Tugas final tik jahratunnisa & zurida

“INTEGRAL”Oleh :Jahratun Nisa & ZuridaXII IPA - 1

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

TujuanMenyelesaikan integral tak tentu dan integral tentu fungsi aljabar dan fungsi trigonometri. Serta mampu mengaplikasikannya dalam kehidupan sehari-hari.

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

Materi1. Integral Tak Tentu Fungsi

Aljabara. Integral merupakan lawan dari turunan. Jika F′(x) = f(x) maka :

∫ = lambang integral yang menyatakanoperasIantidiferensial

f(x) = fungsi integran, yaitu fungsi yang dicari antiturunannya C = konstanta

∫f(x) d(x) = F(x) + C

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

Materib. Rumus integral tak tentu fungsi aljabar∫ xn dx = xn+1 + Cc. Sifat-sifat dalam mengintegralkan fungsi1. ∫ kf(x) dx = k ∫ f(x) dx2. ∫ (f(x) + g(x)) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx3. ∫(f(x) – g(x)) dx = ∫f(x) dx - ∫ g(x) dx4. ∫ un.u΄dx = un du = ∫ (u(x))n+1 + C5. ∫ u dv = uv - ∫ v du

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

Materi2.Integral Tak Tentu Fungsi

TrigonometriRumus-rumus yang digunakan sebagai berikut.a. ∫ cos x dx = sin x + Cb. ∫ sin x dx = -cos x + Cc. ∫ cos (ax + b) dx = sin (ax + b) + Cd. ∫ sin (ax - b) dx = - cos (ax + b) + Ce. ∫ cos u .u΄ dx = ∫ cos u du = sin u + Cf. ∫ sin u . u΄ dx = ∫ sin u du = -cos u + C

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

Materi3.Integral Tentu

a. Jika ∫ f(x) dx = F(x) + C maka f(x) dx = F(b) – F(a)

b. Sifat-sifat integral tentu sebagai berikut.1. kf(x) dx = k f(x) dx2. (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx3. (f(x) – g(x)) dx = f(x) dx – g(x) dx4. f(x) dx = 05. f(x) dx = - f(x) dx6. f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

MateriMenentukan Luas Daerah

1. Menentukan Luas Daerah di Atas Sumbu-x

Misalkan R daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu-x, garis x = a, dan garis x = b, dengan f(x) ≥ 0 pada [a, b], maka luas daerah R adalah sebagai berikut.

b

a

dxxfRL

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

Materi Grafik kurva di atas sumbu -x

y = f(x)

L(R)

a b

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

Materi2. Menentukan Luas Daerah di Bawah

Sumbu-x Misalnya S daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu-x, garis x = a, dan garis x = b, dengan f(x) ≤ 0 pada [a, b], seperti yang telah dibahas di subbab D.1, maka luas daerah S adalah

b

a

dxxfSL

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

Materi Grafik kurva di bawah sumbu-x

y = f(x)

a b

Luas daerah di bawah sumbu

S

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

Materi3. Menentukan Luas Daerah yang Terletak Dibatasi Kurva y = f(x) dan sumbu-x Misalkan T daerah yang dibatasi oleh kurva y =

f(x), sumbu-x, garis x = a, dan garis x = c, dengan f(x) ≥ 0 pada [a, b] dan f(x) ≤ 0 pada [b, c], maka luas daerah T adalah

b

a

b

a

dxxfdxxfTL

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

Materi Rumus ini didapat dengan

membagi daerah T menjadi T1 dan T2 masing- masing pada interval [a, b] dan [b, c]. Kalian dapat menentukan luas T1 sebagai luas darah yang terletak di atas sumbu-x dan luas T2 sebagai luas daerah yang terletak di bawah sumbu-x.

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

Materi Grafik kurva y = f(x) dan sumbu-x

y = f(x)

a cb

T1

T2

Luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x) dan sumbu x

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

Materi4. Menentukan Luas Daerah yang Terletak di Antara Dua Kurva Luas daerah U pada gambar di bawah adalah L(U) = Luas ABEF - Luas ABCD

ba

U

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

Materi ABEF adalah daerah yang dibatasi oleh kurva

y1 = f(x), x = a, x = b, dan y = 0 sehinggaLuas ABEF

Adapun ABCD adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y2 = g(x), x = a, x = b, dan y = 0 sehingga

