digilib.uns.ac.id/Solusi... · perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id commit to user ii SOLUSI PERSAMAAN SCHRODINGER UNTUK POTENSIAL NON SENTRAL KOMBINASI POTENSIAL COULOMB, ECKART

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

i

SOLUSI PERSAMAAN SCHRODINGER UNTUK POTENSIAL NON

SENTRAL KOMBINASI POTENSIAL COULOMB, ECKART PLUS

POTENSIAL PÖSCHL-TELLER I MENGGUNAKAN METODE

NIKIFOROV-UVAROV

TESIS

Untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan

untuk Mencapai Derajat Magister

Program Studi Ilmu Fisika

Oleh

JEFFRY HANDHIKA

S911008005

PROGRAM PASCASARJANA

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2012


commit to user

ii




NIKIFOROV-UVAROV

TESIS

Oleh:

JEFFRY HANDHIKA

S911008005

Komisi

Pembimbing

Nama Tanda Tangan Tanggal

Pembimbing I

Dra. Suparmi, MA. Ph.D

NIP. 19520915 197603 2 003

............................ .....................

Pembimbing

II

Drs. Cari, MA. Ph. D

NIP. 19610306 198503 1 002

............................... .......................

Telah dinyatakan memenuhi syarat

Pada tanggal..............................................2012

Ketua Program Studi Ilmu Fisika

Program Pasca Sarjana UNS

Drs. Cari, MA. M.Sc. Ph.D

NIP. 19610306 198503 1 002


commit to user

iii




NIKIFOROV-UVAROV

TESIS

Oleh:

JEFFRY HANDHIKA

S911008005

Tim Penguji

Jabatan : Nama Tanda tangan Tanggal

Ketua Drs. Cari, MA. M.Sc. Ph.D NIP. 19610306 198503 1 002

...................... .................

Sekertaris

Anggota Penguji I Dra. Suparmi, MA. Ph.D NIP. 19520915 197603 2 003

...................... .................

II Drs. Cari, MA. M.Sc. Ph.D NIP. 19610306 198503 1 002

...................... .................

Telah dipertahankan didepan penguji

Dinyatakan telah memenuhi syarat

Pada tanggal.................................2012

Direktur Program Pascasarjana

Prof. Dr. Ir. Ahmad Yunus, M.S.

NIP. 19610717 198601 1 001

Ketua Program Studi Ilmu Fisika

Drs. Cari, MA. M.Sc. Ph.D

NIP. 19610306 198503 1 002


commit to user

iv

PERNYATAAN ORISINILITAS DAN PUBLIKASI TESIS

Saya menyatakan dengan benar-benar bahwa

1. Tesis yang berjudul “Solusi Persamaan Schrodinger Untuk Potensial Non

Sentral Kombinasi Potensial Coulomb, Eckart Plus Potensial Pöschl-Teller I

Menggunakan Metode Nikiforov-Uvarov“ ini adalah karya penelitian saya

sendiri dan tidak terdapat karya ilmiyah yang pernah diajukan oleh orang lain

untuk memperoleh gelar akademik serta tidak terdapat karya atau pendapat yang

pernah ditulis atau diterbitkan oleh orang lain kecuali secara tertulis dikutip

dalam naskah ini dan disebutkan dalam sumber kutipan serta daftar pustaka.

Apabila ternyata di dalam naskah Tesis ini dapat dibuktikan terdapat unsur-unsur

jiplakan, maka saya bersedia Tesis beserta gelar MAGISTER saya dibatalkan

serta diperoses sesuai dengan peraturan perundang-undangan yang berlaku (UU

No. 20 Tahun 2003, pasal 25 ayat 2 dan pasal 70).

2. Publikasi sebagian atau keseluruhan isi Tesis pada jurnal atau forum ilmiah lain

harus seijin dan menyatakan tim pembimbing sebagai author dan PPs UNS

sebagai institusinya. Apabila dalam waktu sekurang-kurangnya satu semester (6

bulan sejak pengesahan Tesis) saya tidak melakukan publikasi dari sebagian atau

keseluruhan Tesis ini, maka Prodi Ilmu Fisika PPs UNS berhak

mempublikasikannya pada jurnal ilmiah yang diterbitkan oleh Prodi Ilmu Fisika

PPs UNS. Apabila saya melakukan pelanggaran ketentuan dari publikasi ini,

maka saya bersedia mendapatkan sanksi akademik yang berlaku.

Surakarta, ........................................2012

Jeffry Handhika

S911008005

.


commit to user

v

MOTTO

YAKIN USAHA SAMPAI

PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan kepada:

Almarhum Bapak dan Ibuk Tercinta.


commit to user

vi

ABSTRAK

Jeffry Handhika. S911008005. “Solusi Persamaan Schrodinger Untuk Potensial Non Sentral Hasil Kombinasi Potensial Coulomb, Eckart Plus Potensial Pöschl-Teller I Menggunakan Metode Nikiforov-Uvarov“ Tesis: Program Pascasarjana Ilmu Fisika Universitas Sebelas Maret Surakarta. Pembimbing (1). Dra. Suparmi, MA. Ph.D, (2) Drs. Cari, MA. M.Sc. Ph.D

Tujuan Penelitian ini adalah (1) menentukan tingkat energi dan fungsi gelombang dari sistem potensial Non sentral hasil kombinasi Coloumb plus Pochl-Teller I dan potensial Eckart Plus Pochl-Teller I (2) Visualisasi fungsi gelombang dan tingkat energi potensial non sentral hasil kombinasi hasil kombinasi Coloumb plus Pochl-Teller I dan potensial Eckart Plus Pochl-Teller I. Potensial non sentral merupakan model potensial yang digunakan untuk menerangkan fenomena gaya inter moleculer dan vibrasi molekul.

Penelitian ini merupakan studi literatur yang dilakukan di pascasarjana UNS mulai bulan September 2011-Juni 2012. Metode yang digunakan dalam menyelesaikan persamaan Schroodinger adalah metode Nikivorof-Uvarof (NU). Prinsip dasar metode NU adalah mengubah bentuk persamaan Schroodinger ke dalam bentuk persamaan hipergeometri khusus. Bentuk persamaan hipergeometri khusus tersebut kemudian diselesaikan dengan metode NU.

Hasil penelitian ini adalah (1) Spektrum Energi, fungsi gelombang diperoleh secara eksak. Fungsi gelombang bagian radial dan polar dinyatakan dalam bentuk polinomial Jacobi. Persamaan gelombang dan tingkat energi yang diperoleh dengan metode NU memberikan hasil yang sama dengan metode Hipergeometri. (2) Fungsi gelombang divisualisasikan menggunakan Software Matematica 8.0. Potensial non sentral hasil kombinasi potensial Coulomb plus Potensial Pöschl-Teller I menyebabkan amplitodo gelombang polar membesar dan energi ikat elektron mengecil. Potensial non sentral hasil kombinasi Eckart plus Potensial Pöschl-Teller I menyebabkan amplitude fungsi gelombang polar membesar dan energi ikat partikel mengecil. Kata kunci : Metode Nikiforov-Uvarov, Potensial Coloumb, Potensial Eckart,

Potensial Pöschl-Teller I non sentral.


commit to user

vii

ABSTRAK

Jeffry Handhika. S911008005. "Solution of Schrodinger Equation For Non-Central Potential combination of Coulomb, Eckart Plus Pöschl-Teller I Using the Nikiforov-Uvarov Method" Thesis: Physical Science Graduate Program of University Sebelas Maret Surakarta. Advisor (1). Dra. Suparmi, MA. Ph.D, (2) Drs. Find, MA. M.Sc. Ph.D

The purpose of this research were to determine (1) the energy levels and wave functions for the system of non-central potential plus the combination Coloumb Pochl-Teller I and Eckart potential Pochl Plus-Teller I (2) Visualization of the wave functions and energy levels of non-central potential combination of the results of the combination Coloumb plus Pochl-Teller I and Eckart potential Pochl Plus-Teller I. Non-central potential is a potential model used to explain the phenomenon of inter moleculer and molecular vibrations.

This research was literature study at pascasarjana UNS conducted from September 2011-June 2012. The method used to solving Schroodinger equations was the Nikivorof -Uvarof (NU) Method. The basic principle NU method was basebd on change of the Schroodinger equation form of type function hypergeometric. Special form of the hipergeometric equation solved by the NU method.

