Home >Documents >Transformasi Laplace - .Jika invers transformasi Laplace dari fungsi F(s) dan G(s) adalah f(t) dan...

Transformasi Laplace - .Jika invers transformasi Laplace dari fungsi F(s) dan G(s) adalah f(t) dan...

Date post:31-Jan-2018
Category:
View:279 times
Download:15 times
Share this document with a friend
Transcript:
  • 1

    TKS 4003 Matematika II

    Transformasi Laplace (Laplace Transform)

    Dr. AZ

    Jurusan Teknik Sipil

    Fakultas Teknik

    Universitas Brawijaya

    PENDAHULUAN

    Pengertian Transformasi

    Transformasi adalah teknik atau formula matematis yang

    digunakan untuk mengubah representasi persamaan

    matematika dari satu bentuk ke bentuk representasi yang

    lain. Adanya transformasi mengharuskan juga adanya

    inverse transformasi untuk melakukan hal yang

    sebaliknya.

  • 2

    Latar Belakang Penggunaan Transformasi

    Transformasi diperlukan sebagai alat bantu untuk

    memecahkan persoalan matematika yang rumit. Penggunaan

    transformasi dan inversenya dapat diilustrasikan pada

    Gambar 1.

    Gambar 1. Penggunaan transformasi dan inversenya

    PENDAHULUAN (Lanjutan)

    Transformasi Laplace F(s) dari fungsi f(t), untuk t > 0

    adalah :

    = =

    (1)

    Transformasi Laplace digunakan untuk mengubah fungsi

    f(t) yang berada dalam kawasan waktu t ke kawasan s.

    Solusi didapat dengan mengubah persamaan diferensial

    (yang merupakan fungsi waktu) dari kawasan waktu t ke

    kawasan s dengan menggunakan transformasi Laplace,

    sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 2.

    DEFINISI

  • 3

    Gambar 2. Penggunaan transformasi Laplace dan inversenya

    Rumus Tranformasi Laplace (Pers. 1), jika digunakan

    secara langsung pada permasalahan akan seringkali

    dijumpai kesulitan dalam perhitungannnya, sehingga

    disarankan untuk menggunakan bantuan tabel transformasi

    Laplace.

    DEFINISI (Lanjutan)

    Berikut adalah transformasi Laplace dari beberapa fungsi :

    1. Konstanta

    Transformasi Laplace dari sebuah konstanta C(y(t) = C),

    adalah :

    = =

    =

    =

    sehingga :

    =

    (8)

    TRANSFORMASI LAPLACE FUNGSI SEDERHANA

  • 4

    2. Fungsi y(t) = t

    = =

    +

    = +

    =

    sehingga :

    =

    (9)

    TRANSFORMASI LAPLACE FUNGSI SEDERHANA (Lanjutan)

    3. Fungsi y(t) = t n

    = =

    +

    = + +

    =

    =

    dengan cara yang sama :

    TRANSFORMASI LAPLACE FUNGSI SEDERHANA (Lanjutan)

  • 5

    =

    =

    =

    sehingga :

    =!

    (10)

    TRANSFORMASI LAPLACE FUNGSI SEDERHANA (Lanjutan)

    4. Fungsi eksponensial y(t) = e at

    = =

    ()

    = ()

    =

    ()

    =

    =

    sehingga :

    =

    (11)

    TRANSFORMASI LAPLACE FUNGSI SEDERHANA (Lanjutan)

  • 6

    4. Fungsi cosinus dan sinus

    =

    +

    =

    +

    +

    =

    +

    ++

    +=

    +

    sehingga :

    =

    + (12)

    TRANSFORMASI LAPLACE FUNGSI SEDERHANA (Lanjutan)

    dengan cara yang sama, transformasi Laplace dari fungsi

    sinus adalah :

    =

    + (13)

    TRANSFORMASI LAPLACE FUNGSI SEDERHANA (Lanjutan)

  • 7

    Tabel 1. Transformasi Laplace beberapa fungsi sederhana

    Fungsi f(t) Transformasi Laplace F(s)

    =

    =

    = !

    +

    =

    =

    +

    =

    +

    TRANSFORMASI LAPLACE FUNGSI SEDERHANA (Lanjutan)

    Agar dapat menyatakan syarat cukup untuk f(t) yang

    menjamin keujudan f(t) , diperkenalkan konsep kekontinuan bagian-demi-bagian (piecewise continuity) dan

    orde eksponensial (exponential order).

