Top Banner

of 26

Tugas Kolektif (2) Statistika Matematika

Jul 15, 2015

Download

Documents

Felung
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript

BAB I PENDAHULUAN A.Latar Belakang Matematika adalah suatu ilmu pengetahuan yang menyediakan suatu kerangka sistematis yangdapatdipelajari.Dalammatematikamurni,definisi,aksiomasertateorema-teorema dinyatakansecaratepatdenganmenggunakanlambang-lambang.Lambangyangdigunakan menyatakan konsep abstrak yang nilainya dinyatakan oleh definisinya. Sejakawalkehidupanmanusia,matematikamerupakanalatbantuuntukmengatasi sebagianpermasalahanyangadadisekitarlingkunganhidupnya,baikyangberkaitandengan perhitungan matematis maupun masalah terapan. Oleh karena itu matematika digunakan untuk membantumerumuskanpeubah-peubahyangpenad,menyatakananggapan-anggapanyang diperlukansecaratepat,membangunanalisisyanglogis,sertamempertimbangkananalisis verbaldariberbagaipeubahyangdiperbandingkan.Sebagaisebuahilmuyangsenantiasa berkembang, statistika tak luput darihasrat untuk menerapkanmatematika di dalambahasan-bahasannya. Berbagaikonsepmatematika kinimenjadi alat analisisyang penting dalamilmu statistik. Ilmu statistik modern memang cenderung menjadi semakin sistematis. Penggunaanistilahstatistikaberakardariistilah-istilahdalambahasalatinModern StatisticumCollegium(dewannegara)danbahasaItaliaStatista(negarawanataupolitikus). Analisisstatistikbanyakmenggunakanprobabilitassebagaikonsepdasarnya,haltersebut terlihatbanyakdigunakannyaujistatistikayangmengambildasarpadasebaranpeluang. Sedangkanstatistikamatematikamerupakancabangdarimatematikaterapanyang menggunakan teori probabilitas dan analisis matematika untuk mendapatkan dasar-dasar teori statistika. Ada duamacamstatistika,yaitustatistika deskriptif dan statistikainferensial. Statistika deskriptifberkenaandenganbagaimanadatadapatdigambarkan(dideskripsikan)atau disimpulkan,baiksecaranumerik(misalnyamenghitungrata-ratadandeviasistandar)atau secara grafis (dalam bentuk tabel atau grafik), untuk mendapatkan gambaran sekilas mengenai datatersebut,sehinggalebihmudahdibacadanbermakna.Sedangkan,statistikainferensial berkenaandenganpermodelandatadanmelakukanpengambilankeputusanberdasarkan analisis data, misalnyamelakukan pengujianhipotesis,melakukan estimasi pengamatanmasa mendatang(estimasiatauprediksi),membuatpermodelanhubungan(korelasi,regresi, ANOVA, deret waktu), dan sebagainya. Sebarangpeluangmerupakankonsepyangmenjadidasarpengembanganstatistika inferensial,khususnyapenaksiranparameterdanpengujianhipotesis.Sebarangyang diturunkan dari hasil suatu percobaan dapat dibedakan atas : -Sebarangfarik -Sebarang malar Sesuaidengansifatruangsampelnya.Jadi,kalauruangsampelnyafarik,sebarannya jugadisebutsebaranfarik.Begitupulasebaliknya,jikaruangsampelnyamalarmaka sebarannya juga disebut sebaran malar. Sedangkan,adapunsebaranyangumumnyadigunakanuntukmengkajipeubahacak malar yang bernilai non-negatif adalah sebaran gamma.Penggunaan model ini dapat dijumpai sebagai peluang untuk waktu tunggu (waiting time). Umpamanya dalam pengujian daya tahan penggunaansejenisalat,denganmemperhatikanwaktutunggusampaialattersebuttidak berfungsi. Peubah acak seperti ini dapat digambarkan dengan baik oleh model sebaran gamma. Dari latar belakang inilah, kami tertarik untuk membahas lebih lanjut mengenai sebaran gamma dan seragam normal. B.Rumusan Masalah 1.Apa yang dimaksud dengan sebaran sebaran gamma dan sebaran normal? 2.Bagaimanakah yang dimaksud dengan sebaran gamma dan sebaran normal? 3.Bagaimanakah rumus dari sebaran gamma dan sebaran normal? 4.Kemukakanlah beberapa penerapan sebaran gamma dan sebaran normal? C.Tujuan Penulisan 1.Untukmengetahuiapayangdimaksuddengansebarangammadansebaran normal. 2.Untuk mengetahui bagaimanakah yang dimaksud dengan sebaran gamma dan sebaran normal. 3.Untukmengetahuibagaimanakahrumusdarisebarangammadansebaran normal. 4.Untuk mengetahui penerapan dari sebaran gamma dan sebaran normal. D.Manfaat Penulisan 1.Mengetahui apa yang dimaksud dengan sebaran sebaran gamma dansebaran normal. 2.Mengatahuibagaimanakahyangdimaksuddengansebarangammadan sebaran normal. 3.Mengetahui bagaimanakah rumus dari sebaran gamma dan sebaran normal. 4.mengetahui penerapan dari sebaran gamma dan sebaran normal BAB II PEMBAHASAN A.Sebaran Peluang Malar a.Sebaran Gamma Sebarangammaumumnyadigunakanuntukmengkajipeubahacakmalaryang bernilai non-negatif.Penggunaan model ini dapat dijumpai sebagai peluang untuk waktu tunggu (waiting time). Umpamanya dalam pengujian daya tahan penggunaan sejanis alat, denagn memperhatikan waktu tunggu sampai alat tersebut tidak berfungsi. Peubah acak sepertiinidapatdigambarkandenganbaikolehmodelsebarangamma.Distribusi gamma mendapat namanya dari fungsi gamma yang sudah dikenal luas. Definisi (6.2): Fungsi gamma didefinisikan sebagai: Untuk Jadi,Jika di integralkan per bagian (parsial) dengan Diperoleh

