TEORI TUGAS BESAR SISTEM KENDALI

TUGAS BESAR

SISTEM KONTROL

RICO AFRINANDO

11109513009

ASISTEN:

ALKAUTSAR PERMANA

DOSEN:

HERU DIBYO LAKSONO, MT

JURUSAN TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS ANDALAS

PADANG

2013

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1. Sistem Kontrol

Sistem kendali merupakan bagian yang terintegrasi dari sistem kehidupan modern saat ini. Sistem kendali dapat dikatakan sebagai hubungan antara komponen yang membentuk sebuah konfigurasi sistem, yang akan menghasilkan tanggapan sistem yang diharapkan. Jadi harus ada yang dikendalikan, yang merupakan suatu sistem fisis, yang biasa disebut dengan kendalian (plant).

Masukan dan keluaran merupakan variabel atau besaran fisis. Keluaran merupakan hal yang dihasilkan oleh kendalian, artinya yang dikendalikan, sedangkan masukan adalah yang mempengaruhi kendalian, yang mengatur keluaran. Kedua dimensi masukan dan keluaran tidak harus sama.

DEFENISI:

a. Proses (alamiah) : suatu urutan operasi yang kontinu atau suatu perkembangan yang dicirikan oleh urutan perubahan secara perlahan yang terjadi tahap demi tahap dengan cara yang relatif tetap dan memberikan suatu hasil atau akhir.

b. Proses (artifisial) : operasi yang dilakukan secara berkesinambungan yang terdiri dari beberapa aksi yang dikendalikan atau pergerakan yang secara sistematik diarahkan pada suatu hasil atau akhir.

c. Plant : dapat berupa bagian suatu peralatan yang berfungsi secara bersama-sama untuk membentuk suatu operasi tertentu.

d. Gangguan : suatu sinyal yang cenderung mempengaruhi (secara acak) nilai output suatu sistem: gangguan internal dan eksternal.

Klasifikasi Sistem Kendali

Secara umum klasifikasi sistem kendali dapat digambarkan seperti berikut.

Kelas sistem

Parameterterdistribusi

Parameter"lumped"

Stokastik Deterministik

Waktu kontinyu Waktu diskrit

Nonlinier Linier

Berubah denganwaktu

Tak berubahdengan waktu(koef. konstan)

HomogenNon homogen

Sistem kendali dengan parameter terdistribusi (distributed parameter) memuat persamaan diferensial parsial. Contohnya adalah

2 2y

ta

y

x2 2

Sistem kendali dengan paramater lumped, di mana semua energi yang tersimpan atau didisipasikan dapat ditampung ke dalam suatu bilangan terhingga dari lokasi diskrit parsial.Bentuknya dapat berupa persamaan-persamaan beda, atau dalam beberapa kasus merupakan persamaan aljabar murni.

Contoh-contoh persamaan sistem dengan parameter lumped adalah :

y + ay = u(t)

)

)

jika t < t parameter

y + ay + by = u(t) parameter dan tidak linier ( y

y + yy + 4y = parameter tidak linier (yy) dan kontinyu

terhadap waktu, homogen.

y + t y - 6y = u(t) parameter linier, kontinyu terhadap

waktu (t dan tidak homogen.

y + a max (0, y) = parameter , tidak linier.

1

2

2

2

lumped

lumped

lumped,

lumped,

lumped

, linier dan berubah terhadap waktu.

2

0

0

Sistem kendali stokastik (random), merupakan sistem yang memuat parameter-parameter atau sinyal-sinyal (termasuk masukan) yang hanya dapat digambarkan dalam suatu bentuk probabilitas.

Sistem kendali deterministik (non-random) adalah suatu sistem kendali di mana tanggapan terhadap masukan dapat diprediksi dan diulangi.

Sistem kendali waktu kontinyu, di mana semua variabel sistem merupakan fungsi dari suatu waktu kontinyu t. Sistem waktu kontinyu digambarkan dengan persamaan-persamaan diferensial. Contoh persamaan sistem kendali waktu kontinyu adalah

x = a(t) x(t) + b(t) u(t)

x = Ax(t) + Bu(t)

Sistem kendali waktu diskrit, memuat satu atau lebih variabel yang hanya diketahui pada selang waktu yang pendek (pencuplikan). Sistem waktu diskrit digambarkan dengan persamaan beda.Contoh persamaan sistem kendali waktu diskrit adalah

x(k 1) Ax(k) Bu(k)

Sistem kendali linier.Berlaku prinsip superposisi.

Persamaan diferensial linier orde n,

Ad y

dtA

d y

dtA y x(t)n

n

n n 1

n 1

n 1 0

Sistem kendali non-linier.Tidak memenuhi prinsip superposisi.

Persamaan diferensial non-linier orde n,

Ad y

dtA

d y

dtA y f(y

dy

dt, ,

d y

dt) x(t)n

n

n n 1

n 1

n 1 0 1

n 1

n 1

Sistem kendali yang tidak berubah terhadap waktu (time invariant) atau koefisien konstan. Pada sistem ini, parameternya tidak berubah terhadap waktu. Tanggapan sistem tidak tergantung pada masukan yang diterapkan.

Sistem kendali yang berubah dengan waktu (time varying), di mana satu parameter atau lebih berubah terhadap waktu. Tanggapan sistem tergantung pada waktu di mana masukan diterapkan.Contoh : sistem kendali kendaraan ruang angkasa, di mana massanya menurun/berkurang terhadap waktu, sesuai dengan penggunaan bahan bakar selama penerbangan.

Sistem kendali homogen, di mana tidak terdapat masukan eksternal dan kelakuan sistem ditentukan oleh kondisi mulanya.

Sistem kendali non-homogen, di mana terdapat masukan eksternal.

1.2. Fungsi alih

Fungsi alih adalah perbandingan antara masukan dan keluaran dalam fungsi Laplace (fungsi s), di mana semua kondisi mula sama dengan nol.

G( s )=Y ( s )X ( s )

=keluaranmasukan

dengan kondisi mula =0

s = variabel kompleks (variabel dalam Transformasi Laplace).

Y ( s )=L[ y ( t )]⇒ X (s )=L[ x ( t ) ]

Kondisi mula :

x (t ) , y ( t )|t=0=0

dxdt

,d2 xdt2

, L ,dydt

,d2 ydt2

, L|t=0=0

Contoh pada Sistem Mekanis Rotasi

Gambar 3.2 Diagram fisis sistem mekanis rotasi.

T = momen putar masukan.

qm = penyimpangan sudut keluaran

D = gesekan

Berdasarkan hukum Newton dan hukum Hooke, dalam keadaan seimbang :

T ( t )=Jd2 qm( t )

dt2+D

dqm( t )dt

+Kqm( t )

Transformasi Laplace untuk persamaan diferensial di atas adalah :

T (s )=Js2qm( s )+Ds qm( s )+Kqm(s ) =(Js2+Ds+K )qm( s )

∴TF=θm(s )T ( s )

= 1

Js2+Ds+K

1.3. Analisis tanggapan peralihan

Suatu sistem yang mendapatkan masukan baru akan mengalami keadaan peralihan (transient state) sebelum mencapai keadaan setimbang yang baru. Pada saat keadaan peralihan tersebut, sistem berada dalam keadaan yang perlu diwaspadai, karena sistem tersebut akan mudah jatuh ke dalam ketidakstabilan. Karena itu keadaan peralihan merupakan hal yang secara serius diperhatikan bagi pengamat dan perancang sistem kontrol apapun jenis sistemnya.

Dengan mengamati keadaan peralihan tersebut maka akan dapat diketahui dua hal, yaitu pertama tentang karakteristik dari sistem tersebut atau dikenal sebagai kinerja sistem (system performance). Kedua, berdasar keadaan peralihan tersebut dapat dirancang kontroler yang sesuai dengan kriteria-kriteria perancangan yang telah dinyatakan dengan jelas dan kuantitatif.

