TRANSFORMASI LAPLACE

Bab 2 Transformasi Laplacemathematician and astronomer Pierre-Simon Laplace*

Transformasi Laplace,Definisi : Misalkan f(t) fungsi yang ditentukan untuk semua t yang positip, maka Transformasi Laplace dari f(t) adalah dan ditulis:

L [f(t)]*

Transformasi LaplaceIVP = initial value problem (kondisi awal)*

Contoh*

L{A sin t}= A

Contoh>fungsi sinusoidal*

Transformasi dari t n*

*Tabel Laplace (rekap)

f(t)F(s)1(t)1Impulsa satuan21(t)tangga satuan3t4e-at5t. e-at6Sin t7Cos t

Tabel Laplace (lanj) *

8tn (n=1, 2, 3, ..)9tn. e-at (n=1, 2, 3, ..)10e-at sin t

TurunanSifat2/Teorema TL*

Integral, S shifting, T shifting*Sifat2/Teorema TL

T Shiting, Convolution, Period*Sifat2/Teorema TL

Theorem.*The final value theorem is useful because it gives the long-term behaviour without having to perform partial fraction decompositions or other difficult algebra. If has poles in the right-hand plane or on the imaginary axis,on contrary if one pole is present on the imaginary axis atmost then Final Value theorem can be applied. (e.g., if or ) the behaviour of this formula is undefinedInitial value theorem:

Final value theorem:

if all poles of sF(s) are in the left half-plane

First Shifting TheoremL{eatf(t)}=F(s+a)Second Shifting TheoremL{u(tc)g(tc)}=ecsG(s)

Sifat-sifat/Teorema Transformasi Laplace*

(ii)L{ a f1(t) + b f2(t) } = a L{ f1(t) } + b L{ (t) } Bila L{ f (t) } = F ( s ) maka :(iii) L{ e at f(t) } = F ( s a )

(iv)L{ tn f(t) } = (-1)n

(v)L{ f(t) } =

*

Soal-soal12*

*

*

*

Unit Step FunctionEC&S CHAPTER 2L{u(t)}=sin(wt)01time u(t)0time sin(wt)u(t)Useful for representing sudden changese.g. application of sinusoid at t = 0*

Unit Impulse FunctionEC&S CHAPTER 2Mathematical representation of short burst of input (lightning, hammer blow, etc.)Exact shape unimportant if duration short relative to effectsL{d(t)} = = 1Impulse functions sometimes used to test system dynamics*

Transformasi LaplaceX(s) = L[x(t)]x(t) = L-1[X(s)]*

Inverse Transformasi LaplacePecahan Parsial X(s)dimana derajat P(s) < derajat Q(s)Jika X(s) berbentuk pecahan parsial yang pembilang dan penyebutnya berbentuk polinomial

*

Akar-akar Q(s) berbeda, tidak ada yang samax(t) menjadi :Kasus-kasus yang sering dijumpai*

Q(s) mempunyai akar rangkap (berulang)*

Jika pi = pk*, maka penyelesaian dapat diselesaikan secara khusus yang menghasilkan x(t) merupakan fungsi Cosinus dan Sinusx(t) menjadi :*Q(s) difaktorkan menjadi

Uraiannya

*A1 dan A2 diperoleh dari pers berikut,x(t) menjadi,

Contoh1*

2*

3*

*

*Soal soal Latihan

*Transformasi Laplace* **