1100x( ) x e dx ; untukEE E + ! "001 1 1x x( ) e dx e Egg ! p + ! !!(1) 1 + !1 xx dan dv e dxEQ ! !1 21x xu x du ( )x dxv e dv e dxE EE ! p ! !p ! Maka Jadi diperoleh Dengan formula (rumus) berulang diperoleh : Jika , dengan bilangan n bulat positif maka : n n n n kaiena n n n n n Atau n n 10 0 01 20020111 1xx xx( )( ) x e dx u dv uv v dux e e ( )x dx( ) e x dx ; untukEE EEEEEE Eg g g gg g + + ! ! ! ! !"

Sifat penting fungsi Gamma adalahBukti:Dari definisiUntuk Menggunakan substitusi , Diperoleh: Denganmerubahsistemkoordinatnyakepolarkoordinat dengan cos dan sin persamaan diatas menjadi : Jadi, atau 12( ) T + !1100x( ) x e dx ; untukEE E + ! "11 122 20x( ) x e dx Eg

! p + !_ a2 21120 02 2 2 2 2120 0 0 02 22 2 4u uu v [u v ]( ) u e udu e du( ) e du e dv e dudvg g

g g gg + ! ! + ! ! _ a_ a22 2 2 222 2 2222 2222120 00 00 021 10 2 200 04444 2 2[ cos sin ][cos sin ]( ) e d de d de d d( ) e d dTTTT TTV J V JJ VV J JJ VVJ VVJ JV V JV V JV V JJ J J Tg ! !g ! !g

! !g

! !+ !!!+ ! ! ! ! Definisi 6.3 Peubah acak X dikatakan mempunyai sebaran gamma dengan parameter ditulisdengansimbolX~Gam(,)jikadanhanyajikafungsikepadaatan peluangnya adalah : f (x) =

dimana = .Diagramf(x)untuktigapasangan(,)darisebaran X~Gam ( , ) ditunjukan pada Gambar 9.2. Kita perlu mengetahui bahwa namasebaran gamma antara lain karena munculnya fungsi gamma( ) dalam fkp. Sifat khususfungsi gamma apabila merupakan bilangan bulat, yakni = ( 1 )!. Untuk menyelidiki rerata dan variansi sebaran gamma, kita dapat menggunakan fungsi pembangkit momennya. Teorema 6.3 Jika X~Gam ( , ) maka fpm nya adalahM(t) = ( 1 t ) ;t