TRANSFORMASI BILINEAR Di susun untuk memenuhi tugas matakuliah Fungsi Kompleks yang dibimbing oleh Ibu Indriati Nurul H. KELOMPOK 7 Anggota: Maharani Kusuma Arumsari(409312413115) Andrie Kurniawan(409312417687) Herlin Dwi Kartikasari(409312419799) Erlina Tri Susianti(409312419801) MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MALANG November 2011 BAB I PENDAHULUAN A.Latar Belakang Kelompoklainyangpentingdaripemetaanelementerdipelajarioleh Ferdinand BilinearAgustus (1790-1868). Pemetaan ini dinyatakan sebagai hasil bagi dariduaekspresilineardanbiasanyadikenalsebagaitransformasibilinearatau pecahanlinier.Merekamunculsecaraalamidalammasalahpemetaanyang melibatkan fungsi arctan (z). TransformasiBilineardidefinisikanpadabidangkompleksperluasan(yaitu bidang kompleks ditambah dengan titik di tak terhingga) yaitu . Bidang perluasankomplekinidapatdianggapsebagaisuatubidang.Transformasitersebut adalahbentukpalingumumdaripemetaankonformaldaridomain.Sebuah transformasibilineardapatdinyatakansebagaitransformasilinierdiikutidengan transformasikebalikandandilanjutkandengantransformasilinierdaninvers. Beberapasifat-sifatpadatransformasibilinearanalogpadatransformasikebalikan. Kemudiantransformasibilineardapatditentukanbahwatransformasitersebut memiliki dua titik tetap. Dalammakalahiniakandijelakanbagaimanabidangperluasandapat terbentukpadatransformasibilinear.Sertaakanditunjukkanbahwatransformasi bilineardapatdinyatakandalamtransformasilinierdiikutidengantransformasi kebalikandandilanjutkandengantransformasilinierdaninversnyayangjuga merupakantransformasibilinear.Danakanditentukanbahwatransformasibilinear memilikisifat-sifatyangsalahsatunyaakananalogdengantransformasikebalikan. Pada transformasi bilinear akan ditentukan bagaimana mencari titik tetapnya. B.Rumusan Masalah 1.Apa yang dimaksud transformasi bilinear? 2.Bagaimana contoh dan non contoh dari transformasi bilinear? 3.Bagaimana sifat-sifat dan bukti dari transformasi bilinear? 4.Bagaimanateorema,buktiteorema,dancontohpenggunaandalamsoaldari transformasi bilinear? C.Tujuan 1.Mengetahui definisi transformasi bilinear pada bidang kompleks. 2.Dapat membedakan contoh dan noncontoh dari trasnformasi bilinear. 3.Mengetahui sifat-sifat transformasi bilinear beserta buktinya. 4.Mengetahuiteoremadanbuktinyadaritransformasibilinearsertapenggunaannya dalam soal. BAB II PEMBAHASAN A.Definisi Transformasi bilinier Pemetaanaz bwcz d+=+,dengan dinamakantransformasi bilinear. Keterangan: 1.Dalamhal,makatransformasibilinierakanmenjaditransformasi (fungsi) konstan.