The results of this reaserch were (1) Energy spectra and wave functions obtained were exact. Wave function of the radial and polar expressed in terms of Jacobi polynomials. Wave equation and the energy levels obtained by the NU method gave the same results with the hypergeometric method. (2) wave function was visualized using Matematica 8.0. Potential Non-central fromed by combination of Colombic and Pöschl-Teller I causes polar wave amplitode enlarged and electron binding energy decreases. Non-central potential fromed by combination of Eckart and Pöschl-Teller I potential causes polar amplitude wave functions enlarged and binding energy of the particles decreases. Key words: Shroodinger Equation, Nikiforov-Uvarov method, Coloumb Potential, Potential Eckart, Pöschl-Teller I potential non-central


commit to user

viii

KATA PENGANTAR

Alhamdulillaahirobbil’alamiin, syukur kepada Allah SWT yang telah

melimpahkan rahmat dan hidayahnya sehingga penulis dapat menyelesaikan

penulisan laporan penelitian dengan judul ”Solusi Persamaan Schrodinger Untuk

Potensial Non Sentral Kombinasi Potensial Coulomb, Eckart Plus Potensial

Pöschl-Teller I Menggunakan Metode Nikiforov-Uvarov”.

Penulis menyadari bahwa dalam menyelesaikan penulisan laporan penelitian

ini penulis mengalami berbagai kendala yang tidak mudah dipecahkan karena

keterbatasan dan kemampuan penulis. Dan penulis menyadari bahwa dalam

penelitian dan penyusunan karya ini tidak bisa lepas dari bantuan berbagai pihak.

Dengan rasa tulus ikhlas penulis mengucapkan terima kasih serta penghargaan yang

setinggi-tingginya kepada:

1. Prof. Dr. Ir. Ahmad Yunus, M.S, selaku Direktur Pascasarjana Universitas

Sebelas Maret yang telah berkenan memberikan bantuan berupa segala

sarana dan fasilitas dalam menempuh pendidikan pascasarjana

2. Drs. Cari, M.A, M.Sc, Ph.D selaku Ketua Program Studi Ilmu Fisika

Pascasarjan Universitas Sebelas Maret.

3. Ibu Dra. Suparmi, M.A, Ph.D selaku pembimbing I yang telah memberikan

motivasi, bimbingan, arahan, ide dalam penyusunan laporan penelitian ini

4. Teman-teman S2 Ilmu Fisika, Bidang Teori dan Komputasi.

Dalam penyusunan Thesis ini, penulis menyadari bahwa masih terdapat

banyak kekurangan baik dalam isi maupun cara penyajian materi. Oleh karena itu,

penulis mengharapkan kritik dan saran guna perbaikan di masa datang. Semoga

laporan penelitian ini dapat memberi manfaat bagi penulis khususnya dan pembaca

pada umumnya.

Surakarta, Agustus 2012

Penulis


commit to user

ABSTRAK

Jeffry Handhika. S911008005. “SolusiPersamaan Schrodinger UntukPotensial Non SentralHasilKombinasiPotensial Coulomb, Eckart Plus PotensialPöschl-Teller I MenggunakanMetodeNikiforov-Uvarov“ Tesis: Program PascasarjanaIlmuFisikaUniversitasSebelasMaret Surakarta. Pembimbing (1).Dra.Suparmi, MA. Ph.D, (2) Drs. Cari, MA. M.Sc. Ph.D

TujuanPenelitianiniadalah (1) menentukantingkatenergidanfungsigelombangdarisistempotensial Non sentralhasilkombinasiColoumb plus Pochl-Teller I danpotensialEckart Plus Pochl-Teller I (2) Visualisasifungsigelombangdantingkatenergipotensial non sentralhasilkombinasihasilkombinasiColoumb plus Pochl-Teller I danpotensialEckart Plus Pochl-Teller I. Potensial non sentralmerupakan model potensial yang digunakanuntukmenerangkanfenomenagayainter moleculerdanvibrasimolekul.

Penelitianinimerupakanstudiliteratur yang dilakukan di pascasarjana UNS mulaibulan September2011-Juni 2012.Metode yang digunakandalammenyelesaikanpersamaanSchroodingeradalahmetodeNikivorof-Uvarof (NU).Prinsipdasarmetode NU adalahmengubahbentukpersamaanSchroodingerkedalambentukpersamaanhipergeometrikhusus.Bentukpersamaanhipergeometrikhusustersebutkemudiandiselesaikandenganmetode NU.

Hasilpenelitianiniadalah (1) SpektrumEnergi, fungsigelombangdiperolehsecaraeksak.Fungsigelombangbagian radial dan polar dinyatakandalambentukpolinomial Jacobi.Persamaangelombangdantingkatenergi yang diperolehdenganmetode NU memberikanhasil yang samadenganmetodeHipergeometri. (2) Fungsigelombangdivisualisasikanmenggunakan Software Matematica 8.0. Potensial non sentralhasilkombinasipotensial Coulomb plus PotensialPöschl-Teller I menyebabkanamplitodogelombang polar membesardanenergiikatelektronmengecil.Potensial non sentralhasilkombinasiEckart plus PotensialPöschl-Teller I menyebabkan amplitude fungsigelombang polar membesardanenergiikatpartikelmengecil. Kata kunci :MetodeNikiforov-Uvarov, PotensialColoumb, PotensialEckart,

PotensialPöschl-Teller I non sentral.


commit to user

ABSTRAK

Jeffry Handhika. S911008005. "Solution of Schrodinger Equation For Non-Central Potential combination of Coulomb, Eckart Plus Pöschl-Teller I Using the Nikiforov-Uvarov Method" Thesis: Physical Science Graduate Program of University SebelasMaret Surakarta. Advisor (1).Dra.Suparmi, MA. Ph.D, (2) Drs. Find, MA. M.Sc. Ph.D

The purpose of this research were to determine (1) the energy levels and wave functions for the system of non-central potential plus the combination ColoumbPochl-Teller I and Eckart potential Pochl Plus-Teller I (2) Visualization of the wave functions and energy levels of non-central potential combination of the results of the combination Coloumb plus Pochl-Teller I and Eckart potential Pochl Plus-Teller I. Non-central potential is a potential model used to explain the phenomenon of inter moleculer and molecular vibrations.

This research was literature study at pascasarjana UNS conducted from September 2011-June 2012. The method used to solving Schroodinger equations was the Nikivorof -Uvarof (NU) Method. The basic principle NU method was basebd on change of the Schroodinger equation form of type functionhypergeometric. Special form of the hipergeometric equation solved by the NU method.

The results of this reaserch were (1) Energy spectra and wave functions obtained were exact. Wave function of the radial and polar expressed in terms of Jacobi polynomials. Wave equation and the energy levels obtained by the NU method gave the same results with the hypergeometric method. (2) wave function was visualized using Matematica8.0. Potential Non-central fromed by combination of ColombicandPöschl-Teller I causes polar wave amplitode enlarged and electron binding energy decreases. Non-central potentialfromed bycombination of EckartandPöschl-Teller I potential causes polar amplitude wave functions enlarged and binding energy of the particles decreases. Key words: Shroodinger Equation, Nikiforov-Uvarov method, Coloumb Potential, Potential Eckart,Pöschl-Teller I potential non-central


commit to user

1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

“Newtonian mechanics and Maxwell's theory of the electromagnetic (EM)

field were the pillars of physics until the end of the nineteenth centur” (Galindo

and Pascual:1990). Fisika yang berkembang sampai akhir abad ke 19 dikenal

sebagai fisika klasik dan mempunyai dua cabang utama yaitu mekanika klasik

Newtonian dan teori medan elektromagnetik. Mekanika klasik dicirikan oleh

kehadiran partikel sebagai sesuatu yang terkurung di dalam ruang. Istilah

terkurung secara sederhana dapat dikatakan adanya batas yang jelas antara materi

dengan lingkungan di luar dirinya. Hasil eksperimen menunjukkan bahwa

“konsep-konsep fisika yang berdasarkan hukum-hukum Newton tidak bisa

digunakan untuk menjelaskan hasil eksperimen sehingga diperlukan konsep baru

yang tidak sama dengan fisika klasik” (Beiser, 1992).

Pada tahun 1925-1926, E. Schrödinger menyatakan bahwa “perilaku

elektron, termasuk tingkat spektrum energi elektron yang diskrit dalam atom

mengikuti suatu persamaan diferensial untuk gelombang” (Greiner, 1989).

Mekanika kuantum sangat berguna untuk menjelaskan perilaku atom dan partikel

subatomik seperti proton, neutron dan elektron yang tidak mematuhi hukum-

hukum fisika klasik. Atom biasanya digambarkan sebagai sebuah sistem di mana

elektron (yang bermuatan listrik negatif) beredar seputar nukleus atom (yang

bermuatan listrik positif). Menurut mekanika kuantum, ketika sebuah elektron


commit to user

2

berpindah dari tingkat energi yang lebih tinggi (misalnya dari n=2 atau kulit atom

ke-2 ) ke tingkat energi yang lebih rendah (misalnya n=1 atau kulit atom tingkat

ke-1), energi berupa sebuah partikel cahaya yang disebut foton, dilepaskan.

