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TEMARIO DE [2020] MATEMÁTICAS TEMA 9: NÚMEROS · PDF fileSuponiendo que i>0...

Date post:04-Apr-2019
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TEMARIO DE MATEMTICAS [2020] TTEEMMAA 99:: NNMMEERROOSS CCOOMMPPLLEEJJOOSS.. AAPPLLIICCAACCIIOONNEESS GGEEOOMMTTRRIICCAASS..I. NMEROS COMPLEJOSI.1. PLANO COMPLEJOI.1.A. INMERSIN DE EN I.1.B. UNIDAD IMAGINARIAI.1.C. REPRESENTACIN GEOMTRICA DE LOS NMEROSCOMPLEJOS. I.1.D. ORDEN EN . IMPOSIBILIDAD DE UN ORDEN TOTALI.2. CONJUGADO Y MDULO DE UN NMERO COMPLEJOI.3. ARGUMENTO DE UN NMERO COMPLEJOI.4. OPERACIONES CON COMPLEJOSI.5. FUNCIONES COMPLEJASI.5.A. EXPONENCIAL COMPLEJAI.5.B. FUNCIN LOGARITMOI.5.C. POTENCIA DE BASE COMPLEJA Y EXPONENTE COMPLEJO I.5.D. FUNCIONES TRIGONOMTRICASI.5.E. FUNCIONES HIPERBLICASII. APLICACIONES GEOMTRICASII.1. TRASLACIONESII.2. GIROSII.3. HOMOTECIA Y SEMEJANZAIV. BIBLIOGRAFA

2 Tema 9: Nmeros complejos. Aplicaciones geomtricas TTEEMMAA 99:: NNMMEERROOSS CCOOMMPPLLEEJJOOSS.. AAPPLLIICCAACCIIOONNEESS GGEEOOMMTTRRIICCAASS La historia de las matemticas ha sido testigo de una encarnizada lucha entre los defensores y enemigos de los nmeros "imaginarios", cuyo origen est en el intento de encontrar soluciones a ecuaciones algebraicas como 2x 1 0+ = , que no admiten solucin en . La solucin a este problema fue introducir el smbolo i, dado por la igualdad i2=-1. Este objeto "i", unidad imaginaria, no tiene nada que ver con el concepto de nmero tal y como se conoca hasta entonces. Los nmeros imaginarios permanecieron en un nivel puramente formal hasta el s. XIX, en el que los matemticos Gauss y Hamilton, independientemente y al mismo tiempo, dieron una interpretacin matemtica a los nmeros complejos al identificarlos con pares de nmeros reales, dando pie as a la construccin axiomtica del cuerpo de los nmeros complejos. Pasemos a estudiarlos. Para ello seguir el esquema expuesto anteriormente.

I. NMEROS COMPLEJOSDeseamos ampliar el cuerpo de los nmeros reales de tal modo, que el nuevo cuerpo contenga un subcuerpo isomorfo a , y en donde la ecuacin2x 1 0+ = tenga solucin. I.1. PLANO COMPLEJOEn 2 , las operaciones:

2(a,b) (a ',b ') (a a ',b b') (a,b),(a',b') y (a,b) (a,b)+ = + + = lo dotan de estructura de -espacio vectorial de dimensin 2. Consideremos el grupo abeliano ( )2,+ , y definamos el producto (a,b)(c,d) (ac bd,ad bc)= + .Sin dificultad se comprueba que ( )2, ,+ es un cuerpo conmutativo, en el cual: (0,0) es el elemento neutro aditivo (1,0) es el neutro multiplicativo Si z=(a,b) entonces -z=(-a,-b)

