihan /

kekurangan dari setiap kandidat, direktur dapat menggunakan metode penugasan

untuk membantunya membuat keputusan.

2. Pembagian wilayah tugas salesmen

Seorang manejer pemasaran akan menempatkan beberapa salesmennya

dibeberapa wilayah pemasaran produknya. Berdasarkan data prakiraan

keuntungan yang akan diberikan oleh setiap salesman di setiap wilayah

pemasaran, sang manager dapat menjadwalkan penugasan salesman tersebut

dengan bantuan metode penugasan

26

3. Pembagian tugas dalam suatu tim renang estafet

Seorang pelatih renang mengasuh empat perenang yang akan diturunkan

di nomor estafet gaya ganti. Dikarenakan keempat perenang yang ada didaerah

asuhannya menguasai dengn baik setip gaya, maka pelatih dapat menggunakan

bantuan metode penugasan untuk membantunya membuat keputusn penempatan

perenang, berdasararkn pada data waktu terbaik masing-masing perenang di setiap

gaya.

(http:// cupzrad.blogspot.com/2012/06/metode-hungarian.html).

2.5 Permasalahan Dalam Penugasan

Syarat yang harus dipenuhi oleh suatu masalah penugasan adalah jumlah

pekerja harus sama dengan jumlah pekerjaan. Ketika persyaratan ini tidak

dipenuhi, maka ada cara penyelsaian yang harus dilakukan. Berikut ini yang

termasuk dalam permasalahan penugasan.

1. Jumlah pekerja (baris) lebih banyak daripada jumlah pekerjaan

(kolom).

Apabila jumlah tenaga kerja lebih banyak daripada jumlah pekerjaan,

maka pada tabel ditambahkan kolom dummy (dummy pekerjaan) dengan

nilai variabelnya nol.

Tabel 2.2 Tabel Penugasan banyak baris > banyak kolom Tugas

Karyawan

1 2 ... N Dummy

1 𝐶11 𝐶12 ... 𝐶1𝑛 0

2 𝐶21 𝐶22 ... 𝐶2𝑛 0

... ... ... ... ... ...

M 𝐶𝑚1 𝐶𝑚2 ... 𝐶𝑚𝑛 0

dimana : M = N + Dummy

27

2. Jumlah pekerjaan (kolom) lebih banyak daripada jumlah pekerja

( baris).

Apabila jumlah pekerjaan lebih banyak daripada jumlah pekerja, maka

pada tabel ditambahkan baris dummy dengan nilai variabelnya nol.

Tabel 2.3 Tabel Penugasan banyak kolom > banyak baris

Tugas

Karyawan

1 2 ... N

1 𝐶11 𝐶12 ... 𝐶1𝑛

2 𝐶21 𝐶22 ... 𝐶2𝑛

... ... ... ... ...

M 𝐶𝑚1 𝐶𝑚2 ... 𝐶𝑚𝑛

Dummy 0 0 ... 0

dimana : M + Dummy = N

2.6 Masalah Penugasan Tambahan

Dalam praktek sehari-hari, tidak semua masalah penugasan memiliki

matriks biaya atau keuntungan seperti dalam dua contoh kasus diatas. Ada

kalanya seorang karyawan misalnya, tidak dapat dialokasikan atau ditugaskan

untuk sebuah pekerjaan tertentu (karena alasan, usia, jenis kelamin, ketrampilan

yang tidak memadai, kondisi fisik, atau karena sebab lainnya). Dengan demikian

karyawan dengan keterbatasan seperti itu tidak dapat dipaksakan mengerjakan

sebuah pekerjaan yang memang tidak mungkin baginya.

Untuk mengatasi hal semacam ini, maka dalam proses penyelesaiaanya,

perlu ditambahkan sebuah bilangan, dan disebut dengan bilangan M (untuk

masalah minimalisasi) dan -M (untuk masalah maksimalisasi).Proses penyelesaian

selanjutnya dapat dilakukan dengan cara yang sama seperti pada kasus penugasan

yang normal, hanya saja pada keputusan optimalnya akan dihindari menugaskan

karyawan pada tugas yang memiliki bilangan M atau –M tersebut.

(Pangestu dkk,1995)