Top Banner

of 116

Turunan Slide

Oct 07, 2015

Download

Documents

Robby Hakiki

kalkulus
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
  • TURUNAN

    Departemen MatematikaFMIPA-IPB

    Bogor, 2012

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 1 / 64

  • Topik Bahasan

    1 Pendahuluan

    2 Turunan Fungsi

    3 Tafsiran Lain Turunan

    4 Kaitan Turunan dan Kekontinuan

    5 Rumus-rumus Turunan

    6 Turunan Fungsi Trigonometri

    7 Aturan Rantai

    8 Turunan Implisit

    9 Turunan Tingkat Lebih Tinggi

    10 Laju Terkait

    11 Solusi

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 2 / 64

  • Pendahuluan

    Mengapa Turunan Penting?

    Pemahaman yang baik tentang konsep turunan fungsi akan memudahkanmemahami laju perubahan suatu variabel yang bergantung pada variabellain, misalnya penentuan:

    Laju pertumbuhan suatu populasi (manusia, ikan, harimau, bakteri,dsb.)

    Biaya marjinal suatu produk.

    Kecepatan mobil seorang pembalap pada suatu waktu tertentu.

    Laju perubahan kecepatan aliran darah berdasarkan jarak dengandinding pembuluh.

    Laju penyebaran informasi, gosip.

    Laju peluruhan bahan radioaktif.

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 3 / 64

  • Turunan Fungsi

    Turunan Fungsi pada Suatu Titik/Bilangan

    Denisi (Turunan Fungsi pada Suatu Titik)

    Turunan fungsi f pada titik/bilangan a dinyatakan dengan f 0 (a) , adalah

    f 0 (a) = limh!0

    f (a+ h) f (a)h

    (1)

    asalkan limit tersebut ada.

    Bila limit tersebut ada (bukan atau ), maka fungsi f dikatakanterturunkan (memiliki turunan, dierentiable) di a.Perhatikan Gambar (a) berikut.

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 4 / 64

  • Turunan Fungsi

    Turunan Fungsi pada Suatu Titik/Bilangan

    Denisi (Turunan Fungsi pada Suatu Titik)

    Turunan fungsi f pada titik/bilangan a dinyatakan dengan f 0 (a) , adalah

    f 0 (a) = limh!0

    f (a+ h) f (a)h

    (1)

    asalkan limit tersebut ada.

    Bila limit tersebut ada (bukan atau ), maka fungsi f dikatakanterturunkan (memiliki turunan, dierentiable) di a.Perhatikan Gambar (a) berikut.

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 4 / 64

  • Turunan Fungsi

    Ilustrasi Geometris Denisi Turunan Pada Titik

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 5 / 64

  • Turunan Fungsi

    Alternatif Formula Turunan

    Bila pada denisi (1) diambil x = a+ h, akan diperoleh alternatifformula:

    f 0(a) = limx!a

    f (x) f (a)x a (2)

    (lihat Gambar (b))

    )

    f 0 (a) = limh!0

    f (a+ h) f (a)h

    = limx!a

    f (x) f (a)x a

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 6 / 64

  • Turunan Fungsi

    Alternatif Formula Turunan

    Bila pada denisi (1) diambil x = a+ h, akan diperoleh alternatifformula:

    f 0(a) = limx!a

    f (x) f (a)x a (2)

    (lihat Gambar (b))

    )

    f 0 (a) = limh!0

    f (a+ h) f (a)h

    = limx!a

    f (x) f (a)x a

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 6 / 64

  • Turunan Fungsi

    Alternatif Formula Turunan

    Bila pada denisi (1) diambil x = a+ h, akan diperoleh alternatifformula:

    f 0(a) = limx!a

    f (x) f (a)x a (2)

    (lihat Gambar (b))

    )

    f 0 (a) = limh!0

    f (a+ h) f (a)h

    = limx!a

    f (x) f (a)x a

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 6 / 64

  • Turunan Fungsi

    Contoh (Denisi Turunan pada Titik)

    Gunakan denisi turunan untuk menentukan:

    1 f 0 (0) bila f (x) = 2x + 1. SOLUSI

    2 f 0 (3) bila f (x) = 3/x . SOLUSI

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 7 / 64

  • Turunan Fungsi

    Soal

    Gunakan denisi turunan untuk menentukan f 0(1) bagi fungsi-fungsiberikut.

    1 f (x) = 1/x2 f (x) = x jx 1j

    3 f (x) =

    8>: x2 + 1 ; x 12x ; x > 1

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 8 / 64

  • Turunan Fungsi

    Turunan Sebagai Kemiringan Garis Singgung

    Garis singgung pada kurva y = f (x) di titik (a, f (a)) adalah garisyang melalui (a, f (a)) yang kemiringan/gradiennya sama denganf 0 (a), yakni turunan f di x = a.Persamaan garis singgung pada kurva y = f (x) di titik (a, f (a))adalah

    y f (a) = f 0 (a) (x a) (3)

    DEMO ANIMASI TURUNAN

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 9 / 64

  • Turunan Fungsi

    Ilustrasi Geometris Persamaan Garis Singgung

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 10 / 64

  • Turunan Fungsi

    Contoh

    Tentukan persamaan garis singgung pada kurva f (x) = 3/x yang melaluititik (3, 1) .

    SOLUSI

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 11 / 64

  • Turunan Fungsi

    Turunan Sebagai Fungsi

    Ganti titik tetap a dengan variabel x pada denisi turunan (1) dan(2), akan diperoleh fungsi f 0 dengan

    f 0 (x) = limh!0

    f (x + h) f (x)h

    = limz!x

    f (z) f (x)z x

    (4)

    f 0 pada (4) merupakan suatu fungsi, disebut turunan pertamafungsi f .Daerah asal f 0, Df 0 = fx ; f 0 (x) adag , Df 0 Df .Nilai f 0 (a) juga dapat dihitung dari (4) kemudian mengevaluasif 0 (x) untuk x = a.

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 12 / 64

  • Turunan Fungsi

    Turunan Sebagai Fungsi

    Ganti titik tetap a dengan variabel x pada denisi turunan (1) dan(2), akan diperoleh fungsi f 0 dengan

    f 0 (x) = limh!0

    f (x + h) f (x)h

    = limz!x

    f (z) f (x)z x

    (4)

    f 0 pada (4) merupakan suatu fungsi, disebut turunan pertamafungsi f .Daerah asal f 0, Df 0 = fx ; f 0 (x) adag , Df 0 Df .Nilai f 0 (a) juga dapat dihitung dari (4) kemudian mengevaluasif 0 (x) untuk x = a.

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 12 / 64

  • Turunan Fungsi

    Turunan Sebagai Fungsi

    Ganti titik tetap a dengan variabel x pada denisi turunan (1) dan(2), akan diperoleh fungsi f 0 dengan

    f 0 (x) = limh!0

    f (x + h) f (x)h

    = limz!x

    f (z) f (x)z x

    (4)

    f 0 pada (4) merupakan suatu fungsi, disebut turunan pertamafungsi f .Daerah asal f 0, Df 0 = fx ; f 0 (x) adag , Df 0 Df .Nilai f 0 (a) juga dapat dihitung dari (4) kemudian mengevaluasif 0 (x) untuk x = a.