Luas ABEF

b

a

dxxf

b

a

dxxg

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

MateriDengan demikian, luas

daerah U adalah

b

a

b

a

b

a

dxxgxfdxxgdxxfUL

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

MateriMenentukan volume Benda

Putar 1. Menentukan Volume Benda Putar yang

Diputar Mengelilingi Sumbu-x

Secara umum, volume dinyatakan sebagai luas alas dikali tinggi. Secara matematis, ditulis

V = A . h

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

Materi perhatikan sebuah benda yang

bersifat bahwa penampang-penampang tegak lurusnya pada suatu garis tertentu memiliki luas tertentu. Misalnya, garis tersebut adalah sumbu-x dan andaikan luas penampang di x adalah A(x) dengan a ≤ x ≤ b. Bagi selang [a, b] dengan titik-titik bagi a = x0 < x1< x2< ... < xn = b.

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

Materi Melalui titik-titik ini, luas bidang tegak

lurus pada sumbu-x, sehingga diperoleh pemotongan benda menjadi lempengan yang tipis-tipis. Volume suatu lempengan ini dapat dianggap sebagai volume tabung, yaitu

, dengan . ii xxAV

iii xxx 1

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

MateriKita dapatkan

kemudian akan menjadi

n

tii xxAV

1

b

a

dxxAV

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

Materi A(x) adalah luas alas benda

putar, oleh karena alas benda putar ini berupa lingkaran, maka jari-jari yang dimaksud merupakan sebuah fungsi dalam xi misalnya f(x). Dengan demikian volume benda putar dapat dinyatakan sebagai

b

a

dxxfV 2

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

Materi Misalkan R daerah yang dibatasi oleh grafik

fungsi f(x), sumbu-x, garis x = a, garis x = b, dengan a < b, maka volume benda putar yang diperoleh dengan memutar daerah R mengelilingi sumbu-x adalah

dxxfV 2

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

Materi2. Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-y

Misalkan S daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi x f(y), sumbu-y, garis x = a, garis x = b, dengan a < b, maka volume benda putar yang diperoleh dengan memutar daerah S mengelilingi sumbu-y adalah V.

b

a

dyyfV

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

Materi Grafik Volume Benda Putar yang Diputar

Mengelilingi Sumbu-y

Volume benda putar mengelilingi sumbu y

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

Materi3. Menentukan Volume Benda Putar

yang Dibatasi Kurva f(x) dan g(x) jika Diputar Mengelilingi Sumbu-x

Daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) dan g(x) dengan , pada interval [a, b] diputar mengelilingi sumbu-x seperti yang telah dijelaskan di subbab E.1, maka volume benda putar yang diperoleh adalah sebagai berikut.

dxxgxfTV 22

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

Materi Grafik Volume Benda Putar yang Dibatasi

Kurva f(x) dan g(x) jika Diputar Mengelilingi Sumbu-x

Volume benda putar yang dibatasi kueva f(x) dan g(x) jika diputar mengelilingi sumbu x

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

Materi4. Menentukan Volume Benda Putar yang

Dibatasi Kurva f(y) dan g(y) jika Diputar Mengelilingi Sumbu-y

Jika daerah yang dibatasi oleh kurva f(y) dan g(y) dengan pada interval [a, b] diputar mengelilingi sumbu-y. Seperti yang telah

dijelaskan di subbab sebelumnya maka volume benda putar yang diperoleh adalah sebagai berikut.

b

a

dxxgxfUV 22

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

Materi Grafik Volume Benda Putar yang Dibatasi

Kurva f(y) dan g(y) jika Diputar Mengelilingi Sumbu-y

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

Contoh Soal1. Hasil dari ∫ (2x + 3)(x2 + 3x)10 dx = . . . .

A. (x2 + 3x)11 + CB. 2x (x2 + 3x)11 + CC. x (x2 + 3x)11 + CD. (x2 + 3x)11 + CE. x (x2 + 3x)11 + C(Ujian Nasional 2011/2012)

Jawaban : A∫ (2x + 3)(x2 + 3x)10 dx= ∫ (x2 + 3x)10 d(x2 + 3x)= (x2 + 3x)11 + C

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

Contoh Soal2. Hasil dari ∫ cos4 2x sin 2x dx =

A. - sin5 2x + CB. - cos5 2x + CC. - cos5 2x + CD. cos5 2x + CE. sin5 2x + C(Ujian Nasioanal 2010/2011)

Jawaban : B∫ cos4 2x sin 2x dx= - ∫cos4 2x d(cos 2x)= - . cos5 2x + C= - cos5 2x + C

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

Contoh Soal Tentukan hasil integral- integral berikut!