Bahasan pada bagian materi ini meliputi tanggapan peralihan pada sistem orde pertama, sistem orde kedua dan sistem orde tinggi serta kinerja peralihan sistem Suatu aspek keluaran y(t) yang disebabkan oleh masukan u(t) disebut tanggapan dari sistem. Meskipun banyak sekali jenis masukan yang dapat diberikan kepada sistem, tetapi untuk keperluan evaluasi dan analisis sistem, ada beberapa jenis masukan yang dipergunakan, yaitu:

Masukan step/tangga (step input) Masukan impulse (impulse input) Masukan sinusoidal (sinusoidal input)

Masukan step/tangga dan impulse sering digunakan untuk menyelidiki tanggapan peralihan, dan masukan sinusoidal digunakan untuk menguji tanggapan keadaan tunak. Biasanya, tanggapan keadaan tunak dengan masukan sinusoidal disebut sebagai tanggapan frekuensi. Beberapa istilah digunakan untuk mengidentifikasikan bentuk tanggapan suatu sistem linier yang tetap. Tanggapan keseluruhan dari sistem dapat dibayangkan sebagai penjumlahan dari

- Tanggapan bebas ( free response) dan tanggapan paksa (force response) dari sistem. Tanggapan bebas menyatakan tanggapan alami dari sistem bila seluruh masukannya dihilangkan dan sistem menanggapi sejumlah energi tersimpan.

- Tanggapan paksa merupakan tanggapan sistem ketika dikenai masukan dan bentuknya tergantung pada masukannya.

- Tanggapan peralihan (transient response) dan tanggapan keadaan tunak (steady-state response). Tanggapan peralihan adalah bagian dari keluaran yang meluruh menjadi nol seiring dengan bertambahnya waktu.

- Tanggapan keadaan tunak adalah bagian dari keluaran yang akan tetap ada setelah seluruh peralihan hilang.

- Tanggapan keadaan nol (zero-state response) dan tanggapan masukan nol (zero-input response). Tanggapan keadaan nol adalah tanggapan keseluruhan (baik tanggapan bebas maupun tanggapan paksa) terhadap masukan bila keadaan awalnya sama dengan nol. Tanggapan masukan nol adalah tanggapan keseluruhan sistem terhadap keadaan awal bila masukannya sama dengan nol.

Pengetahuan tentang tanggapan sistem merupakan alat bantu untuk mendefinisikan sifat dari sistem, sebagai pertimbangan penentuan apakah sifat dari sistem tersebut diinginkan atau tidak diinginkan dalam konteks tertentu yang diketahui. Hal ini juga berguna untuk menyebutkan spesifikasi sifat dari sistem sehingga dapat diformulasikan sifat yang diinginkan yang dapat dipakai dalam perancangan sistem.

Gambar 5.1 Diagram kotak sistem orde pertama

- Respon transien

Tanggapan waktu dari suatu sistem kontrol dibagi menjadi dua bagian : tanggapan transien (transient response) dan tanggapan keadaan tunak (steady-state response). Tanggapan transien berlangsung dari saat mulai hingga tanggapan sistem mencapai nilai akhir yang diinginkan (final state). Tanggapan keadaan tunak dimulai pada saat tanggapan mulai pertama kali mendekati nilai akhir hingga waktu yang tak terhingga. Gambar 2.2 mendeskripsikan kedua jenis tanggapan waktu tersebut.

Tanggapan transien digunakan untuk menganalisa sifat naik atau permulaan dari suatu sistem bila diberikan sinyal uji. Sedangkan tanggapan keadaan tunak digunakan untuk menganalisa karakteristik sistem pada saat mencapai harga akhirnya.

Spesifikasi Tanggapan Transien :

Spesifikasi tanggapan transien dalam domain waktu yang dimaksud adalah:

1. Waktu tunda (delay time), td :

adalah waktu yang dibutuhkan tanggapan untuk mencapai setengah dari nilai akhir dari tanggapan untuk pertama kali.

2. Waktu naik (rise time), tr :

adalah waktu yang dibutuhkan untuk naik dari 10% – 90%, 5% – 95%, atau 0% – 100% dari nilai akhir dari tanggapan. Untuk kasus underdamped, biasanya digunakan kriteria 0% – 100%. Untuk kasus overdamped, biasanya digunakan kriteria 10% – 90%.

3. Waktu puncak (peak time), tp :

adalah waktu yang dibutuhkan tanggapan untuk mencapai nilai puncak dari overshoot pertama kali.

4. Overshoot maksimum (maximum overshoot), Mp :

adalah nilai puncak maksimum dari tanggapan diukur dari nilai akhir dari tanggapan. Biasanya dirumuskan dalam persentase :

5. Waktu settling (settling time), ts :

adalah waktu yang dibutuhkan tanggapan untuk mencapai nilai akhir dari tanggapan dan tetap berada pada nilai tersebut dalam range persentase tertentu dari nilai akhir (biasanya 5% atau 2%).

Spesifikasi tanggapan transien untuk masukan fungsi unit-step diberikan pada Gambar

Spesifikasi Tanggapan Transien Fungsi Unit-Step

- Respon keadaan tunak

Karakteristik Tanggapan Keadaan Tunak

Ada dua hal yang penting dalam tanggapan keadaan keadaan tunak, yaitu :

adanya galat keadaan tunak (steady state error), besarnya galat keadaan tunak.

Untuk sistem standar dengan umpan balik satuan (H(s) = 1).

E( s )=R( s )1+G( s )

e ( t )ss=limt→ ¥

e( t )

=lims→0

sE( s )

e ( t )ss=lims→0

sR( s )

1+G( s )

e(t)ss (galat keadaan tunak) dipengaruhi oleh :

macam masukan (R(s)),tipe sistem.

1.4. Sinyal Uji (Sinyal masukan)

Dalam prakteknya, sinyal masukan sistem kendali tidak dapat diketahui sebelumnya, tetapi mempunyai sifat acak, sehingga masukan sesaat tidak dapat dinyatakan secara analitis.

Untuk analisis dan perancangan sistem kendali, harus dipunyai dasar perbandingan kinerja berbagai sistem kendali. Dasar ini disusun untuk melakukan pembandingan tanggapan berbagai sistem, yaitu dengan memberikan masukan uji. Masukan uji yang biasa digunakan adalah fungsi undak, fungsi lereng, fungsi akselerasi, fungsi impuls, fungsi sinusoida dan sebagainya.

Dengan sinyal uji ini dapat dilakukan analisis matematika dan eksperimen secara mudah, karena sinyal-sinyal ini merupakan fungsi waktu yang sederhana

Sistem Orde Satu

C( s )R( s )

= 1Ts+1

- Fungsi undak satuan

r(t) = u(t) R( s )=1

s

C (s )=1Ts+1

R( s )=1Ts+1

1s

=1s−T

Ts+1

c ( t )=L−1 [C (s ) ]=1−e−t

T (t ³0 )

t = T (konstanta waktu), maka

c (T )=1−e−1=0 ,632

Konstanta waktu T yang lebih kecil mempercepat tanggapan sistem. Karakteristik kurva

tanggapan eksponensial adalah kemiringan garis singgung pada t = 0 adalah

1T , karena

dcdt

=1T

e−t

T|t=0=1T

- Fungsi Impulse satuan

r ( t )=d ( t )⇒R (s )=1

C (s )= 1Ts+1

c ( t )=1T

e−t

T ( t ³0)

- Fungsi ramp satuan

r ( t )=tu( t )→R( s )=1

s2

C (s )=1Ts+1

⋅1s2

=1s2−T

s+T 2

Ts+1

c ( t )=L−1 [C (s ) ]=t−T+Te−t

T ( t ³0)

Sinyal galat :

e ( t )=r ( t )−c ( t )

=T (1−e−t

T )

t→¥⇒ e(¥ )=T

- Fungsi eksponensial

1.5. Analisa Kestabilan sistem

Seperti telah diketahui bahwa definisi kestabilan masukan terbatas - keluaran terbatas (BIBO) digunakan ketika menyelidiki kestabilan sistem yang linier tak berubah dengan waktu.

