Home >Documents >tugas 1 madas uas

tugas 1 madas uas

Date post:06-Jul-2015
Category:
View:1,689 times
Download:90 times
Share this document with a friend
Transcript:

1

3.8 Diferensiasi Implisit Pada persamaan y3 + 7y = x3, carilah nilaidy dx

nya. Kemudian carilah kemiringan garis singgung di

titik (2, 1). Kita tidak dapat menyelesaikan y dalam x (seperti persamaan y = axn + bx + c). Misal, berapa nilai y jika x = 2? Untuk menjawab ini, kita harus menyelesaikan persamaan y3 + 7y = 8. Tentu saja y = 1 adalah solusinya. Kita mengatakan bahwa persamaan itu mendefinisikan y sebagai fungsi implisit dari x.d 3 dy d 3 (y ) + 7 = x dx dx dx dy dy 3y 2 +7 = 3x 2 dx dx dy 3 y 2 + 7 = 3x 2 dx dy 3x 2 = 2 dx 3 y + 7

(

)

Untuk mencari kemiringan garis singgung di titik (2, 1) masukkan x = 2 dan y =1 ke dalam dy/dx.3(2) 2 3 4 12 6 dy = = = = , 2 dx 3(1) + 7 3 + 7 10 5

jadi kemiringan nya adalah 6/5.

3.8 Diferensiasi Implisist

2

Sebuah Contoh yang Dapat Diperiksa, Untuk menguji kebenaran metoda tersebut, perhatikan contoh berikut, yang dapat dikerjakan dalam dua cara. Carilah dy/dx jika 4x2y 3y = x3 1. Metoda 1 Kita dapat menyelesaikan persamaan yang diberikan secara explisit untuk y: y(4x2 3) = x3 1x3 1 y= 2 , sehingga untuk mencari turunan 4x 3 dy (4 x 2 3)(3x 2 ) ( x 3 1)(8 x) 4 x 4 9 x 2 + 8 x = = dx (4 x 2 3) 2 (4 x 2 3) 2

nya dengan menggunakan aturan hasilbagi:

Metoda 2 Diferensiasi Implisit Kita menyarankan turunan-turunan kedua ruas darid d 3 4x 2 y 3y = x 1 dx dx dy dy 4x 2 + y.8 x 3 = 3 x 2 dx dx

(

)

(

)

dy (4 x 2 3) = 3x 2 8 xy dx

dy 3 x 2 8 xy = dx 4x 2 3 x3 1 y= 2 , 4x 3

Jawaban metoda 1 dan metoda 2 terlihat berbeda. Tapi, setelah memasukkan hasil metoda kedua, kita akan memperoleh hasil yang sama:dy 3 x 2 8 xy = = dx 4x 2 3 3x 2 8 x x3 1 4 2 4 4 2 4 x 2 3 = 12 x 9 x 8 x + 8 x = 4 x 9 x + 8 x 4x 2 3 (4 x 2 3) 2 (4 x 2 3) 2

kedalam

3.8 Diferensiasi Implisist

3

Jika sebuah persamaan dalam x dan y memiliki y = f(x) dan jika fungsi ini terdiferensiasikan, maka metoda diferensiasi implisit akan menghasilkan ungkapan yang benar untuk dy/dx. Perhatikan persamaan x2 + y2 = 25 yang menentukan fungsi y = f ( x) = 25 x 2 dan fungsi y = g ( x) = 25 x 2 Kedua fungsi terdiferensiasikan pada -5 < x < 5.f ( x) = x x = f ( x) 25 x 2 x 25 x 2

g ( x) =

x = g ( x)

Untuk keperluan praktis, kita dapat memperoleh kedua hasil ini secara serempak dengan diferensiasi implisit x2 + y2 = 25. Ini menghasilkan:2x + 2 ydy =0 dxdy x = = dx y x 25 x 2 x

jika y = f(x) jika y = g(x)

dy x = = dx y 25 x 2

3.8 Diferensiasi Implisist

4

Perhatikan bahwa seringkali cukup untuk mengetahui dy/dx = -x/y. Andaikan kita ingin mengetahui kemiringan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 25 ketika x =3, nilai y yang berpadanan adalah 4 dan -4. Kemiringan di titik (3, 4) adalah (substitusi x dan y ke dalam dy/dx = -x/y). Kemiringan di titik (3, -4) adalah (substitusi x dan y ke dalam dy/dx = -x/y). Contoh soal, Carilah dy/dx jika x2 + 5y3 = x + 9 Penyelesaian, d ( x 2 + 5 y 3 ) = d ( x + 9)dx dx d 2 d (x + 5 y3 ) = ( x + 9) dx dx dy 2 x + 15 y 2 =1 dx