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 12 / 64

  • Turunan Fungsi

    Turunan Sebagai Fungsi

    Ganti titik tetap a dengan variabel x pada denisi turunan (1) dan(2), akan diperoleh fungsi f 0 dengan

    f 0 (x) = limh!0

    f (x + h) f (x)h

    = limz!x

    f (z) f (x)z x

    (4)

    f 0 pada (4) merupakan suatu fungsi, disebut turunan pertamafungsi f .Daerah asal f 0, Df 0 = fx ; f 0 (x) adag , Df 0 Df .Nilai f 0 (a) juga dapat dihitung dari (4) kemudian mengevaluasif 0 (x) untuk x = a.

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 12 / 64

  • Turunan Fungsi

    Contoh

    Diketahui fungsi f dengan f (x) =px . Gunakan denisi turunan untuk

    menentukan f 0 (x) dan f 0(4). Tentukan Df dan Df 0 .SOLUSI

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 13 / 64

  • Turunan Fungsi

    Soal

    Gunakan denisi turunan untuk menentukan f 0 (x) ,Df , dan Df 0fungsi-fungsi berikut:

    1 f (x) = x2 2x2 f (x) = x2/3

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 14 / 64

  • Turunan Fungsi

    Notasi Lain Turunan

    Misalkan y = f (x). Beberapa notasi yang menyatakan turunan f :

    y 0 = f 0 (x) =dydx=dfdx=ddxf (x) = Df (x) = Dx f (x)

    Catatan: notasi dy/dx , df /dx , d/dx hanya merupakan simbol, bukanmerupakan operasi pembagian.

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 15 / 64

  • Tafsiran Lain Turunan

    Aplikasi TurunanFisika: Kecepatan Sesaat

    Nilai f 0 (a) merupakan laju perubahan sesaat dari y = f (x) terhadapx di x = a.

    Misalkan s = f (t) menyatakan fungsi posisi suatu objek pada waktut,

    kecepatan sesaat objek pada saat t = a adalah

    v = f 0 (a) = limt!0

    st= lim

    t!0f (a+ h) f (a)

    t

    laju objek pada saat t = a adalah jf 0 (a) j, yakni nilai mutlakkecepatan sesaat.

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 16 / 64

  • Tafsiran Lain Turunan

    Aplikasi TurunanEkonomi, Demogra

    Misalkan C = f (x) menyatakan total biaya produksi (Rp) untukmenghasilkan x barang (ton),

    f 0 (x) = limx!0 Cx bermakna laju total biaya produksi terhadapbanyaknya barang (Rp/ton). f 0 (x) dikenal sebagai biaya marjinal.

    Misalkan P = f (t) menyatakan banyaknya populasi pendudukIndonesia pada waktu t (tahun),

    f 0 (t) = limt!0 Pt bermakna laju perubahan populasi pada waktut (orang/tahun).

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 17 / 64

  • Kaitan Turunan dan Kekontinuan

    Kaitan Turunan dan Kekontinuan

    Teorema (Keterturunan Berimplikasi Kekontinuan)

    Jika f memiliki turunan di a, maka f kontinu di a.

    Makna HKekontinuan adalah syarat perlu agar f terturunkan, tetapi bukansyarat cukup.Untuk memeriksa keberadaan f 0 (a), terlebih dahulu periksakekontinuan f di a.

    Jika f kontinu di a, maka f 0(a) belum tentu ada.Jika f tak kontinu di a, maka f 0(a) tidak ada.

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 18 / 64

  • Kaitan Turunan dan Kekontinuan

    Kaitan Turunan dan Kekontinuan

    Teorema (Keterturunan Berimplikasi Kekontinuan)

    Jika f memiliki turunan di a, maka f kontinu di a.

    Makna HKekontinuan adalah syarat perlu agar f terturunkan, tetapi bukansyarat cukup.Untuk memeriksa keberadaan f 0 (a), terlebih dahulu periksakekontinuan f di a.

    Jika f kontinu di a, maka f 0(a) belum tentu ada.Jika f tak kontinu di a, maka f 0(a) tidak ada.

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 18 / 64

  • Kaitan Turunan dan Kekontinuan

    Kaitan Turunan dan Kekontinuan

    Teorema (Keterturunan Berimplikasi Kekontinuan)

    Jika f memiliki turunan di a, maka f kontinu di a.

    Makna HKekontinuan adalah syarat perlu agar f terturunkan, tetapi bukansyarat cukup.Untuk memeriksa keberadaan f 0 (a), terlebih dahulu periksakekontinuan f di a.

    Jika f kontinu di a, maka f 0(a) belum tentu ada.Jika f tak kontinu di a, maka f 0(a) tidak ada.

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 18 / 64

  • Kaitan Turunan dan Kekontinuan

    Kaitan Turunan dan Kekontinuan

    Teorema (Keterturunan Berimplikasi Kekontinuan)

    Jika f memiliki turunan di a, maka f kontinu di a.

    Makna HKekontinuan adalah syarat perlu agar f terturunkan, tetapi bukansyarat cukup.Untuk memeriksa keberadaan f 0 (a), terlebih dahulu periksakekontinuan f di a.

    Jika f kontinu di a, maka f 0(a) belum tentu ada.Jika f tak kontinu di a, maka f 0(a) tidak ada.

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 18 / 64

  • Kaitan Turunan dan Kekontinuan

    Kaitan Turunan dan Kekontinuan

    Teorema (Keterturunan Berimplikasi Kekontinuan)

    Jika f memiliki turunan di a, maka f kontinu di a.

    Makna HKekontinuan adalah syarat perlu agar f terturunkan, tetapi bukansyarat cukup.Untuk memeriksa keberadaan f 0 (a), terlebih dahulu periksakekontinuan f di a.

    Jika f kontinu di a, maka f 0(a) belum tentu ada.Jika f tak kontinu di a, maka f 0(a) tidak ada.

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 18 / 64

  • Kaitan Turunan dan Kekontinuan

    Contoh (Kontinu, Tak Terturunkan)

    Tunjukkan bahwa f (x) = jx j kontinu di x = 0 tetapi f 0 (0) tidak ada.SOLUSI

    Contoh (Kontinu, Terturunkan)

    Tentukan f 0 (1), bila

    f (x) =

    8>: x2 + 1 ; x < 1

    2x ; x 1SOLUSI

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 19 / 64

  • Kaitan Turunan dan Kekontinuan

    Soal (Keterkaitan Turunan dan Kekontinuan)

    1 Tentukan g 0(1) dan g 0 (1) bila

    g(x) =

    8>>>>>>>>>:1 2x ; x < 1x2 ; 1 x 12x ; x > 1

    2 Fungsi f didenisikan sebagai f (x) =

    8>: x2 ; x amx + b ; x > a

    Nyatakan nilai m dan b terhadap a agar f terturunkan di a.

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 20 / 64

  • Kaitan Turunan dan Kekontinuan

    Di mana Turunan Tidak Ada?

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 21 / 64

  • Rumus-rumus Turunan

    Rumus-rumus Turunan

    Rumus-rumus turunan berikut, dapat diperoleh melalui denisi turunan(4) .