Persamaan diferensial tersebut kemudian dikenal dengan persamaan Schrödinger

(PS). PS sekarang menjadi tulang punggung dalam memahami fenomena kuantum

secara konsepsional dan matematis. Spektrum energi dan fungsi gelombang suatu

partikel dapat ditentukan dengan menyelesaikan PS. “Spektrum energi dan fungsi

gelombang digunakan untuk mendiskripsikan perilaku sekelompok partikel”

(Griffith, 1994).

PS untuk sistem partikel yang dipengaruhi oleh potensial dimana spektrum

energi potensialnya merupakan fungsi posisi biasanya diselesaikan dengan cara

mereduksi PS menjadi persamaan diferensial orde dua fungsi khusus seperti

fungsi Hermite, Legendre, Laguerre, hypergeometric atau confluent

hypergeometric dengan substitusi variabel yang sesuai. Namun diantara fungsi-

fungsi tersebut, “hanya persamaan diferensial fungsi Hypergeometric atau

Confluent Hypergeometric (H-CH) yang mempunyai bentuk penyelesaian paling

umum karena persamaan diferensial fungsi yang lain dapat direduksi menjadi

persamaan diferensial H-CH”. (Suparmi, 1994). Penyelesaian PS secara eksak

untuk sistem potensial tertentu mempunyai peranan yang penting dalam Mekanika

Kuantum, karena dapat memberikan informasi tentang spektrum energi dan fungsi

gelombang sistem yang terkait. Tidak semua bentuk dari PS memenuhi kriteria

sebagai acuan pemecahan masalah, hanya beberapa potensial yang mungkin bisa

dipecahkan secara eksak. Potensial-potensial yang dapat dipecahkan adalah suatu


commit to user

3

permasalahan yang menarik dalam mekanika kuantum itu sendiri. Adapun

potensial-potensial yang memiliki fungsi gelombang yang ternormalisasi dan

memiliki spektrum tingkat energi adalah osilator harmonik, Coloumb, osilator

isotropik, Morse, Pöschl–Teller, Rosen Morse, simetrical top. Bentuk-bentuk

potensial tersebut secara umum digambarkan dalam bentuk fungsi-fungsi aljabar

yang telah dikenal seperti polynomial, ekponensial, atau besaran trigonometri.

Potensial – potensial tersebut dianalisis dalam bentuk spektrum energi dan fungsi

gelombangnya (Dehesa and Sokorin, 2005).

Pengkajian analitik tentang potensial sentral telah banyak dilakukan,

Pengkajian yang lebih komplek dan spesifik dari mekanika kuantum adalah

potensial non central. Potensial non-central secara teoritik sangat berguna dalam

menjelaskan tingkat energi dan bentuk gelombang dari interaksi antara molekul

ring-shaped dan interkasi antara inti berpasangan yang terganggu (terdistorsi).

Secara umum potensial non sentral diperoleh dengan mengkombinasikan antara

potensial yang merupakan fungsi radial dan dan sudut yang dapat dipisahkan.

Spektrum energi dan fungsi gelombang dari potensial yang sudah banyak diteliti

ditentukan dengan berbagai cara, seperti metode faktorisasi (J. Sadeghi, B.

Pourhassan:2008), Operator (Ikhdair, S. M :2011), supersimetri mekanika kuantum

(Suparmi:1994), dan path integral (Grosche, C:2005) yang masih terus

dikembangkan sampai saat ini. Terdapat beberapa potensial yang sudah

diselesaikan dengan Metode Nikivorof Uvarof (NU), PS untuk potensial Pöschl–

Teller II (Hiperbolik) dan Modifikasi Kratzer non-sentral. Berdasarkan hasil

penelitian analitik (S. Bakkeshizadeh, V. Vahidi:2012), disimpulkan bahwa Metode


commit to user

4

NU sangat cocok untuk digunakan menentukan solusi dalam menyelesaikan PS

untuk potensial non sentral. Metode NU mereduksi PS bergantung waktu menjadi

persamaan umum hipergeometri. Energi Nilai Eigen dan fungsi eigen dihitung

secara eksak. Pada penelitian ini kami menggunakan potensial Coloumb dan

Eckart dengan faktor sentrifugal yang diganggu dengan potensial kuadrat Pöschl–

Teller I. Kombinasi potensial Coloumb, Eckart dengan potensial Pöschl–Teller I

menghasilkan potensial non-sentral.

. Hasil fungsi gelombang dan probabilitas potensial Non Central yang

dijabarkan dengan metode NU dan digambarkan dalam bentuk simulasi

komputasi. Aplikasi fisika kuantum dalam potensial non-sentral dapat digunakan

sebagai dasar penelitian fisika material dalam mengkombinasikan jenis komposisi

bahan. Setiap bahan pasti mengandung potensial tertentu, ketika dua bahan

dikombinasikan, maka akan memberikan karakeristik bahan baru dan juga

potensial baru. Dengan mengetahui karakteristik potensial masing-masing bahan

dan karakteristik potensial setelah dikombinasikan secara teoritik, tingkat energi

dari bahan tersebut dapat dihitung, sehingga proses pengkombinasian bahan tidak

terkesan “try and error”.

Berdasarkan uraian diatas, kami mengambil judul penelitian Solusi

Persamaan Schrödinger untuk Potensial non sentral hasil kombinasi Potensial

Coloumb, Eckart plus Potensial Pöschl–Teller I non-sentral dengan Menggunakan

Metode Nikivorof-Uvarov.

.


commit to user

5

B. Perumusan Masalah

Berdasarkan uraian dari latar belakang di atas, maka dapat dituliskan tiga

perumusan masalah sebagai berikut:

1. Bagaimana bentuk penyelesaian persamaan energi dan fungsi gelombang

potensial non sentral hasil kombinasi potensial Coloumb plus Pöschl–Teller I

dengan menggunakan metode NU?

2. Bagaimana bentuk penyelesaian persamaan energi dan fungsi gelombang

potensial non sentral hasil kombinasi potensial Eckart dengan faktor

sentrifugal plus Pöschl–Teller I non-sentral dengan menggunakan metode

NU?

3. Bagaimana bentuk visualisasi gelombang bagian sudut dalam 2 dimensi dan 3

dimensi ?

C. Tujuan Penelitian

Terdapat tiga tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini, yaitu untuk

mengetahui:

1. Bentuk penyelesaian persamaan energi dan fungsi gelombang potensial non

sentral hasil kombinasi Coloumb plus Pöschl–Teller I non-sentral dengan

menggunakan metode NU.

2. Bentuk penyelesaian persamaan energi dan fungsi gelombang potensial Eckart

dengan faktor sentrifugal plus Pöschl–Teller I non-sentral dengan


3. Bentuk visualisasi fungsi gelombang sudut 2 dimensi dan 3dimensi.


commit to user

6

D. Batasan Masalah

Agar pembahasan masalah dalam penelitian ini lebih terarah maka peneliti

mengajukan tiga pembatasan masalah sebagai berikut :

1. Potensial yang dianalisis adalah Potensial non sentral hasil kombinasi

potensial Coloumb, Eckart dengan faktor sentrifugal plus Potensial Pöschl–

Teller I non-sentral.

2. Software yang digunakan adalah Matematica 8.0

3. Analisis simetri gelombang tidak dikaji, pengkajian ditekankan pada penagruh

parameter terhadap fungsi gelombang dan energi.

4. Analisis gangguan dikaji hanya pada pengaruh parameter.

E. Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah:

1. Manfaat secara teori

a. Potensial non sentral hasil kombinasi potensial Coloumb, Eckart dengan

faktor sentrifugal plus Potensial Pöschl–Teller I dapat diselesaikan


b. Memberikan informasi dampak parameter terhadap fungsi gelombang dan

energi.

c. Memberikan Informasi bentuk dan visualisasi persamaan gelombang dan

energi dalam koordinat tuga dimensi (Bola) maupun dua dimensi (Polar).

d. Menjelaskan bentuk-bentuk potensial secara visual beserta dampak

parameternya dengan menggunakan manipulasi.


commit to user

7

2. Manfaat bagi Penulis

a. Memberikan pengetahuan baru tentang potensial non sentral

b. Menambah khasanah keilmuan di bidang Fisika Teori,

c. Memperkuat pemahaman mekanika kuantum secara teoritis maupun

praktis.


commit to user

8

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Persamaan Schrödinger (PS) Secara Umum

Pendekatan mekanika kuantum memiliki permasalahan yang berbeda

dengan fisika klasik. Salah satu permasalahan dalam mekanika kuantum adalah

“menyelesaikan bentuk persamaan gelombang partikel dengan menyelesaikan PS”