dy 1 2 x = dx 15 y 2

Contoh Soal, Carilah persamaan garis singgung pada kurva y3 xy2 + cos xy = 2 di titik (0,1) Penyelesaian, Untuk menyederhanakan penulisan, kita gunakan notasi y untuk dy/dx. 3y2y x(2yy) y2 (sin xy)(xy + y) = 0 y(3y2 2xy x sin xy) = y2 + y sin xy Di titik (0,1), y = 1/3 Jadi persamaan garis singgung nyay = y 2 + y sin xy 3 y 2 2 xy x sin xy

1 y 1 = ( x 0) 3

atau

y=

1 x +1 3

3.8 Diferensiasi Implisist

5

Aturan Pangkat Lagi, Andaikan bilangan r bilangan rasional sebarang. Maka untuk x > 0 Dx(xr) = rxr-1 Contoh Soal, Jika y = 2 x 5 / 3 + x 2 + 1 , carilah Dxy Penyelesaian, Dengan menggunakan Teorema aturan pangkat dan Aturan Rantai, kita memperoleh: Dxy = 2Dxx5/3 + Dx(x2 + 1)1/25 1 = 2. x 5 / 31 + ( x 2 + 1)1 / 21 .(2 x) 3 2 x 10 = x2/3 + 2 3 x +1

3.8 Diferensiasi Implisist

Soal-soal 3.8

Carilah Dxy dengan menggunakan diferensiasi implisit: 1. y2 x2 = 1 2. xy = 1 3. xy2 = x 8 4. 4x3 + 7xy2 = 2y3 5. 5 xy + 2 y = y 2 + xy 3 6. xy + sin (xy) = 1 Carilah persamaan garis singgung di titik yang ditunjuk: 7. x3y + y3x = 30; (1, 3) 8. sin (xy) = y; (/2, 1) 9. x2/3 y2/3 2y = 2; (1, -1) Carilah dy/dx 10. y = 3x 5 / 3 + x 1 11. y = 3 x + 3 x

12. y = 4 3 x 2 4 x 1 13. y = 3 ( x + 2 x) 2 / 3

14. y = x 2 + sin x 1 15. y = 3 2 x sin x 16. Jika s2t + t3 = 1, carilah ds/dt dan dt/ds 17. Kurva x2 xy + y2 = 16 merupakan elips yang berpusatdi titik asal dengan garis y = x sebagai sumbu utamanya. Tentukanlah persamaan garis singgung pada dua titik tempat elips tersebut memotong sumbu x

1

3.9 Laju yang Berkaitan Contoh Soal, Sebuah balon kecil dilepas pada jarak 150 meter dari seorang pengamat yang berdiri di tanah. Jika balon naik tegak lurus ke atas dengan laju 8 meter/detik, seberapa cepat jarak antara pengamat dan balon bertambah pada waktu balon pada ketinggian 50 meter. Penyelesaian, Anggaplah t menyatakan banyaknya detik setelah balon dilepas. Anggaplah h menyatakan ketinggian balon dan s jaraknya dari pengamat.s h 150

Untuk penekanan, kita bertanya dan menjawab tiga pertanyaan dasar: (a) Apa yang diketahui? Jawab: dh/dt = 8 (b) Apa yang ingin diketahui? Jawab: Kita ingin mengetahui ds/dt tepat pada h = 50 (c) Bagaimana kaitan antara s dan h? Peubah-peubah s dan h berubah dengan waktu (keduanya adalah fungsi-fungsi implisit dari t), tetapi keduanya selalu dikaitkan dengan persamaan Pythagoras s2 = h2 + 1502

3.9 Laju yang Berkaitan

2

Jika kita diferensiasikan secara implisit terhadap t dan menggunakan aturan rantai, kita memperoleh: ds dh ds dh atau 2 s = 2h s =hdt dt dt dt

Hubungan ini berlaku untuk semua t > 0. Dari teorema Pythagoras, kita lihat ketika h = 50,s = 50 2 + 150 2 = 50 10

Substitusi nilai nilai diatas ke dalam s(ds/dt)=h(dh/dt) menghasilkan50 10 ds = 50(8) dt 8 ds = 2,53 dt 10