3 Tema 9: Nmeros complejos. Aplicaciones geomtricas Si ( ) ( )z a,b 0,0= entonces 1 2 2 2 2a bz ,a b a b = + + A este cuerpo se le llama el cuerpo de los nmeros complejos. En lo sucesivo se notar por , y a sus elementos los llamaremos nmeros complejos. Nota: La diferencia entre 2 y es cuestin de matiz. 2 lo vemos como un espacio vectorial real 2-dimensional y como un cuerpo conmutativo. Como conjuntos son idnticos. I.1.A. INMERSIN DE EN Veamos que este cuerpo es el que buscamos: Si consideramos la aplicacin:

a (a,0) se comprueba inmediatamente que es un monomorfismo de cuerpos. As pues, es isomorfo a un subcuerpo de . Podemos considerar por tanto ( )x,0 : x{ }= con la identificacin ( ) a a,0 a= . Adems la estructura de cuerpo de se mantiene vindolo como subconjunto de :

-1 1

(a,0) (b,0) (a b,0)(a,0).(b,0) (ab,0) a,b(a,0) ( a,0)Si a 0, (a,0) (a ,0)+ = +

= =

=

I.1.B. UNIDAD IMAGINARIA Consideremos ahora 2 como espacio vectorial. Una base de 2 es el conjunto {(1,0),(0,1)}. As cada nmero complejo (a,b) se expresa de forma nica como: (a,b)=a(1,0)+b(0,1). En lo sucesivo denotaremos ( ) ( )0,1 i , 1 1,0 . Adems se verifica que i2=(0,1)(0,1)=-1. En virtud de esto, si z , entonces lo podemos escribir como z=a+bi de forma nica, en donde a,b . "i" recibe el nombre de unidad imaginaria, "a" el de parte real de z, y "b" parte imaginaria de z. (a=Re z y b=Im z) Cuando un nmero complejo lo expresemos de la forma z=a+bi con a,bdiremos que est en forma binmica.

4 Tema 9: Nmeros complejos. Aplicaciones geomtricas Un nmero se dice que es imaginario puro si su parte real es cero. Observacin: Si nos damos cuenta i,-i son las soluciones de x2+1=0. I.1.C. REPRESENTACIN GEOMTRICA DE LOS NMEROS COMPLEJOS Podemos representar geomtricamente los nmeros complejos. A cada nmero complejo z=a+bi, podemos hacerle corresponder el punto P del plano cartesiano de coordenadas P=(a,b). De esta forma a todo nmero complejo z le corresponde de manera biunvoca un punto del plano cartesiano al que llamaremos afijo. Mediante esta aplicacin, los nmeros complejos de la forma a+0i se corresponden de manera biunvoca con el eje 0X, al que llamaremos eje real. De igual manera, los nmeros de la forma 0+bi se corresponden de forma biunvoca con los puntos del eje 0Y, al que llamaremos eje imaginario.

I.1.D. ORDEN EN . IMPOSIBILIDAD DE UN ORDEN TOTAL En , podemos definir varias relaciones de orden; por ejemplo: (a bi) (c di) a c y b d(a bi) (c di) a c y b c+ + + + Puede demostrarse sin dificultad, que las dos relaciones definidas verifican las propiedades reflexiva, antisimtrica y transitiva, pero sin embargo ninguna de las dos es una relacin de orden total. (Comprubese con z=3+7i y z==5+2i). Justifiquemos que no es posible definir una relacin de orden total < en . En caso de que exista una relacin de orden total en tiene que cumplir las siguientes propiedades: a) Se verifica una y slo una de las siguientes cosas: z z ' z z ' z ' z z,z ' .= < <

5 Tema 9: Nmeros complejos. Aplicaciones geomtricas b) Si z0 y z'>0, entonces zz'>0. Como estamos suponiendo que existe un orden total en , e i 0 , se debera tener i0. Suponiendo que i>0 obtendramos, tomando z=z'=i en c), que i2 =-1>0, con lo que 1

6 Tema 9: Nmeros complejos. Aplicaciones geomtricas Las propiedades i) y ii) nos permiten afirmar que la conjugacin z z es un endomorfismo de cuerpos. La propiedad iv) nos permite deducir que la conjugacin es inyectiva ya que si z w z w z w.= = = Como la conjugacin es trivialmente sobreyectiva, se tiene que la conjugacin es un automorfismo de . Adems deja invariantes a todos los nmeros reales. Se define mdulo de un nmero complejo z a bi= + al nmero real no negativo 2 2z zz a b= = + . La interpretacin geomtrica de z es clara, es la distancia al origen del punto P=(a,b) (afijo del complejo z=a+bi) del plano coordenado. Por tanto el concepto de mdulo de un complejo se corresponde con el concepto de mdulo de un vector. La aplicacin mdulo verifica:

