Transformasi Linier - ilkomadri.com filePengertian Jika F : V →W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, maka F disebut transformasi linier jika: 1. F(u+v)

TransformasiLinier

Adri Priadana

http://ilkomadri. com

Pengertian

Jika F : V → W adalah sebuah fungsi dari

ruang vektor V ke dalam ruang vektor W,

maka F disebut transformasi linier jika:

1. F(u+v) = F(u) + F(v), untuk semua vektor

u dan v di V

2. F(ku) = kF(u), untuk semua vektor u di

dalam V dan semua skalar k

Contoh

Misal F: R2 → R2 adalah sebuah fungsi yg

didefinisikan oleh:

F(x,y) = (2x – y, x)

Buktikan bahwa F adalah transformasi

linier.

Contoh (cont)

Jawab:

Misalkan u = (x1 , y1) dan v = (x2 , y2) anggotaR2 dan k sebarang skalar.

Jadi F adalah transformasi linear

F(u + v) = F1((x1 + x2 , y1 + y2))= (2(x1 + x2) – (y1 + y2), x1 + x2) = (2x1 + 2x2 – y1 – y2, x1 + x2) = ((2x1 – y1) + (2x2 – y2), x1 + x2)= (2x1 – y1, x1) + (2x2 – y2, x2)= F(x1, y1) + F(x2, y2)= F(u) + F(v).

F(ku) = F1((kx1, ky1))= (2kx1 – ky1, kx1)= k(2x1 – y1, x1)= kF(x1, y1)= kF(u).

Matriks Penyajian

Transformasi Linier

Misalkan T: Rn → Rm adalah transformasi

linier dari ruang vektor real V ke ruang

vektor real W, bila V dan W berdimensi

berhingga, maka transformasi linier

tersebut dapat dinyatakan dengan suatu

matriks, yang disebut matriks penyajian(representasi matriks)

Matriks Penyajian

Transformasi Linier

Misalkan e1, e2, ...., en adalah basis baku

untuk Rn dan misalkan A adalah sebuah

matriks m x n yang dibentuk oleh T(e1),

T(e2), ..., T(en) sebagai vektor-vektor

kolomnya, maka A disebut sebagaimatriks penyajian atau matriks baku.

Misalkan jika T: R2 → R2 diberikan oleh:

Maka

T(e1) = T dan T(e2) = T

Jadi A = adalah matriks penyajian

untuk T di atas

Contoh

21

21

2

1

223xxxx

xx

T

13

01

2

210

21

23

Misalkan jika T: R3 → R2 diberikan oleh:

Maka

T(e1) = T ; T(e2) = T

T (e3) = T

Contoh

23

31

3

2

1

223xxxx

xxx

T

03

001

20

010

12

100

Jadi A = adalah matriks

penyajian untuk T di atas

Contoh (cont)

120

203

Vektor Koordinat Dan Perubahan Basis

Andai (ei) basis natural dari Rn, maka

sembarang u Rn dapat dinyatakan sebagaikombinasi linier dari basis (ei), katakanlah:

u = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 + ... + an en

Pasangan skalar (a1, a2, a3 ,..., an) disebutkoordinat relatif dari u terhadap basis (ei),

ditulis ue = (a1, a2, a3 ,..., an)

u R2 dengan u = , terhadap basis

natural (ei) dengan e1 = dan e2 = ,

maka u = 5 e1 + 8 e2. Jadi koordinat relatif

u terhadap basis natural (ei) adalah

ue = (5, 8)

Contoh

85

01

10

Andaiakan basis lain dari R2 adalah basis

(fi) dengan f1 = dan f2 = ,

dan u = adalah u = 3 f1 - 2 f2 .

Jadi koordinat relatif u terhadap basis (f)

adalah uf = (3, -2).

Perubahan Basis

21

11

85

Contoh

u R3 dengan u =

Basis lain dari ruang R3 adalah (gi) dengan

g1 = , g2 = , dan g3 =

koordinat relatif u terhadap basis (gi)

solusi ?

650

111

101

112

Solusi

u = x g1 + y g2 + z g3

Diperoleh persamaan :

- x + y + 2z = 0

x + z = 5

- x + y - z = -6

Diperoleh nilai-nilai x = 3, y = -1 dan z = 2

Jadi koordinat relatif u terhadap basis (gi)adalah ug = (3, -1, 2)

Contoh (cont)

Contoh

Apabila telah diketahui koordinat relatif u

terhadap basis natural (ei) dengan e1 =

dan e2 = adalah ue = (8, 5)

Maka tentukan koordinat relatif u terhadap

basis dengan E1 = dan E2 = ?

01

10

30

22

Contoh (cont)

dapat kita gambarkan sebagai

8 + 5 = x1 + x2

Maka x1 dan x2 memenuhi sistem

persamaan linier

=

dapat diperoleh =

01

10

30

22

58

2320

2

1

xx

2

1

xx

41

Matur Nuwun