TRANSFORMASI LAPLACE - WordPress.com...MATEMATIKA LANJUT TRANSFORMASI LAPLACE AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO – FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 2 1. PRINSIP DASAR

BAB 2

TRANSFORMASI LAPLACE

Pokok Pembahasan :Prinsip Dasar

LinieritasSingularitas

Perkalian dan Pembagian Dengan Waktu Pergeseran

Transformasi Fungsi-fungsi Elementer

MATEMATIKA LANJUT TRANSFORMASI LAPLACE

AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO – FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 2

1. PRINSIP DASAR⊕ Transformasi Laplace adalah transformasi dari suatu fungsi waktu t ;

f(t), dengan frekuensi kompleks, menjadi fungsi frekuensi F(s). ⊕ Transformasi Laplace digunakan untuk memecahkan fungsi-fungsi :

• Periodik dan aperiodik• Kontinyu dan diskontinyu• Eksponensial• Membentuk Persamaan Diferensial• Fungsi yang tak dapat ditulis dengan pernyataan

matematik⊕ Bila f(t) komtimyu, maka F(s) juga kontinyu.⊕ Membuat fungsi menjadi konvergen.



⊕ Bila f(t) ; t > 0 , maka transformasi Laplace f(t) adalah F(s)

F(s) = L f(t) = ( 2-1 )

dengan e = 2.71828s = Frekuensi komplekss = σ + jω

Faktor perkalian e-st membuat fungsi F(s) konvergen.

-st

0

f(t).e dt∞

∫



2. LINIERITAS2.1. PenjumlahanTransformasi Laplace penjumlahan/pengurangan dua atau lebih fungsi tf(t), sama dengan jumlah/kurang transformasi Laplace dari masing-masing fungsi t itu sendiri.

L [ f1(t) + f2(t) ] =

L [ f1(t) + f2(t) ] = +

L [ f1(t) + f2(t) ] = L f 1( t ) + L f2 ( t )

L [ f1(t) + f2(t) ] = F1(s) + F2(s) ( 2-2 )

{ } -st1 2

0

f (t) f (t) e dt∞

±∫st

10

f (t).e dt∞

−∫ st2

0

f (t).e dt∞

−∫



2.2. Perkalian Dengan KonstantaTransformasi Laplace dari perkalian suatu f(t) dengan sembarang konstanta sama dengan perkalian sembarang konstanta dengan transformasi Laplace (f(t) itu sendiri.

L [ k f(t) ] = =

L[k f(t)] = k F(s) ( 2-3.A )

L[a.f1(t)+ b.f2(t)] =

L[a.f1(t) + b.f2(t)] = a F1(s) + b F2(s) ( 2-3.B )

st

0

k.f (t).e dt∞

−∫ st

0

k f (t).e dt∞

−∫

s t s t1 2

0 0

a f ( t ) e d t b f ( t ) e d t∞ ∞

− −±∫ ∫



3. SINGULARITAS3.1. DiferensiasiTransformasi Laplace diferensiasi f(t) dan turunannya f’(t) adalah sbb :

L f(t) = F(s) =

Misal : u = f(t) ; dv = e-st dt ;

= - = + L

L = s F(s) – f(0) ( 2-4.A )

-st

0

f(t).e dt∞

∫df (t)du dt

dt⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

-st

0

f(t).e dt∞

∫-st

0

e df(t)- dts dt

∞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠∫st

0

e f (t)s

∞−⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

stevs

−= −

f(0)s

1s

df ( t )dt

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

df (t)dt

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦



L = L = s . L - f’(0)

= s F(s) – f(0) – f’(0) = s [ s f(s) – f(0) ] – f’(0)

L = s2 f(s) – s.f(0) – f’(0) ( 2-4.B )

L = sn f(s) – sn-1.f(0) – sn-2 f’(0) - .... – s.fn-2(0) + fn-1(0)

L [ Dn f(t) ] = sn.F(s) - ( 2-4.C )

⊕ f(0) = fungsi nilai awal (initial value function)

df ( t )dt

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

2

2d f ( t )

d t

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

d d f ( t )d t d t

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

2

2d f ( t )

d t

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

n

nd f ( t )

d t

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

nn j j 1

j 1s . f (0)− −

=

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦∑



3.2. IntegrasiA. Integrasi Terbatas

L f(t) = F(s) = L =

Misal : u = , du = f(t) dt ; dv = e-st dt , v =

L = +

L = ( 2-5.A )

t

0

f(t) dt∫

t-st

0 0

f(t) d t .e d t∞ ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠∫ ∫-s t

0

f ( t ) .e d t∞

∫

-st1 es

−

1 F (s )s

t

0

f(t) dt∫t

-st

0

1 f(t).e dts ∫

t

0

f(t) dt∫

t-st

0 0

-e f(t) dt s

∞⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠∫



B. Integrasi Tanpa Batas Waktu.Untuk kasus seperti ini diperlukan nilai awal yaitu nilai pada t = 0.

L = ( 2-5.B )

