TEORI KESALAHAN

3.1 Landasan Teori

3.1.1. Histogram

Histogram adalah pernyataan grafis untuk suatu distribusi frekuensi yang digambarkan

dengan lajur – lajur persegi panjang sedemikian rupa sehingga :

(a) pusat alasnya menyatakan pusat

(b) luas persegi panjang menyataka frekuensi

Jika selang kelasnya beraturan, maka frekuensi kelas akan ditunjukkan juga oleh tinggi

persegi panjang tersbut.

POKOK BAHASAN : TEORI KESALAHAN

Klasifikasai kesalahan : Kesalahan kasar, sistematik dan kesalahan acak,

Definisi : Nilai ukuran, nilai yang benar, kesalahan, nilai mendekati benar,

residual, derajat kebebasan, variance, standar kesalahan dan standat

deviasi, Teori probabilitas , Distribusi normal

Contoh: Pengukuran panjang 50 b batang kuningan memberikan ditribusi frekuensi

sebagai beikut :

Pertama-tama tariklah garis alasnya dan berilah tanda x pada garis tersebut agar kita

dapat menentukan letak harga – harga pusat kelas diatas. Lakukanlah itu sebagai

pembukaan awal.

3.1.2. DISTRIBUSI NORMAL

Distribusi Normal merupakan distribusi yang paling terkenal dan paling umum dipakai. Distribusi normal memiliki fungsi kerapatan probabilitas (probability density function = pdf), seperti terlihat pada gambar dibawah ini.

µ - 2τ µ µ + 2τ

Parameter-parameter

mean (nilai purata) atau µ dan varians (variance) σ2 dimana (σ deviasi standart) kurva pdf adalah mean simetris area dibawah pdf besarnya adalah 1 maka dapat dituliskan sebagai berikut :

X ≈ Nor (µ, σ2)

Cara perhitungan distribusi normal

Ditentukan bahwa variabel X ada diantara a dan b, sehinggaPr (a<X<b) = Pr (X>a) – Pr (X>b)

Jika X ≈ Nor (µ, σ2), dan membuat suatu variabel baru yaitu

Dengan mean = 0 dan deviasi standar = 1 maka Z ≈ Nor (0,1) Distribusi ini disebut distribusi normal standar (standard normal distribution)

Maka dapat dituliskan kembali bahwa,

Z diikuti dengan a fungsi distribusi Nor (0,1), ditabulasikan secara luas sebagai Tabel dari probabilitas normal.

Tabel dari distribusi normal standar (standard normal distribution)

Z 0.00 0.01 .... .... .... 0.06 .... 0.090.00.1...

0.8 21186

....2.2 013902.4 00695...

Keterangan

Pr (Z>2.46) ----- maka kita pilih kolom kiri 2.4 dan baris atas dengan 0.06. Maka hubungan kedua angka tadi didapat Pr (Z> 2.46) = 0.00695

3.2. Sumber Kesalahan Pengukuran

Dalam pengukuran dapat hampir dapat dipastikan bahwa kesalahan pasti akan

terjadi baik disengaja maupun tidak disengaja sehingga menyebabkan hasil

pengkuran itu perlu mendapatkan koreksi.

Paling tidak terdapat 3 (tiga) sumber kesalahan dalam pengukuran, yakni

a. Sumber Alam

Kesalahan disebabkan karena cuaca, arah angin, suhu dan kelembaban

udara, kebiasan (undulasi), gaya berat dan deklnasi magnetik sperti

perubahan panjnag pita karena pengembangan dan penysusutan.

b. Kesalahan karena Instrumen

Kesalahan timbul karena ketidak sempurnaan konstruksi instrument atau

keslahan penyetelan, misalnya tidak seragmnya skala rambu. Kesalahan

ini dapat datasi dengan metoda pengukuran yang benar.

c. Kesalahan karena Perorangan

Kesalahan timbul karena keterbatasan manusia dalam membaca meraba

dan melihat. Tentu saja dengan cara pengkran yang sekasama dan hati-

hati serta teliti kan mengurangi terjadinya kesalahan.

3.3. Klasifikasi Kesalahan

a. Kesalahan Kasar (Blunders)

Dalam pengukuran dijumpai adanya kesalahan kasar atau blunder sebagai

akibat ketidak cermatan dalam mengukur, baik disebabkan oleh kerena

kecerobohan maupun penggunaan alat yang tidak sempurna . Kesalahan

kasar hanya dapat diperbaiki dengan cara melakukan pengkuran ulang.

Contoh kesalahan kasar antara lain : i) menngunakan pita yang terputus

( kurang panjangnya), ii) kesalahan membaca skala pada rambu atau

mikrometer pada bacaan sudut iii) kesalahan pencatatan dsb.

a. Kesalahan Sistematik (Systematic Error)

Kesalahan sistematik biasanya disebabkan karena menngunakan instrumen

yang belum terkaliberasi atau terkoreksi sehingga terjadi penumpukan

kesalahan karena akan berulang-ulang terjadi. Kasalahan jenis ini dapat

dicegah dengan cara mengoreksi alat terlebih dahulu sebelum pengukuran.