{ }

( )2 2 2 2

1

i) z 0 z 0ii) z ziii) z.w z wiv) Max Rez , Imz z Rez Imzv) z w z w 2 z w z,wvi) Desigualdad triangular z w z wvii) z w z w1viii) z z

= =

=

=

+

+ + = +

+ +

=

Nota: La topologa de no es ms que la topologa usual de 2 , o sea la asociada a la distancia euclidea: z,w d(z,w) z w .= I.3. ARGUMENTO DE UN NMERO COMPLEJO La posicin del afijo (P) de un complejo z 0 en el plano, queda totalmente determinada prefijando su distancia z desde el origen de coordenadas hasta P, y al ngulo que forma el vector OP con el semieje positivo OX , tomando como sentido positivo el contrario al de avance de las agujas del reloj. El argumento de un nmero complejo z a bi 0= + es la medida de este ngulo. Lo denotaremos por Arg(z).

7 Tema 9: Nmeros complejos. Aplicaciones geomtricas

Luego el argumento de z queda determinado salvo un mltiplo de 2, es decir, Arg(z) { 2k : k }= + donde es cualquier ngulo que defina la posicin de z. Llamaremos argumento principal de z, y lo denotaremos por arg(z), al nico elemento de Argz que cumple la condicin arg(z) < . Se puede demostrar que si z * : - si zarg(z) Imz2arctg si z *\ | z | Rez

= +

Notar que para z=0 el argumento no est definido. Sea z=a+bi es un complejo distinto de cero. Puesto que a=|z|cos, y b=|z|sen con argumento principal de z, entonces z=|z|(cos+isen). Esta expresin recibe el nombre de expresin trigonomtrica. (Para cualquier elemento otro argumento de z que no se a el principal). El par (|z|,) o |z| recibe el nombre de forma polar del complejo. Sealemos algunas de las propiedades del conjunto de argumentos de un nmero complejo: 1) Si z,w * , entonces Arg(zw)=Arg(z)+Arg(w). Notar que esta igualdad no es cierta si en lugar de tomar todo el conjunto de argumentos, tomamos el argumento principal. Por ejemplo z=w=-1, se tiene que arg(z)=arg(w)= pero en cambio arg(zw)=0. 2) Arg(z/w)=Arg(z)-Arg(w) z,w * . 3)Arg(zn)=nArg(z)+2Z 4) Arg(z) Arg(z)=

8 Tema 9: Nmeros complejos. Aplicaciones geomtricas I.4. OPERACIONES CON NMEROS COMPLEJOS De las distintas formas de expresar un nmero complejo que he visto, a la hora de operar utilizar una u otra dependiendo de cual de ellas resulte ms sencillo el algoritmo de la operacin correspondiente. Suma Aunque la suma ya la vimos al comienzo del tema recordemsla: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i con a bi, c di+ + . Producto Aunque ya vimos tambin el producto de complejos estudiemos el caso en el que los complejos vienen expresados en forma polar. ( )

( )

'

'

r .s r(cos isen).s(cos' isen')rs coscos' sensen' i(sencos' cossen')rs cos( ') isen( ') rs += + + =

+ + =

+ + + =

Por tanto el producto de dos nmeros complejos, expresados en forma polar es otro nmero complejo cuyo mdulo es el producto de los mdulos y cuyo argumento es la suma de los argumentos Inverso Deduzcamos cul es el inverso de un complejo expresado en forma polar. Dado r, busco s' tal que r.s'=10 . Sabemos que ' ' 0r .s rs 1+= = . Entonces:

1 1rs 1, por lo que s= 1 entonces (r )r r ' 0, entonces '=-

= = + =

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