Transformasi Laplace Jadi

Transformasi Laplace Disusun Dalam Rangka Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Matematika Rekayasa

Nama:

Zainal Abidin(135524013)

Muhanif

(135524022)

UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA

FAKULTAS TEKNIK

JURUSAN TEKNIK MESIN

PROGRAM STUDI S-1 PENDIDIKAN TEKNIK MESIN

2014

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT. bahwa penulis telah menyelesaikan tugas mata kuliah Matematika Rekayasa berjudul

Transformasi Laplace.

Dalam penyusunan makalah ini, tidak sedikit hambatan yang penulis hadapi. Namun penulis menyadari bahwa kelancaran dalam penyusunan tugas ini tidak lain berkat bantuan, dorongan dan bimbingan orang tua, sehingga kendala-kendala yang penulis hadapi teratasi. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada :

1. Ibu dosen pembimbing yang telah membimbing penulis dalam menyelesaikan tugas ini.2. Orang tua yang telah turut membantu, membimbing, dan mengatasi berbagai kesulitan sehingga tugas ini selesai.Semoga materi ini dapat bermanfaat dan menjadi sumbangan pemikiran bagi pihak yang membutuhkan, khususnya bagi penulis sehingga tujuan yang diharapkan dapat tercapai, Amin.

Surabaya, 27 November 2014

Penulis

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL...........................................................................................

i

KATA PENGANTAR.........................................................................................

ii

DAFTAR ISI................................................................................................................iii

BAB I : PENDAHULUAN

1.1 LATARBELAKANG..............................................................................

1

1.2RUMUSAN MASALAH..................................................................

1

1.3 TUJUAN..................................................................................................

2

BAB II : PEMBAHASAN

2.1 Pengertian Transformasi Laplace..................................................

3

2.1.1 Mengubah Persamaan Deferensial ke kawasan S..................3

2.1.2 Transformasi Laplace Beberapa Fungsi Sederhana...............52.2 Beberapa Sifat Transformasi Laplace .........................................

72.2.1 Linearitas.................................................................................72.2.2 Pergeseran dalam s..................................................................72.2.3 Pergeseran dalam S dan inversenya........................................8

2.2.4 Konvolusi................................................................................8

2.2.5 Integrasi...................................................................................92.3 Menyelesaikan Partial Fraction dari Transformasi Laplace..............92.3.1. Metode Cover Up...................................................................112.3.2. Metode Substitusi...................................................................13

2.3.3. Metode Equate Coefficient.....................................................15

2.4 Transformasi Laplace Untuk Mencari Solusi Persamaan Deferensial Biasa16BAB III : PENUTUP

3.1 Kesimpulan...................................................................................

19

3.2 Saran.............................................................................................

19BAB I

PENDAHULUAN1.1 Latar Belakang Penggunaan Transformasi LaplaceTransformasi adalah teknik atau formula matematis yang digunakan untuk mengubah persamaan matematika secara representatif dari satu bentuk ke bentuk yang lain. Adanya transformasi mengharuskan juga adanya invers transformasi yang dapat melakukan hal-hal yang sebaliknya. Transformasi diperlukan sebagai alat bantu untuk memecahkan suatu persoalan matematika yang rumit. Seperti sketsa penyelesaian transformasi dibawah ini:

Sedangkan transformasi Laplace merupakan suatu tipe dari tranformasi yang membahas mengenai 1. Solusi Persamaan Diferensial Biasa Linear Homogen melibatkan bentuk eksponensial yang relatif cukup sulit untuk dikerjakan

2. Transformasi Laplace dapat digunakan untuk mengubah persamaan diferensial menjadi bentuk persamaan aljabar,sehingga mengurangi kerumitan penggunaan bentuk eksponensial menjadi bentuk ekspresi persamaan aljabar

3. Solusi persamaan dalam bentuk aljabar dapat ditulis sebagai penjumlahan tiap- tiap komponennya dengan tiap komponen merupakan Transformasi Laplace dari bentuk eksponensial.1.2 Rumusan masalah

Setelah membaca latar belakang diatas penulis menemukan rumusan masalah sebagai berikut:1. Apa itu Transformasi Laplace?