2.Untuk selanjutnya, diasumsikan bahwauntuk menghindari transformasi bilinier berubah menjadi transformasi linier. Syaratagar tidak menjadi linear karena jikamaka
3.Persamaanbilinierinimemetakanbidang-zdiperluasdalambentuksatu-satuke bidangwdiperluas;titikperkecualianpadapemetaaniniadalah
yang dipetakan ke danyang dipetakan ke
Olehkarenaitu,agarpada
analitikdankarena
makauntuk
kita petakan ke
( )( )az bwcz dw cz d az bwcz wd az bwcz az b wdz cw a dw bdw bzcw a+=++ = ++ = + = = + += Maka untuk nilai
invers transformasinya diberikan
Kitadapatmemperluas
kepemetaandalambidangkompleksdiperluas. Nilaidapat ditentukan dari nilai limituntuk . Oleh karena itu,
dan inversnya adalah
(
) .Dengan cara yang sama, nilai
diperoleh dengan
dan inversnya adalah(
) . Dengan perluasan kita simpulkan bahwa transformasiadalah pemetaan satu-satu dari bidang komplekdiperluas ke bidang komplekdiperluas. B.Contoh Transformasi Bilinear 1zwz=+ Alasan:1, 0, 1, 11 0,1 0 1 0a b c dcad bc= = = == = = = = C.Bukan Contoh Transformasi Bilinear 1 w z =+Alasan : 1, 0, 0, 10menjadikan persamaan linear0menjadikan fungsi konstana b c dcad bc= = = == = D.Sifat-Sifat dan Teorema pada Transformasi Bilinear 1.Pemetaan bilinier merupakan gabungan dari fungsi-fungsi berikut
Dengandemikian,transformasibiliniermerupakangabungandaritransformasilinier diikutidengantransformasikebalikandandilanjutkandengantransformasilinier sekali lagi. Bukti:( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )ba zaz baw f zdcz dc zcd d b d ba z aac c a c ad dcc z c zc cd d b d ba z aac c a c ad dcc z c zc cadba a bc adcc c cz d c c cz d++= = =+++ + += = ++ ++ + += = ++ += + = ++ + Diperoleh komposisi
2.Analogdengantransformasikebalikan,makatransformasibilinierjugamemetakan garis dan lingkaran menjadi suatu garis atau lingkaran. Bukti: Bukti didasarkan pada dua kenyataan sebagai berikut: (a).Pemetaanbilinearmerupakangabungandaritigafungsiberikut,dalamurutan yang diberikan
Jadipemetaanbilinearmerupakangabungandaripemetaanlineardiikutidengan pemetaan kebalikan, kemudian sekali lagi dengan pemetaan linear. (b).Pemetaanlinearmerupakantransformasisamadantransformasikebalikan memetakangaris-garisdanlingkaran-lingkarankegaris-garisataulingkaran-lingkaran. Kenyataan-kenyataandiatasdapatdigunakanuntukmenunjukkanbahwasuatugaris ataulingkaran,katakanlahpadabidangzolehfungsipertamadalam(a)akan diputar,diperbesar,dandigesermenjadigarisataulingkaran,selanjutnyaoleh fungsiyangkeduahasilnyaakandibalikkanmenjadigarisataulingkarandan akhirnyaolehfungsiyangketigaakandiputar,diperbesar,dandigesermenjadi garis atau lingkaran. 3.Pemetaan bilinier (dengan asumsi ) mempunyai paling banyak dua titik tetap, yang merupakan akar-akar persamaan
. Bukti:22221,2misalkan,sehingga( )0( ) 0daripersamaan kuadrat di atas, diperoleh akar-akarnya( ) ( ) 42w zaz bzcz dz cz d az bcz dz az bcz dz az bcz d a z ba d a d bczc=+=++ = ++ = ++ =+ = += 4.Inversdaritransformasibilinier az bwcz d+=+adalah dw bzcw a +=yangjugamerupakan transformasi bilinier. Bukti:( )( )az bwcz dw cz d az bwcz wd az bwcz az b wdz cw a dw bdw bzcw a+=++ = ++ = + = = + += 5.Teorema Jikaz1z2z3sebarangtitikpadabidang-Zdanw1w2w3sebarangtitikpada bidang-W,makaterdapatfungsitransformasibilinearyangmemetakanzikewi dengan i=1,2,3 adalah Bukti: 1 2 3 1 2 33 2 1 3 2 1( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )w w w w z z z zw w w w z z z z = Misal:
dengan Maka,
Bentukpecahandiatasdikenalsebagaipecahansilangdarititik-titik
dan. Bila dikalikan silang, maka persamaan di atas menjadi
Dengan melakukan penyederhanaan, persamaan di atas dapat diubah menjadi bentuk Bukti : ( )( )( )( ) ( )( )( )( )1 2 3 31 2 3 1 2 33 22 1 3 2 1 1 21 3 2 13( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )w w w w z zw w w w z z z zw w w w z zz z w w w w zz zz z z = = 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 21 2 1 1 3 3 2 3 2 1 2 2 1 3 1 2 3 31 1 2 2 2 3 3 1 3 1 1 3 2 1 2 3 2 31 2 1 3 1 3 2 3 2 3 1 2 1 2 2 3 1 3 1 2 2 3 1 3( ( ))( ( ))( ( ))( ( )) 0zw z w z w z w z w z w z ww z z w z z w z z w z z w z z w z z wz z ww z w w z ww z ww z ww z w wz z ww z z w w z z ww z z w w z z ww z z ww+ + + + ++ + + + + + + + + + + + = 1 1 2 2 2 3 3 1 3 1 1 3 2 1 2 3 2 31 2 1 3 1 3 2 3 2 3 1 2 1 2 2 3 1 3 1 2 2 3 1 31 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 21 2 1 1 3 3 2 3 2 1 2 2 1 3 1 2 3 3misalkan( )( )( )( )maka dipe :rz w w z w w z w w z w w z w w z w wb z z w w z z w w z z w w z z w w z z w w z z w wc z w z w z w z w z w z wd z z w z z w z z w z z w z z w z zaw+ + + += + + + += + + + += + + +=+oleh00( )zwc wd za bcwz dw az bcwz dw az bw cz d az baz bwcz d+ =+ =+ = ++ = ++=+ Contoh 1: Dibawahpemetaanbilinier
setengahbidang dipetakanke dalam lingkaran satuan ||. Penyelesaian : Pemetaan
dapat dinyatakan sebagai gabungan fungsi-fungsi
Pemetaan dikerjakan dalam tiga tahap, sebagai berikut 1.Diputarsebesar ,didilatasi||,danditranslasisejauh . 2.