    Teorema (Turunan Fungsi)

    Misalkan u = f (x), v = g(x), dan c suatu konstanta

    1.ddx(c) = 0 4.

    ddx(u v) = du

    dx dvdx

    2).ddx(xn) = nxn1 5.

    ddx(uv) =

    dudxv + u

    dvdx

    3.ddx(cu) = c

    dudx

    6.ddx

    uv

    =

    dudxv udv

    dx

    /v2

    2) n : bil. bulat positif

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 22 / 64

  • Rumus-rumus Turunan

    Contoh

    Tunjukkan bahwa:

    1ddx(c) = 0. SOLUSI

    2ddx(xm) = mxm1 berlaku untuk bilangan bulat negatif m. SOLUSI

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 23 / 64

  • Rumus-rumus Turunan

    Turunan Fungsi Pangkat

    Teorema (Turunan Fungsi Pangkat Umum)

    Jika n sebarang bilangan real, maka

    ddx(xn) = nxn1 (5)

    Dari pembahasan sebelumnya, berlaku

    ddx(xn) = nxn1, n : bilangan bulat (6)

    Pada pembahasan turunan fungsi implisit akan ditunjukkan bahwa(6) berlaku untuk n : bilangan rasional (pecahan).Pada pembahasan teknik penurunan logaritmik akan ditunjukkanbahwa (6) berlaku untuk n : bilangan real.

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 24 / 64

  • Rumus-rumus Turunan

    Soal1 Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut:a. y = 2x3 x2 + 5b. g(x) =

    x3 3x / (3x 1)

    c. u = (x2 x)(x5 2x3)/x4

    2 Tunjukkan bahwaddx

    xpx2 1 =

    1p(x2 1)3 .

    3 Tentukan g 0 (x) jika g (x) = x2f (x) .

    4 Nyatakan limx!1

    x2012 1x 1 sebagai bentuk turunan, dan tentukan

    nilainya.

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 25 / 64

  • Rumus-rumus Turunan

    Turunan Fungsi Sesepenggal

    Teorema berikut memudahkan dalam mencari turunan fungsisesepenggal (piecewise functions), tanpa menggunakan denisiturunan.

    Teorema (Turunan Fungsi Sesepenggal)

    Andaikan f kontinu di a serta limx!a

    f 0 (x) dan limx!a+

    f 0 (x) ada. Fungsi f

    terturunkan di a jika dan hanya jika limx!a

    f 0 (x) = limx!a+

    f 0 (x) dan

    f 0 (a) = limx!a

    f 0 (x) = limx!a+

    f 0 (x) (7)

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 26 / 64

  • Rumus-rumus Turunan

    Contoh1 Periksa apakah f terturunkan di x = 1, jika

    f (x) =

    8>: x2 , x < 1px , x 1

    Tentukan f 0 (x) .SOLUSI

    2 Tentukan konstanta a dan b agar f terturunkan di x = 1.

    f (x) =

    8>: 3x2 , x 1

    ax + b , x > 1SOLUSI

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 27 / 64

  • Turunan Fungsi Trigonometri

    Turunan Fungsi TrigonometriLimit Penting

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 28 / 64

  • Turunan Fungsi Trigonometri

    Turunan Sinus, Cosinus

    ddxsin x = lim

    h!0(sin (x + h) sin x) /h

    = limh!0

    (sin x cos h+ cos x sin h sin x) /h

    = limh!0

    cos x (sin h) /h sin x(1 cos h)/h

    = cos xlimh!0

    (sin h) /h sin x

    limh!0

    (1 cos h)/h

    = cos x 1 sin x 0= cos x

    dengan cara serupa, dapat ditunjukkan bahwa ddx cos x = sin x .

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 29 / 64

  • Turunan Fungsi Trigonometri

    Turunan Fungsi Trigonometri

    ddxsin x = cos x

    ddxcos x = sin x

    ddxtan x = sec2 x

    ddxcot x = csc2 x

    ddxsec x = sec x tan x

    ddxcsc x = csc x cot x

    (8)

    Satuan sudut: radian (2pi rad = 360o ! 1 rad = 57.3o).

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 30 / 64

  • Turunan Fungsi Trigonometri

    SoalDengan menggunakan turunan fungsi sinus dan cosinus, tunjukkankebenaran turunan fungsi trigonometri lainnya pada (8) .

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 31 / 64

  • Aturan Rantai

    Aturan Rantai

    Misalkan ingin ditentukan dy/dx bagi y = (x2 3x)2.Teknik Oi) kuadratkan (karena bentuknya sederhana):

    y = x4 6x3 + 9x2

    dy/dx = 4x3 18x2 + 18xii) pemisalan variabel baru:misalkan y = u2, u = x2 3x ! dy/du = 2u, du/dx = 2x 3dydx

    =dydududx= 2u (2x 3) = 2x2 6x (2x 3)

    = 4x3 18x2 + 18x ( = cara i)Metode ii) dikenal dengan aturan rantai.Misalkan y = (x2 3x)2012, dy/dx = ? Teknik i) amat rumit,teknik aturan rantai amat esien.

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 32 / 64

  • Aturan Rantai

    Aturan Rantai

    Misalkan ingin ditentukan dy/dx bagi y = (x2 3x)2.Teknik Oi) kuadratkan (karena bentuknya sederhana):

    y = x4 6x3 + 9x2

    dy/dx = 4x3 18x2 + 18xii) pemisalan variabel baru:misalkan y = u2, u = x2 3x ! dy/du = 2u, du/dx = 2x 3dydx

    =dydududx= 2u (2x 3) = 2x2 6x (2x 3)

    = 4x3 18x2 + 18x ( = cara i)Metode ii) dikenal dengan aturan rantai.Misalkan y = (x2 3x)2012, dy/dx = ? Teknik i) amat rumit,teknik aturan rantai amat esien.

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 32 / 64

  • Aturan Rantai

    Aturan Rantai

    Misalkan ingin ditentukan dy/dx bagi y = (x2 3x)2.Teknik Oi) kuadratkan (karena bentuknya sederhana):

    y = x4 6x3 + 9x2

    dy/dx = 4x3 18x2 + 18xii) pemisalan variabel baru:misalkan y = u2, u = x2 3x ! dy/du = 2u, du/dx = 2x 3dydx

    =dydududx= 2u (2x 3) = 2x2 6x (2x 3)

    = 4x3 18x2 + 18x ( = cara i)Metode ii) dikenal dengan aturan rantai.Misalkan y = (x2 3x)2012, dy/dx = ? Teknik i) amat rumit,teknik aturan rantai amat esien.

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 32 / 64

  • Aturan Rantai

    Aturan Rantai

    Misalkan ingin ditentukan dy/dx bagi y = (x2 3x)2.Teknik Oi) kuadratkan (karena bentuknya sederhana):

    y = x4 6x3 + 9x2

    dy/dx = 4x3 18x2 + 18xii) pemisalan variabel baru:misalkan y = u2, u = x2 3x ! dy/du = 2u, du/dx = 2x 3dydx

    =dydududx= 2u (2x 3) = 2x2 6x (2x 3)

    = 4x3 18x2 + 18x ( = cara i)Metode ii) dikenal dengan aturan rantai.Misalkan y = (x2 3x)2012, dy/dx = ? Teknik i) amat rumit,teknik aturan rantai amat esien.

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 32 / 64

  • Aturan Rantai

    Aturan Rantai

    Misalkan ingin ditentukan dy/dx bagi y = (x2 3x)2.Teknik Oi) kuadratkan (karena bentuknya sederhana):

    y = x4 6x3 + 9x2

    dy/dx = 4x3 18x2 + 18xii) pemisalan variabel baru:misalkan y = u2, u = x2 3x ! dy/du = 2u, du/dx = 2x 3dydx

    =dydududx= 2u (2x 3) = 2x2 6x (2x 3)

    = 4x3 18x2 + 18x ( = cara i)Metode ii) dikenal dengan aturan rantai.Misalkan y = (x2 3x)2012, dy/dx = ? Teknik i) amat rumit,teknik aturan rantai amat esien.