4. PERKALIAN DAN PEMBAGIAN DNG WAKTU t (TIME-FREQ. SCALING)4.1. Perkalian dengan waktu t

L [ t f(t) ] = =

[ ]1 F(s) + f(0) s0

f ( t ) d t∞

∫

-st

0

t.f(t) e d t∞

∫-st

0

d(e )t f(t) dt ds

∞

−∫

-st

0

dF(s) d = f(t) e dt ds ds

∞

− ∫



L [ t f(t) ] = ( 2-6.A )

L [ t2 f(t) ] = ( 2-6.B )

L [ tn f(t) ] = ( 2-6.C )

dF(s)ds

−

22

2

d F(s)( 1)ds

−

nn

n

d F(s)( 1)ds

−



4.2. Pembagian Dengan Waktu t

L = =

= =

=

L = ( 2-7 )

-st

0 s

f(t) dt e d(-st) t

∞ ∞

−∫ ∫

-st

0

f(t) e dtt

∞

∫f(t) t

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

-st

0

f(t) dt. et

s

∞∞

∫

s

F (s) ds∞

∫

-st

0 0

d(-st)f(t) dt . e-t

∞ ∞

∫ ∫

-st

s 0

f(t) e dt ds .∞ ∞

∫ ∫

f(t)t

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠



5. PERGESERAN5.1. Pergeseran Waktu (Time Shifting)Bila L f(t) = F(s) , digeser sebesar t0 , maka

L f(t-t0).U(t-to) = =

⊕ F(t-t0).U(t-t0) = 0 , berlaku untuk t < t0

⊕ f(t-t0) , berlaku untuk t > t0

Jika dimisalkan τ = t - t0 ; t = τ + t0 ; dτ = dt

maka L f(t-t0).U(t-t0) = =

L f(t-t0).U(t-t0) = e-sto F(s) ( 2-8 )

-st0 0

s

f(t-t ).U(t-t ) e dt∞

∫0

-st0

t

f(t-t ) e dt∞

∫

0-s (τ + t )

0

f(τ) e dτ∞

∫ -sτ

0

f(τ ) e d τ∞

∫



5.2. Fungsi Gerbang (Gate Function)⊕ Fungsi gerbang adalah super posisi dua buah Fungsi Satuan Langkah

(Unit Step Function).

⊕ Notasi fungsi gerbang Gto(T) ; t0 < T

Gt0(T) = U(t-t0) – U( t- t0 – T)

f(t)

0

f(t)

T tt0

Ttt00



Contoh :1.

f(t) = t.G0(T) = t [ U(t) – U(t-T) ]

F(s) = L { t [ U(t) – U(t-T) ] }

= L { t. U(t) - (t-T) . U(t-T) – E.U(t - T)}

= - e-sT - e-sT

F(s) = [ 1- (1+T).e-sT ]

T T0 0t t

f(t)f(t)

E E1

ETs

ET

ET

ET

ET

ET

ETs

Es

ETs



2. f(t) = E sin ωt. G0( ) ; ω = 2 π f ; f =

f(t) = E sin . G0( )

f(t) = E sin ( ).[ U(t – T/2)]

F(s) =

T2

1T

2 tTπ T

2

0 T/2

1

f(t)

t

2 tTπ

2 ETπ

T-s2

22

1 e2 πsT

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪+⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎛ ⎞⎪ ⎪⎟⎜⎪ ⎪+ ⎟⎜⎪ ⎪⎟⎜⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭



5.3. Pergeseran FrekuensiPergeseran frekuensi dalam domain s merupakan transformasi Laplace perkalian f(t), dengan fungsi eksponensial e-bt, yaitu sama dengan transformasi Laplace fungsi tersebut yang mengalami pergeseran s sebesar b sehinga menjadi (s+b).

Bila L f(t) = F(s)

L [ e-bt.f(t)] =

=

L [ e-bt.f(t)] = F(s+b) ( 2-9 )

-b t -s t

0

e .f( t) .e d t∞

∫-(s+b)t

0

e f(t) dt∞

∫



5.4. Fungsi PeriodikTransformasi Laplace fungsi periodik dengan periode T sama dengan transformasi Laplace periode pertama fungsi tersebut dibagi (1- e-sT).

f(t) = f1 (t) + f2 (t) + f3 (t) + .............. fn(t)f1 = f(0) U(t) ; f2 = f(U-T) U(t-T)f3 = f(U-2T) U(t-2T) ; fn = f(U-nT) U(t-nT)

L f1(t) = F1(s)

f1(t) f2(t) f3(t) fn(t)

T 2T 3T nT t0

f(t)



F(s) = F1(s)+ F1(s)e-sT + F1(s) e-2sT + ...+ F1(s) e-(n-1)sT

F(s) = F1(s) [ 1 + e-sT + e-2sT + ...+ e-(n-1)sT ]

F(s) = ( 2-10 )( )1

-sT

F (s)1 - e



6. TRANSFORMASI FUNGSI-FUNGSI ELEMENTER6.1. Fungsi Eksponensial Waktu.

f(t) = eat

dengan a adalah konstanta yang dapat merupakan bilangan : Nyata, Imajiner atau Kompleks

Bila L f(t) = F(s) =

L f(t) = = =

L eat = ( 2-11 )