2. Apa saja sifat Transformasi Laplace?

3. Bagaimana Cara menyelesaikan Partial Fraction dari Transformasi Laplace?4. Bagaimana cara mencari Transformasi Laplace Untuk Persamaan Deferensial Biasa?1.3 Tujuan Dari perumusan masalah di atas. Tujuan penulisan makalah ini sebagai berikut:1. Mengerti apa itu Transformasi Laplace2. Mengerti sifat-sifat Transformasi Laplace3. Mengerti cara menyelesaikan Partial Fraction dari Transformasi Laplace4. Mengerti cara mencari Transformasi Laplace untuk persamaan Defrensial BiasaBAB IIPERMASALAHAN2.1 Pengertian Transformasi LaplaceTransformasi Laplace Y (s) dari fungsi y(t), untuk t > 0 adalah :Y (s)0Transformasi Laplace digunakan untuk mengubah fungsi y(t) yang berada dalam kawasan waktu ke kawasan s. Solusi dari persamaan diferensial didapat dengan mengubah persamaan diferensial (yang merupakan fungsi waktu) dari kawasan waktu ke kawasan s dengan menggunakan transformasi laplace, sebagaimana ditunjukkan pada gambar di bawah.

Gambar. Penggunaan Transformasi Laplace dan Inversenya

Rumus Tranformasi Laplace di atas, apabila digunakan secara langsung pada permasalahan. maka akan seringkali dijumpai kesulitan dalam kalkulasinya, sehingga dianjurkan untuk menggunakan bantuan tabel transformasi laplace. Penggunaan tabel transformasi laplace menghindarkan dari rumitnya perhitungan transformasi.

2.1.1 Mengubah Persamaan Diferensial ke kawasan SUntuk melakukan transformasi laplace terhadap persamaan diferensial, maka harus diingat terlebih dahulu bahwa :

d udt dt dt Bila Transformasi Laplace adalah : Y s

, maka Transformasi

0 Laplace dari turunan (derivative) pertama adalah : Jika u adalah e-st dan v adalah y, maka :

0Jika diasumsikan bahwa pada saat

t y(t) mengalami kenaikan cukup lambatdibanding dengan grafik est, maka e y(t) Sehingga :Bentuk di atas dapat disederhanakan menjadi : L0Dari uraian di atas, maka Transformasi Laplace dari turunan pertama sebuah fungsi

adalah : L atau LTransformasi Laplace dari turunan kedua suatu fungsi juga dapat dicari dengan cara

yang sama.LdtSedangkan transformasi Laplace dari turunan ke-n suatu fungsi adalah :ndt dtcontoh 1.Ubah persamaan diferensial berikut dari kawasan t ke kawasan s dengan menggunakan metode Transformasi Laplace.

d 2 yLdt 2

, dengan

y(0)dtjawab:Langkah ke-1. Lakukan Transformasi Laplace

Gunakan secara langsung Transformasi Laplace untuk turunan kedua, maka didapatkan:susun kembali menjadi :Langkah ke-2. Cari Persamaan polinomial Y(s) dengan bantuan nilai awalY(0)dtsYang perlu diingat adalah bentuk

L f (t )

merupakan Transformasi Laplacedari fungsi f(t).2.1.2 Transformasi Laplace Beberapa Fungsi Sederhanaberikut adalah transformasi Laplace dari beberapa fungsi

1. Konstanta

Transformasi Laplace dari sebuah konstanta C ( y(t) = C ), adalah :L C , sehingga L C0 s 2. Transformasi Laplace fungsi y(t) = t

sehingga L ts3. Transformasi Laplace fungsi y(t) = t nL{t n }0

s 0sdengan cara yang sama :L{t n } }sL{t n } t }sL{t1}ssehingga

L{t n }s4. Transformasi Laplace fungsi eksponensial, y(t) = eatL{eat }0 00

, sehingga

L{eat }s

5. Fungsi cosinus dan sinusL cos2 s2

sehingga

L{cossdengan cara yang sama, Transformasi Laplace dari fungsi sinus adalah: L{sinsRingkasan Transformasi Laplace beberapa fungsi tersebut dapat ditulis dalam tabel berikut.

