TURUNAN / DIFERENSIAL - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43817/Turunan.pdf · 4.1 Devinisi Turunan (Derivatif) Turunan fungsi f adalah f ...

TURUNAN DAN DIFERENSIAL

TURUNAN / DIFERENSIAL


4.1 Devinisi Turunan (Derivatif)

Turunan fungsi f adalah f ’ yang nilainya padabilangan x dan didefinisikan oleh :

untuk semua x dengan limit tersebut ada.

hxfhxfxf

h

)()()(' lim0


ContohAndaikancari f ‘ (4) ?Penyelesaian :

hh

hfhff

hh

]6)4(13[]6)4(13[)4()4()4(' limlim00

613)( xxf

131313 limlim00

hh h

h


Keterdiferensial MenunjukkanKekontinuan

Teorema A

Jika f ‘(c) ada, maka f kontinu di c


Bukti

Kita perlu menunjukkan )()(lim0

cfxfh

),()()()()( cxcx

cfxfcfxf

cx


Karenanya

)()()()()( limlim cxcx

cfxfcfxfchcx

)()()()( limlimlim cxcx

cfxfcfcxcxcx

)(0).(')(

cfcfcf


Persamaan f’(x) didefinisikan oleh aturan

x)x(f-)x+x(fmil=)x('f

x 0

ymil=x 0 x

Karena y = f(x) maka persamaan itu dapatpula dinyatakan dalam bentuk:

mil=)x('fx 0

fx

ymilx 0 x

milx 0

fxBentuk-bentuk serta

Lazim dinotosikan dengan yangdfdx

disebut dengan notasi leibniz

Jadi untuk menyatakan turunan suatu fungsi f(x) = y dapat digunakan notasi-notasi berikut:

dfdx

)x('f atau

dfdx

Notasi dapat juga ditafsirkan sebagai:

dfdx

dydx)f(xd

d )y(xdd= dan =

dimanaxdd

dydx

dfdx

menyatakan operasi turunan

terhadap x. Jadi dibaca turunan dari y

terhadap x dan dibaca turunan f terhadap

x

Jadi apabila ada persamaan , maka

adalah 2X

1+2x

dydx


4.2 Aturan Pencarian Turunan

Proses pencarian turunan suatu fungsilangsung dari definisi turunan, yakni denganmenyusun hasil bagi selisih dan menghitunglimitnya.

hxfhxf )()(


Teorema A

(Aturan Fungsi Konstanta)Jika f(x)=k dengan k suatu konstanta maka untuksembarang x, f’(x)=0

0)( kD


Bukti

00)()()(' limlimlim000

hhh h

kkh

xfhxfxf


Teorema B

(Aturan Fungsi Identitas)Jika f(x)=x maka untuk sembarang x, f’(x)=1

1)( kD


Bukti

1)()()(' limlimlim000

h

hh

xhxh

xfhxfxfhhh


Teorema C

(Aturan Pangkat), dengan n bilangan bulat positif,

makanxxfJika )(.

1)(' nnxxf

1)( nn nxxD


Bukti

hxhx

hxfhxfxf

nn

hh

)()()()(' limlim00

h

xhnxhhxnnhnxx nnnnnn

h

1221

0

...2

)1(

lim

h

hnxhhxnnhnxh nnnn

h

1221

0

...2

)1(

lim


Di dalam kurung siku , semua suku kecuali yang pertama mempunyai h sebagai faktor,sehinggamasing-masing suku ini mempunyai limit nol bilah mendekati nol, jadi

Ilustrasi Teorema C

1)(' nnxxf

23 3)( xxD


Teorema D

(Aturan Kelipatan Konstanta)Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsiyang terdefinisikan, maka )('.)()'( xfkxkf

)(.)](.[ xDfkxfkD


BuktiAndaikan makaxfkxF ),(.)(

hxfkhxfk

hxFhxFxF

hh

)(.)('.)()()( limlim00

hxfhxfk

hxfhxfk

hh

)()(.)()( limlim00

)('. xfk


Teorema E

(Aturan Jumlah)Jika f dan g fungsi yang terdeferensialkan, maka )()()()'( xgxfxgf