Suatu sistem stabil BIBO, jika untuk setiap masukan terbatas, maka keluaran akan terbatas dengan pertambahan waktu. Untuk suatu sistem linier tak berubah dengan waktu, definisi ini menghendaki semua pole dari fungsi alih lup tertutup (semua akar persamaan karakteristik sistem) terletak di sebelah kiri sumbu khayal bidang kompleks. Sifat ini telah dibuktikan dalam subbab 4.4. Oleh karena itu, suatu analisis kestabilan memerlukan ketentuan jika fungsi alih lup tertutup mempunyai pole pada sumbu khayal atau di sebelah kanan sumbu khayal bidang s. Suatu sistem stabil pada batas jika semua pole di sebelah kiri sumbu khayal bidang kompleks, kecuali untuk pole-pole tak dominan pada sumbu khayal.

Metoda pertama dari analisis kestabilan yang akan dibahas adalah metoda Routh-Hurwitz, yang menentukan jika sebuah akar dari suatu polinomial terletak di luar daerah sebelah kiri sumbu khayal bidang kompleks. Tetapi metoda ini tidak dapat menemukan lokasi akar-akar. Untuk sistem orde satu dan orde dua, akar-akar ini dapat diperoleh secara analitis. Untuk sistem orde tinggi, digunakan bantuan suatu program komputer digital.

Kestabilan sistem-sistem linier tak berubah dengan waktu juga dapat ditentukan dengan teknik tempat kedudukan akar (root locus), dan kriteria Nyquist

- Persamaan karakteristik

Fungsi alih sebuah elemen atau sistem disebut juga fungsi karakteristik sistem tersebut. Fungsi ini menentukan kelakuan respon transien dan dapat memberikan informasi mengenai kestabilan sistem tersebut. Dari Gambar 5.2 diperlihatkan blok diagram umum untuk suatu sistem umpan balik dimana fungsi alihnya adalah :

(5.11)

Sehingga

(5.12)

Gambar 5.2 Sistem Lingkar Tertutup

Dengan demikian persamaan (5.12) menunjukkan bahwa respon keluaran adalah perkalian antara fungsi sistem terhadap fungsi masukan. Selanjutnya karena fungsi masukan tidak mempengaruhi terhadap bentuk fungsi transient maka tidak ada hubungan apakah sistem tersebut stabil atau tidak. Dengan demikian fungi masukan yaitu pembilang dalam persamaan (5.12) dapat dibuat nol tanpa mempengaruhi bentuk transien sehingga :

(5.13)

Atau

(5.14)

Persamaan (5.14) disebut persamaan karakteristik sistem lingkar tertutup, dimana selanjutnya dari persamaan (5.14) ini dapat ditentukan apakah suatu sistem bersifat

stabil atau tidak. Fungsi alih lingkar terbuka yang dinyatakan oleh dan

dapat dituliskan dalam bentuk perbandingan dua buah polinomial yaitu dan

sebagai berikut :

(5.15)

Dengan menggantikan harga ini ke dalam persamaan (5.14) diperoleh :

(5.16)

karena menurut persamaan (5.14), maka dari persamaan (5.16) berlaku

(5.17)

atau

(5.18)

Faktor dan dalam persamaan (5.19) dapat dikalikan bersama, maka persamaan karakteristik dapat dituliskan dalam bentuk yang lebih umum untuk orde-n sebagai berikut :

(5.19)

Akar-akar persamaan ini dapat ditentukan sehingga bentuknya dapat diuraikan sebagai berikut :

(5.20)

Dimana : , , …, adalah akar-akar polinomial yang dinyatakan oleh persamaan (5.19) atau (5.20) yaitu akar-akar persamaan karakteristik

Selanjutnya dari persamaan (5.20) dapat ditentukan stabilitas sistem dengan cara melihat apakah akar-akar persamaan tersebut memenuhi terhadap syarat kestabilan yaitu agar suatu sistem bersifat stabil maka bagian nyata dari akar-akar persamaan karakteristiknya harus bernilai negatif

Contoh 5.3 :

Jika pada Gambar 5.2 fungsi alihnya adalah :

dan (5.21)

Maka persamaan karakteristik adalah :

(5.22)

Persamaan (5.22) berubah menjadi

, maka akar-akarnya : dan

Karena bagian nyata dari kedua akar-akar dari persamaan karakteristik ini semuanya bernilai negatif maka sistem bersifat stabil.

Contoh 5.4 :

Fungsi alih sebuah sistem kontrol adalah :

dan (5.23)

Tentukan apakah sistem tersebut stabil atau tidak ?

Jawab :

(5.24)

(5.25)

(5.26)

(5.27)

Jika persamaan (5.27) ini diuraikan akan menghasilkan

(5.28)

Sehingga akar-akar persamaan karakteristik adalah

, dan (5.29)

Akhirnya dari persamaan (5.29) ini dapat dilihat bahwa dan merupakan akar-akar persamaan karakteristik yang mempuyai bagian nyata yang positif maka sistem tidak stabil.

- Kriteria Routh

Kriteria R-H

Menentukan jumlah akar-akar persamaan karakteristik yang terletak di sebelah kanan sumbu khayal bidang s dengan menghitung jumlah perubahan tanda pada koefisien-koefisien kolom pertama dari deret R-H. Jadi secara tidak langsung kriteria R-H dapat dipakai untuk menentukan kestabilan sistem, yaitu

bila ada perubahan tanda sistem tidak stabil, bila sebaliknya sistem stabil.

Aturan-aturan untuk mempermudah tes R-H :

1. Setiap baris pada deret R-H dapat dibagi dengan bilangan konstan. Contoh :

q (s )=s6+3s5+2s4+9s3+5s2+12s+20=0Deret R−H:s6 1 2 5 20s5 3 9 12 1 3 4s4 -1 1 20s3 4 24 1 6s2 7 20

s1 227

s0 20

Pada kolom pertama terdapat 2 kali pergantian tanda (+ - +), maka ada 2 akar di sebelah kanan sumbu khayal sistem tidak stabil.

2. Bila salah satu koefisien pada kolom pertama = 0, maka substitusikan harga s = 1/x, lalu buat deret R-H baru.

Contoh :

q (s )=s5+s4+2s3+2s2+3s+15=0Deret R-H :s5 1 2 3s4 1 2 15s3 0 -12s2 ¥ -----> koefisien s2 tidak tertentu .

Substitusikan : s=1x

, sehingga

q (1x )=(1

x )5+(1x )4+2 (1x )3+2(1x )2+3 (1x )+15=0

=15x5+3x4+2x3+2x2+x+1=0x5 15 2 1x4 3 2 1x3 -8 -4 -2 -1x2 1

2 1

x1 3 0x0 1

Pada kolom pertama terjadi 2 kali pergantian tanda (+ - +), maka ada dua akar persamaan karakteristik di sebelah kanan sumbu khayal sistem tidak stabil.

3. Sebuah baris mempunyai koefisien nol semuanya. Lalu baris di atas baris yang mengandung koefisien nol tadi dideferensial 1 kali untuk menentukan koefisien pada baris tadi.

Contoh :

q (s )=s4+2s3+11s2+18s+18=0Deret R-Hs4 1 11 18s3 2 18 1 9s2 2 18 1 9s1 0 0 ¬s0 ¥ ¥

Untuk menentukan koefisens1, diambil persamaan pada s

2(di atasnya), sehingga

s2+9=0, dideferensial 1 kali2s=0deret R-H dilanjutkan dengan :

s2 1 9s1 2 0s0 9

Karena tidak terjadi perubahan tanda pada kolom pertama, berarti tidak ada akar persamaan karakteristik di kanan sumbu khayal sistem stabil.

Selain untuk menentukan kestabilan tes R-H dapat dipakai untuk menentukan batas kestabilan.

Batas kestabilan biasanya ditentukan oleh besarnya penguatan maksimum (gain

maksimum), Kmax .

Untuk K>Kmax sistem tidak stabil.

K=Kmax batas kestabilan

K<Kmax sistem stabil.

- Kriteria Hurtwith

Untuk menentukan hubungan antara letak akar-akar persamaan karakteristik dan koefisien dari persamaan karakteristik.

Pembentukan Deret Routh - Hurwitz (R-H)

Baris pertama dan kedua didapat dari koefisien persamaan karakteristik. Koefisien pada baris ketiga dan seterusnya dihitung dengan aturan tertentu.