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 32 / 64

  • Aturan Rantai

    Teorema (Aturan Rantai)

    Misalkan f (u) terturunkan di u = g (x) dan g (x) terturunkan di x , makafungsi komposisi (f g) (x) terturunkan di x dan

    (f g)0 (x) = f 0 (g (x)) g 0 (x) (9)

    Dengan notasi Leibniz, jika y = f (u) dan u = g (x) , maka

    dydx=dydududx

    (10)

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 33 / 64

  • Aturan Rantai

    Ilustrasi Aturan RantaiKomposisi 2 Fungsi

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 34 / 64

  • Aturan Rantai

    Perluasan Aturan RantaiKomposisi > 2 Fungsi

    dst.

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 35 / 64

  • Aturan Rantai

    Contoh

    Tentukanddx

    p4x + 10

    SOLUSI

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 36 / 64

  • Aturan Rantai

    Soal1 Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut:a. y =

    x2 + 1

    4 2x3 3x + 5b. y = tan(1 sin2 (2t 1))

    2 Tentukan ddx cos x berdasarkan kesamaan cos x = sin (pi/2 x) dansin x = cos (pi/2 x).

    3 Diketahui

    x f (x) g (x) f 0 (x) g 0 (x)

    0 1 1 5 1/3

    1 3 4 1/3 8/3

    Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut di titik yang diberikan.

    a) f (x) g3 (x) , x = 0 c) f (x + g (x)) , x = 0

    b) fpx, x = 1 d)

    px5 + f (x), x = 1

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 37 / 64

  • Turunan Implisit

    Turunan Implisit

    Fungsi eksplisit: y = f (x)

    Contoh: y = 2x + 1, y =p1 x2

    Fungsi implisit: F (x , y) = c (konstanta), dengan asumsi y fungsiterhadap x .

    Contoh: y 2x 1 = 0, x2 + y2 = 1, sin (xy) + 2x2 = 3Menurunkan fungsi implisit

    turunkan kedua ruas terhadap x ,gunakan aturan rantai,tentukan dy/dx .

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 38 / 64

  • Turunan Implisit

    Contoh

    Tentukan dy/dx = y 0 pada lingkaran x2 + y2 = 25, dan tentukanpersamaan garis singgung di titik (4, 3) pada lingkaran.

    SOLUSI

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 39 / 64

  • Turunan Implisit

    Turunan Fungsi Pangkat Rasional

    TeoremaMisalkan p, q bilangan bulat,

    ddxxp/q =

    pqxp/q1, q 6= 0 (11)

    Soal

    Gunakan teknik penurunan implisit untuk menunjukkan (11) .

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 40 / 64

  • Turunan Implisit

    Soal

    Tentukan dy/dx bagi persamaan-persamaan berikut.

    1 3x3 + 4y3 + 8 = 0

    2pxy + 4 = y

    3 cos (x + y) = x2 + y2

    4 Tunjukkan bahwa kurva xy3 + x3y = 4 tidak memiliki garis singgunghorizontal.

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 41 / 64

  • Turunan Tingkat Lebih Tinggi

    Turunan Tingkat Lebih Tinggi

    Turunan ke- Notasi f 0 Notasi y 0 Notasi Leibniz Notasi D

    1 f 0 (x) y 0dydx

    Dx y

    2 f 00 (x) y 00d2ydx2

    D2x y

    3 f 000 (x) y 000d3ydx3

    D3x y

    n, n 4 f (n) (x) y (n) dnydxn

    Dnx y

    dnydxn

    =ddx

    dn1ydxn1

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 42 / 64

  • Turunan Tingkat Lebih Tinggi

    Aplikasi Turunan KeduaPenentuan Percepatan

    Jika s = f (t) menyatakan fungsi posisi objek pada waktu t yang bergerakpada garis lurus, maka

    v (t) =dsdt= f 0 (t) menyatakan kecepatan objek pada waktu t.

    a (t) =dvdt=d2sdt2

    = f 00 (t) menyatakan percepatan objek padawaktu t.

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 43 / 64

  • Turunan Tingkat Lebih Tinggi

    Contoh

    Tentukan turunan ke-n bagi y =1x.

    SOLUSI

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 44 / 64

  • Turunan Tingkat Lebih Tinggi

    Soal1 Tentukan turunan ke-n bagi:a. f (x) = xn

    b. f (x) = x/ (x + 1)2 Didenisikan

    f (x) =

    8>: x2 ; x 0x2 ; x < 0

    Buat sketsa grak f . Tunjukkan bahwa f 0 (x) = 2 jx j dan simpulkanbahwa f 00 (0) tidak ada.

    3 Tunjukkan bahwa lingkaran x2 + y2 = r2 memiliki turunan keduay 00 = r2/y3.

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 45 / 64

  • Laju Terkait

    Laju Terkait

    Bila terdapat suatu kaitan antar variabel serta masing-masing variabelbergantung pada waktu t, maka perubahan laju dalam satu variabeldapat berakibat perubahan laju pada variabel lainnya.Makna tanda laju:

    dx/dt > 0 : t membesar (mengecil) ) x membesar (mengecil)dx/dt < 0 : t membesar (mengecil) ) x mengecil (membesar)dx/dt = 0 : x konstan

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 46 / 64

  • Laju Terkait

    Strategi Menyelesaikan Masalah Laju Terkait

    1 Pahami permasalahan.

    2 Buat diagram, berikan notasi kepada variabel-variabel yangmerupakan fungsi terhadap waktu.

    3 Nyatakan informasi dan laju yang diketahui dalam bentuk turunan.

    4 Tuliskan persamaan yang mengaitkan variabel yang diketahui.

    5 Gunakan aturan rantai untuk menurunkan kedua ruas terhadap t.

    6 Substitusi informasi yang diketahui dan tentukan laju yang diinginkan.

    Kesalahan umum:terlalu dini menyubstitusi informasi numerik yang diketahui!

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 47 / 64

  • Laju Terkait

    ContohSeberapa cepat ketinggian air di dalam silinder tegak berjari-jari 1 m turunjika silinder dipompa dengan laju 3000 liter/menit.

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 48 / 64

  • Laju Terkait

    Soal (Laju Terkait)

    1 Sebuah tangga dengan panjang 5 m bersandar pada dinding tegak.Jika puncak tangga bergeser mendekati lantai pada laju 1 m/detik,seberapa cepat alas tangga bergeser pada saat puncak tangga berada4 m dari lantai?

    2 Seseorang sedang menguras sebuah penampung air berbentuk kerucutterbalik. Jari-jari kerucut 1 m dengan ketinggian 3 m. Air mengalirdari bagian bawah dengan laju 1/4 m3/menit. Seberapa cepat airmenurun ketika ketinggian air 2 m? Seberapa cepat jari-jaripermukaan air berubah ketika ketinggian air 2 m?

    3 Sebuah bola salju mencair pada suatu tingkat yang sebanding dengandengan luas permukaannya.

    a Tunjukkan bahwa jari-jarinya memendek secara konstan.b Jika bola salju tersebut mencair menjadi 827 dari volume semula dalamwaktu satu jam, berapa lamakah waktu yang diperlukan agar bola saljutersebut habis mencair? Jawab: 3 jam.

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 49 / 64

  • Laju Terkait

    Tentang Slide

    Penyusun: N. K. Kutha Ardana (Dosen Dep. Matematika FMIPAIPB)

    Versi: 2012 (sejak 2009)

    Media Presentasi: LATEX - BEAMER (PDFLATEX)

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 50 / 64

  • Solusi

    Solusi Denisi Turunan pada TitikNomor 1

    Dengan formula I (1) :

    f 0(0) = limh!0

    f (0+ h) f (0)h

    = limh!0

    [2(0+ h) + 1] 1h

    = limh!0

    0+ 2h+ 1 1h

    = limh!0

    2hh= lim

    h!02 = 2.

    SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 51 / 64

  • Solusi

    Solusi Denisi Turunan pada TitikNomor 1

    Dengan formula I (1) :

    f 0(0) = limh!0

    f (0+ h) f (0)h

    = limh!0

    [2(0+ h) + 1] 1h

    = limh!0

    0+ 2h+ 1 1h

    = limh!0

    2hh= lim

    h!02 = 2.

    SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 51 / 64

  • Solusi

    Solusi Denisi Turunan pada TitikNomor 2

    dengan formula II (2) ,

    f 0(3) = limx!3

    f (x) f (3)x 3 = limx!3

    3x 1

    x 3= lim

    x!33 x

    x (x 3)= lim

    x!31x

    = 13.

    SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 52 / 64

  • Solusi

    Solusi Denisi Turunan pada TitikNomor 2

    dengan formula II (2) ,

    f 0(3) = limx!3

    f (x) f (3)x 3 = limx!3

    3x 1

    x 3= lim

    x!33 x

    x (x 3)= lim

    x!31x

    = 13.

    SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 52 / 64

  • Solusi

    Solusi Denisi Turunan Fungsi

    Menentukan persamaan garis singgung pada kurva f (x) = 3/x yangmelalui titik (3, 1) pada kurva.Dari contoh sebelumnya, f (x) = 3/x ) f 0 (3) = 13 .Berdasarkan (3) , pers. garis singgung:y 1 = 13 (x 3), x + 3y 6 = 0 (lihat gambar).

    SOAL (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 53 / 64

  • Solusi

    Solusi Denisi Turunan Fungsi

    Menentukan persamaan garis singgung pada kurva f (x) = 3/x yangmelalui titik (3, 1) pada kurva.Dari contoh sebelumnya, f (x) = 3/x ) f 0 (3) = 13 .Berdasarkan (3) , pers. garis singgung:y 1 = 13 (x 3), x + 3y 6 = 0 (lihat gambar).

    SOAL (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 53 / 64

  • Solusi

    Solusi Denisi Turunan Fungsi

    Menentukan persamaan garis singgung pada kurva f (x) = 3/x yangmelalui titik (3, 1) pada kurva.Dari contoh sebelumnya, f (x) = 3/x ) f 0 (3) = 13 .Berdasarkan (3) , pers. garis singgung:y 1 = 13 (x 3), x + 3y 6 = 0 (lihat gambar).

    SOAL (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 53 / 64

  • Solusi

    Solusi Denisi Turunan Fungsi

    f (x) =px ) f 0 (x) = ?

    f 0(x) = limz!x

    f (z) f (x)z x = limz!x

    pz pxz x

    = limz!x

    pz pxz x

    pz +pxp

    z +px

    = lim

    z!xz x

    (z x) pz +px= lim

    z!x1p

    z +px=

    12px

    f 0 (4) =1

    2p2=14.

    Df = [0,),Df 0 = (0,).SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 54 / 64

  • Solusi

    Solusi Denisi Turunan Fungsi

    f (x) =px ) f 0 (x) = ?

    f 0(x) = limz!x

    f (z) f (x)z x = limz!x

    pz pxz x

    = limz!x

    pz pxz x

    pz +pxp

    z +px

    = lim

    z!xz x

    (z x) pz +px= lim

    z!x1p

    z +px=

    12px

    f 0 (4) =1

    2p2=14.

    Df = [0,),Df 0 = (0,).SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 54 / 64

  • Solusi

    Solusi Denisi Turunan Fungsi

    f (x) =px ) f 0 (x) = ?

    f 0(x) = limz!x

    f (z) f (x)z x = limz!x

    pz pxz x

    = limz!x

    pz pxz x

    pz +pxp

    z +px

    = lim

    z!xz x

    (z x) pz +px= lim

    z!x1p

    z +px=

    12px

    f 0 (4) =1

    2p2=14.

    Df = [0,),Df 0 = (0,).SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 54 / 64

  • Solusi

    Solusi Denisi Turunan Fungsi

    f (x) =px ) f 0 (x) = ?

    f 0(x) = limz!x

    f (z) f (x)z x = limz!x

    pz pxz x

    = limz!x

    pz pxz x

    pz +pxp

    z +px

    = lim

    z!xz x

    (z x) pz +px= lim

    z!x1p

    z +px=

    12px

    f 0 (4) =1

    2p2=14.

    Df = [0,),Df 0 = (0,).SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 54 / 64

  • Solusi

    Solusi Kaitan Turunan - Kekontinuan

    Akan ditunjukkan bahwa f (x) = jx j kontinu di x = 0 tetapi f 0 (0)tidak ada. O

    f (x) = jx j =

    8>: x ; x 0x ; x < 0 . f kontinu di x = 0 karenalimx!0 f (x) = f (0) = 0.

    f 0 (0) = limx!0

    f (x) f (0)x 0 . Karena f (x) berbeda di sekitar x = 0:

    limit kiri: limx!0

    f (x) f (0)x 0 = limx!0

    x 0x

    = 1

    limit kanan: limx!0+

    f (x) f (0)x 0 = limx!0+

    x 0x

    = 1

    Karena nilai limit kiri 6= limit kanan, maka limx!0

    f (x) f (0)x 0 = f

    0 (0)tidak ada. SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 55 / 64

  • Solusi

    Solusi Kaitan Turunan - Kekontinuan

    Akan ditunjukkan bahwa f (x) = jx j kontinu di x = 0 tetapi f 0 (0)tidak ada. O

    f (x) = jx j =

    8>: x ; x 0x ; x < 0 . f kontinu di x = 0 karenalimx!0 f (x) = f (0) = 0.

    f 0 (0) = limx!0

    f (x) f (0)x 0 . Karena f (x) berbeda di sekitar x = 0:

    limit kiri: limx!0

    f (x) f (0)x 0 = limx!0

    x 0x

    = 1

    limit kanan: limx!0+

    f (x) f (0)x 0 = limx!0+

    x 0x

    = 1

    Karena nilai limit kiri 6= limit kanan, maka limx!0

    f (x) f (0)x 0 = f

    0 (0)tidak ada. SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 55 / 64

  • Solusi

    Solusi Kaitan Turunan - Kekontinuan

    Akan ditunjukkan bahwa f (x) = jx j kontinu di x = 0 tetapi f 0 (0)tidak ada. O

    f (x) = jx j =

    8>: x ; x 0x ; x < 0 . f kontinu di x = 0 karenalimx!0 f (x) = f (0) = 0.

    f 0 (0) = limx!0

    f (x) f (0)x 0 . Karena f (x) berbeda di sekitar x = 0:

    limit kiri: limx!0

    f (x) f (0)x 0 = limx!0

    x 0x

    = 1

    limit kanan: limx!0+

    f (x) f (0)x 0 = limx!0+

    x 0x

    = 1

    Karena nilai limit kiri 6= limit kanan, maka limx!0

    f (x) f (0)x 0 = f

    0 (0)tidak ada. SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 55 / 64

  • Solusi

    Solusi Kaitan Turunan - Kekontinuan

    Akan ditunjukkan bahwa f (x) = jx j kontinu di x = 0 tetapi f 0 (0)tidak ada. O

    f (x) = jx j =

    8>: x ; x 0x ; x < 0 . f kontinu di x = 0 karenalimx!0 f (x) = f (0) = 0.