)()()]()([ xDgxDfxgxfD


BuktiAndaikan makaxgxfxF ),(/)()(

hxgxfhxghxfxF

h

)]()([)()([)( lim0

h

xghxgh

xfhxfh

)()()()(lim0

hxghxg

hxfhxf

hh

)()()()( limlim00

)(')(' xgxf


Teorema F

(Aturan Selisih)Jika f dan g fungsi yang terdeferensialkan, maka )()()()'( xgxfxgf

)()()]()([ xDgxDfxgxfD


Bukti

)]()1()([)]()([ xgxfDxgxfD

)]()1[()( xgDxDf )()1()( xDgxDf

)()( xDgxDf


Contoh

)6()7()5( 2 DxDxD )6()75()675( 22 DxxDxxD

)6()(7)(5 2 DxDxD

01.72.5 x

710 x


Teorema G

(Aturan Perkalian)Jika f dan g fungsi yang terdeferensialkan, maka )(')()()()()'*( xfxgxgxfxgf

)()()()()]()([ xDfxgxDgxfxgxfD


Contohcari turunan dari )2)(53( 42 xxx

)53()2()2()53()]2)(53[( 244242 xDxxxxDxxxxD)6)(2()18)(53( 432 xxxxx

25325 612540324 xxxxx

594036 235 xxx


Teorema H

(Aturan Hasilbagi)Jika f dan g fungsi yang terdeferensialkandengan

Yaitu,

makaxg ,0)(

)()(')()(')()( 2

'

xgxgxfxfxgx

gf

)()()()()(

)()(

2 xgxDgxfxDfxg

xgxfD


Contoh 1Cari turunan dari

22

2

)7()2)(53()3)(7(

x

xxx

)7()53(

2

xx

22

22

2 )7()7()53()53()7(

)7()53(

xxDxxDx

xxD

22

2

)7(21103

x

xx


Contoh 2Buktikan aturan Pangkat berlaku untukpngkat integral negatif; yaitu

Penyelesaian

1)( nn nxxD

12

1

2

1.10.1)(

n

n

n

n

nn

nn nx

xnx

xnxx

xDxD


4.3 Turunan Sinus dan Kosinus

Fungsi f(x)=sin(x)dan g(x)=cos(x) keduanyadapat didiferensialkan.

xxD cos)(sin

xxD sin)(cos


ContohCariPenyelesaian

)cos2sin3( xxD

)(cos2)(sin3)cos2sin3( xDxDxxD

xx sin2cos3


Pembuktian Dua Pernyataan Limit

1sinlim0

t

tt

0cos1lim0

t

tt


Contoh

?.....sin

cos1lim0

t

tt

010

sin

cos1

sincos1 limlim

00

tt

tt

tt

tt


4.4 Aturan Rantai

(Aturan Rantai).Andaikan y=f(u) dan u=g(x) menentukan fungsi komposit

. Jika g terdiferen-sialkan di x dan f terdiferensialkan di u=g(x), maka terdiferensialkan di x dan

yakni,

gf

))(())(( xgfxgfy

)('))((')()'( xgxgfxgf

uyDDyD xux


ContohJikaPenyelesaian : kita pikirkan ini sebagai

danJadi,

yDxcarixxy ,)142( 602

60uy 142 2 xxu

uDyDyD xux .)44)(60( 59 xu

)44()142(60 592 xxx


4.5 Turunan Tingkat Tinggi

Operasi pendiferensialan mengambil sebuahfungsi f dan menghasilkan sebuah fungsibaru f ‘. Jika f ‘ kita diferensialkanmenghasilkan fungsi lain dinyatakan oleh f ‘’dan disebut turunan kedua dari f, danseterusnya.


Contoh

0)(""12)('''

812)(''786)('

:8742)(

2

23

xfxf

xxfxxxf

makaxxxxf


4.6 Diferensial Terdefinisi

Andaikan y=f(x) terdiferensialkan di x danandaikan bahwa dx, diferensilkan dari peubahbebas x, menyatakan pertambahansembarang dari x. Diferensil yang bersesuaian dengan dy dari peubah takbebas y didefinisikan oleh :

dxxfdy )('


Aturan PangkatAndaikan r bilangan rasional sembarang, maka

1)( rrx rxxD


ContohCari dy jika 133 xxy

dxxdy )33( 2


Rumus turunan


RUMUS-RUMUS TURUNAN


TRIGONOMETRI



Soal ke-1

Jika f(x) = 3x2 + 4 maka nilai f1(x) yang

mungkin adalah ….