Contoh kesalahan sistemaik sifatnya berulang misalnya penyusutan dan

pengembangan pita atau pegas ukur oleh karena temperatur.

b. Kesalahan Acak (Random Error)

Kesalahan yan bersifat tetap yang tidak diketahui secara pasti penyebabnya

akan tetapi lajim terjadi menurut kaidah statistik (probability). Besar dan nilai

kesalahan jenis ini adalah kemungkinan dan tidak ada cara yang mutlak

untuk menghilangkan . Kesalahan acak dapat bernilai positif dan negatif

sehingga dapat saling menghilangkan

3.4. Istilah-istilah

Istilah yang sering dipakai dalam teori kesalahan antara lain :

a. Hasil Ukuran (Measured value) :adalah nilai atau besaran yang merupakan

hasil obesrvasi langsung.

b. Nilai yang benar (True value) :adalah nilai teoritis yang dianggap benar,

dalam kenyataan nilai yang benar tidak pernah diketahui

c. Kesalahan (Error) :adalah selisih antara nilai hasil pengkuran (mesured

value) dengan nilai yang benar (true value), nilai error ini hanya teoritis,

dalam kenyataan nilai tidak pernah diketahui

d. Nilai mendekati benar (The most possible value) : Oleh karena harga

yang benar tidak dapat dihitung maka hany harga yang paling mungkin dapat

dihitung jika terdapat pengkuran lebih. Oleh karen itu sebagai pendekatan

maka nilai mendekatai benar dihitung berdasarkan harga rata-rata (mean)

Dimana :

M : nilai yang mendekati benar

M : nilai hasil pengkuran

n : jumlah pengukuran

e. Residual : Setelah ditentukan harga yang mendekati benar suatu ukuran

maka dapat ditentukan besarnya residiul yakni selisih nilai hasil pengukuran

sembarang dengan harga rata-rata atau nilai yang mendekati benar;

M : nilai yang mendekati benar

M : nilai hasil pengkuran

v : residual

f. Simpangan baku (Standart deviation)i : Menggambarkan kesaksamaan

atau ketelitian hasil ukuran, sedangkan kuadrat dari standar deviasi disebut

varian. Simpangan baku dapat dinyatakan secara matematis sebagai

berikut.

v : residual

n : nilai hasil pengkuran

n-1 : derajat kebebasan (degree of freedom)

v : standar deviasi

Teori probablitas dapat juga diterapkan dalam bidang pengukuran untuk meratakan

(adjustment) adanya kesalahan acak. Jadi kesalahan dapat diratakan dengan anggapan

telah terbebas dari kesalahan kasar (blunders) dan kesalahan sistematis (systematic

error).

3.5. Contoh-contoh Soal

1). Misalkan suatu pengkuran jarak sebanyak 9 kali dengan varisali hasil

pengkuran seperti pada tabel dianggap telah bebas dari kesalahan kasar dan

kesalahan sistematis. Dengan tingkat keyakinan 90 % dan 95 % hitung

kesalahan standar dan simpangan bakunya.

Untuk tingkat kelyakinan 90 % ( E90)=±1.6649(0.04)= ±0.065 m

Untuk tingkat kelyakinan 95 % ( E95)=±1.9599(0.04)= ±0.075 m

Dari hasil perhtiungan maka jarak yang paling mungkin 500.47 m

Kesalahan standar pengkuran 0.04 m

Dengan keyakinan 90 % ±0.065 m ( Range jarak yang mungin antara

500.4635-500.535 m

Dengan keyaknan 95 % ±0.075 m( Range jarak yang mungin antara

500.4525-500.545 m

2) Utnuk pengkuran bebobot misalnya pengkuran sudut dalam suatu segitiga

dengan sudut A=49°51’15” (bobot 1); sudut B =60°32’08” (bobot2) dan sudut C

=69°36’33” (bobot3). Hitung perataan sudut berbobot.

Oleh karana pengukuan berbobot maka koreksi harus diberikan secara

terbalik untuk bobot tinggi diberi koreksi tebesar, sehingga A koreksi 6x, B 3x

dan C 2x

Jarak Residu V2

SudutBobot Koreksi Koreksi

Numeris

Pembulatan

Koreksi

Sudu

Terkoreksi

A 49°51’15” 1 6X +2.18” +2.2” (atau2”) 49°51’17”

B 60°32’08” 2 3X +1.09 +1.1”(atau1”) 60°32’09”

C 69°36’33” 3 2X +0.73” +0.7(atau1”) 69°36’34”

11X=4” dan x = +0.36”