    1. Kekontinuan bagian-demi-bagian, fungsi f(t) dikatakan

    kontinu bagian-demi-bagian pada suatu interval jika :

    (i) interval tersebut dapat dibagi menjadi sejumlah

    berhingga interval bagian di mana f(t) kontinu pada

    interval bagian ini, dan

    (ii) limit fungsi f(t) untuk t mendekati titik akhir setiap

    interval bagiannya bernilai hingga.

    SYARAT CUKUP KEUJUDAN TRANSFORMASI LAPLACE (Lanjutan)

  • 8

    Atau dengan kata lain, suatu fungsi bagian-demi-bagian

    hanya mempunyai sejumlah berhingga titik di mana fungsi

    tersebut tak kontinu seperti pada Gambar 3.

    Gambar 3. Contoh fungsi bagian-demi-bagian

    SYARAT CUKUP KEUJUDAN TRANSFORMASI LAPLACE (Lanjutan)

    2. Orde eksponensial, suatu fungsi f(t) dikatakan berada

    dalam orde eksponensial untuk t > T jika dapat ditentukan

    konstanta M dan , sehingga |f(t)| Met untuk t > T.

    Dengan menggunakan kedua persyaratan tersebut dapat

    dibuat teorema sebagai berikut :

    Teorema 1

    Jika f(t) kontinu bagian-demi-bagian pada setiap interval

    berhingga 0 t T dan berada dalam tingkat eksponensial

    untuk t > T, maka |f(t)| ada untuk s > .

    SYARAT CUKUP KEUJUDAN TRANSFORMASI LAPLACE (Lanjutan)

  • 9

    Teorema 2

    Jika f(t) memenuhi syarat Teorema 1, maka :

    =

    =

    Hal ini menyebabkan bahwa jika

    () , maka f(t)

    tidak dapat memenuhi syarat Teorema 1.

    SYARAT CUKUP KEUJUDAN TRANSFORMASI LAPLACE (Lanjutan)

    1. Linieritas

    Jika f(t) dan g(t) adalah sebuah fungsi, dengan :

    = =

    dan

    = =

    maka :

    = () dan + = +

    2. Pergeseran dalam S

    Jika = =

    maka :

    SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE

  • 10

    =

    = ()

    = ( )

    3. Pergeseran dalam S dan inversnya

    Jika = ( )

    maka :

    ( ) = () =

    SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE (Lanjutan)

    4. Integrasi

    Jika = =

    maka :

    () =

    5. Teorema Konvulsi

    Jika transformasi Laplace dari fungsi f(t) dan g(t) adalah

    F(s) dan G(s) dengan :

    = =

    dan

    = =

    maka :

    SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE (Lanjutan)

  • 11

    =

    6. Integral Konvulsi

    Jika invers transformasi Laplace dari fungsi F(s) dan

    G(s) adalah f(t) dan g(t) dengan :

    = dan =

    maka :

    =

    atau

    =

    SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE (Lanjutan)

    Cari transformasi Laplace dari fungsi berikut :

    1. f(t) = sin t cos t

    2. f(t) = sin 2t cos 3t

    3. f(t) = t2 et sin 3t

    Jawab :

    1. Ingat sin t cos t = sin 2t

    = =

    =

    +=

    +

    CONTOH

  • 12

    2. Ingat 2 sin x cos y = sin (x + y) + sin (x - y)

    = + () = +

    =

    +

    +

    =

    + +

    + +

    =

    + +

    =

    + +

    CONTOH (Lanjutan)

    3. , untuk mempermudah dikerjakan secara

    bertahap.

    =

    +

    =

    ()+=

    +

    =

    +

    =

    ()

    +

    =+

    +

    CONTOH (Lanjutan)

  • 13

    LATIHAN

    Cari transformasi Laplace dari fungsi berikut :

    1. f(t) = t e at

    2. f(t) = cos t cos 2t

    3. f(t) = sin 2t cos 2t

    4. f(t) = e -t cos 2 t

    5. f(t) = t 2 cos at

    6. f(t) = t 3 e -3t

    Terima kasih dan

    Semoga Lancar Studinya!

Embed Size (px)
Recommended