A. 3x C. 9x2 E. 12x2

B. 6x D. 10x2


Pembahasan

f(x) = 3x2 + 4

f1(x) = 6x


Jawaban soal ke-1

Jika f(x) = 3x2 + 4 maka nilai f1(x) yang

mungkin adalah ….

A. 3x C. 9x2 E. 12x2

B. 6x D. 10x2


Soal ke-2

Nilai turunan pertama dari:

f(x) = 2(x)2 + 12x2 – 8x + 4 adalah …

A. x2 – 8x + 5 D. 6x2 + 24x + 8

B. 2x2 – 24x – 2 E. 6x2 + 24x – 8

C. 2x2 + 24x – 1


Pembahasan

f(x) = 2x3 + 12x3 – 8x + 4

f1(x) = 6x2 + 24x – 8


Jawaban soal ke-2

Nilai turunan pertama dari:

f(x) = 2(x)2 + 12x2 – 8x + 4 adalah …

A. x2 – 8x + 5 D. 6x2 + 24x + 8

B. 2x2 – 24x – 2 E. 6x2 + 24x – 8

C. 2x2 + 24x – 1


Soal ke-3

Turunan ke- 1 dari f(x) = (3x-2)(4x+1)

Adalah …

A. 24x + 5 D. 12x – 5

B. 24x – 5 E. 12x – 10

C. 12x + 5


Pembahasan

f(x) = (3x-2)(4x+1)

f1(x) = 12x2 + 3x – 8x – 2

f(x) = 12x2 – 5x – 2

f1(x) = 24x – 5


Jawaban soal ke-3

Turunan ke- 1 dari f(x) = (3x-2)(4x+1)

Adalah …

A. 24x + 5 D. 12x – 5

B. 24x – 5 E. 12x – 10

C. 12x + 5


Soal ke- 4

1-5

2-51-5

1-55

1-61

2x 4x C.

2x 4x E. 2x 2x B.

2x 4x D. 2x 2x A.

adalah... 2x x32 f(x) dari (x)f Nilai


Pembahasan

22x - 4x (x)f

(-1).x 2 x326. (x)f

2x x32 f(x)

-51

1-1-1-61

1-6


Jawaban Soal ke- 4

1-5

2-51-5

1-55

1-61

2x 4x C.

2x 4x E. 2x 2x B.

2x 4x D. 2x 2x A.

adalah... 2x x32 f(x) dari (x)f Nilai


Soal ke- 5

3 3x D. 3x B.

1 x3 E. 2 x3 C. x3 A.

... adalah 3 x y dari 1-ke Turunan

22

6


Pembahasan

21

3

26

6

3x y

3 xy

3 xy

3 x y


Jawaban Soal ke- 5

3 3x D. 3x B.

1 x3 E. 2 x3 C. x3 A.

... adalah 3 x y dari 1-ke Turunan

22

6


Soal ke- 6

Jika f(x) = (2x – 1)3 maka nilai f1(x) adalah …

A. 12x2 – 3x + 12 D. 24x2 – 12x + 6

B. 12x2 – 6x – 3 E. 24x2 – 24x + 6

C. 12x2 – 6x + 3


Pembahasan

f(x) = (2x – 1)3

f1(x) = 3(2x – 1)2 (2)

f1(x) = 6(2x – 1)2

f1(x) = 6(2x – 1)(2x – 1)

f1(x) = 6(4x2 – 4x+1)

f1(x) = 24x2 – 24x + 6


Jawaban Soal ke- 6

Jika f(x) = (2x – 1)3 maka nilai f1(x) adalah …

A. 12x2 – 3x + 12 D. 24x2 – 12x + 6

B. 12x2 – 6x – 3 E. 24x2 – 24x + 6

C. 12x2 – 6x + 3


Soal ke- 7

Turunan pertama dari f(x) = (5x2 – 1)2

adalah …

A. 20x3 – 20x D. 5x4 – 10x2 + 1

B. 100x3 – 10x E. 25x4 – 10x2 + 1

C. 100x3 – 20x


Pembahasan

f(x) = (5x2 – 1)3

f1(x) = 2(5x2 – 1) (10x)