(Griffith: 1995). PS dalam Mekanika Kuantum adalah persamaan energi total

seperti yang dinyatakan dalam Mekanika Klasik tetapi variabel-variabel dalam

Mekanika Klasik diubah menjadi operator dalam Mekanika Kuantum. Fisikawan

Erwin Schrödinger pada tahun 1925, menjelaskan hubungan ruang dan waktu

pada sistem mekanika kuantum. Persamaan ini merupakan hal penting dalam teori

mekanika kuantum. Hubungan antara variabel dalam Mekanika Klasik dengan

operator dalam Mekanika Kuantum memberikan prinsip korespondensi antara

Klasik dengan Kuantum. Korespondensi antara energi E, momentum p

dan

oprator deferensial:

tiE

(2.1a)

ip (2.1b)

Bentuk korespondensi ini nantinya yang digunakan untuk membangun

persamaan gerak kuantum berangkat dari bentuk energi klasik. Selanjutnya, tinjau

http://id.wikipedia.org/wiki/Fisikawan

http://id.wikipedia.org/wiki/Erwin_Schr%C3%B6dinger

http://id.wikipedia.org/wiki/1925

http://id.wikipedia.org/wiki/Waktu

http://id.wikipedia.org/wiki/Mekanika_kuantum

http://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan


commit to user

9

partikel yang mengalami gaya F

yang dapat dituliskan sebagai gradien dari

energi potensial trV ,

trVF ,

(2.2)

Karena itu, energi total partikel E dapat diungkapkan sebagai:

trVm

pE ,

2

2 (2.3)

Berdasarkan korespondensi (2.1) persamaan gerak kuantum partikel

didalam potensial trV ,

diberikan oleh

trtrVtrmt

i ,,,2

22

(2.4a)

Persamaan. (2.12) dikenal sebagai persamaan gelombang Scrodinger untuk

partikel didalam potensial trV ,

. Dalam banyak hal, sistem fisis dapat didekati

dengan model satu dimensi. Persamaan Scrodinger satu dimensi berbentuk

txtxV

x

tx

mti ,,

,

2 2

22

(2.4b)

Persamaan gelombang merupakan kuantitas teoritis dasar dalam mekanika

kuantum dan mendiskripsikan kemungkinan suatu kejadian. Solusi persamaan

gelombang dapat diperoleh dengan menggunakan PS. (Griffiths, D. J: 1995).

Mengungkapkan bahwa “Diperlukan intepretasi statistik born fungsi gelombang

berupa persamaan rapat probabilitas untuk menyatakan besar kemungkinan

partikel yang didiskripsikan oleh tx, yang berada diantara x dan x+dt”.

Dimensi rapat probalilitas dapat dinyatakan sebagai:

( ) | tx, | (2.5a)


commit to user

10

Dalam koordinat tiga dimensi rapat probabilitas dapat dinyatakan sebagai:

( ) | tx, | (2.5b)

| | dimana merupakan conjugate .

A. Potensial Coulomb, Eckart dan Pöschl-Teller I

Dalam penelitian ini, peneliti menggunakan potensial Coloumb dan Eckart

sebagai potensial sentral, sedangkan Pöschl-Teller I merupakan potensial

pengganggu yang menyebabkan potensial sentral termodifikasi menjadi non-

sentral.

1. Potensial Coloumb

Potensial Coulomb menggambarkan interaksi berpasangan antara atom

bermuatan. Interaksi dapat terjadi antara molekul air akibat momen dipol

permanen. Dua partikel bermuatan berlawanan akan saling menarik, sedangkan

jika dua partikel bermuatan sama akan saling tolak-menolak. (Hendrik F.

Hameka:2004) menyebutkan bahwa “The Coulomb attraction between the proton

and the electron is represented by a potential function”. Interaksi proton dan

electron dapat direpresentasikan dalam bentuk fungsi potensial. Potensial

Coloumb dipengaruhi oleh jarak antar muatan. Bentuk potensial Coloumb dapat

dilihat pada persamaan 2.6.

(2.6)

Dengan memanipulasi jarak antar muatan (r, ), maka potensial

Coloumb dapat divisualisasikan dalam bentuk 2 dimensi maupun 3 dimensi.

Bentuk visualisasi potensial Coloumb dapat dilihat pada gambar 2. 1.


commit to user

11

4 2 2 4

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5

z z

r

r

Gambar 2.1. a. Potensial Coloumb 2 D Gambar 2.1. b. Potensial Coloumb 3 D

(Ballentine, E. L.:2000:265) mengungkapkan bahwa “the Coulomb

potential decays toward zero very slowly at large distances, and we shall see that

this is responsible for some qualitatively different features”. Potensial Coloumb

secara perlahan-lahan bergerak menuju nol seiring dengan semakin besarnya jarak

antara muatannya. Berdasarkan hasil simulasi, semakin bersar nilai kedua muatan,

maka semakin dalam potensialnya, dengan asumsi nilai r konstan. .( Jean-Louis

Basdevant and Jean Dalibard:2002) ”The Coulomb potential has an infinite range,

as it does in classical mechanics” pada gambar 2.1, terlihat bahwa potensial

Coloumb memiliki jangkauan yang tidak terbatas, seiring dengan bertambahnya

jarak antar muatan. Bentuk modifikasi dari potensial Coloumb adalah potensial

Yukawa. Potensial Yukawa juga disebut Screened Coloumb Potential. Bentuk

persamaan potensial Yukawa dapat dilihat pada persamaan (2.7)

(2.7)

Bentuk potensial persamaan (2.7) dapat divisualisasikan dengan

memanipulasi nilai r dan m, dengan nilai . Hasil visualisasi dapat dilihat

pada gambar 2.2.


commit to user

12

(Sumber: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Yukawa_m_compare.svg)

Gambar 2.2 Potensial Yukawa

Jika m=0, maka potensial Yukawa akan kembali ke bentuk potensial Coloumb

seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.2

2. Potensial Pöschl-Teller (PT) I

Bentuk persamaan potensial PT I dapat dinyatakan dalam:

( )

( ( )

( )

) (2.8)

Persamaan (2.1) dapat divisualisasikan dengan memanipulasi nilai r, parameter

dan , dan , >1. Visualisasi potensial PT I dapat dilihat pada gambar

2.3.

z

y

Gambar 2.3. Bentuk Potensial PT I 3 Dimensi


commit to user

13

Berdasarkan fungsinya, potensial PT I merupakan gabungan fungsi

Cosecant dan Secant. “The trigonometric Pöschl-Teller (PT) potential describes

the diatomic molecular vibration” (Wikipedia:2012). PT I sering muncul pada

saat molekul diatomik mengalami vibrasi. .

3. Potensial Eckart

Potential Eckart merupakan potensial yang sering diaplikasikan dalam

vibrasi molekul. Bentuk persamaan potensial Eckart dapat dilihat pada persamaan

(2.9)

( )

( ) (2.9)

Bentuk persamaan (2.9) dapat divisualisasikan Dalam koordinat dua dimensi

maupun tiga dimensi. Visualisasi potensial Eckart dapat dilihat pada gambar 2.4.

V(x)

Gambar 2.4. Potensial Eckart

Potensial ini diselidiki oleh C. Eckart pada tahun 1930. Pada gambar 2.4,

potensial tersebut simetri pada sumbu, dan nilai maksimum Vo pada x = 0. Fungsi

Vo juga mendekati nol pada x mendekati takhingga. Modifikasi bentuk potensial

Ekckart yang akan dibahas adalah bentuk potensial Eckart dengan faktor

sentrifugal. “Potensial Eckart dapat diaplikasiakan untuk menjelaskan vibrasi

molekul dan gaya antarmolekul (Cari and Suparmi:2012)”


commit to user

14

Pengembangan Bentuk persamaan dan gambar Potensial Eckart dapat dilihat pada

persamaan (2.10).

(

( )

) (2.10)

Bentuk potensial Eckart dengan centrifugal term dapat dilihat pada gambar 2.5.

Gambar 2.5. Bentuk Modifikasi Potensial Eckart

B. Non Central potensial

Gaya sentral merupakan gaya yang bekerja pada suatu sistem inersia.

Potensial sentral muncul pada jarak anatara kedua partikel. Potensial sentral

hanya memberikan pengaruh terhadap gerak arah radial dan bersifat konservatif,

gaya bekerja terletak pada garis hubung antar kedua partikel. Jika gaya sentral

yang bekerja di seluruh lintasan diganggu oleh gaya luar yang bekerja pada

koordinat polar dan zimuth, maka potensial yang timbul adalah potensial non-

sentral. Potensial non sentral memberikan efek terhadap arah polar dan radial,

bersifat non konserfatif, sehingga penjelasan terhadap vibrasi molekul lebih

kompleks. Secara umum potensial non sentral diperoleh dengan

mengkombinasikan antara potensial yang merupakan fungsi radial. dengan

potensial yang merupakan fungsi radial dan sudut yang dapat dipisahkan”


commit to user

15

(Suparmi, Cari, Jeffry H:2012). Berbeda dengan potensial central, pada potensial

non sentral kecepatan paralel tidak tegak lurus pada garis hubung kedua benda,

namun masih bekerja gaya aksi rekasi yang bekerja pada garis hubung kedua

benda. Pada potensial non sentral terjadi perubahan lintasan.