Jadi, pada saat h = 50, jarak antara balon dan pengamat bertambah dengan kecepatan 2,53 meter/detik. Contoh Soal, Air dituangkan ke dalam tanki berbentuk kerucut dengan laju 8 desimeter-kubik tiap menit. Jika tinggi bak adalah 12 dm dan jari-jari permukaan atas adalah 6 dm, seberapa cepat permukaan air naik bilamana kedalaman air adalah 4 dm. Penyelesaian, Nyatakan kedalaman air dalam h dan andaikan r adalah jari-jari permukaan air yang berpadanan. Diketahui bahwa volume V, volume air dalam bak naik dengan laju 8 desimeterkubik/menit, yakni dV/dt = 8. Kita ingin mengetahui seberapa cepat air naik (yakni dh/dt) tepat pada saat h = 4. Volume air dalam bak, V = 1 r 2 h3

Kita tidak mengetahui dr/dt, sehingga kita harus memodifikasi persamaan diatas dengan mensubstitusi r/h = 6/12 (lihat gambar).

3.9 Laju yang Berkaitan

3

Sehingga didapat persamaan,

1 h h 3 V = .h = 3 2 12

2

,

Sekarang kita diferensiasikan secara implisit, dengan tetap mengingat bahwa V dan h bergantung pada t. Kita memperoleh,dV 3h 2 dh = dt 12 dt

atau

dV h 2 dh = dt 4 dt

Sekarang kita memperoleh hubungan antara dV/dt dan dh/dt, sehingga kita dapat meninjau situasi pada saat h = 4. Dengan substitusi h = 4 dan dV/dt = 8, kita memperoleh:8=

(4) 2 dh4 dt

sehingga

dh 2 = 0,637 dt

Pada saat kedalaman air 4 dm, permukaan air naik dengan laju 0,637 dm/menit. Bila Anda memikirkan sejenak Contoh diatas, Anda menyadari bahwa permukaan air akan naik semakin lambat dengan berlalunya waktu. Misalnya bilamana h = 108=

(10) 2 dh4 dt

jadi dh/dt = 32/100 0,102 dm/menit.

Apa yang sebenernya kita katakan adalah bahwa percepatan d2h/dt2 negatif. Kita dapat menghitung sebuah ungkapan untuk itu. Pada sebarang waktu t,8=2

h 2 dh4 dt

jadi

32

= h2

dh , dt

kita diferensiasikan secara implisit, akan memperolehd h = dt 22

0 = h2

d h dh dh + 2h dt 2 dt dt

membawakan

2

dh dt h

yang bernilai negatif.

3.9 Laju yang Berkaitan

4

Prosedur Sistematis, Kedua contoh diatas menyarankan metoded yang berikut untuk menyelesaikan masalah laju-laju yang berkaitan. Langkah 1: Andaikan t menyatakan waktu yang dilalui. Gambarkan sebuah diagram yang berlaku untuk semua t > 0. Berilah besaran-besaran yang nilainya tidak berubah bila t bertambah dengan nilainilai konstantanya yang diketahui. Berikan juga label pada besaran yang berubah sesuai dengan t, dan berilah label pada bagian gambar yang sesuai dengan peubah-peubah ini. Langkah 2: Nyatakan apa yang diketahui dan apa yang diinginkan tentang peubah-peubah tersebut. Informasi ini akan berbentuk turunan-turunan terhadap peubah t. Langkah 3: Tuliskanlah sebuah persamaan yang mengaitkan peubah-peubah itu yang berlaku untuk semua waktu t > 0, bukan hanya pada beberapa saat tertentu. Langkah 4: Diferensiasikan secara implisit persamaan yang ditemukan dalam Langkah 3 terhadap t. Persamaan yang dihasilkan, memuat turunan-turunan terhadap t, benar untuk semua t > 0. Langkah 5: Pada tahap ini, dan bukan lebih awal, substitusikan ke dalam persamaan yang ditemukan dalam langkah 4 semua data yang berlaku pada saat tertentu seperti yang diperlukan oleh jawaban masalah. Selesaikanlah untuk turunan yang di inginkan. Contoh Soal, Sebuah pesawat udara terbang ke utara dengan laju 640 mil/jam melewati sebuah kota tertentu pada tengah hari, dan pesawat terbang kedua terbang ke timur dengan laju 600 mil/jam langsung diatas kota yang sama 15 menit kemudian. Jika pesawat-pesawat itu terbang pada ketinggian yang sama, seberapa cepatkah pesawat-pesawat itu berpisah pada pukul 13:15?

3.9 Laju yang Berkaitan

5

Penyelesaian, Langkah 1

Embed Size (px)
Recommended