    f 0 (0) = limx!0

    f (x) f (0)x 0 . Karena f (x) berbeda di sekitar x = 0:

    limit kiri: limx!0

    f (x) f (0)x 0 = limx!0

    x 0x

    = 1

    limit kanan: limx!0+

    f (x) f (0)x 0 = limx!0+

    x 0x

    = 1

    Karena nilai limit kiri 6= limit kanan, maka limx!0

    f (x) f (0)x 0 = f

    0 (0)tidak ada. SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 55 / 64

  • Solusi

    Solusi Kaitan Turunan - Kekontinuan

    Akan ditunjukkan bahwa f (x) = jx j kontinu di x = 0 tetapi f 0 (0)tidak ada. O

    f (x) = jx j =

    8>: x ; x 0x ; x < 0 . f kontinu di x = 0 karenalimx!0 f (x) = f (0) = 0.

    f 0 (0) = limx!0

    f (x) f (0)x 0 . Karena f (x) berbeda di sekitar x = 0:

    limit kiri: limx!0

    f (x) f (0)x 0 = limx!0

    x 0x

    = 1

    limit kanan: limx!0+

    f (x) f (0)x 0 = limx!0+

    x 0x

    = 1

    Karena nilai limit kiri 6= limit kanan, maka limx!0

    f (x) f (0)x 0 = f

    0 (0)tidak ada. SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 55 / 64

  • Solusi

    Solusi Kaitan Turunan - Kekontinuan

    Akan ditunjukkan bahwa f (x) = jx j kontinu di x = 0 tetapi f 0 (0)tidak ada. O

    f (x) = jx j =

    8>: x ; x 0x ; x < 0 . f kontinu di x = 0 karenalimx!0 f (x) = f (0) = 0.

    f 0 (0) = limx!0

    f (x) f (0)x 0 . Karena f (x) berbeda di sekitar x = 0:

    limit kiri: limx!0

    f (x) f (0)x 0 = limx!0

    x 0x

    = 1

    limit kanan: limx!0+

    f (x) f (0)x 0 = limx!0+

    x 0x

    = 1

    Karena nilai limit kiri 6= limit kanan, maka limx!0

    f (x) f (0)x 0 = f

    0 (0)tidak ada. SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 55 / 64

  • Solusi

    Solusi Kaitan Turunan - Kekontinuan

    f (x) =

    8>: x2 + 1 ; x < 1

    2x ; x 1. f kontinu di x = 1 karena

    limx!1 f (x) = f (1) = 2.

    f 0 (1) = limx!1

    f (x) f (1)x 1 . Karena f (x) berbeda di sekitar x = 1:

    limit kiri: limx!1

    f (x) f (1)x 1 = limx!1

    x2 + 1

    2x 1

    = limx!1

    x2 1x 1 = limx!1

    (x 1) (x + 1)x 1 = 2.

    limit kanan:

    limx!1+

    f (x) f (1)x 1 = limx!1

    2x 2x 1 = limx!1

    2 (x 1)x 1 = 2.

    Karena nilai limit kiri = limit kanan, maka

    f 0 (1) = limx!1

    f (x) f (1)x 1 = 2. SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 56 / 64

  • Solusi

    Solusi Kaitan Turunan - Kekontinuan

    f (x) =

    8>: x2 + 1 ; x < 1

    2x ; x 1. f kontinu di x = 1 karena

    limx!1 f (x) = f (1) = 2.

    f 0 (1) = limx!1

    f (x) f (1)x 1 . Karena f (x) berbeda di sekitar x = 1:

    limit kiri: limx!1

    f (x) f (1)x 1 = limx!1

    x2 + 1

    2x 1

    = limx!1

    x2 1x 1 = limx!1

    (x 1) (x + 1)x 1 = 2.

    limit kanan:

    limx!1+

    f (x) f (1)x 1 = limx!1

    2x 2x 1 = limx!1

    2 (x 1)x 1 = 2.

    Karena nilai limit kiri = limit kanan, maka

    f 0 (1) = limx!1

    f (x) f (1)x 1 = 2. SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 56 / 64

  • Solusi

    Solusi Kaitan Turunan - Kekontinuan

    f (x) =

    8>: x2 + 1 ; x < 1

    2x ; x 1. f kontinu di x = 1 karena

    limx!1 f (x) = f (1) = 2.

    f 0 (1) = limx!1

    f (x) f (1)x 1 . Karena f (x) berbeda di sekitar x = 1:

    limit kiri: limx!1

    f (x) f (1)x 1 = limx!1

    x2 + 1

    2x 1

    = limx!1

    x2 1x 1 = limx!1

    (x 1) (x + 1)x 1 = 2.

    limit kanan:

    limx!1+

    f (x) f (1)x 1 = limx!1

    2x 2x 1 = limx!1

    2 (x 1)x 1 = 2.

    Karena nilai limit kiri = limit kanan, maka

    f 0 (1) = limx!1

    f (x) f (1)x 1 = 2. SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 56 / 64

  • Solusi

    Solusi Kaitan Turunan - Kekontinuan

    f (x) =

    8>: x2 + 1 ; x < 1

    2x ; x 1. f kontinu di x = 1 karena

    limx!1 f (x) = f (1) = 2.

    f 0 (1) = limx!1

    f (x) f (1)x 1 . Karena f (x) berbeda di sekitar x = 1:

    limit kiri: limx!1

    f (x) f (1)x 1 = limx!1

    x2 + 1

    2x 1

    = limx!1

    x2 1x 1 = limx!1

    (x 1) (x + 1)x 1 = 2.

    limit kanan:

    limx!1+

    f (x) f (1)x 1 = limx!1

    2x 2x 1 = limx!1

    2 (x 1)x 1 = 2.

    Karena nilai limit kiri = limit kanan, maka

    f 0 (1) = limx!1

    f (x) f (1)x 1 = 2. SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 56 / 64

  • Solusi

    Solusi Kaitan Turunan - Kekontinuan

    f (x) =

    8>: x2 + 1 ; x < 1

    2x ; x 1. f kontinu di x = 1 karena

    limx!1 f (x) = f (1) = 2.

    f 0 (1) = limx!1

    f (x) f (1)x 1 . Karena f (x) berbeda di sekitar x = 1:

    limit kiri: limx!1

    f (x) f (1)x 1 = limx!1

    x2 + 1

    2x 1

    = limx!1

    x2 1x 1 = limx!1

    (x 1) (x + 1)x 1 = 2.

    limit kanan:

    limx!1+

    f (x) f (1)x 1 = limx!1

    2x 2x 1 = limx!1

    2 (x 1)x 1 = 2.

    Karena nilai limit kiri = limit kanan, maka

    f 0 (1) = limx!1

    f (x) f (1)x 1 = 2. SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 56 / 64

  • Solusi

    Solusi Turunan Fungsi Konstan

    adbddx(c) = 0.

    Misalkan f (x) = c

    ddx(c) = f 0(x) = lim

    h!0f (x + h) f (x)

    h

    = limh!0

    c ch

    = limh!0

    0 = 0 SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 57 / 64

  • Solusi

    Solusi Turunan Fungsi Konstan

    adbddx(c) = 0.

    Misalkan f (x) = c

    ddx(c) = f 0(x) = lim

    h!0f (x + h) f (x)

    h

    = limh!0

    c ch

    = limh!0

    0 = 0 SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 57 / 64

  • Solusi

    Solusi Turunan Fungsi Konstan

    adbddx(c) = 0.