(Arda and Sever :2012) mengungkapkan bahwa “Potensial non sentral

dapat menjelaskan tingkat energi molekul berbentuk ring shaped (seperti benzene)

dan interaksi antara inti berpasangan yang terganggu telah memberikan banyak

aplikasi di bidang fisika”. Potensial non -central secara teoritik sangat berguna

dalam menjelaskan tingkat energi dan bentuk gelombang dari interaksi antara

molekul ring-shaped dan interkasi antara inti berpasangan yang terganggu

(terdistorsi).

(Goldstein, et al:2000) “in the problem of a particle moving in an ex-ternal

central force field (V = V(r)), there is no constraint involved, but it is clearly more

convenient to use spherical polar coordinates than Cartesian coordi-nates. Do

not, however, think of generalized coordinates in terms of conventional

orthogonal position coordinates.” Partikel yang bergerak dalam potensial non-

sentral lebih mudah diselesaikan dengan menggunakan koordinat bola. Bentuk

potensial non-central dapat dilihat pada persamaan (2.11)

( ) ( ) ( )

(2.11)

Potensial pada persamaan (2.12) dapat dimodifikasi menjadi

( ) (

)

(2.12)


commit to user

16

bentuk potensial (2.11) dapat divisualisasikan dengan memvariasi nilai r,

dengan . Visualisasi persamaan (2.11) dapat dilihat pada gambar 2.6b.

.

z z

y y

Gambar 2.6a Potensial Sentral Gambar 2.6b Potensial Non Sentral

Perbedaan signifikan berdasarkan visualisasi gambar 2.6 antara potensial

sentral dan non sentral adalah bentuk potensial central terpusat pada satu sumur,

sedangkan non central memiliki lebih dari satu sumur dan simetris. Berdasarkan

gambar potensial terlihat bahwa potensial pengganggu (penyebab potensial

menjadi non sentral) lebih dominan dibandingakan potensial sentral.

C. Metode-metode penyelesaian PS

Spektrum energi dan fungsi gelombang dari potensial yang sudah banyak

diteliti ditentukan dengan berbagai cara, seperti metode faktorisasi, Operator,

supersimetri mekanika kuantum NU dan path integral yang terus dikembangkan.

Terdapat beberapa potensial yang sudah diselesaikan dengan Metode NU,

persamaan Schrodinger untuk potensial Posch Teller II (Hyperbolik) dan

Modifikasi Kratzer Non Central. Metode NU sangat cocok digunakan

menentukan solusi dalam menyelesaikan persamaan Schroodinger untuk potensial

non sentral. Berikut kami paparkan dua metode yang mewakili penyelesaian PS


commit to user

17

secara eksak maupun pendekatan dalam menentukan tingkat energi dan

persamaan gelombang berserta aplikasinya.

1. Metode Hipergeometri

PS dapat diselesaikan dengan mereduksi kedalam persamaan

hipergeometri. Persamaan hipergeometri mempunyai bentuk penyelesaian paling

umum karena persamaan diferensial suatu fungsi dapat direduksi kedalam fungsi

hipergeometri (Bromley, 1989). Persamaan diferensial orde dua fungsi

hipergeometri dapat dinyatakan sebagai berikut.

( ) ( )

( ( ) ) ( )

( ) (2.13)

Persamaan (2.13) mempunyai dua buah titik regular singular yaitu di titik

dan (Suparmi, 2011) karena penyelesaian di titik lebih

sederhana dari penyelesaian di titik . Mula-mula dipilih penyelesaian di

sekitar titik . Persamaan (2.13) dapat diselesaikan dengan bentuk deret

disekitar titik

( ) ∑ (2.14)

Persamaan (2.14) dimasukkan ke persamaan (2.13) akan membentuk

( ) (2.15a)

( ( ))

( ( ) )( ( )

( ) ( ) ) (2.15b)

( )

( )( ( ) ( ) ( )(

) ) (2.25c)


commit to user

18

Persamaan (2.15a), (2.15b) dan (2.15c) dijumlahkan maka akan diperoleh

persamaan (2.15d)

( ( ) ) ( ( ) ( )

( ) ( ) ) ( ( ) ( )(

) ( )( ) ( ) ) (2.15d)

Persamaan (2.15d) merupakan persamaan identitas, koefisien dari masing-

masing suku x pangkat tertentu harus dinolkan. Koefisien pada suku

dinolkan maka akan menjadi

( ( ) ) atau ( ( )) . Koefisien pada suku

adalah index equation yang memberikan harga atau . Koefisien

pada suku dinolkan akan menjadi

( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ) (2.16a)

Setelah koefisien pada suku dinolkan akan didapatkan konstanta

( )( )

( )( ) (2.16b)

Koefisien pada suku dinolkan maka akan didapatkan konstanta

( ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ) (2.9c)

( )( )( )( )

( )( )( )( ) (2.16d)

Persamaan (2.16b) dan (2.16d) dapat digunakan untuk menentukan koefisien dari

suku ke berikut ini

( )( ) ( )( )( ) ( )

( )( ) ( ) (2.16e)

Bentuk penyelesaian persamaan diferensial hipergeometri secara umum adalah

( ) 2F1( ) =∑

(2.17)


commit to user

19

Dimana ( ) ( )( )( ) ( ) dan ( ) (2.18)

Penyelesaian di atas mempunyai harga bila semua penyebut dari deret tersebut

tidak nol, maka dimana

Apabila atau (2.19)

maka bentuk penyelesaian yang berupa deret menjadi terputus sehingga diperoleh

penyelesaian yang berhingga yaitu polynomial pangkat . Dari kondisi yang

dinyatakan pada persamaan (2.14) dapat diperoleh tingkat spektrum energi sistem.

a. Aplikasi PD Hypergeometry untuk PD fungsi Legendre dan Legendre

Terasosiasi

1) Persamaan Diferensial Fungsi Legendre

Contoh aplikasi dari penyelesaian PD Hypergeomtrik adalah penyelesaian

Persamaan diferensial fungsi Legendre

0)1(2)(

)1(2

22 Pnn

dx

dPx

dx

xPdx

(2.20)

Bila x pada pers (2.13) diubah menjadi (1-2x) maka P(x) menjadi P(1-2x),

dx menjadi d(1-2x)=-2dx dan persamaan (2.13) dapat ditulis menjadi

0)1(2

)21(24

)1(42

2

Pnndx

dPx

dx

Pdxx

atau

0)1()21()(

)1(2

2

Pnndx

dPx

dx

xPdxx

(2.21)

Dengan membandingkan antara bentuk pers (2.13) dengan pers (2.21) maka

diperoleh

c=1; a+b =1; a = -n dan b=n+1 (2.22)


commit to user

20

Bila persaman (2.19) dimasukkan ke dalam persamaan (2.17) maka

diperoleh penyelesaian PD fungsi Legendre dalam bentuk penyelesaian PD

hypergeometri yaitu

);1;1,()21( 12 xnnFxPn

(2.23)

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa persamaan diferensial fungsi

Legendre dapat diubah menjadi diferensial fungsi hypergeometri dengan

pengubahan variabel.

2) Persaman Diferensial Fungsi Legendre Terasosiasi

Persamaan Schrodinger atom hidrogen bagian sudut yang merupakan

fungsi sudut disebut persamaan polar ini membentuk persamaan diferensial

orde dua fungsi Legendre terasosiasi. Persamaan polar dinyatakan pada

persamaan (2.24).

(

) (

) (2.24)

Penyelesaian persamaan (2.24) dapat diselesaikan dengan berbagai cara

yaitu penyelesaian secara langsung menggunakan deret atau polynomial Legendre

terasosiasi yang dijabarkan dari polynomial Legendre, operator supersimetri,

persamaan diferensial fungsi hypergeometri, persamaan diferensial tipe

hypergeometry yang dikembangkan oleh Nikiforov-Uvarov, dan oleh

Romanovski. Pada bagian ini kita akan menyelesaiakannya menggunakan

persamaan diferensial fungsi hypergeometri. Untuk menyederhanakan

penyelesaian pers (2.24), pertama kita ubah persamaan (2.24) menjadi persamaan

PPH dengan substitusi variabel sebagai berikut

dan √ ( ) (2.25)


commit to user

21

sehingga diperoleh

√ ( )

(2.26)

Dengan memasukkan persamaan-persamaan (2.25) dan (2.26) ke dalam

persamaan (2.24) diperoleh

√ ( )√ ( )

( √ ( )(√ ( ))

) (

( ))

atau

( )

( )

(

( )) (2.27)

Karena

( )

maka persamaan (2.27) dapat dituliskan kembali sebagai

( )

( )

(

( )) (2.28)

atau

( )

( )

(

( )

( )

( ) ) (2.29)