Tabel. Transformasi Laplace beberapa fungsi sederhanaFungsi y(t)Transformasi Laplace Y(s)

y(t) = CCs

y(t) = t1s2

y(t) = t nn!s n

y(t) = e at1s

y(t) = cos ts s 2

y(t) = sin ts 2

2.2 Beberapa karakteristik Transformasi LaplaceBeberapa karakteristik Transformasi Laplace antara lain :

2.2.1 LinearitasJika f(t) dan g(t) adalah sebuah fungsi, dengan :F (s)

dan

0G(s)maka

0L cf (t )

dan

L af (t)2.2.2 Pergeseran dalam SJika

F (s)0Maka

L eat f (t )

L eat f (t)0 0

, sehingga

2.2.3 Pergeseran dalam S dan inversenyaJika

L eat f (t )

, maka

L F (scontoh 2. Gunakan sifat pergeseran dalam s untuk mecari Inverse Transformasi Laplace

dari : 1 (sjawab :

F (s

, F (s)(s ssehingga

L F (s

(s) ,2.2.4 Teorema KonvolusiJika Transformasi Laplace dari fungsi f(t) dan g(t) adalah F(s) dan G(s), denganMaka :

F (s)0

, G(s)0L f (t

g ( d

F (s)G(s)yang disebut sebagai integral konvolusi. Jika inverse Transformasi Laplace dari F(s)dan G(s) adalah f(t) dan g(t), dengan : L F (s)maka

, dan

L G(s)tL F (s)G(s)0

, atau

tL F (s)G(s)0contoh 3: Gunakan teorema konvolusi untuk mencari inverse Transformasi Laplace

dari:

jawab :

F (s)(s

, G(s)(s

, maka

f (t)

, dan

g (t)gunakan teorema konvolusi :tL F (s)G(s)0

, maka Lekspansikan menjadi :Lt t0 0

Apabila diselesaikan menjadi : L2.2.5. IntegrasiJika

F (s)

, maka L0contoh 4: Gunakan teorema integrasi untuk mencari inverse dari : 1s (

Jawab :

F (s)(s

(dari tabel), maka :

L2.3 Menyelesaikan Partial Fraction dari Transformasi LaplaceDi dalam penggunaannya, transformasi laplace seringkali melibatkan bentukQ(s)

P(s)

dengan banyak fraksi, dimana P(s) dan Q(s) merupakan suku polinomial. Oleh

karenanya, terlebih dahulu dipelajari bagaimana fraksi-fraksi yang terlibat/dihasilkan diubah ke fraksi pecahan (partial fraction) agar didapatkan solusi dari Persamaan Differensial Biasa, Jadi, terlebih dahulu dipelajari bagaimana menggunakan partial fraction sebelum memecahkan Persamaan Differensial Biasa.

Mengubah Fraction Menjadi Partial FractionJika :

Q(s)P(s) (s dengan P(s) Maka terdapat 3 kemungkinan penyelesaian dari P(s)a. P(s) akar-akarnya riil dan berbeda. Tuliskan masing-masing faktor P(s), dan tambahkan koefisien yang sesuai (A, B, dst) pada bagian pembilang

Contoh :1.

s s22.

1 (s

b. P(s) akar-akarnya riil dan sama, yaitu Jika Maka uraikan menjadi :

Q(s)

c. jika akar-akarnya merupakan pasangan bilangan kompleks

Dari pemecahan fraksi di atas, perlu dicari nilai dari koefisien A,B,C dan seterusnya. Terdapat 3 cara untuk menyelesaikan parsial fraksi di atas, yaitu :

1. Cover up Rule2. Substitusi3. Equate coefficient2.3.1. Metode Cover UpLangkah penyelesaian parsial fraksi dengan Cover Up adalah :

a. Kalikan dengan s-ib. Subtitusikan s = i1. Jika P(s) akar-akarnya riil dan berbeda.contoh 5. Cari Parsial fraksi dari : s(sjawab :s(s(s(skalikan dengan (s-1), substitusikan s = 1,sSelanjutnya kalikan dengan (s 3)

s(s(ssubstitusikan s = 3,s2Maka diperoleh : s(sContoh 6. Cari Parsial fraksi dari : 1s (

Jawab: 1s(sUntuk mencari nilai A, kalikan persamaan di atas dengan s, dan subtitusikan nilai s = 0sehingga menjadi : 1s(s

Untuk mencari nilai B, kalikan dengan (s + 1) dan subtitusikan nilai s = -1ssSehingga bentuk parsial fraksinya adalah :1s(s 1 )

1 1s (s 1)2. Jika P(s) akar-akarnya riil dan sama

contoh 7. Cari Parsial fraksi dari :jawab : s = A(s (suntuk mencari nilai C, kalikan dengan (s + 1)3, substitusikan s = -1

Untuk mencari nilai A dan B, digunakan metode substitusi. Ambil s = 0 dan subtitusikan ke persamaan.