Bentuk umum persamaan karakteristik : 1 +G(s) H(s) = 0

q (s )=an sn+an−1 sn−1+L+a1s+a0=0

Deret R-H :

sn an an-2 an-6 ⋯ 0

sn-1 an-1 an-3 an-7 ⋯ 0

sn-2 b1 b2 b3 ⋯ 0

sn-3 c1 c2 c3 ⋯ 0⋮s1 ⋯s0 ⋯

dengan :

b1=an−1 . an−2−an . an−3

an−1

b2=an−1 . an−4−an .an−5

an−1

b3=an−1 . an−6−an. an−7

an−1

M

dan seterusnya sampai diperoleh 0

c1=b1 .an−3−an−1 . b2

b1

c2=b1 .an−5−an−1 . b3

b1

M

dan seterusnya sampai diperoleh 0

KestabilanSistem disebut stabil bila masukan r(t) terbatas, keluaran c(t) akan terbatas

(bounded input bounded output) yang merupakan asumsi dasar.

Contoh :

fungsi terbatas : f(t) = A sin t untuk setiap harga maksimum f(t) A. fungsi undak satuan (unit step)

Diagram blok sistem :

TF:CR= G

1+GH

Fungsi alih dapat diuraikan menjadi :

C( s )R( s )

=A0

s−s1

+A1

s−s2

+L+An

s−sn

dengan : s1, s2, ..., sn = akar-akar karakteristik

A1, A2, ..., An = konstanta

Bila masukannya undak satuan, maka tanggapan waktunya :

c ( t )=1+A0 es0 t+A1 e

s1 t+L+Ane

sn t

Bentuk umum akar persamaan karakteristik :

sk=sk+ jw k ; k= 0, 1, 2 L

Bila :

1. Semua k negatif

Dari persamaan (4-15) didapat :

|c( t )|=1+|A0||es0 t|+L+|An||e

sn t|

|ejwn t

|=1→ semua |esk t|<¥ , karena sk negatif

ß terbatas (bounded )

Menurut definisi, suatu sistem yang akar-akar persamaan karakteristiknya terletak di sebelah kiri sumbu khayal pada bidang s adalah stabil.

2. Bila salah satu k positif

maka :

|c( t )|=1+|A0||es0 t|+L+|An||e

sn t|

untuk setiap

t=|esk t|<¥ kecuali |e

s z t|=1 untuk t=0

=¥ untuk t=¥

maka : |c( t )|=¥ untuk t = ¥

Jadi c(t) tidak terbatas (non bounded).

Menurut definisi, sistem tidak stabil, bila akar persamaan karakteristik terletak di sebelah kanan sumbu khayal pada bidang s.

Kesimpulan :

Definisi yaitu sistem stabil bila akar-akar persamaan karakteristik terletak di sebelah kiri sumbu khayal, dari bidang s.Tanggapan waktu c(t) dapat dihitung bila akar-akar persamaan karakteristik diketahui dan diberikan masukan fungsi undak satuan.c(t) akan bila ada salah satu akar yang bagian nyatanya () > 0 sistem tidak stabil. Bila semua akar terletak di sebelah kiri sumbu khayal (semua bagian nyatanya < 0) sistem stabil, karena c(t) terbatas.

Keluaran c(t) (tanggapan) terdiri dari 2 bagian :

bagian keadaan tunak sebanding dengan masukannya, sehingga bila masukan terbatas bagian keadaan tunaknya juga terbatas;

bagian peralihan tergantung dari karakteristik sistem.Jadi bila masukan terbatas, kestabilan dari sistem tergantung dari karakteristik sistemnya.

1.6. Kontroller

- Kontroller PID

Kompensator PID (proportional-intergral-derivatif) merupakan kompensator yang pada kenyataannya paling sering digunakan pada sistem kendali umpan balik. Bila e(t) adalah masukan kompensator dan m(t) adalah keluaran kompensator, maka kompensator PID dapat didefinisikan sebagai

u( t )=K p e ( t )+K i∫0

t

e ( t )dt+Kd

de (t )dt ........………………. (7-16)

Transformasi Laplace untuk persamaan (7-16) menghasilkan fungsi alih

U ( s )=(K p+K i

s+Kd s )E( s )

atau

Gc( s )=U ( s )E( s )

=K p+K i

s+Kd s

……………………. (7-17)

Diagram blok persamaan (7-16) terlihat pada Gambar 7.16, sedangkan fungsi alih persamaan (7-17) terlihat pada Gambar 7.17.

Gambar 7.16 Pengendali PID.

Gambar 7.17 Diagram blok fungsi alih pengendali PID

- Kompensator (ketinggalan dan mendahului)

Rangkaian elektrik kompensator fasa mendahului adalah

Gambar 7.9 Rangkaian elektrik fasa mendahului (jika R1C1 >R2C2) atau

fasa tertinggal (jika R1C1 < R2C2).

Fungsi alih rangkaian di atas adalah

Eo (s )Ei( s )

=R2 R4

R1 R3

⋅R1 C1 s+1

R2 C2 s+1=

R4 C1

R3 C2

⋅s+ 1

R1 C1

s+ 1R2 C2

Eo (s )Ei( s )

=Kc αTs+1α Ts+1

=K c

s+ 1T

s+1

αT …………….. (7-9)

dengan

T=R1C1 ; α T=R2C2 ; Kc=R4 C1

R3 C2

sehingga

Kc α=R4 C1

R3C2

R2 C2

R1 C1

=R2 R4

R1R3

; α=R2C2

R1C1

Rangkaian ini mempunyai penguatan dc, yaitu

Kc α=R2 R4

R1 R3

Perancangan dengan pendekatan tempat kedudukan akar sangat bermanfaat jika spesifikasi diberikan dalam bentuk kuantitas kawasan tertentu, seperti rasio redaman () dan frekuensi natural tak teredam (n) dari pole lup tertutup dominan yang ditentukan, maksimum overshoot, rise time, dan settling time.

Gambar 7.10 Konfigurasi pole-zero : (a) rangkaian fasa mendahului;

(b) rangkaian fasa tertinggal.

Perancangan suatu sistem yang tidak stabil untuk semua nilai-nilai penguatannya atau stabil tetapi karakteristik tanggapan peralihannya tidak seperti yang diinginkan, diperlukan penataan kembali tempat kedudukan akarnya pada sumbu j dan titik pusatnya agar akar lup tertutup dominannya terletak pada lokasi-lokasi yang diinginkan (pada bidang kompleks). Masalah ini dapat diselesaikan dengan menysisipkan suatu kompensator fasa mendahului secara kaskade dengan fungsi alih dalam arah maju.

Langkah-langkah perancangan suatu kompensator fasa mendahului dari sistem seperti terlihat pada Gambar 7.11 dengan metoda tempat kedudukan akar adalah sebagai berikut.

Gambar 7.11 Diagram blok sistem kendali.

1. Dari spesifikasi kinerja, tentukan lokasi pole-pole lup tertutup dominan yang diinginkan.

2. Dengan menggambarkan diagram tempat kedudukan akar, pastikan apakah dengan mengatur penguatan dapat diperoleh pole-pole lup tertutup yang diinginkan. Jika tidak, hitung kekurangan sudut . Sudut ini harus disertakan oleh kompensator fasa mendahului jika tempat kedudukan akar yang baru melalui lokasi-lokasi yang diinginkan untuk pole-pole lup tertutup dominan.

3. Asumsikan kompensator fasa mendahului Gc(s) adalah

Gc( s )=K c αTs+1α Ts+1

=K c

s+ 1T

s+1

αT

, (0< α <1)

..............…….(7-10)

Dengan dan T ditentukan dari kekurangan sudut. Kc ditentukan dari penguatan lup

terbuka yang dibutuhkan.

4. Jika konstanta galat statik tidak disebutkan, tentukan lokasi pole dan zero kompensator fasa mendahului sedemikian rupa sehingga kompensator fasa mendahului akan menambah sudut yang diperlukan. Jika tidak terdapat syarat lainnya yang ditentukan pada sistem, buatlah nilai sebesar mungkin. Suatu nilai yang besar umumnya dihasilkan dalam suatu nilai Kv yang besar, yaitu yang diinginkan. (Jika konstanta galat statik disebutkan, umumnya lebih sederhana dengan menggunakan pendekatan tanggapan frekuensi).