Misal U = 2X -7» du = 2 dx dx =

»

Kunci: + c

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

Contoh Soal Misal: u = cos x du = -sin x dx maka -du = sin x dx

Jadi

Kunci

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

Contoh Soal Contoh 1: menghitung

luasHitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y = 3x2 + 6x , sumbu X, dan garis-garis x = 0 dan x = 2

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

Contoh Soal Penyelesaian:

Sketsalah terlebih dahulu grafik y = 3x2 + 6x

Titik potong dengan sumbu X y = 0 → 3x2 + 6x = 0 → 3x(x + 2) = 0 x = 0 atau x = -2 sehingga titik potong dengan sumbu Xadalah di (0,0) dan (-2,0)

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

Contoh Soal Sketsa grafik y = 3x2 +

6x

X

Y

O

y = 3x2 + 6x

x =2-2

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

Contoh Soal

X

Y

O-2

L=?

x =2

y = 3x2 + 6x

L = 2

0

2 )63( dxxx2

0

23 3 x x

luassatuan 200)2.32( 23

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

Contoh Soal

4 cm

6 cm

7 cm

12 cm

7 cm

5 cm

I II III IV

satuan dalam cm

Ruang benda putar dapat dibedakan menjadi 4 bagian .bagian I dan III merupakan bentuk silinder yang tidak perlu dihitung dengan membagi-bagi kembali ruangnya, bagian II dan IV perlu diperhitungkan kembali.

Bagian I:

Bagian II:

56)7)(4(2 IL

196)7)(4( 2 IV

288)12(122 IIL

345612122 2 IIV

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

Contoh Soal Sedangkan untuk menghitung bagian II dan IV

diperlukan pembagian area , misalkan dengan mengambil h=1 diperoleh:

Pada bagian II dan IV: dan Dengan menggunakan integrasi trapezoida dapat

diperoleh:

10822

2)(4

150

iiIVII yyyhLL

5.118722

4

1

225

20

iiIVII yyyhVV

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

Contoh Soal Luas permukaan dari botol adalah:

Luas = 1758.4 cm2 Volume botol adalah:

Volume = 18924.78 cm3

4.1758560

10828810856

IVIIIIII LLLLL

60245.118734565.1187196

IVIIIIII VVVVV

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

Contoh SoalLuas daerah yang dibatasoleh grafik fungsi y = 2 – x2, dangaris y = x adalah…

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

Contoh SoalPenyelesaian:Karena kedua titik batas Pengintegralan belum diketahui,maka kita harus menentukannya, dengan cara menentukan titik potong kedua grafik fungsi

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

Contoh SoalPenyelesaian:Titik potong grafik fungsi y = 2 – x2

dan y = x sebagai berikut; 2 – x2 = xx2 + x – 2 = 0(x + 2)(x – 1) = 0 x1 = -2 dan x2 = 1Luas daerah yang dimaksud sepertigambar berikut:

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

Contoh SoalLuas daerah yang dimaksudSeperti gambar berikut:

X

Y

y = 2 - x2

y = x

2

–2 1

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

Contoh SoalL =

1

2

2 )2( dxxx1

2

2213

31 )(2x

xx

)1.1.1.2( 2213

31 2

213

31 )2.()2.()2.(2

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

Contoh SoalL = )1.1.1.2( 2

213

31 2

213

31 )2.()2.()2.(2

)2( 21

31 2)4( 3

8

21

38

3162

21

398

214

Jadi, luasnya adalah 2

14 satuan luas

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

Uji Kompetensi1. Hasil ∫ cos3x dx adalah . . . .

A. sin x - sin3 x + CB. cos4 x + CC. 3 cos2 x sin x + CD. sin3 x – sin x + CE. sin x - 3 sin3 x + C

2. Hasil dari x dx . . . .

A. (9 + 76) D. (3 - 76)B. (9 - 76) E. ( + 76)C. (3 + 76)

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

Uji Kompetensi

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

Uji Kompetensi Luas daerah yang dibatasi oleh

kurva y = x3, sumbu Y, garis y = 8 adalah…

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu Y, dan garis y = x + 6 adalah…

Luas daerah yang dibatasi oleh kurvay = x2 – 6x + 8 dan sumbu X adalah…

Luas daerah yang dibatasi oleh Kurva y = x3 – 1, sumbu X, garis x = -1 dan x = 2 adalah…

MATERI

CONTOH SOAL

UJI KOMPETENSI

DAFTAR PUSTAKA

TUJUAN

Daftar Pustaka