DEFINISI TURUNAN Turunan sebuah fungsi f adalah fungsi lambang f’ ( dibaca “f aksen” ) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah : f(c) asalkan limit ini ada dan bukan atau Jika limit ini memang ada, maka dikatakan f terdiferensiasikan di c. pencarian turunan disebut diferensiasi. Teorema Jika f’(c) ada, maka f continue di c. Bukti : Misalkan f’( c )= ada, akan dibuktikan Perhatikan bahwa f(x)=f(c)+ . x-c , x=c + f ( c ) + f’ ( c ) . ( c-c )
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
DEFINISI TURUNAN
Turunan sebuah fungsi f adalah fungsi lambang f’ ( dibaca “f aksen” )
yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah :
f(c)
asalkan limit ini ada dan bukan atau
Jika limit ini memang ada, maka dikatakan f terdiferensiasikan di c.
pencarian turunan disebut diferensiasi.
Teorema
Jika f’(c) ada, maka f continue di c.
Bukti :
Misalkan f’( c )= ada, akan dibuktikan
Perhatikan bahwa f(x)=f(c)+ . x-c , x≠c
+
f ( c ) + f’ ( c ) . ( c-c )
ATURAN MENCARI TURUNAN
Teorema A
Jika f(x) = 0 , dengan k suatu konstanta, maka f’ (x) = 0,untuk setiap x.
Bukti :
f’(x)=
=
=
=
= 0
Teorema B
Jika f(x) – x, maka f’(x) = 1.
Bukti :
f’(x)=
=
=
=
= 1
Teorema C
Jika f(x) = k . f(x), maka f’(x) = k . f’(x)
f(x + h) = k.f(x + h)
Bukti :
f’(x)=
=
=
=
= k.f’(x)
Teorema D
Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdefinisikan, maka (f + g)’ (x)=f’(x) ±
g’(x)
Bukti :
Misalkan f(x) = f(x) ± g(x)
f’(x)=
=
=
=
=
=
= f’(x) ± g’(x)
Teorema E
Jika f(x) = , dengan n bilangan bulat positif, maka f’(x) = .
Bukti :
f’(x)=
=
=
=
=
=
ATURAN PERKALIAN
Jika u dan v dalah fungsi yang dapat diturunkan, maka hasil kali u.v
juga dapat diturunkan.
Misalkan f(x) = u(x) . v(x) , maka
f(x) = u(x) . v’(x) + v(x) . u’(x)
Bukti :
u’(x) =
f(x) = u(x) . v(x)
f(x+h) = u(x + h) . v(x + h)
f’(x) =
=
=
=
=
=
f’(x) =
f’(x)=
substitusikan h = 0 ke persamaan limit
f’(x)=
=
=
=
=
=
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
1) Jika f(x) = sin x, maka f’(x) = cos x
Bukti :
f(x) = sin x
f(x+h) = sin (x + h)
= sin x cos h + cos x sin h
f’(x) =
f’(x) =
f’(x) =
=
=
f’(x) =
substitusikan h = 0 ke persamaan limit, sehingga :
f’(x) =sin x.0 + cos x.1
f’(x) =cos x
2) Jika f(x) = cos x, maka f’(x) = -sin x
Bukti :
f(x) =cos x
f(x+h) =cos (x + h)
=cos x . cos h – sin x . cos h
f’(x) =
f’(x) =
f’(x) =
=
=
=
Substitusikan h = 0 ke persamaan limit, sehingga :
f’(x) =cos x . 0 – sin x . 1
f’(x) =sin x
3) Jika f(x) = tan x, maka f(x) =
Bukti :
f(x) =tan x
=
f’(x) =
=
=
=
=
4) Jika f(x) = sec x, maka f’(x) = sec x . tan x
Bukti :
f(x) =sec x
=
f’(x) =
=
=
=
=tan x . sec x
=sec x . tan x
5) Jika f(x) = cosec x, maka f’(x) = -cosec x . cot x
Bukti :
f(x) = cosec x
=
f’(x) =
=
=
=
=-cot x . cosec x
=-cosec x . cot x
ATURAN RANTAI
Jika y = f(x) adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap u dan u = g(x),
adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x, ditulis y = f[ g(x) ],
berlaku :
ATURAN PEMANGKATAN
d[in f(x) ] .
d[ f(x) ] = n . [
Bukti :
Misalkan z =
In z =in
In z =n . in f(x)
d(in z) =d[ n . in f(x) ]
. =
dz =n . z .
d =
d =
in f(x) =
e =2,718…
log =n . log p
Cara lain dengan logaritma :
d( in z ) =
Jika :
z =u . v
In z = in u . v
In z =in u + in v
d(in z)=d ( in v + in u )
. =
dz =
=z
=u . v .
=u’ v + v’ u
ATURAN PEMBAGIAN
Jika u dan v adalah fungsi yang dapat diturunkan, maka pembagian
Juga dapat diturunkan.
Misal :
f(x) = maka
f’(x) =
Bukti :
Misal
z =
In z =
In z =f(x) . in a
d(in z)=d[ f(x) . in a ]
d(in z)=in a . d[ f(x) ]
. =in a . d[ f(x )]
dz =z . in a . d[ f(x) ]
d( = .in a . d[ f(x) ]
Related Documents