1 1 1 12 = A + B,

. Subtitusikan C =2 sehingga

ambil s = 1:2

2 2 2

2 4 8

, kalikan dengan 8 menjadi :

substitusikan C =2

apabila diselesaikan akan didapatkan : A = 1, B = 1, C = 2.s = 1(s (s3. Jika P(s) akar-akarnya komples

contoh 8. Cari parsial fraksi dari :

jawab : karena P(s) mengandung (s2 + 1), maka berikan koefisien Cs + D pada bagian pembilang.

1(s(s(s

(sUntuk mencari nilai koefisien yang lain (A,C dan D), maka digunakan metode substitusi

1(ss(0

Untuks(1

Untuks(3

Sehingga :(s2.3.2. Metode SubtitusiJika Parsial fraksi adalah :

Q(bi )

P(bi )

a1(bi

a2(bi

an....) (bi )

Maka lakukan :

1. Subtitusikan s = bi, dengan i = 1, 2, ..., n

2. pecahkan nilai a1, a2, ..., anContoh 9. Cari nilai koefisien A dan B pada : 1jawab :Untuk s = 1, Untuk s = 2, (kurangkan persamaan 1 dan 2 ), Maka didapatkan : 16 6maka

1s(s 1

1s (s 1 )Contoh 10. Tentukan nilai koefisin A, B dan C pada :

Jawab :

Gunakan aturan Cover Up

1s2 (s1

, kalikan dengan s2, dan subtitusikan nilai s = 0 sehingga

2

(s (0untuk mendapatkan nilai C, kalikan dengan (s + 1)1s2 (s1s2

substitusikan s = -1.

Oleh karenanya telah kita dapatkan :

1s2 (sUntuk mencari nilai A, maka kita substutusikan nilai s yang mudah dikalkulasi. Ambil s= 1, maka :

112 (1 2 2Persamaan Parsial fraksi yang kita dapatkan oleh karenanya adalah

2.3.3. Metode Equate CoefficientLangkah mengerjakan parsial fraksi dengan metode ini adalah :

1. Kalikan dengan P(s) dengan sehingga menjadi bentuk :

2. Samakan koefisien s di ruas kanan persamaan dengan di ruas kiri.

contoh 11. Gunakan metode equate coefficient untuk mencari nilai koefisien A dan B

pada : 1s(sjawab :

1. Kalikan dengan s(s + 1),1 = As + Bs + A, => 1 = (A+B) s + A2. Untuk koefisien s1 : A+B = 0

3. Untuk koefisien s0 : A = 1, sehingga B = -1

contoh 12. Gunakan metode equate coefficient untuk mencari nilai koefisien A, B dan

C pada : 1 (sjawab :1. kalikan dengan (s + 1)(s2 + 1), sehingga menjadi :

2. penyamaan koefisien s untuk s2 => 0 = A + B, untuk s1 => 0 = B + C,

untuk s0 => 1 = A + Cmaka didapatkan :

2 2 2Contoh 8 dapat juga dikerjakan dengan menggunakan metode EquateCoefficient sebagai berikut :

1 likan dengan (s - 2)2(s 2 + 1)(s

s3 : A 2maka didapatkan : s :s : A1:

apabila diselesaikan, didapat : 2.4 Solusi Persamaan Differensial Biasa Menggunakan Transformasi LaplacePersamaan Diffrensial Linear dengan bentuk :

dapat diselesaikan dengan menggunakan transformasi laplace. Sebagai contoh, kita dapat menyelesaikan persamaan diferensial :

d 2 y2.dt 2

dtPada contoh kasus 1 (Persamaan Differensial Linear Homogen), ubahpersamaan diferensial dengan transformasi laplace :kL dt dtYang juga dapat ditulis dalam bentuk :kLdt dtuntuk memudahkan dalam mengingatnya. Perlu dicermati bahwa pangkat dari s menurun, sedangkan turunan y mengalami kenaikan. Selanjutnya, transformasikan ke kawasan s dengan transformasi laplace :

d 2 ydt 2 dt d 2 yL( )dt 2 dtdidapatkan :(s2(s(sDari bentuk ini, kita ubah bagian fraksinya : Y (s) = A(s (sKalikan dengan (s - 1)(s