5. Tentukan penguatan lup terbuka sistem yang akan dikompensasi dari syarat besaran.

Setelah suatu kompensator selesai dirancang, periksa apakah semua spesifikasi kinerja telah dipenuhi. Jika sistem yang dikompensasi belum memenuhi spesifikasi kinerja yang diharapkan, maka ulangi langkah-langkah perancangan dengan mengatur kompensator pole dan zero sampai semua spesifikasi dipenuhi. Jika diinginkan suatu konstanta galat statik yang besar, kaskadekan suatu rangkaian fasa tertinggal atau kaskadekan kompensator fasa mendahului yang lain ke suatu kompensator fasa mendahului yang telah ada.

Jika pole-pole lup tertutup dominan yang dipilih tidak benar-benar dominan, maka penting untuk mengubah lokasi dari pasangan pole-pole lup tertutup dominan yang dipilih tadi. Letak zero-zero lup tertutup juga mempengaruhi tanggapan, jika mereka diletakkan dekat titik pusat.

Perhatikan suatu sistem dengan diagram blok seperti berikut.

Fungsi alih arah maju : G( s )= 4

s (s+2)

Tempat kedudukan akar sistem tersebut adalah

Pole-pole lup tertutup diperoleh dari

C (s )R( s )

=4s2+2s+4

=4(s+1+ j √3 )(s+1− j √3 )

Sehingga pole-pole lup tertutup terletak pada s=-1± j √3

Rasio redaman lup tertutup = 0,5, frekuensi natural tidak teredam n = 2 rad/detik.

Konstanta galat kecepatan statik Kv = 2 detik-1.

Diinginkan untuk mengubah pole-pole lup tertutup sehingga frekuensi natural adalah n

= 4 rad/detik, tanpa mengubah harga rasio redaman = 0,5.

Letak pole-pole lup tertutup yang diinginkan dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut.

Menarik garis dari pusat koordinat, membentuk sudut sebesar q dengan sumbu riel negatif, dengan q adalah

q=cos−1 z

Dalam hal ini, q=cos−1 0,5=600. Adapun panjang garis tersebut adalah sama

dengan frekuensi natural n.

Untuk = 0,5 dan n = 4, maka pole lup yang baru adalah

s=-2± j2√3

Menghitung jumlah sudut antara pole-pole lup tertutup dominan dengan pole-pole dan zero-zero dari sistem awal; serta menghitung kekurangan sudut yang harus

ditambahkan agar jumlah sudut total adalah ±(2k+1 )1800.

Kompensator fasa mendahului ini harus menambahkan sudut ini. (Bila sudut terlalu besar, dapat dipakai dua atau lebih rangkaian fasa mendahului). Dalam memilih letak pole dan zero kompensator, digunakan prosedur yang memungkinkan pemilihan sebesar mungkin.

Jika sistem semula mempunyai fungsi alih lup terbuka G(s), maka sistem terkompensasi akan mempunyai fungsi alih lup terbuka

Gc( s )G (s )=(Kc

s+ 1T

s+1

αT)G( s )

dengan

G( s )=Kc αTs+1α Ts+1

=Kc

s+ 1T

s+1

α T

, (0< α <1)

Terlihat bahwa banyak kemungkinan nilai T dan yang akan mempengaruhi sudut untuk dapat ditambahkan pada pole-pole lup tertutup yang diinginkan.

Sudut dari G(s) pada pole lup tertutup yang diinginkan adalah

Ð4

s (s+2)|s=- 2+ j2√3

=-2100

sehingga kekurangan sudut yang harus ditambahkan adalah

±(2k+1)1800−(−2100 )=ff=300

Cara memperoleh gambar di atas adalah sebagai berikut.

Tarik garis dari titik pusat O ke P. Tarik garis horizontal dari P, diperoleh A. Bagi sudut APO menjadi 2, dan garis yang membagi memotong sumbu riel di B.

Tarik dua garis PC dan PD yang membentuk sudut ± f

2 dengan garis PB. Perpotongan PC dan PD pada sumbu riel negatif memberikan letak pole dan zero

dari rangkaian fasa yang mendahului. Kompensator tersebut akan membuat P menjadi satu titik pada tempat kedudukan

akar sistem terkompensasi. Penguatan lup terbuka didapatkan dengan syarat besaran.Dari gambar di atas, diperoleh pole (C) dan zero (D),

C =-1

αT=-5,4 ; D =-

1T

=-2,9

(karena 0 < < 1), sehingga

T= 12,9

=0 ,345 ; α=0 ,537

Jadi fungsi alih lup terbuka sistem terkompensasi :

Gc( s )G (s )=K c⋅s+2,9s+5,4

⋅ 4s (s+2)

=K (s+2,9)

s ( s+2 )(s+5,4 )

dengan K = 4 Kc.

K diperoleh dari syarat besaran = |

K ( s+2,9)s ( s+2 )(s+5,4 )

|s=- 2+ j2√3

=1

maka, K = 18,7, sehingga

Gc( s )G (s )=18,7 (s+2,9 )s( s+2 )(s+5,4 )

Dan harga konstanta kompensator fasa mendahului Kc:

Kc=K4=18 ,7

4=4 , 68

Selanjutnya, Kc α=4 , 68∗0,537=2, 51

Jadi fungsi alih kompensator fasa mendahului adalah

G( s )=Kc αTs+1α Ts+1

=2 ,510,345s+10,185s+1

=4 ,68s+2,9s+5,4

(a)

1.7. Metode tempat kedudukan akar

Perbaikan kinerja (performance) karakteristik suatu sistem diperlukan bila didapati ternyata sistem tersebut tidak stabil, stabil tetapi overshoot besar dan lain-lain. Seperti telah diketahui bahwa dalam merancang suatu sistem kendali, ada beberapa hal yang menjadi tujuan utama, yaitu :

ketelitian, kestabilan (relatif), kecepatan tanggapan (singkat).Dengan demikian, bila dilakukan suatu perbaikan, maka ketiga hal di atas menjadi tujuannya, jangan malah terjadi hal yang sebaliknya.

Perbaikan kinerja dapat dilakukan dengan cara :

1. mengatur penguatan (gain adjustment),2. kompensasi, yaitu dengan menambahkan peralatan tambahan ke dalam sistem yang

bersangkutan.

1. Mengatur Penguatan (Gain Adjustment)

Perbaikan kinerja dengan mengatur penguatan dari fungsi alih terbuka (G(s)H(s)), akan menyebabkan karakteristik kinerja berubah. Dengan mengubah penguatan, kinerja dapat berubah. Misalnya : kalau penguatan dinaikkan, maka n

akan naik, d akan naik, osilasi peralihan akan meningkat, menurun, tanggapan cepat, Mp tinggi, c(t)ss mengecil. Kalau penguatan diturunkan, maka akan terjadi hal sebaliknya. Dengan demikian, harus dicari upaya untuk mengatur penguatan, agar kriteria sistem yang diharapkan dapat dicapai.

Umumnya rasio redaman antara 0,4 sampai dengan 0,7 memberikan tanggapan yang baik pada tanggapan peralihan.

Margin fasa 400 sampai dengan 600 akan memberikan tanggapan yang baik. Pada umumnya, kalau penguatan dinaikkan, maka kestabilan akan berkurang.

2. KompensasiAda 2 cara kompensasi seperti berikut.

a. Kompensasi serie, di mana kompensator GC(s) ditempatkan serie dengan fungsi alih G(s), pada penguatan arah maju.

Gambar 7.1 Kompensasi serie.

b. Kompensasi paralel (kompensasi umpan balik), di mana kompensator GC(s) ditempatkan di jalur umpan balik bagian dalam.

Gambar 7.2 Kompensasi paralel atau umpan balik.

Pemilihan kompensasi serie atau paralel tergantung pada beberapa hal; misalnya pada keadaan sinyal dalam sistemnya sendiri, tingkat daya pada macam-macam titik, komponen-komponen yang digunakan, pengalaman perancang, perhitungan ekonomis dan lain-lain.