(
)
Daerah dalam lingkaran dengan pusat
dan jari-jari
3.Diputar sebesar, di dilatasi || , dan ditranslasi sejauh 1. Perhatikan Gambar 1 -1
-10
1 1 -1 -1 0
0 0 Contoh 2 ( Penggunaan Teorema )Tentukansuatutransformasibilinieryangmemetakantitik-titik
berturu-turut ke titik-titik
. Penyelesaian : Dengan memasukan nilai-nilai
dan
,pada persamaan (*), diperoleh
Yang menghasilkan transformasi bilinier
E.Soal-Soal dari Buku Paliouras 14.1) Carilah bayangan setiap titik0, 1, -1,, z i i = di bawah pemetaan 2 izwz i +=+ Jawab untuk0,(0) 202221ziwiii iii= +=+= = = untuk z = 1,(1) 212 11 11 3( )2iwii ii ii +=+ + = + = untuk z =,( ) 21 223232ii iwi iiii ii +=++== = untuk z =-,( )( ) 21 201 tidak terdefinisi, oleh karena itu dipetakan ke 0ii iwi iz i w += + +== = = 14.2)Carilah titik-titik tetap pada transformasi a. iz iwz i += misalkan w ziz izz i= += 22( )0z z i iz iz zi iz iz i = + = + = 2222 2 2 2( ) 042 2 2 2( )( ) 02 22 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )( ) 02 2 2 22 2 2 2( ( ))( ( )) 02 22 22i izi izi i i iz z zi iz ziz+ + =+ + =+ + + + + =+ + + =+= b. 21zwz= misalkan 21w zzzz== 22( 1) 222 2 0z z zz z zz z = = + = ( (1 ))( (1 )) 0(1 )z i z iz i + == 14.3) Carilah transformasi bilinear yang memetakan berturut-turut 0, 1, dan i, ke -1, 0, dan i. 1 12 23 3misalkan z 011 0
wz wz i w i= = = == = 1 2 3 1 2 33 2 1 3 2 1( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( 1)( ) (1 )( ) ( )( )( ) ( )( )11( 1) 111w w w w z z z zw w w w z z z zw i z iw i z iz zi w i z i wi izw z wzw w zw z zzwz = + = = = + = + = =+ 14.4) Carilah bayangan garis 1( )2I z =di bawah pemetaan 42zwiz i=+ Penyelesaian:
Misalkan,
, dan . Diperoleh pengaitannya adalah
Pemetaan dikerjakan dalam tiga tahap, sebagai berikut 1.Dibawah pemetaan, merotasikan z sebesar
, diperbesar dengan faktor|||| , dan digeser dengan vektor. 2.Dibawah pemetaan
, garisdipetakan kebagian dalam lingkaran
(
)
(
)
Sehingga diperoleh persamaan lingkaran dengan pusat (
) dan jari-jari
3.Dibawahpemetaan ,merotasikantsebesar, diperbesar dengan faktor|||| , dan digeser dengan vektor. Gambar peta hasil masing-masing transformasi komposisinya adalah sebagai berikut
0 0
0
0 -1 21 ) 14.5Berikan suatu contoh pemetaan bilinear yang mempunyai tepat satu titik tetap Penyelesaian : 2 1zwz=+ misalkan 2 1w zzzz==+ 222(2 1)22 000z z zz z zzzz+ =+ ==== Jadi 2 1zwz=+ memiliki satu titik tetap yaitu0 z =14.6 Berikan suatu contoh pemetaan bilinear yang tidak mempunyai titik tetap Penyelesaian : 1 untuk mencari titik tetap , misal 1jadi1 tidak punya titik tetap.3 untuk mencari titik tetap, misal w z w zz zw zw z w z= + == += += =3jadi3 tidak punya titik tetap.z zw z= = Tidak mempunyai titik tetap 14.7 Buktikan bahwa jika0 ad bc = , maka (1) berubah menjadi pemetaan konstanjika0 ad bcad bcbcad === 2maka( ) bernilai konstanbcz baz bdcz d cz dbcz bddcz db cz dd cz dbd++=+ ++=++=+= 14.8 Buktikan bahwa pemetaan bilinear kontinu pada semua dzc= Jikadzc= Maka pemetaanya adalah ( )( )TD0az bwcz dda bcdc dcadbcd dadbc+=+ += + +=+ += sehingga dzc= mengakibatkan bukan pemetaan bilinear kontinu 14.9 Carilah bayangan setengah bidangdibawah pemetaan