    Misalkan f (x) = c

    ddx(c) = f 0(x) = lim

    h!0f (x + h) f (x)

    h

    = limh!0

    c ch

    = limh!0

    0 = 0 SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 57 / 64

  • Solusi

    Solusi Turunan Fungsi Pangkat Bil. Bulat Negatif

    adbddx(xm) = mxm1 berlaku untuk bilangan bulat negatif m.

    Pada rumus turunan butir 2) berlakuddx(xn) = nxn1 untuk bil.

    bulat positif n.

    Ambil m = n < 0,ddx(xm) =

    ddx(xn) =

    ddx

    1xn

    =

    0.xn 1.nxn1x2n

    =nxn1x2n

    = nxn12n = nxn1

    = mxm1 SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 58 / 64

  • Solusi

    Solusi Turunan Fungsi Pangkat Bil. Bulat Negatif

    adbddx(xm) = mxm1 berlaku untuk bilangan bulat negatif m.

    Pada rumus turunan butir 2) berlakuddx(xn) = nxn1 untuk bil.

    bulat positif n.

    Ambil m = n < 0,ddx(xm) =

    ddx(xn) =

    ddx

    1xn

    =

    0.xn 1.nxn1x2n

    =nxn1x2n

    = nxn12n = nxn1

    = mxm1 SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 58 / 64

  • Solusi

    Solusi Turunan Fungsi Pangkat Bil. Bulat Negatif

    adbddx(xm) = mxm1 berlaku untuk bilangan bulat negatif m.

    Pada rumus turunan butir 2) berlakuddx(xn) = nxn1 untuk bil.

    bulat positif n.

    Ambil m = n < 0,ddx(xm) =

    ddx(xn) =

    ddx

    1xn

    =

    0.xn 1.nxn1x2n

    =nxn1x2n

    = nxn12n = nxn1

    = mxm1 SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 58 / 64

  • Solusi

    Solusi Turunan Fungsi Pangkat Bil. Bulat Negatif

    adbddx(xm) = mxm1 berlaku untuk bilangan bulat negatif m.

    Pada rumus turunan butir 2) berlakuddx(xn) = nxn1 untuk bil.

    bulat positif n.

    Ambil m = n < 0,ddx(xm) =

    ddx(xn) =

    ddx

    1xn

    =

    0.xn 1.nxn1x2n

    =nxn1x2n

    = nxn12n = nxn1

    = mxm1 SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 58 / 64

  • Solusi

    Solusi Turunan Fungsi Sesepenggal 1

    f (x) =

    8>: x2 , x < 1px , x 1

    f kontinu di x = 1 karena limx!1 f (x) = f (1) = 1,

    limx!1

    f 0 (x) = limx!1

    2x = 2,

    limx!1+

    f 0 (x) = limx!1+

    12px = 1/2,

    karena limx!1

    f 0 (x) = 2 6= limx!1+

    f 0 (x) = 1/2, maka berdasarkan pers

    (7) , f 0 (1) tidak ada.

    ) f 0 (x) =

    8>: 2x , x < 11/ 2px , x > 1SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 59 / 64

  • Solusi

    Solusi Turunan Fungsi Sesepenggal 1

    f (x) =

    8>: x2 , x < 1px , x 1

    f kontinu di x = 1 karena limx!1 f (x) = f (1) = 1,

    limx!1

    f 0 (x) = limx!1

    2x = 2,

    limx!1+

    f 0 (x) = limx!1+

    12px = 1/2,

    karena limx!1

    f 0 (x) = 2 6= limx!1+

    f 0 (x) = 1/2, maka berdasarkan pers

    (7) , f 0 (1) tidak ada.

    ) f 0 (x) =

    8>: 2x , x < 11/ 2px , x > 1SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 59 / 64

  • Solusi

    Solusi Turunan Fungsi Sesepenggal 1

    f (x) =

    8>: x2 , x < 1px , x 1

    f kontinu di x = 1 karena limx!1 f (x) = f (1) = 1,

    limx!1

    f 0 (x) = limx!1

    2x = 2,

    limx!1+

    f 0 (x) = limx!1+

    12px = 1/2,

    karena limx!1

    f 0 (x) = 2 6= limx!1+

    f 0 (x) = 1/2, maka berdasarkan pers

    (7) , f 0 (1) tidak ada.

    ) f 0 (x) =

    8>: 2x , x < 11/ 2px , x > 1SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 59 / 64

  • Solusi

    Solusi Turunan Fungsi Sesepenggal 1

    f (x) =

    8>: x2 , x < 1px , x 1

    f kontinu di x = 1 karena limx!1 f (x) = f (1) = 1,

    limx!1

    f 0 (x) = limx!1

    2x = 2,

    limx!1+

    f 0 (x) = limx!1+

    12px = 1/2,

    karena limx!1

    f 0 (x) = 2 6= limx!1+

    f 0 (x) = 1/2, maka berdasarkan pers

    (7) , f 0 (1) tidak ada.

    ) f 0 (x) =

    8>: 2x , x < 11/ 2px , x > 1SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 59 / 64

  • Solusi

    Solusi Turunan Fungsi Sesepenggal 1

    f (x) =

    8>: x2 , x < 1px , x 1

    f kontinu di x = 1 karena limx!1 f (x) = f (1) = 1,

    limx!1

    f 0 (x) = limx!1

    2x = 2,

    limx!1+

    f 0 (x) = limx!1+

    12px = 1/2,

    karena limx!1

    f 0 (x) = 2 6= limx!1+

    f 0 (x) = 1/2, maka berdasarkan pers

    (7) , f 0 (1) tidak ada.

    ) f 0 (x) =

    8>: 2x , x < 11/ 2px , x > 1SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 59 / 64

  • Solusi

    Solusi Turunan Fungsi Sesepenggal 1

    f (x) =

    8>: x2 , x < 1px , x 1

    f kontinu di x = 1 karena limx!1 f (x) = f (1) = 1,

    limx!1

    f 0 (x) = limx!1

    2x = 2,

    limx!1+

    f 0 (x) = limx!1+

    12px = 1/2,

    karena limx!1

    f 0 (x) = 2 6= limx!1+

    f 0 (x) = 1/2, maka berdasarkan pers

    (7) , f 0 (1) tidak ada.

    ) f 0 (x) =

    8>: 2x , x < 11/ 2px , x > 1SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 59 / 64

  • Solusi

    Solusi Turunan Fungsi Sesepenggal 2

    f (x) =

    8>: 3x2 , x 1

    ax + b , x > 1

    agar f 0 (1) ada, f harus kontinu dix = 1, f (1) = 3 = lim

    x!13x2 = lim

    x!1+ax + b = a+ b , a+ b = 3.

    limx!1

    f 0 (x) = limx!1

    6x = 6, limx!1+

    f 0 (x) = a.

    f 0 (1) = limx!1+

    f 0 (x) = a = limx!1

    f 0 (x) = 6.

    a+ b = 3, a = 6) b = 3.SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 60 / 64

  • Solusi

    Solusi Turunan Fungsi Sesepenggal 2

    f (x) =

    8>: 3x2 , x 1

    ax + b , x > 1

    agar f 0 (1) ada, f harus kontinu dix = 1, f (1) = 3 = lim

    x!13x2 = lim

    x!1+ax + b = a+ b , a+ b = 3.

    limx!1

    f 0 (x) = limx!1

    6x = 6, limx!1+

    f 0 (x) = a.