Secara umum, kompensasi serie lebih sederhana daripada kompensasi paralel. Pada kompensasi serie seringkali membutuhkan tambahan penguat untuk menaikkan

penguatan dan/atau sebagai isolasi (untuk menghindari disipasi daya, kompensator serie ditambahkan pada titik energi tertentu dalam umpan arah maju (feedforward path)).

Selain itu, umumnya jumlah komponen yang dibutuhkan pada kompensasi serie lebih banyak dari kompensasi paralel, asalkan digunakan sinyal yang sesuai; karena pengalihan energi adalah dari tingkat daya yang lebih tinggi ke tingkat daya yang lebih rendah.

Rangkaian yang umum digunakan dalam kompensasi adalah :

fasa mendahului (phase lead), fasa tertinggal (phase lag), fasa tertinggal - mendahului (phase lag - lead).

Perancangan Sistem Kendali dengan Metoda Tempat Kedudukan Akar Perancangan sistem kendali lup tertutup dengan teknik tempat kedudukan akar

akan dijelaskan berikut ini. Cara ini memungkinkan untuk mengatur sekurang-kurangnya beberapa letak pole sistem lup tertutup, sehingga dapat mengatur tanggapan peralihan pada tingkat tertentu, serta bagaimana pengaruhnya terhadap tanggapan keadaan tunak.

Sebagai contoh akan dijelaskan perancangan tempat kedudukan akar untuk sistem kendali ketinggian satelit. Satelit diasumsikan bersifat tegar dan berada pada lingkungan yang tidak memiliki gesekan, berputar pada sumbu tegak lurus dengan halaman buku. Torsi diberikan pada satelit dengan cara pembakaran roket pendorong, seperti terlihat pada gambar berikut.

Gambar 7.3 Satelit.

Pembakaran roket pendorong akan menaikkan sudut ketinggian satelit q(t). Jika roket pendorong yang lain dibakar, akan menurunkan q(t). Diasumsikan bahwa torsi roket pendorong (t) adalah masukan sistem dan sudut q(t) adalah keluaran sistem; sehingga :

t ( t )=Jd2 q( t )dt2

..................................................................... (7-1)

karena tidak ada gesekan udara dan momen enersia satelit adalah J.

Fungsi alih satelit adalah

G( s )=q( s )T ( s )

= 1Js2

Satelit dianggap besar agar model dapat dinyatakan dalam persamaan orde dua. Model ini ditunjukkan oleh gambar berikut.

Mula-mula dianggap sistem kendalinya seperti gambar diagram blok berikut.

Gambar 7.4 Diagram blok sistem satelit.

Modulator merupakan alat yang mengubah sinyal galat elektrik menjadi torsi gerak yang proporsional dengan sinyal galat tersebut. Jika parameter perancangan hanya berupa penguatan K, maka tempat kedudukan akarnya menjadi

Gambar 7.5 Tempat kedudukan akar satelit.

jika KG (s )H (s )=K

s2

Dengan demikian ketinggian satelit q(t) akan berubah secara sinusoidal untuk nilai K berapapun, karena sistem berosilasi untuk K > 0. Terlihat bahwa struktur sistem yang demikian bukanlah sistem yang baik.

Untuk mendapat rancangan yang memadai, maka diagram blok Gambar 7.4 ditata kembali, sehingga sistem kendali yang baru dilengkapi dengan menambahkan umpan balik kecepatan, seperti terlihat pada Gambar 7.6. Sinyal umpan balik total merupakan penjumlahan posisi dan kecepatan yang dikalikan dengan penguatan Kv.

Gambar 7.6 Diagram blok satelit yang diperbaharui.

Fungsi alih lup terbuka adalah

KG (s )H (s )=K [ K v

s+ 1

s2 ]=K [ Kv s+1

s2 ]=KKv[ s+1

K v

s2 ]............ (7-2)

Pengaruh penambahan umpan balik kecepatan akan mengubah penguatan menjadi KKv

dan menambah zero pada s=-

1Kv .

Tempat kedudukan akar untuk sistem ini adalah

Gambar 7.7 Tempat kedudukan akar setelah ditambah umpan balik kecepatan.

Pada titik pusat (0,0) terdapat dua buah pole, dan sistem stabil untuk seluruh K>0 dan Kv>0.

Umpan balik kecepatan merupakan kompensator proporsional derivatif (PD), selain itu umpan balik kecepatan akan menambah zero pada fungsi lup terbuka.

Perhatikan kompensator dengan fungsi alih dari persamaan (7-2) sebagai berikut

Gc( s )=KKv(s+ 1Kv

) ……………………..(7-3)

Kompensator proporsional derivatif PD didefinisikan dengan persamaan

m( t )=K p e ( t )+Kd

de( t )dt …………………….. (7-4)

dengan e(t) adalah masukan kompensator dan m(t) adalah keluaran kompensator. Dengan demikian fungsi alihnya menjadi

M (s )=Gc( s )E (s )=(K p+Kd s )E(s ) …………… (7-5)

Dari persamaan (7-3) dan (7-5), maka umpan balik kecepatan merupakan bentuk kompensator PD dengan

KP = K dan Kd = KKv ....…………… (7-6)

Masalah yang dihadapi pada kompensasi PD adalah fungsi alih persamaan (7-5), yaitu penguatan kompensator terus naik sesuai dengan kenaikan frekuensi, yaitu

Gc( jw )=K p+ jwKd …………………. (7-7)

Jika pada sistem terdapat derau frekuensi tinggi, maka derau ini akan diperkuat oleh kompensator PD, yang merupakan sesuatu yang tidak diinginkan. Metoda yang biasa digunakan untuk mengatasi hal ini adalah dengan menambahkan pole pada fungsi alih kompensator, yang akan membatasi penguatan frekuensi tinggi, sehingga

Gc( s )=KC (s−z0 )( s−p0 ) …………………… (7-8)

Dengan demikian, GC(j) akan mendekati Kc bila mendekati tak hingga. Fungsi alih ini merupakan bentuk umum dari kompensator orde satu, dengan tiga parameter (Kc, z0, p0) yang akan ditentukan pada proses perancangan. Dengan tiga parameter ini, diharapkan kriteria perancangan akan dapat dipenuhi lebih baik, dibandingkan dengan perancangan yang hanya memiliki satu atau dua parameter. Pole dan zero fungsi alih kompensator biasanya berada pada sisi kiri sumbu khayal bidang s, mengingat z0 dan p0

adalah bilangan negatif. Oleh karena itu, terdapat dua kemungkinan yaitu

1. |z0|<|p0|

2. |z0|>|p0|

Pada kondisi pertama, zero lebih dekat ke titik pusat dari pada pole, sehingga akan menghasilkan sudut yang selalu positif. Sudut ini terlihat pada Gambar 7.8, dengan q1

selalu lebih besar dari q2 untuk s pada bidang di atas sumbu nyata.

Gambar 7.8 Fasa dari kompensator.

Kompensator jenis ini disebut kompensator fasa mendahului (phase-lead). Untuk kondisi kedua, pole lebih dekat ke titik pusat dibandingkan zero, dan disebut fasa tertinggal (phase-lag), karena sudut yang dihasilkan selalu negatif.

1.8. Metode Tanggapan frekuensi

Yang dimaksud dengan istilah tanggapan frekuensi adalah tanggapan keadaan tunak suatu sistem terhadap masukan sinusoidal. Dalam metoda tanggapan frekuensi, frekuensi sinyal masukan dalam suatu daerah frekuensi tertentu diubah dan tanggapan frekuensi yang dihasilkan dipelajari.

Kriteria kestabilan Nyquist memungkinkan untuk menyelidiki kestabilan mutlak maupun relatif sistem linier lup tertutup dari karakteristik tanggapan frekuensi lup terbukanya. Dalam menggunakan kriteria kestabilan ini tidak diperlukan untuk menentukan akar-akar persamaan karakteristik. Pengujian tanggapan frekuensi pada umumnya sederhana dan dapat dilakukan secara teliti dengan menggunakan pembangkit sinyal sinusoidal yang telah tersedia dan alat-alat ukur yang teliti. Seringkali fungsi alih komponen yang rumit dapat ditentukan secara eksperimental dengan pengujian tanggapan frekuensi.