Persamaan perantara persamaan hypergeometri (PPPH) pada persamaan

(2.29) mempunyai dua buah titik regular singular yaitu z=1 dan z=0. Untuk daerah

di sekitar titik z=0 , suku

( ) dan

( ) diabaikan terhadap

( ) maka

persamaan (2.29) menjadi

( )

( )

(2.30)

Penyelesaian pendekatan di titik z=0 yang merupakan titik regular singular adalah

( ) ∑ (2.31)

Bila persamaan (2.31) dimasukkan ke dalam persamaan (2.30) maka

{ }

( )

( ){ ( ) ( ) ( ) }

( )

( ){ ( ) ( ) ( )( ) }

+


commit to user

22

0= { ( )

} { ( ) ( )

( ) } (2.32)

Persamaan (2.32) merupakan polynomial dalam z maka koefisien dari setiap z

pangkat tertentu harus nol. Bila koefisien dari z pangkat terendah di nolkan maka

diperoleh persamaan indeks

( )

sehingga diperoleh

atau

. Karena s merupakan pangkat dari z maka

harga s yang dipilih adalah

karena untuk penyelesaian dengan harga

s negatif menyebabkan fungsi gelombang menjadi tak terhingga sehingga tidak

memenuhi syarat. Jadi ( )

(2.33)

Analog dengan penyelesaian disekitar titik z=0, maka diperoleh

penyelesaian pendekatan di sekitar titik z =1-z, yaitu

( ) ( )

(2.34)

Penyelesaian umum dari persamaan diferensial fungsi Legendre terasosiasi pada

persamaan (2.21) adalah

( ) ( )

( )

( ) (2.35)

Bila kita set

maka turunan pertama dan kedua dari persamaan (2.35) adalah

( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) (2.36a)

( ) ( ) ( ) - ( ) ( ) +

( ) ( ) - ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) -

( ) ( ) + ( ) ( )

( ) ( ) + ( ) ( ) (2.36b)

Kemudian bila persamaan (2.36a), (2.36b) dan (2.35) dimasukkan ke dalam

persamaan (2.28) maka diperoleh

( )

(( ) ( ) )

( )( ) (2.36c)


commit to user

23

Kemudian persamaan (2.36c) kita bandingkan dengan persamaan (2.20) diperoleh

; ; (2.36d)

2. Metode NU

Persamaan deferensial hipergeometrik, yang dapat diselesaikan dengan

metode Nikiforov-Uvarov (Nikiforov, A. V Uvarov V. B:2008) berbentuk:

( )

( )

( )

( )

( )

( ) (2.37)

Dengan memilih s adalah koefisien dari ( ) ( ) dan ( )dapat

memiliki harga riil atau complek. dimana ( ) dan ( ) biasanya merupakan

polynomial dengan pangkat tertinggi dua., dan ( ) merupakan polynomial

pangkat tertinggi pertama. Persamaan potensial:

( ) ( ) ( )

(2.38)

Persamaan (2.38) dapat diselesaikan dengan pemisahan variabel yaitu

( ) ( ) (2.39)

Dengan memasukkan persamaan (2.39) ke persamaan (2.38) kita

mendapatkan persamaan tipe hipergeometrik:

(2.40)

dan ( ) adalah derivatif logarithmik dimana solusinya bergantung pada:

(2.41)

Prosesnya: Persamaan (2.37) dapat direduksi dalam persamaan baru dengan

memisalkan ( ) ( ) ( ) diperoleh:

( )

(

)

( )

(

) ( ) (2.37b)


commit to user

24

Koefisien ( )

memiliki bentuk persamaan

( )

( ) dimana ( ) merupakan

polinimial dengan pangkat tertinggi 1. Sehingga diperoleh persamaan (2.41).

Persamaan (2.40) diambil dari

( )

( )

( )

( )

( )

( ) (2.37c)

dimana

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ( ) ( )] ( ) ( )

Persamaan (2.37c) merupakan persamaan yang sama dengan persamaan (2.37).

Dengan hanya memilih koefisien ( ) diperoleh

( ) ( )

Sehingga persamaan (2.37c) dapat direduksi menjadi

( ) ( )

( ) ( )

( ) (2.37d)

Persamaan diatas merupakan persamaan yang ekuivalen dengan persamaan 2.40.

fungsi ( ) dan parameter dicari dengan

(

) √(

) (2.42)

(2.43)

Prosesnya:

Untuk menghitung ( ) dan kita menulis persamaan ((2.37d) dalam bentuk:


commit to user

25

( )

( )

Ingat : Bentuk ( ) Dapat diselesaikan dengan:

{{

( √ )} {

(

√ )}}

Dengan mengasumsikan harga k diketahui, penyelesaian persamaan kuadrat untuk

( ) seperti yang ditunjukkan pada persamaan (2.42). Harga k pada persamaan

(2.42) dapat diperoleh dari kondisi bahwa pernyataan kuadrat dibawah akar

merupakan kuadrat sempurna dari polynomial derajat satu, sehingga diskriminan

dibawah akar harus nol. Nilai eigen baru dari persamaan (2.40) adalah

( )

, n = 0, 1, 2 (2.44a)

dimana , (2.45)

Untuk mendapatkan energi eigen nilai dan fungsi eigen yang terkait, diperlukan

kondisi .

Bukti:

( ) ( )

( ) ( )

( ) (2.44b)

Persamaan (2.44b) dapat disederhanakan menjadi

( ) ( )

Dengan memisalkan:

( ) ( ) persamaan (2.44b) dapat diubah menjadi


commit to user

26

( ) ( ) (2.44c)

Dimana

( ) ( ) ( )

( )

Selama ( ) merupakan polinomial dengan pangkat tertinggi 1, dan

bergantung pada s, persamaan (2.44c) merupakan persamaan tipe hipergeometri.

( ) merupakan solusi dari persamaan (2.44c) jika ( ) merupakan turunan dari

solusi ( ) dari persamaan (2.44b), fungsi ini harus memenuhi:

( )

[ ( )

( )]

Dapat ditunjukkan bahwa fungsi ( ) bergantung pada persamaan (2.44b) dan

turunannya adalah ( ). Diperoleh:

[ ( ) ( )

( ) ]

(s). dengan mensubtitusikan pada persamaan (2.44b) diperoleh

persamaan (1). Dengan cara yang sama, untuk (s)= (s):

( ) ( )

dimana

( ) ( ) ( ) ,

( ) ( )

(2.44d)

pada persamaan (2.44d), merupakan solusi dari ( ) yang memiliki nilai

konstan. Selama ( ) ( ). Persamaan (2.44d) menjadi persamaan (2.44a).

Solusi bagian kedua fungsi gelombanmg, yn(s), yang bersesuaiaan dengan relasi

Rodrigues diberikan oleh


commit to user

27

( )

( )

( ( ) ( )) (2.46a)

dimana Cn merupakan konstanta normalisasi, dan fungsi bobot ( ) harus

tergantung pada Perilaku elektron atom hidrogen dipengaruhi oleh potensial.

Bukti:

Untuk mendapatkan polinomial ( ) secara eksplisit, kita menggunakan

persamaan (2.44b) dan (2.44c) dengan menggunakan pendekatan ( ) dan ( ).

Sehingga dapat ditulis:

( ) (2.46b)

( ) (2.46c)

Persamaan (2.46b) dan (2.46c) merupakan persamaan deferensial

( ) (2.46d)

( ) (2.46e)

Dengan menggunakan bentuk eksplisit ( ), kita dapat dengan mudah membuat

hubungan antara ( ) dan (s) ( ).

Kita mempunyai

( )

( )

Sehingga:

Konsekwensinya:

( ) ( ) ( ) , n= 1,2,3...

Selama dan (s)=

(s), kita dapat menuliskan persamaan (2.46c)

dalam bentuk:


commit to user

28

( )

Jika m<n Diperoleh

( )

=(

) (

) ( ) =

( )

(*)

Dimana: ( ) ∏

Persamaan (*) jika kita kalikan dengan Am= maka akan

diperoleh:

, sedangkan n-m merupakan derajat polin omial.Jika ( )

merupakan polinomial dengan pangkat n, ( ), maka

( ) ( )

( ), ( ) ( )

( )= konstan.