f1(x) = 20x (5x2 – 1)

f1(x) = 100x3 – 20x


Jawaban Soal ke- 7

Turunan pertama dari f(x) = (5x2 – 1)2

adalah …

A. 20x3 – 20x D. 5x4 – 10x2 + 1

B. 100x3 – 10x E. 25x4 – 10x2 + 1

C. 100x3 – 20x


Soal ke- 8

32

21-

2

22

2

3x) - (4x )23 -(4x C.

3x) - (4x )23 (4x E. 3) (2x 4x)-

32( B.

3x) (4x )23 -(4x D. 8) (2x 4)-x

32( A.

adalah... 3x 4x f(x) dari pertama Turunan


Pembahasan

21

3x)2)(4x23(4x (x)f

3)(8x 21

3x)2(4x21 (x)f

21

3x) (4x f(x)

3x4x f(x)

1

1

2

2


Jawaban Soal ke- 8

32

21

-2

22

2

3x) - (4x )23 -(4x C.

3x) - (4x )23 (4x E. 3) (2x 4x)-

32( B.

3x) (4x )23 -(4x D. 8) (2x 4)-x

32( A.

adalah... 3x 4x f(x) dari pertama Turunan


Soal ke- 9

Turunan pertama dari

f(x) = (3x2 – 6x) (x + 2)

adalah …

A. 3x2 – 12 D. 9x2 – 12

B. 6x2 – 12 E. 9x2 + 12

C. 6x2 + 12


Pembahasan

f(x) = (3x2 – 6x) (x + 2)

Cara 1:

Misal : U = 3x2 – 6x

U1 = 6x – 6

V = x + 2

V1 = 1


Pembahasan

Sehingga:

f1(x) = (6x – 6)(x+2)+(3x2+6x).1

f1(x) = 6x2+12x – 6x – 12+3x2 – 6x

f1(x) = 9x2 – 12


Pembahasan

f(x) = (3x2 – 6x) (x + 2)

Cara 2:

f1(x) = 3x-3+6x2 – 6x3 – 12x

f1(x) = 9x2+12x –12x – 12

f1(x) = 9x2 – 12


Jawaban Soal ke- 9

Turunan pertama dari

f(x) = (3x2 – 6x) (x + 2)

adalah …

A. 3x2 – 12 D. 9x2 – 12

B. 6x2 – 12 E. 9x2 + 12

C. 6x2 + 12


Soal ke- 10

1-8x-24x C.

18x-16x

11- E. 18x16x B.

1-8x-24x D. 18x-16x A.

... adalah 1-4x2)(3xf(x) dari pertama Turunan

2

22

22


Pembahasan

4 V

1 -4x V 3 U

23x U :Misal

1-4x23x f(x)

1

1


Pembahasan

21

2

111

1)(4x

2)4(3x1)3(4x(x)f

V

UV -VU(x)f

:Maka


Pembahasan

18x16x

11(x)f

18x16x

812x312x(x)f

21

21


Jawaban Soal ke- 10

1-8x-24x C.

18x-16x

11- E. 18x16x B.

1-8x-24x D. 18x-16x A.

... adalah 1-4x2)(3xf(x) dari pertama Turunan

2

22

22


Soal ke- 11

32 D.

34 B.

31 E. 1 C.

35 A.

... adalah mungkin yangNilai 4. (x)1f Jika

6 4x -23xf(x) Diketahui


Pembahasan

f(x) = 3x2 – 4x + 6

f1(x) = 6x – 4

Jika f1(x) = 4


Pembahasan

34x

68x

86x6x86x44

46x4:Maka


Jawaban Soal ke- 11

32 D.

34 B.

31 E. 1 C.

35 A.

... adalah mungkin yangNilai 4. (x)1f Jika

6 4x -23xf(x) Diketahui


Soal ke- 12

Diketahui f(x) = 5x2+3x+7. Nilai f1(-2)

Adalah ….