-st

0

f(t).e dt∞

∫at -st

0

e .e dt∞

∫ -(s-a)t

0

e dt∞

∫

1( s - a )

-(s-a)t

0

1 .e( s - a )

∞−



6.2. Fungsi Satuan Langkah (Unit Step Function)

f(t) = U(t)U(t) = 1 ; t > 0U(t) = 0 ; t < 0

Bila U(t) = eat untuk a = 0, U(t) = 1

L U(t) = untuk a = 0 L U(t) =

L U(t) = =

L U(t) = ( 2-12 )

t0

U(t)f(t)

1

1( s - a )

1s

-st

0

e dt∞

∫ -s t

0

1 . e s

∞−

1s



6.3. Fungsi Sinus

ejat – e-jat = 2j sin at

sin at = [ejat – e-jat]

L sin at = L =

L sin at = ( 2-13 )

jate cos at + j sin at=-jate cos at - j sin at=

-

12j

2 2

as a+

jat -jat1 [e e ] 2j

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪−⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭ ( ) ( )1 1 12j s-ja s+ja

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪−⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭



6.4. Fungsi Cosinus

ejat + e-jat = 2 cos at ; cos at = ½ (ejat + e-jat )

L cos at = L [ ½ (ejat + e-jat ) ]

L cos at = ( 2-14 )

6.5. Fungsi Hiperbolik

sinh at = [eat – e-at] ; cosh at = [e at + e-at ]

L sinh at = ( 2-15 )

L cosh at = ( 2-16 )

2 2

ss + a

2 2

ss - a

2 2

as - a



7. IKHTISAR TRANSFORMASI LAPLACE

7.1. Sifat-Sifat Utama Transformasi Laplace

Fungsi t Fungsi s

Linieritas [ f1(t) + f2(t) ] F1(s) + F2(s)

Perkalian dng konstanta k f(t) ; k > 0 k F(s)[a.f1(t) + b.f2(t)] ; a,b >0 a F1(s) + b F2(s)

Diferensiasi s F(s) – f(0)

Diferensiasi ke n

df ( t )dt

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

n

nd f ( t )

d t

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

nn j j 1

j 1s . f (0)− −

=

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦∑



Fungsi t Fungsi s

Integrasi (terbatas)

Integrasi (tak terbatas)

Pergeseran Waktu f(t-t0).U(t-t0) ; t0 > 0 e-sto F(s)

Pergeseran Frekuensi [ e-bt.f(t)] F(s+b)

Skala Frekuensi-Waktu f(at) ; a > 01 sFa a

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

1 F (s )s

t

0

f(t) dt∫

0

f(t) dt∞

∫ [ ]1 F(s) + f(0) s



Fungsi t Fungsi s

Perkalian dng Waktu t . f(t)

tn f(t)

Pembagian dng Waktu

dF(s)ds

−

nn

n

d F(s)( 1)ds

−

s

F (s) ds∞

∫f(t)t

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠



7.2. Transformasi Laplace Fungsi-fungsi Elementer

7.2.1. Fungsi Singularitas

Fungsi t Fungsi s

Unit Impuls δ(t) 1

Unit Step u(t)

Unit Ramp r(t) = t u(t)

1s

21s

t

t

t



Fungsi t Fungsi s

Unit Parabola p(t)= ½ t2 u(t)

Integral ke n impuls δ(-n)(t)

Unit Doublet δ’(t) s

Turunan ke n impuls δ(n)(t) sn

n1s

31s

t



7.2.2. Fungsi Elementer Biasa

Fungsi t Fungsi s

Konstanta k

t t

Pangkat dari t

Eksponensial eat

Perkalian t dng Eksponensial t.e-at

ks

21

s

1(s a )−

(n 1)t(n 1)!

−

− n1

s

21

(s a )+



Fungsi t Fungsi s

Perkalian t dng Eksp.-Berulang

Sinus sin ωt

Cosinus cos ωt

Sinushyperbolicus sinh ωt

Cosinushyperbolicus cosh ωt

Sinusoid

n 1 at1 t e(n 1) !

− −

+

2 2sω

− ω

2 2sω

+ ω

2 2s

s + ω

2 2as bs

+ ω

+ ω

2 2s

(s − ω

n1

(s a )+

2 2 1 ba b cos t tana

−⎛ ⎞+ ω −⎜ ⎟⎝ ⎠



Fungsi t Fungsi s

Sinus Teredam e-at sin ωt

Cosinus Teredam e-at cos ωt

Sinusoid Teredam

Perkalian t dng sinus t sin ωt

Perkalian t dng cosinus t cos ωt

2 2(s a )ω

+ + ω

2 2 22 s

(s )ω

+ ω

2 2s a

(s a )+

+ + ω

2 2

2 2 2s

(s )− ω

+ ω

2 2a (s p) b(s p)

+ + ω

+ + ω2 2 pt 1 aa p .e cos t tan

b− −⎛ ⎞+ ω −⎜ ⎟

⎝ ⎠

TRANSFORMASI LAPLACE - WordPress.com...MATEMATIKA LANJUT TRANSFORMASI LAPLACE AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO – FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 2 1. PRINSIP DASAR

Documents