, substitusi s = 1,(12kalikan dengan (s 3), substitusi s = 3, untuk mendapatkan koefisien B., s = 3,(s (3

, maka B2sehingga parsial fraksinya menjadi:Y (s)

2 (suntuk mencari solusi Persamaan Deferensial asal, ubah Y(s) dari kawasan s ke kawasan t

menggunakan inverse transformasi dengan bantuan tabel.Y (s)

2 (s2

2 2

Pada contoh kasus ke-2 (Persamaan Diferensial Linear Tak Homogen) :

d 2 yd 2 y

dt 2 dtL( )dt 2 dtLangsung kita ubah ke kawasan s dengan transformasi laplace :

y(0)ssSehingga bentuk Y(s) nya adalah :(ss(sGunakan partial fraction untuk mengubah Y (s)Y (s)(s)25 sGunakan inverse transform untuk mendapatkan solusi akhirY (s)

25 s

2525 15 25 25Soal-soal Petunjuk pengerjaan: Untuk soal no. 1, carilah A dan B, kemudian carilah nilai y(t) menggunakan invers laplace. Untuk soal no. 2 dan 3, carilah fungsi laplace Y(s), tentukan pecahan parsialnya, kemudian carilah solusi persamaan diferensial / nilai y(t) menggunakan invers laplace.1. s(s

d 2 ydt 2 dtBAB IIIPenutup

KesimpulanPada Transformasi Laplace ini merupakan bentuk transformasi yang eksponensial yang relatif cukup sulit untuk dikerjakan oleh sebab itu Transformasi Laplace memiliki kelebihan yaitu dapat digunakan untuk mengubah persamaan diferensial menjadi bentuk persamaan aljabar, sehingga mengurangi kerumitan penggunaan bentuk eksponensial menjadi bentuk ekspresi persamaan aljabar

Transformasi Laplace juga dapat ditulis sebagai penjumlahan tiap- tiap komponennya dengan tiap komponen merupakan Transformasi Laplace dari bentuk eksponensial. Saran

Demikian makalah yang dapat kami buat semoga dapat bermanfaat bagi pembaca. Apabila ada saran dan kritik yang ingin disampaikan silahkan sampaikan kepada kami. Dan bilamana ada kesalahan-kesalahan dalam pembuatan makalah ini kami mohon maaf sebesar-besarnya , karena kami adalah hamba Alloh yang tak luput dari salah khilaf dan lupa.Solusi permasalahan dalam bentuk asal

Invers Transformasi

Permasalahan dalam bentuk asal

Solusi Transformasi

Transformasi

L{y(t)} e y(t )dt

st

Solusi permasalahan dalam kawasan waktu

Inverse Transformasi Laplace

Solusi Transformasi Laplace

Transformasi Laplace

Permasalahan dalam kawasan waktu

v dv

u du v

u v du vd

u dvdt t dt dt

L y(t) e y(t )dt

st

e y s e

0

dt

st st

grafik

st

0 untuk t

st

e y 0 e0

y(0) y(0)

0

dy

ydt

dt

dy

L y(0) sY (s)

st st

e y s e

0

dt

dy

sY (s) y(0)

dt

dy

sL y(t ) y(0)

dt

2

d y 2

2

dt

s Y (s) dy (0) sy(0)

2 dy n 1

s Y (s) d y (0) sn (0) s y(0)

n

1

1

n

d y n

n

dt

y 0

1, dy (0) 0

2 dy

(0) sy(0) Y (s) 0

s Y (s)

dt

s2 1 Y (s) dy

(0) sy(0)

dt

s2 1 Y (s) 0

s

1, dy (0) 0

Y (s) s

2

1

F (s)

st 1 st

C C

e Cdt e C 0

s s s

0

st

C

s s

st n 1

e t dt e t e nt

st n 1 st n 1 st n 1

dt

0 0

L{t n } 0 0 n e n

t dt

1

L{t n } n L{t n }

1 n 1 n 2

L{t

2 n 2 n 3

L{

1 L{t 0 }

1

n!