    f 0 (1) = limx!1+

    f 0 (x) = a = limx!1

    f 0 (x) = 6.

    a+ b = 3, a = 6) b = 3.SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 60 / 64

  • Solusi

    Solusi Turunan Fungsi Sesepenggal 2

    f (x) =

    8>: 3x2 , x 1

    ax + b , x > 1

    agar f 0 (1) ada, f harus kontinu dix = 1, f (1) = 3 = lim

    x!13x2 = lim

    x!1+ax + b = a+ b , a+ b = 3.

    limx!1

    f 0 (x) = limx!1

    6x = 6, limx!1+

    f 0 (x) = a.

    f 0 (1) = limx!1+

    f 0 (x) = a = limx!1

    f 0 (x) = 6.

    a+ b = 3, a = 6) b = 3.SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 60 / 64

  • Solusi

    Solusi Turunan Fungsi Sesepenggal 2

    f (x) =

    8>: 3x2 , x 1

    ax + b , x > 1

    agar f 0 (1) ada, f harus kontinu dix = 1, f (1) = 3 = lim

    x!13x2 = lim

    x!1+ax + b = a+ b , a+ b = 3.

    limx!1

    f 0 (x) = limx!1

    6x = 6, limx!1+

    f 0 (x) = a.

    f 0 (1) = limx!1+

    f 0 (x) = a = limx!1

    f 0 (x) = 6.

    a+ b = 3, a = 6) b = 3.SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 60 / 64

  • Solusi

    Solusi Turunan Fungsi Sesepenggal 2

    f (x) =

    8>: 3x2 , x 1

    ax + b , x > 1

    agar f 0 (1) ada, f harus kontinu dix = 1, f (1) = 3 = lim

    x!13x2 = lim

    x!1+ax + b = a+ b , a+ b = 3.

    limx!1

    f 0 (x) = limx!1

    6x = 6, limx!1+

    f 0 (x) = a.

    f 0 (1) = limx!1+

    f 0 (x) = a = limx!1

    f 0 (x) = 6.

    a+ b = 3, a = 6) b = 3.SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 60 / 64

  • Solusi

    Solusi Aturan Rantai

    ddx

    p4x + 10 = ?

    Misalkan u = 4x + 10, y =pu =p4x + 10) du/dx = 4, dy/du =

    1/2pu

    ddx

    p4x + 10 =

    dydx=dydududx

    =12pu4

    =4

    2p4x + 10

    =2p

    4x + 10

    SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 61 / 64

  • Solusi

    Solusi Aturan Rantai

    ddx

    p4x + 10 = ?

    Misalkan u = 4x + 10, y =pu =p4x + 10) du/dx = 4, dy/du =

    1/2pu

    ddx

    p4x + 10 =

    dydx=dydududx

    =12pu4

    =4

    2p4x + 10

    =2p

    4x + 10

    SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 61 / 64

  • Solusi

    Solusi Aturan Rantai

    ddx

    p4x + 10 = ?

    Misalkan u = 4x + 10, y =pu =p4x + 10) du/dx = 4, dy/du =

    1/2pu

    ddx

    p4x + 10 =

    dydx=dydududx

    =12pu4

    =4

    2p4x + 10

    =2p

    4x + 10

    SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 61 / 64

  • Solusi

    Solusi Turunan Implisit

    ddx

    x2 + y2

    = ?

    ddx

    x2 + y2

    =

    ddx(25)

    2x + 2yy 0 = 0

    y 0 =dydx

    = xy

    Kemiringan di titik (4, 3) =dydx

    (4,3)

    = 43

    Persamaan garis singgung di titik (4, 3):y 3 = (4/3) (x 4), 4x + 3y = 25

    SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 62 / 64

  • Solusi

    Solusi Turunan Implisit

    ddx

    x2 + y2

    = ?

    ddx

    x2 + y2

    =

    ddx(25)

    2x + 2yy 0 = 0

    y 0 =dydx

    = xy

    Kemiringan di titik (4, 3) =dydx

    (4,3)

    = 43

    Persamaan garis singgung di titik (4, 3):y 3 = (4/3) (x 4), 4x + 3y = 25

    SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 62 / 64

  • Solusi

    Solusi Turunan Implisit

    ddx

    x2 + y2

    = ?

    ddx

    x2 + y2

    =

    ddx(25)

    2x + 2yy 0 = 0

    y 0 =dydx

    = xy

    Kemiringan di titik (4, 3) =dydx

    (4,3)

    = 43

    Persamaan garis singgung di titik (4, 3):y 3 = (4/3) (x 4), 4x + 3y = 25

    SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 62 / 64

  • Solusi

    Solusi Turunan Implisit

    ddx

    x2 + y2

    = ?

    ddx

    x2 + y2

    =

    ddx(25)

    2x + 2yy 0 = 0

    y 0 =dydx

    = xy

    Kemiringan di titik (4, 3) =dydx

    (4,3)

    = 43

    Persamaan garis singgung di titik (4, 3):y 3 = (4/3) (x 4), 4x + 3y = 25

    SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 62 / 64

  • Solusi

    Solusi Turunan Tingkat Tinggi

    y =1x) y (n) = ?

    y =1x= x1

    y 0 = x2

    y 00 = 2x3

    y (3) = 3.2.x4.........

    y (n) = (1)n n!x(n+1) = (1)n n!xn+1

    SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 63 / 64

  • Solusi

    Solusi Turunan Tingkat Tinggi

    y =1x) y (n) = ?

    y =1x= x1

    y 0 = x2

    y 00 = 2x3

    y (3) = 3.2.x4.........

    y (n) = (1)n n!x(n+1) = (1)n n!xn+1

    SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 63 / 64

  • Solusi

    Solusi Laju Terkait

    Volume V (liter) silinder berjari-jari r dengan ketinggian h (dalammeter) adalah V = 1000pir2h = 1000pih. dV/dt = 3000 l/menit(karena volume berkurang ketika air dipompa ke luar).

    V = 1000pih

    dV/dt = 1000pidh/dt

    3000 = 1000pidh/dtdh/dt = 3/pi m/menit

    Tanda negatif menyatakan air turun dengan laju 3/pi m/menit.SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 64 / 64

  • Solusi

    Solusi Laju Terkait

    Volume V (liter) silinder berjari-jari r dengan ketinggian h (dalammeter) adalah V = 1000pir2h = 1000pih. dV/dt = 3000 l/menit(karena volume berkurang ketika air dipompa ke luar).

    V = 1000pih

    dV/dt = 1000pidh/dt

    3000 = 1000pidh/dtdh/dt = 3/pi m/menit

    Tanda negatif menyatakan air turun dengan laju 3/pi m/menit.SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 64 / 64

  • Solusi

    Solusi Laju Terkait

    Volume V (liter) silinder berjari-jari r dengan ketinggian h (dalammeter) adalah V = 1000pir2h = 1000pih. dV/dt = 3000 l/menit(karena volume berkurang ketika air dipompa ke luar).

    V = 1000pih

    dV/dt = 1000pidh/dt

    3000 = 1000pidh/dtdh/dt = 3/pi m/menit

    Tanda negatif menyatakan air turun dengan laju 3/pi m/menit.SOAL

    (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 64 / 64

    PendahuluanTurunan FungsiTafsiran Lain TurunanKaitan Turunan dan KekontinuanRumus-rumus TurunanTurunan Fungsi TrigonometriAturan RantaiTurunan ImplisitTurunan Tingkat Lebih TinggiLaju TerkaitSolusi