Sehingga:

( )

( )=

( )[ ( )]

Dimana

( )| ,

( )( )

Dengan m=0 kita dapat memperoleh polinomial ( ) dari persamaan

hipergeometrik seperti yang ditunjukkan pada persamaan (2.46a)

3. Contoh Penyelesaian PS

a. Penyelesaian Potensial Poschl Teller I dengan Hipergeometri

Potensial efektif untuk potensial Poschl-teller I dituliskan sebagai

{

( )

( )

} (2.47)

Bentuk PS dari persamaan (2.47) adalah


commit to user

29

{

( )

( )

} (2.48)

Untuk menyelesaikan pers (2.48) kita misalkan

(2.49a)

dan diperoleh

√ ( ) ;

√ ( )

{ √ ( ) }= ( )

( )

(2.49b)

Bila kemudian persamaan (2.49a) dan ((2.49b)dimasukkan ke persamaan (2.48)

maka pers (2.48) menjadi

( )

( )

{

( )

( )

}

(2.50a)

atau ( )

( )

{

( )

( )

( )

} (2.50b)

dimana

(2.51)

Persamaan. (2.50a) atau (2.50b) merupakan persamaan diferensial yang

mempunyai dua buah titik regular singular di titik s=0 dan s=1. Bila pers (2.50b)

dibagi dengan s(1-s) maka untuk harga s=0 ( atau daerah disekitar s=0) suku-suku

( ) dan

( )

( ) diabaikan terhadap suku ( )

( ) , sehingga pers (2.50b)

berubah menjadi

(

( ))

( )

( )

atau ( )

( )

( )

(2.52a)

Karena z=0 merupakan titik regular singular, maka penyelesaian

persamaan (2.52a), disini kita tidak akan menguraikan penyelesaian secara


commit to user

30

lengkap tetapi hanya mencari penyelesaian index equation saja dari persamaan.

(2.52a). Misal penyelesaian persamaan (2.52a) yang berbentuk deret dinyatakan

sebagai ∑ (2.52b),

Bila persamaan (2.52b) dimasukkan ke dalam persamaan (2.52a) akan

diperoleh index equation, yaitu persamaan yang diperoleh dengan cara

mengenolkan koefisien dari suku untuk z pangkat terendah dari polynomial yang

diperoleh bila persamaan. (2.52b) dimasukkan ke dalam persamaan. (2.52a).

sebagai

( )

( )

yang dapat disederhanakan menjadi (

)

(

)

sehingga diperoleh

atau

, tetapi disini kita pilih

(2.52c)

dan penyelesaian yang dipilih adalah (2.52d)

Untuk harga s=1 ( atau daerah disekitar s=1) suku-suku

( ) dan

( )

( )

diabaikan terhadap suku ( )

( ) , maka pers (2.50b) berubah menjadi

( )

( )

( )

( ) (2.52e)

Analog dengan penyelesaian persamaan (2.52a) kita akan memperoleh

penyelesaian (2.52e) yang dapat dinyatakan sebagai ( )

(2.52f)

dimana telah diset (2.52g)


commit to user

31

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa penyelesaian umum persamaan

(2.50b) dapat dinyatakan sebagai ( ) ( )

(2.53)

Untuk menyelesaikan pers (2.50b), pertama-tama kita harus menentukan turunan

pertama dan kedua persamaan (2.53) terhadap variable s,

( ) ( )- ( ) ( ) + ( ) ( ) (2.54a)

dan

( ) ( ) ( )- ( ) ( ) + (

) ( )

- ( ) ( )+ ( ) ( ) ( ) - (

) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( )

(2.54b)

Bila persamaan (2.52c), (2.52g), (2.53), (2.54a), and (2.54b) ke dalam persamaan

(2.50b) diperoleh Persamaan

( )

((

) ( ) )

+ {

( ) }

(2.55)

Persamaan (2.55) menunjukkan persamaan diferensial fungsi Hypergeometri yang

penyelesaiannya dapat dinyatakan sebagai

( ) ( ) (2.56)

Dimana

,

maka

dan


commit to user

32

, (2.57)

Persamaan (2.56) yang merupakan deret pngkat tinggi akan terputus

sehingga diperoleh deret berhingga bila atau (2.58)

Jadi bila kita pilih harga maka

atau

dan diperoleh spectrum energi untuk potensial Poshcl-Teller yaitu

( ) (2.59)

Penyelesaian fungsi gelombang secara umum dapat diperoleh dengan

memasukkan persamaan (2.49a),(2.52c), (2.52g), (2.56), dan (2.57) ke dalam

pers (2.53) yaitu

( ) ( ) = ( ) ( )

( ) (2.60)

Fungsi gelombang tingkat dasar untuk potensial Poschl-Teller I adalah

=( ) ( )

(2.61)

b. Penyelesaian Potensial Eckart dengan Hipergeometri

Bentuk potensial Eckart dengan faktor sentrifugal dapat dilihat pada

peramaan (2.62)

{

( )

}

{

(

)

} (2.62)

V0<V1,

Dengan melakukan pendekatan

<<<1 kemudian

(

)

sehingga

(2.63)


commit to user

33

Persamaan (2.63) dapat diubah dalam bentuk hiperbolik

{

} (2.64)

Persamaan (2.64), dapat diubah dalam bentuk persamaan Schroodinger

(

) (2.65)

Persamaan (2.65) dapat disederhanakan menjadi:

( )

{ ( )

(

)

} ( ) (2.65)

dimana

Dengan memilih

maka

,

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(2.66)

Dengan menggunakan transformasi koordinat pada persamaan (2.66),

persamaan (2.65) menjadi:

( )

( )

{

( ( )) ( )

( )

( )( )

( )

( )

( )}

(2.67)

dimana


commit to user

34

( )

( )

{ ( ( ))

( )( )

( )

( )

( )}

(2.68)

Persamaan (2.68) dapat disederhanakan menjadi

( )

( )

{ ( ( ))

( ) ( )

( )

( )

}

(2.69)

Dengan memisalkan ( ) = dan ( )

Persamaan (2.69) dapat disederhanakan menjadi

( )

( )

( )

( ( ))

(2.70)

Persamaan (2.70) adalah persamaan diferensial orde dua, paling tidak

mempunyai dua buah titik regular singular dititik s=0 dan s=1,

Untuk s=0, pers (2.70) dapat ditulis menjadi

( )

( )

0 (2.71)

karena ( )

dapat diabaikan relatif terhadap

untuk s menuju nol.

Penyelesaian persamaan (2.71) dimisalkan sebagai ∑ (2.72)

Bila persamaan (2.72) dimasukkan ke dalam pers (2.71) maka diperoleh

suatu bentuk polynomial, dan bila koefisien dari variable (s) pangkat terendah,


commit to user

35

yaitu , di nolkan maka diperoleh index equation yang dinyatakan sebagai

( ) sehingga diperoleh

yang memberikan penyelesaian pendekatan untuk daerah sekitar s=0 ,

(2.73)

Penyelesaian pendekatan untuk daerah disekitar titik s=1 yang merupakan

titik regular singular dapat diperoleh dengan cara yang sama untuk penyelesaian

di sekitar daerah s=0, yaitu

( ) (2.74)

di mana (2.75)

Dari pembahasan penyelesaian pendekatan di titik z=0 dan z=1 dapat

dsimpulkan penyelesaian secara umum persamaan (2.70) dapat dituliskan sebagai

( ) ( ) (2.76)

Penyelesaian umum persamaan (2.70) dapat diperoleh dengan menghitung lebih

dahulu komponen pada suku pertama, yaitu

( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) (2.77a)

dan

{ ( )}

{ ( ){ ( ) ( ) ( ) ( )

+ ( ) ( )}}

( ) ( ) ( )( ) ( ) + ( ) ( )


commit to user

36

( ) ( ) ( )+ ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + (

) ( ) (2.77b)

Kemudian dengan memasukkan persamaan (2.73), (2.74), (2.76), (2.77a) dan

(2.77b) ke dalam persamaan (2.70) diperoleh

( ) { ( )

( )

[( ) (

) ] ( ) } {

} ( )

atau

( ) [( ) ( ) ] ( )( )

(2.78)

Dapat dilihat bahwa persamaan (2.78) merupakan persaman diferensial

orde dua fungsi hypergeometri di mana

, and (2.79a)

Spectrum energi dari persamaan (2.79a) yaitu

atau ( ) ( ) (2.79b)

Dengan memasukan persamaan (2.73), (2.74) ke dalam persamaan (2.79b)

diperoleh

atau

(2.80a)


commit to user

37

sehingga diperoleh

(

) (

) (2.80b)

Penyelesaian umum fungsi gelombang potensial Eckart adalah

(

)

(

) ( ) (2.81a)

atau (

)

√ (

)

(

) √ (

)

(

(2.81b)

dimana ( ) = dan ( )

( )

( ) ( )

( )

( )( ) ( )( )

( ( )

(2.82c)

Jika =1 , =0, a=1 diperoleh: ( )

4. Kerangka Pemikiran

1. Persamaan Schrodinger untuk potensial non-central dapat diselesaikan dengan

mereduksi persamaan Schrodinger menjadi persamaan hipergeometri atau

setipenya. Metode Nikiforov-Uvarov (NU) pengembangannya berbasis pada

pereduksian persamaan Schrodinger menjadi persamaan tipe hipergeometri.

2. Potensial Non Sentral seperti Manning-Rosen Potential Plus a Ring-Shaped, Eigen

Spektra for Woods-Saxon Plus Rosen Morse Potential, Coloumb plus cosecant

kuadtrat dapat diselesaikan dengan metode NU.