n

1 i

st at ( s a )t

e e dt e dt

L{eat } e e

( s a )t 1 ( s a )t

s a

0

1 1

s a s a

L{eat } 0 e

0

1

a

2 s2 2 s2 2

1

2

t 1 -i t

t L

e e

t 1

2 s i

L cos 1 1 1

i

s i s

i

s

2 2

t 1

L cos

2

s

2

t}

2

2

1

a

2

L f (t) e f (t)dt

st

L g (t) e g (t)dt

st

2

cF (s)

bg (t ) aF (s) bG(s)

t} s

2

L f (t) e f (t)dt

st

F (s a)

st at ( s a )t

e e f (t)dt e f (t )dt F (s a)

1 at 1 at

a) e L F (s) e f (t )

F (s a)

s

a)2

a) 1

2

a)

1

2

a) e L F

1 1 at 1 1 at

L e L e t

2 2

a)

(s

1

1 at

L e t

2

(s

1 at 1

st

L f (t) e f (t)dt

st

L g (t) e g (t)dt

a)

0

t

)

)

1

1

f (t)

g (t)

1

f (t

) g ( )d

) g (t )d

1

f (

1)

1)

cos t

sin t

) sin( )d

)d

1

f (t

) sin( )d

cos(t

) g ( )d

1

s t

cos(t

2 2

1) 0

(s

1

s t

2 2

(s

cos t cos

sin d sin t sin sin d

1

s 1

t sin t

2 2

1) 2

(s

1 1

1) 0

st

L f (t) e f (t)dt

t

s 1)

t

f (

F (s)

s 0

e

1 f (t) e

1)

t t

t

)

1 0

s s

e ( 1) 1 e

0

e d

1 1 1

t

1

2

s

2

a1 a2 an

1 ) (s 2 ) (s n )

1 )(s 2 ) (s n )

(s

1

A B

4s 3 (s 1) (s 3)

A B

2)(s 1) (s 2) (s 1)

1 2 n .

1

1)(s 3)

1)

A B

1

1)(s 3) (s 1) (s 3)

1)

1) (s A (s 1) B

3) (s 3)

1 2 A A 1

2

1

1)(s 3) (s 1) (s 3)

A B

s 3 (s (s 3) A B

1) (s 1)

3 4 B B 2

1

1 2

1)(s 3) (s 1) (s 3)

s 1)

A B

1) s (s 1)

A B

1) s (s 1)

(s 1) : 1 (s 1) A B

1

1: 1 0 B B 1

1

1

3s 4

1)3

B C

2 3

1) (s 1) (s 1)

3 4 A

2

s2 3s 4 A(s 1)2 B(s 1) C

1 3 4 C, C 2

0 4 A

0 B C 4 A B C

1 B C 1 A B C

3 2 3

8 4 A 2B C,

6 4 A 2B,

3s 4

1)3

1 2

2 3

1) (s 1) (s 1)

2

A B Cs

2 2

2)2 (s2 1) (s 2) (s 2) (s 1)

D

2)2 1 (s 2) A B (s 2)2 Cs

2 2

1) (s 1)

D

D

1 A 1 Cs

2 2 2 2

2) (s 1) (s 2) 5(s 2) (s 1)

A 1 Cs

2 2

2)2 (s2 1) (s 2) 5(s 2) (s 1)

D

0 1 A 1 D

2 2 2 2

2) (0 1) (0 2) 5(0 2) (0 1)

1 1 1 1

2 A 5 2 C 2 D 10 A 5C 5D 3

1 1 A 1 C

2 2 2 2

2) (1 1) (1 2) 5(1 2) (1 1)

3 1 A 1 3C

2 2 2 2

2) (3 1) (3 2) 5(3 2) (3 1)

1 1 3 1

10 A 5 10 C 10 D 10 A 3C D 1

1 4 1 4s

2 2 2 2

2) (s 1) 25(s 2) 5(s 2) 25(s 1)

1 )

D

D

3

2

n

A B

1) s (s 1)

s(s2122262333

1 A B 1 A 1 B

1 A B 1 A 2 B

B B 1 A 1

1

1

1

1) s s (s 1)