Metoda tanggapan frekuensi dapat diterapkan pada sistem yang tidak mempunyai fungsi rasional. Solusi dari pada itu, sistem (kendalian) yang tidak diketahui atau sistem yang benar-benar dikenal, dapat ditangani dengan metoda tanggapan frekuensi sedemikian sehingga pengaruh kebisingan (noise) yang tidak diinginkan dapat diabaikan dan analisis serta perancangan semacam ini dapat diperluas ke sistem kendali non-linier.

Keluaran Keadaan Tunak untuk Masukan Sinusoidal

Perhatikan sistem linier yang tidak berubah dengan waktu seperti yang terlihat pada Gambar 8.1, berikut

Gambar 8.1 Sistem linier yang tidak berubah dengan waktu.

Untuk sistem ini, maka

Y ( s )X ( s )

=G (s )

Masukan x(t) adalah sinusoidal, yaitu

x ( t )=X sin w t

Jika sistem stabil, maka keluaran y(t) dapat dituliskan sebagai

y ( t )=Y sin (w t+ f )

dengan

Y=X|G( jw )|

dan

f =Ð G( jw )=tan−1[bagian imajiner G ( jw )bagian riel G ( jw ) ]

Suatu sistem linier yang tidak berubah dengan waktu stabil yang dikenai masukan sinusoidal, pada keadaan tunak, akan mempunyai keluaran sinusoidal dengan frekuensi yang sama dengan masukannya.Tetapi amplituda dan fasa dari keluaran, pada umumnya, berbeda dengan masukannya. Pada kenyataannya, amplitudo keluaran

merupakan hasil kali amplitudo masukan dengan |G( jw )|; sedangkan sudut fasa berbeda

dari masukannya sebesar f =Ð G( jw ) .

Untuk masukan sinusoidal,

|G( jw )|=|Y ( jw )X ( jw )

|=perbandingan amplitudo keluaran sinussoidal terhadap masukan sinusoidal.

ÐG ( jw )=Ð

Y ( jw )X ( jw )

= pergeseran fasa keluaran sinusoidal terhadap masukan

sinusoidal.

Dengan demikian, karakteristik tanggapan suatu sistem terhadap suatu masukan sinusoidal dapat diperoleh secara langsung dari

Y ( jw )X ( jw )

=G( jw )

Fungsi alih sinusoidal G(j), perbandingan Y(j) dengan X(j), merupakan besaran kompleks dan dapat dinyatakan dengan besaran dan sudut fasa dengan frekuensi sebagai parameter (sudut fasa negatif disebut fasa tertinggal (phase lag), dan sudut fasa positif disebut fasa mendahului (phase lead)). Fungsi alih sinusoida setiap sistem linier diperoleh dengan mensubstitusikan s = j pada fungsi alih sistem.

Diagram Bode

Fungsi alih sinusoidal dapat disajikan dalam dua diagram yang terpisah, satu merupakan diagram besaran terhadap frekuensi dan yang lainnya adalah diagram sudut fasa dalam derajat terhadap frekuensi. Diagram Bode terdiri dari dua grafik. Grafik pertama merupakan diagram dari logaritma besaran fungsi sinusoidal, dan grafik yang lain merupakan sudut fasa; di mana kedua grafik digambarkan terhadap frekuensi dalam skala logaritmik.

Penyajian standar besaran logaritmik dari G(j) adalah 20 log |G( jw )|, dengan basis logaritma tersebut adalah 10. Satuan yang digunakan dalam penyajian besaran adalah desibel (dB). Pada penyajian logaritmik, kurva digambarkan pada kertas semilog, dengan menggunakan skala log untuk frekuensi dan skala linier untuk besaran (dalam dB) atau sudut fasa (dalam derajat).

Faktor-faktor Dasar dari G(j)H(j)

Faktor-faktor dasar yang sering terjadi dalam sebarang fungsi alih G(j)H(j) adalah

1. Penguatan K

2. Faktor integral derivatif ( jw )m 1

3. Faktor orde pertama (1+jwT )m1

4. Faktor kuadratik [1+2 z ( j

wwn

)+( jwwn

)2 ]

m 1

Penguatan K

Setiap angka yang lebih besar dari satu mempunyai nilai positif dalam dB, sedangkan angka yang lebih kecil dari satu mempunyai nilai negatif. Kurva besaran log untuk penguatan K yang konstan merupakan garis horizontal dengan besaran 20 log K dB. Sudut fasa penguatan K adalah nol. Pengaruh perubahan penguatan K pada fungsi alih dapat menaikkan atau menurunkan kurva besaran log fungsi alih tadi sesuai dengan besar 20 log K, tetapi tidak mempunyai pengaruh pada sudut fasa.

Gambar 8.2 Kurva tanggapan frekuensi besaran log untuk penguatan K.

Faktor Integral dan Derivatif ( jw )m 1

Besaran logaristmik dari

1jw dalam desibel adalah

20 log| 1jw|=- 20 log w dB

Sudut fasa dari

1jw adalah konstan dan besarannya -900.

Dalam diagram Bode, perbandingan frekuensi diekspresikan dalam bentuk oktaf atau dekade. Oktaf adalah suatu pita frekuensi dari 1 ke 21, dengan 1 adalah suatu harga frekuensi sembarang. Dekade adalah suatu pita frekuensi dari 1 ke 101, dengan 1 adalah suatu harga frekuensi sembarang.

Jika besaran log -20 log dB digambarkan terhadap pada skala logaritmik, akan diperoleh garis lurus.

(-20 log 10) dB = (-20 log -20) dB

dengan kemiringan garis tersebut adalah -20 dB/dekade (atau -6 dB/oktaf).

Dengan cara yang sama, maka

20 log| jw|=20 log w dB

dengan sudut fasa yang konstan, yaitu 900. Kurva besaran log adalah suatu garis lurus dengan kemiringan 20 dB/dekade. Gambar berikut memperlihatkan kurva tanggapan

frekuensi masing-masing untuk

1jw dan j. Perbedaan kedua tanggapan frekuensi dari

faktor

1jw dan j terletak pada tanda kemiringan kurva besaran - log dan tanda sudut

fasa. Kedua besaran log tersebut menjadi sama dengan 0 dB pada = 1.

Gambar 8.3 Kurva tanggapan frekuensi besaran - log dan sudut

fasanya, untuk

1jw dan j.

Jika fungsi alih mengandung faktor ( 1

jw )n

atau (j)n, maka besaran log masing-masing menjadi

20 log| 1

( jw )n|=n ´ log | jw|=-20 n log w dB

atau

20 log|( jw )n|=n ´ log | jw|=20 n log w dB

Selanjutnya kemiringan kurva besaran log untuk faktor-faktor ( 1

jw )n

dan (j)n,

masing-masing -20n dB/dekade dan 20n dB/dekade. Sudut fasa ( 1

jw )n

= -90on di seluruh rentang frekuensi, sedangkan sudut fasa (j)n = 90on di seluruh rentang frekuensi. Kurva besaran melalui titik 0 dB, pada = 1.

Faktor Orde Pertama (1+ jw T )m1

Besaran log dari faktor orde pertama

11+ jwT adalah

20 log| 11+ jwT

|=- 20 log√1+w2 T 2 dB

Untuk frekuensi rendah, w <<

1T , besaran log dapat didekati dengan

−20 log √1+w2T 2 =-20 log1 = 0 dB

Jadi kurva besaran log pada frekuensi rendah terletak di garis konstan 0 dB.

Untuk frekuensi tinggi, w >>

1T , besaran log dapat didekati dengan

−20 log √1+w2T 2 =-20 log wT dB

yang merupakan ekspresi perkiraan rentang frekuensi tinggi.

Pada w= 1

T , besaran log = 0 dB

w=10

T , besaran log = -20 dB

Jadi harga -20 log T dB mengecil oleh 20 dB untuk setiap dekade . Untuk

1T ,

kurva besaran log tersebut menjadi suatu garis lurus dengan kemiringan -20 dB/dekade atau -6 dB/oktaf.

Kurva tanggapan frekuensi dari faktor

11+ jwT dapat didekati dengan dua buah

garis lurus asimtotis, satu garis lurus pada 0 dB untuk daerah frekuensi 0 < <

1T , dan

yang lain garis lurus dengan kemiringan -20 dB/dekade (-6 dB/oktaf) untuk rentang

frekuensi

1T < < . Kurva besaran log dan kurva sudut fasanya terlihat pada Gambar

8.4 berikut.

