Transformasi geometri

Kelompok :

1. Sofyan Rahadi (11)

2. Sukron Hidayat (12)

3. Teguh Widiantoro (13)

4. M.Risky Firman Habibi (21)

5. Nindy Widatami (23)

6. Rahayu Nur Sabrina (27)

Transformasi adalah suatuperpindaban/perubaban. Jenis-jenis transformasi:

1. TRANSLASI (Pergeseran sejajar)

2. REFLEKSI (Pencerminan terhadap garis)

3. ROTASI (Perputaran dengan pusat 0)

4. DILATASI (Perbesaran terhadap pusat 0)

Matrik Perubahan Perubahan

ab

(x,y) (x+a , y+b) F(x,y) = 0 (x-a , y-b) = 0

Keteranganx’ = x + a x = x’ - ay’ = y + a y = y’ - a

Ket. : Ciri khas suatu matriks Refleksi adalah determinannya = -1

PencerminanTerhadap

Matriks Perubahan Titik Perubahan Fungsi

Sumbu x 1 00 - 1

(x,y) (x,-y) F(x,y) = 0 F(x,-y) = 0

Sumbu y -1 00 1

(x,y) (-x,y) F(x,y) = 0 F(-x,y) = 0

Sumbu y = x 0 11 0

(x,y) (y,x) F(x,y) = 0 F(y,x) = 0

Sumbu x = y 0 1-1 0

(x,y) (-y,-x) F(x,y) = 0 F(-y,-x)= 0

Pencerminanterhadap O (0,0)

-1 00 -1

(a,b) (-a,-b)

Ket.: Ciri khas suatu matriks Rotasiadalah determinannya = 1

Rotasi Matriks Perubahan Posisi Perubahan Titik

90 0 -11 0

(x,y) (-y,x) F(x,y) = 0 F(y,-x) = 0

180 -1 00 -1

(x,y) (-x,-y) F(x,y) = 0 F(-x,-y) = 0

-90 0 -1-1 0

(x,y) (-y,-x) F(x,y) = 0 F(-y,x) = 0

cos -sinsin cos

(x,y) (x cosq - y sinq, x sin q + y cos q)F(x,y) = 0 F(x cos q + y sin q, -x sin q + y cos q) = 0

Dilatasi Matriks Perubahan titik Perubahan fungsi

(0,k) k 00 k

(x,y) (kx,ky) F(x,y)=0 F(x/k,y/k)

Di tentukan oleh matriks a b

c d

x’ = a b x

y’ c d y

x = 1 a -b x’

y ad – bc -c d y’

Perubahan Titik Perubahan Fungsi

(x,y) (ax+by, cx+dy) F(x,y)=0 dx - by , -cx + ayad - bc ad - bc

Bila T1 adalah suatu transformasi darititik A(x,y) ke titik A’ (x’,y’)dilanjutkan dengan transformasi T2adalah transformasi dari titik A,(x’,y’)ke titik A”(x”,y”) maka duatransformasi berturut-turut tsb disebutKomposisi Transformasi dan ditulisT2 o T1

Jika titik P(a, b) ditranslasikan dengan T1 = h

k

dilanjutkan dengan T2 = I

m

, maka akan diperoleh P’’ sebagai berikut.

T2 o T1 = I + h = I + h

m k m + k

a. Komposisi Refleksi terhadap Dua Garisyang Sejajar Sumbu Y

Jika : M1 = refleksi terhadap garis x=aM2 = refleksi terhadap garis x=b

1). P(x,y) M2 o M1 P” 2(b-a) + x , y

2). P(x,y) M1 o M2 P” 2(a-b) + x , y

b. Komposisi Refleksi terhadap Dua Garisyang

sejajar Sumbu X

Jika : M1 = refleksi terhadap garis y=aM2 = refleksi terhadap garis y=b

P(x,y) M2 o M1 P” x + 2(b-a), y

c. Komposisi Refleksi terhadap Dua Garisyang Saling Tegak Lurus

1). Komposisi Refleksi terhadap Garis x = a dan y = ba). Refleksi terhadap Garis x = a Dilanjutkanterhadap garis y = b

P(x,y) My=b o Mx=a P” (2a - x, 2b – y)

b). Refleksi terhadap Garis y = b Dilanjutkanterhadap garis x = a

P(x,y) My=b o Mx=a P” (2a - x, 2b – y)

Kesimpulannya :Mx=h ° My=k = My=k ° Mx=h.

2). Komposisi Refleksi terhadap Sumbu Y dan Xa). Refleksi terhadap Sumbu Y Dilanjutkan terhadap

Sumbu X

P(x,y) My o Mx P” (-x,-y)

b). Refleksi terhadap Sumbu X Dilanjutkan terhadapSumbu Y

P(x,y) Mx o My P” (-x,-y)

Kesimpulannya : My ° Mx = Mx ° My.

3). Komposisi Refleksi terhadap Garis y=x dan y=-x

a). Refleksi terhadap Garis y=x Dilanjutkanterhadap garis y=-x

P(a,b) My=-x o My =x P” (-a,-b)

b). Refleksi terhadap Garis y=-x Dilanjutkanterhadap Garis y=x

P(a,b) My=x o My =-x P” (-a,-b)

Kesimpulannya : My = x ° My = -x = My = -x ° My = x.

d. Komposisi Refleksi terhadap Dua Garis yang SalingBerpotongan

Perhatikan animasi berikut :

Garis g1 dan g2 berpotongan di titik O, maka

g1 o g2 =

P o g2 = g1 o P’ = 1

P’ o g2 = g2 o P” = 2

1 + 2 =

P o P’ = 1 + 1 + 2 + 2

= 2 ( 1 + 2) = 2

Berdasarkan rumusan di atas, bayangan titik P(a,b) yang dihasilkan dari komposisi refleksi terhadap duagaris yang saling berpotongan di titik O(0,0) dapat kitatulis sebagai berikut.

a” = cos 2 -sin 2 a

b” sin 2 cos 2 b

P” = a” = cos ( 1 + 2) -sin ( 1 + 2) a

b” sin ( 1 + 2) cos ( 1 + 2) b

P(a,b) O,k1 P’ (a’,b’) O,k2 P” (a”,b”)

P” = a” = k1k2 0 a = k1k2a

b” 0 k1k2 b k1k2b

Jadi, bayangannya P” (k1k2a, k1k2b).

Jika suatu matriks transformasi a1 b1 menentukan

c1 d1

bangun B menjadi B’, maka luas bangun B’ samadengan nilai mutlak determinan matiks tersebutdikalikan luas bangsun mula-mula.

Luas bangun B’= a1 b1 x luas bangun B

c1 d1

Sekian danTerima Kasih