A B C

2

As B Cs

1 B B 1

1) (s 1)

1)

1) s s (s 1)

A(s C

2

A B C

2

1) B(s 1)

1 C C 1

2

1)

A 1 1

2

1) s s (s 1)

1 A 1 1 A 1

ss(

A 1 1

2

1) 1 1 (1 1)

A B

1) s (s 1)

1 A(s 1) Bs

C

A Bs

2

1)(s2 1) (s 1) (s 1)

1 A(s2 1) (Bs C)(s 1)

1 ( A B)s2 (B C)s ( A C)

A 1 , B 1 , C 1

D

A B Cs , ka

2 2

2)2 (s2 1) (s 2) (s 2) (s 1)

1 As3 2 As2 As 2 A Bs2 B (s2 4s 4)(Cs D)

1 (s 2)(s2 1) A B(s2 1) (s 2)2 (Cs D)

1 As3 2 As2 As 2 A Bs2 B Cs3 4Cs2 4Cs Ds2 4Ds 4D

1 ( A C )s3 ( 2 A B 4C D)s2 ( A 4C 4D)s ( 2 A B 4D)

C 0

2 A B 4C D 0

4C 4D 0

2 A B 4D 1

(0) 1

4 dy 4 y sin(t), y(0) 1, y

s Y (s) d y (0) sk (0) s y(0)

k

1

1

k

d y k

k

dt

2 dy k 1

1

s Y (s) sk y(0) s (0) ... d y (0)

k

1 k 2 dy

k

d y k

k

dt

1

4 dy 3 y 0

L(4 dy ) L(3 y) 0

(0) sy(0

{s2Y (s) y )} {4sY (s) 4 y(0)} 3Y (s) 0

1, y s2Y (s) s 4sY (s) 4 3Y (s) 0

(0) 0

(s2 4s 3)Y (s) s 4

4

4

4s 3)Y (s) s 4 Y (s) s

2

4s 3)

Y (s) s

1)(s 3)

4

s

1)(s 3)

B

4) B(s 1)

(s A

3) (s 3)

4)

3)

A 3

4) A(s 3)

1) (s 1)

4)

1)

(s B

(3 0 B

1

3 1 1 1

1) 2 (s 3)

1) 2 (s 3)

1 1 3 1

L Y (s) L

3 1 1 1

1) 2 (s 3)

1 1

2 (s

(s

1 1 1 1 1

3 L L

1) 2 (s 3)

y( )t 3 et 1 e3t

4 dy 4 y sin(t )

L(4 dy ) L(4 y) L{sin(t)}

(1 A 0

1) (s 3)

(0) sy(0

{s2Y (s) y )} {4sY (s) 4 y(0)} 4Y (s) L{sin(t)}

(0) 1

1, y

s2Y (s) 1 s 4sY (s) 4 4Y (s) 1

2

1

(s 2)2 Y (s) 1 s 5

2

1

5

2)2 Y (s) 1 s 5

2

1

Y (s) 1 s

2 2 2

2) (s 1) (s 2)

5 A B Cs D E F

Y (s)

2 2 2

1 s

2 2 2 2 2 2

4 1 1 1 4s 3 s 5

25 (s 2) 5 (s 2) 25(s 1) (s 2)

Y (s) 2 2 2 3 2

Y (s

29 1 14 1 4 s 3 1

2 2 2

2 15 s 2 25 s 1 25 s 1

1 1 29

L Y (s) L 2 2 2

29 1 14 1 4 s 3 1

2 2 2

2 15 s 2 25 s 1 25 s 1

s

2 15 s 2 25 s 1 25 s 1

25 s

1 14 1 4 s 3 1

25 s 2 5 s 2 25 s 1 25 s 1 s 2 s 2

4 1 1 1 4 s 3 1 1 1

2) (s 1) (s 2) (s 2) (s 2) (s 1) (s 2) (s 2)

2 15 s 2 25 s 1 25 s 1

L Y (s) L L 2 L 2 L 2

1 29 1 1 14 1 1 4 1 s 3 1 1

y 29 e2t 14 te2t 4 cos(t) 3 sin(t)

1

A B

2) (s 3) s 2 s 3

6 dy 8 y 2 y(0) y '(0) 0