Penyelesaian:
Misalkan ,
, dan . Diperoleh pengaitannya adalah
Pemetaan dikerjakan dalam tiga tahap, sebagai berikut 4.Dibawahpemetaan ,setiaptitikpadasetengahbidangyangdiberikan diputar dengan sudut sebesar arg(1)= 0 (tidak berubah), diperbesar dengan faktor||||(tidakberubah),dandigeserdenganvektor(-1)sehingga menghasilkan setengah bidang5.Dibawahpemetaan
setengahbidangdipetakankebagiandalam lingkaran
(
)
(
)
Sehingga diperoleh persamaan lingkaran dengan pusat (
) dan jari-jari
6.Dibawah pemetaan , bagian dalam lingkaran yang di dapat di tahap dua akan diputar dengan sudut sebesar arg(1)=0, diperbesar dengan faktor |||| , dan digeser dengan vektor 1.Gambar peta hasil masing-masing transformasi komposisinya adalah00 -i
0
10
14.10 Carilah bayangan setengah bidangdibawah pemetaan
Penyelesaian:
Misalkan,
, dan . Diperoleh pengaitannya adalah
Pemetaaan ini dilaksanakan dalam tiga tahap, sebagai berikut 1.Dibawahpemetaan ,setiaptitikpadasetenganbidangyangdiberikan diputar dengan sudut sebesar arg(1)= 0 (tidak berubah), diperbesar dengan faktor||||(tidakberubah),dandigeserdenganvektorsehinggan menghasilkan setengah bidang2.Dibawahpemetaan
setengahbidangdipetakankebagiandalam lingkaran
(
)
(
)
Sehingga diperoleh persamaan lingkaran dengan pusat (
) dan jari-jari
3.Dibawahpemetaan bagiandalamlingkaranyangdidapatditahap duaakandiputardengansudutsebesar
,diperbesardenganfaktor ||, dan di geser dengan vektor1. Gambar peta hasil masing-masing transformasi komposisinya adalah sebagai berikut
0 0-1 1
0
0 i BAB III PENUTUP KesimpulanPemetaanaz bwcz d+=+,dengan dinamakantransformasibilinear. Sifat-sifat pada transformasi bilinear antara lain 1.Analog dengan transformasi kebalikan (memetakan garis dan lingkaran menjadi suatu garis atau lingkaran). 2.Pemetaan bilinier merupakan gabungan (komposisi) dari beberapa fungsi. 3.Pemetaan bilinier (dengan asumsi ) mempunyai paling banyak dua titik tetap. 4.Invers dari transformasi bilinier juga merupakan transformasi bilinier. DAFTAR PUSTAKA Paliouras,JohnD.1987.PeubahKompleksuntukIlmuwandanInsinyur.Terjemahan Wibisono Gunawan. Jakarta : Erlangga. Dedy, E., Encum Sumiaty. 2001. Fungsi Variabel kompleks. Bandung : JICA Wikipedia, 2011. Mbius transformation [online] http://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_transformation. Diakses tanggal 29 Oktober 2011