Gambar 8.4 Kurva tanggapan frekuensi besaran - log dan sudut fasanya, untuk

11+ jwT .

Frekuensi pada perpotongan dua asimtot disebut frekuensi sudut atau frekuensi

patah (corner frequency atau break frequqncy). Untuk faktor

11+ jwT , frekuensi =

1T

merupakan frekuensi patah karena pada =

1T kedua asimtot mempunyai nilai yang

sama. (Ekspresi asimtot frekuensi rendah pada =

1T adalah 20 log 1 dB = 0 dB;

ekspresi asimtotik frekuensi tinggi pada =

1T juga 20 log 1 dB = 0 dB). Frekuensi

patah membagi kurva tanggapan frekuensi menjadi dua daerah, yaitu kurva untuk daerah frekuensi rendah dan kurva untuk daerah frekuensi tinggi. Frekuensi patah sangat penting dalam membuat sketsa kurva tanggapan frekuensi logaritmik. Sudut fasa

sebenarnya dari faktor

11+ jwT adalah

f =- tan−1 wT

Pada frekuensi nol, sudut fasanya adalah 00. Pada frekuensi patah, sudut fasanya adalah

f=tan−1 TT

=- tan−11=- 450

Galat kurva besaran yang diakibatkan oleh asimtot-asimtot dapat dihitung. Kesalahan maksimum terjadi pada frekuensi patah dan hampir sama dengan -3 dB, karena

−20 log √1+1+20 log 1=-10 log2=-3 , 03 dB » 3 dB

Galat pada frekuensi satu oktaf di bawah frekuensi patah, yaitu pada w= 1

2T adalah

−20 log √ 14+1+20 log 1=- 20 log

√52

=- 0 ,97 dB » -1 dB

Galat pada frekuensi satu oktaf di atas frekuensi patah, yaitu pada w= 2

T adalah

−20 log √22+1+20 log2 =-20 log √52

=-0 , 97 dB » -1 dB

Jadi galat pada satu oktaf di bawah atau di atas frekuensi patah hampir sama dengan -1 dB. Dengan demikian galat pada satu dekade di bawah atau di atas frekuensi patah kira-kira -0,04 dB. Dalam prakteknya, kurva tanggapan frekuensi yang teliti digambarkan dengan menempatkan titik -3 dB pada frekuensi patah dan titik -1 dB satu oktaf di bawah atau di atas frekuensi patah dan selanjutnya menghubungkan titik ini dengan suatu kurva yang halus (smooth).

Suatu kelebihan diagram Bode adalah untuk faktor-faktor kebalikan, misalnya hanya perlu diubah tandanya. Karena

20 log|1+ jwT|=-20 log|11+ jwT

|

Ð 1+ jw T=tan−1 wT =Ð11+ jwT

maka frekuensi patah kedua kasus tersebut adalah sama.

Kemiringan asimtot frekuensi tinggi dari

11+ jwT adalah 20 dB/dekade. Dan sudut

fasanya berubah dari 00 sampai 900 jika frekuensi diperbesar dai 0 sampai . Kurva

besaran log dan sudut fasa untuk faktor

11+ jwT seperti terlihat pada gambar berikut.

Gambar 8.5 Kurva tanggapan frekuensi besaran log dan sudut

fasanya, untuk1+ jw T .

1.9. Analisis kesalahan dan pengantar optimasi sistem

Karakteristik tanggapan peralihan merupakan ciri performansi penting dari sistem kendali. Ciri penting lainnya adalah kesalahan sistem. Kesalahan dalam suatu sistem kendali dapat disebabkan oleh beberapa faktor. Perubahan masukan acuan akanmenimbulkan kesalahan yang tidak dapat dihindari selama perioda peralihan dan dapatjuga menimbulkan kesalahan dalam keadaan tunak. Ketidaksempurnaan komponen sistem seperti gesekan statik, ”backslash” dan drift penguat maupun penuaan atau pemburukan akan menimbulkan kesalahan keadaan tunak.

Kesalahan keadaan tunak merupakan ukuran ketelitian suatu sistem kendali. Performasi keadaan tunak suatu sistem kendali yang bersifat stabil biasanya dinilai dari kesalahan keadaan tunak yang disebabkan oleh masukan undak, laju maupun percepatan. Sudah menjadi sifatnya bahwa setiap sistem kendali fisik mempuyai kesalahan keadaan tunak dalam memberikan respon terhadap jenis-jenis masukan tertentu. Suatu sistem mungkin bebas dari kesalahan keadaan tunak terhadap masukan undak tetapi sistem yang sama mungkin menunjukkan kesalahan keadaan tunak terhadap masukan laju. Ada atau tidaknya kesalahan keadaan tunak suatu sistem untuk suatu jenis masukan tergantungpada jenis fungsi alih lingkar terbuka.

Koefesien Kesalahan Statik

Koefesien kesalahan statik didefinisikan sebagai ukuran kebaikan sistem kendali. Semakin tinggi koefesien ini maka kesalahan keadaan tunaknya semakin kecil. Pada suatu sistem yang diberikan, keluarannya dapat berupa posisi, kecepatan, tekanan, temperature dan sebagainya. Akan tetapi, bentuk fisik keluaran tidak penting dalam

analisis ini karena itu keluaran posisi, laju perubahan keluaran “kecepatan” dan sebagainya. Ini berarti bahwa pada sistem pengendalian temperature, “posisi” menyatakan temperature keluaran, “kecepatan” menyatakan laju perubahan temperature dan sebagainya Selain itu besar kesalahan keadaan tunak yang disebabkan oleh masing-masing masukan merupakan indikasi kebaikan sistem.

Koefesien Kesalahan Dinamik

Suatu karakteristik dari definisi koefesien kesalahan statik adalah bahwa hanya satukoefesien-koefesien suatu sistem yang mempuyai harga terhingga. Koefesien yang lain sama dengan nol atau tidak terhingga. Kesalahan keadaan tunak yang diperoleh dengan koefesien-koefesien kesalahan statik adalah nol, harga tidak nol terhingga atau tidak terhingga. Jadi variasi kesalahan terhadap waktu tidak dapat diperoleh dengan menggunakan koefesien-koefesien semacam itu

Analisis Kepekaan Sistem

Kepekaan adalah ketergantungan sistem keseluruhan terhadap perubahan subsistemnya. Untuk itu didefinisikan suatu ukuran kepekaan sistem. Sistem diwakili olehfungsi alih sistem keseluruhan T dan subsistem oleh fungsi alih subsistem tersebut i G . Kepekaan juga didefinisikan sebagai perbandingan antara perubahan relatif dari T dan perubahan relatif dari i G dan ditulis SgiT

Rangkuman

Kesalahan adalah selisih antara harga yang diinginkan terhadap harga yang tercatat secara aktual sedangkan kesalahan dalam keadaan tunak adalah selisih antara keluaran dan masukan bila semua efek peralihan telah menghilang. Kesalahan ini bergantung pada dua hal yaitu jenis masukan dan tingkatan sistem kendali. Untuk menentukan kesalahan perlu diketahui sifat-sifat sinyal masukan tetapi dalam kebanyakan keadaan praktis bentuk matematis sinyal masukan sukar diketahui sebagai fungsi waktu.

Dalam keadaan seperti ini dimana bentuk matematis sulit ditentukan maka dalam perancangan yang dilakukan adalah mempelajari sifat-sifat sistem tersebut bila sinyal masukan diubah-ubah secara khusus. Masukan sendiri dapat dipengaruhi oleh berbagai parameter seperti temperatur, arah, tekanan dan lain-lain bergantung pada sasaran pengendalian. Umumnya untuk mengubah masukan dalam hubungannya untuk mempelajari karakteristik kesalahan keadaan tunak terdapat tiga cara yaitu memasukkan masukan berupa fungsi undak satuan, fungsi laju satuan dan fungsi parabolik. Dengan mempelajari respon terhadap ketiga jenis masukan ini kesalahan sistem dapat diramalkan