A. -29 D. -7

B. -27 E. 7

C. -17


Pembahasan

f(x) = 5x2 – 3x + 7

f1(x) = 10x – 3

Maka untuk f1(-2) adalah…

f1(-2) = 10(-2)+3

f1(-2) = -20+3

f1(-2) = -17


Jawaban Soal ke- 12

Diketahui f(x) = 5x2+3x+7. Nilai f1(-2)

Adalah ….

A. -29 D. -7

B. -27 E. 7

C. -17


Soal ke- 13

3 D. 3 - B.

6 E. 0 C. 6 - A.

... adalah 211f Nilai

16 5x 24x -32xf(x) Diketahui


Pembahasan

... adalah 21f untuk Maka

12-12x(x)f

512x-6x(x)f

16-5x6x-2xf(x)

"

"

2"

23


Pembahasan

6- 21f

12- 6 21f

12 - 21 12

21f

"

"

"


Soal ke- 14

34x)-2(2x 12)-(18x (x)1f E.

34x)-2(3x 12)-(18x (x)1f D.

34x)-2(3x 12)-(18x (x)1f C.

52)2(3x 2)-(18x (x)1f B.

51)-2(3x 12)-(18x (x)1f A.

62 adalah... 4x3x21 f(x) dari pertama Turunan


Pembahasan

52

52

162

62

4x)12)(3x(18x(x)1f

4)(6x4x)3(3x(x)1f

4)(6x4x)(3x216.(x)1f

4x)(3x21f(x)


Jawaban Soal ke- 14

54x)-212)(2x-(18x (x)1f E.

54x)-212)(3x-(18x (x)1f D.

54x)-212)(3x-(18x (x)1f C.

52)22)(3x-(18x (x)1f B.

51)-212)(3x-(18x (x)1f A.

62 adalah... 4x3x21 f(x) dari pertama Turunan


Soal ke- 15

34

D.32

B.

35

E.1 C.31

A.

12

adalah... mungkin x yangnilai maka

)21(f untuk 1 3x 6x f(x) Diketahui


Pembahasan

x2

3-12x 21

:maka21 (x)f untuk

3-12x (x)f

13x 26xf(x)

1

1


Pembahasan

31 x

248 x

8 24x 24x 8

24x 62

624x 2


Jawaban Soal ke- 15

34

D.32

B.

35

E.1 C.31

A.

12

adalah... mungkin x yangnilai maka

)21(f untuk 1 3x 6x f(x) Diketahui


Soal ke- 16

4-8x D.28x B.

48x E. 2-8x C.1x A.

adalah... 1-2x f(x)

:dari pertama Turunan4

4

8


Pembahasan

2

48

1)-(2xf(x)

1)-(2xf(x)

1)-(2xf(x) 4 8


Pembahasan

48x(x)f

1)4(2x(x)f

1)(2)2(2x(x)f

1

1

1


Jawaban Soal ke- 16

4-8x D.28x B.

48x E. 2-8x C.1x A.

adalah... 1-2x f(x)

:dari pertama Turunan4

4

8


Soal ke- 17

1 D. 1 - B.2531 E. 0 C.

2531

- A.

adalah... mungkin x yangnilai Maka 2. yuntuk

1-2x y dari pertama Turunan1

3

6


Pembahasan

6)-10(5xy

(5) 6)-2(5xy6)-(5xy

6)-(5xy

6)(5x y

1

36

3 6

2


Pembahasan

2531x

5062x

6250x50x60260-50x2

:maka 2, yUntuk 1


Jawaban Soal ke- 17

1 D. 1 - B.2531 E. 0 C.

2531

- A.

adalah... mungkin x yangnilai Maka 2. yuntuk

1-2x y dari pertama Turunan1

3

6


SELAMAT BELAJAR


LATIHAN TUGAS 3


TRIGONIMETRI

TURUNAN / DIFERENSIAL - ishaq.staff.gunadarma.ac.idishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43817/Turunan.pdf · 4.1 Devinisi Turunan (Derivatif) Turunan fungsi f adalah f ...

Documents