3. Software Matematica memiliki kemampuan komputasi, simulasi dan

visualisasi grafik fungsi matematis.


commit to user

38

5. Hipotesis

1. Persamaan gelombang dan tingkat energi Potensial non sentral hasil

kombinasi potensial Coloumb plus Pochl-Teller I dapat diselesaikan secara

eksak menggunakan NU.

2. Persamaan gelombang dan tingkat energi Potensial non sentral hasil

kombinasi potensial Coloumb plus Pochl-Teller I dapat diselesaikan

menggunakan NU.

3. Bentuk gelombang 3 D maupun 2 D, divisualisasikan dengan menggunakan

Software Matematica.


commit to user

39

BAB III

METODE PENELITIAN

A. Tempat dan Waktu Penelitian

Waktu dan lokasi penelitian dilakukan mulai bulan April sampai bulan

Juni 2012 dan penelitian ini dilakukan di pascasarjana Universitas Sebelas Maret.

B. Alat dan Persamaan Penelitian

1. Alat Penelitian

Notebook Intel Core i3, Sofware Matematica 8.0

2. Persamaan Potensial Non Central

Potensial yang kami gunakan dalam penelitian ini adalah potensial

Coloumb, Poschl Teller I dan Eckart. Ketiga potensial tersebut kami

kombinasikan, potensial Coloumb plus potensial Poshl Teller I dan potensial

Coloumb plus potensial Eckart. Bentuk potensial tersebut ditunjukkan oleh

persamaan 3.1 dan 3.2.

a. Potensial Coloumb dikombinasikan dengan Potensial trigonometrik Poschl-

Teller I

( ) {

(

( )

( )

)} (3.1)

b. Potensial Ekckart dengan faktor sentrifugal dikombinasikan dengan Potensial

Poschl-Teller I

( )

(

( )

)

( ( )

( )

) (3.2)


commit to user

40

C. Prosedur Penelitian

Dalam penelitian ini fungsi gelombang, dan spektrum energi potensial

Non Sentral diselesaikan dengan metode NU. Adapun langkah-langkah

penyelesaiannya dapat dilihat pada gambar 3.1.

Gambar 3.1 Langkah-langkah Penyelesaian Potensial Non Sentral

Pers. potensial

Non Central

Oprator Kuantum

(Koordinat bola)

PS

Pemisahan Variabel

Radial Polar Azimuth

Metode NU Metode NU PD orde II

Tingkat

Energi

Fungsi Gel.

(Polinomial

Jacobi)

Fungsi Gel.

(Polinomial)

Jacobi)

Fungsi Gel.

(Fungsi

Eksponensial)

Fungsi Gel.


commit to user

41

Berdasarkan gambar 3.1, Potensial non central dimodifikasi menjadi PS

menggunakan koordinat bola. Setelah PS terbentuk, dengan menggunakan

pemisahan variabel diperoleh persamaan radial, polar dan azimuth. Persamaan

radial dan polar yang diperoleh diselesaikan dengan metode NU, sedangkan

persamaan azimuth diselesaikan dengan persamaan deferensial orde dua. Dari

fungsi radial yang diselesaikan dengan metode NU, diperoleh fungsi gelombang

radial dan tingkat energi, dari fungsi polar diperoleh fungsi gelombang polar.

Fungsi gelombang polar dan azimuth disatukan, menjadi fungsi gelombang sudut.

Langkah-langkah penyelesaian metode NU kami paparkan sebagai berikut:

Persamaan deferensial hipergeometrik, yang dapat diselesaikan dengan metode

Nikiforov-Uvarov berbentuk:

( )

( )

( )

( )

( )

( ) (3.3)

dimana ( ) dan ( ) biasanya merupakan polynomial berderajat dua., dan

( ) merupakan polynomial orde pertama. Langkah berikutnya adalah pemisahan

variabel

( ) ( ) (3.4)

Kemudian diperoleh persamaan persamaan tipe hypergeometrik:

(3.5)

dan ( ) adalah derivative logarithmik dimana solusinya bergantung pada:

(3.6)

fungsi ( ) dan parameter dicari dengan

(

) √(

) (3.7)


commit to user

42

(3.8))

Harga k pada persamaan (3.8) dapat diperoleh dari kondisi bahwa pernyataan

kuadrat dibawah akar merupakan kuadrat sempurna dari polynomial derajat satu,

sehingga diskriminan dibawah akar harus nol. Nilai eigen baru dari persamaan

(3.5) adalah

( )

, n = 0, 1, 2 (3.9)

dimana , (3.10)

Untuk mendapatkan energy eigen nilai dan fungsi eigen yang terkait, diperlukan

kondisi . Solusi bagian kedua fungsi gelombanmg, yn(s), yang bersesuaiaan

dengan relasi Rodrigues diberikan oleh

( )

( )

( ( ) ( )) (3.11)

dimana Cn merupakan konstanta normalisasi, dan fungsi bobot ( ) harus

tergantung pada kondisi:

( )

( ) ( ) (3.12)

Persamaan gelombang sistem diperoleh dari persamaan (3.5), (3.10) dan(3.11).

D Diagram Penelitian

Setelah fungsi gelombang diperoleh, langkah selanjutnya adalah

visualisasi gelombang radial dan sudut. Bentuk visual gelombang polar diambil

dari fungsi riilnya (harga mutlak | |) , sehingga perlu konversi. Konversi dapat

dilakukan dengan mengalikan persamaan yang diperoleh dengan conjugate

kompleksnya ( ), kemudian hasil yang diperoleh dipangkat setengah

(( ) ). Setelah fungsi gelombang riil diperoleh, langkah-langkah visualisasi

gelombang sudut dapat dilihat pada gambar 3.2.


commit to user

43

Gambar 3.2 Langkah-langkah Visualisasi Gelombang Sudut

Berdasarkan gambar 3.2, kita memasukkan parameter inpu (n,p,j). arapeter

n, p, j merupakan parameter yang bergantung pada bilangan kuantum n,m dan l’

dan parameter dan . Setelah parameter dimasukkan akan diperoleh fungsi

gelombang sudut, dan dapat divisualisasikan dalam koordinat bola maupun polar.

Fungsi gelombang yang divisualisasikan adalah fungsi gelombang riilnya.

START

Masukkan nilai

Fungsi P ( )

Grafik fungsi gelombang P ( )

STOP


commit to user

45

BAB IV

PEMBAHASAN

A. Bentuk Potensial Non-Sentral Hasil Kombinasi Coloumb Plus Pöschl–

Teller dan Potensial Eckart Plus Pöschl–Teller I Non-Sentral

Potensial non-sentral hasil kombinasi potensial Coloumb plus Pöschl–

Teller I dan potensial Eckart plus Pöschl–Teller I merupakan potensial yang akan

dikaji dalam penelitian ini. Persamaan potensial non-sentral hasil kombinasi

potensial Coloumb plus Pöschl–Teller I dinyatakan pada persamaan 4.1a.

( ) {

( ( )

( )

)} (4.1a)

Suku pertama persamaan (4.1a) merupakan potensial Coloumb, suku berikutnya

merupakan Pöschl–Teller I non-sentral.

Potensial non-sentral hasil kombinasi Eckart Plus Pöschl–Teller I

dinyatakan pada persamaan 4.1b.

( )

(

( )

)

( ( )

( )

) (4.1b)

Suku yang berada dalam suku pertama dan kedua merupakan potensial Eckart,

sedangkan suku berikutnya merupakan potensial Pöschl–Teller I. Dari persamaan

4.1 a, bentuk visualisasi kedua potensial dapat dilihat pada gambar 4.1.1a, 4.1.1b

dan 4.1.1c. Visualisasi gambar pada penelitian ini dilakukan dengan mengatur

nilai ( ( ) ( ) ) dan


commit to user

46

√

untuk mentransformasi koordinat bola ke koordinat kartesian

(x,y,z).

z

y

Gambar 4.1.1a Pöschl–Teller I Non-Sentral

Gambar 4.1.1a merupakan gambar potensial Pöschl–Teller I non-sentral. Potensial

tersebut akan mempengaruhi bentuk potensial secara keseluruhan jika nilai e kecil.

z

y

Gambar 4.1.1b Coloumb Plus Pöschl–Teller I Non-Sentral dengan e=1C

Dari ganbar 4.1.1 b, potensial Coloumb tidak terlalu tampak pengaruhnya,

potensial pengganggu Pöschl–Teller I lebih mendominasi bentuk potensial.

Potensial Columb hanya merubah fungsi radial yang sebelumnya simetris menjadi


commit to user

47

asimetris (x=1), karena nilai e terlalu kecil, sehingga perubahannya tidak terlalu

signifikan. Untuk nilai e besar, (e=100C) dapat dilihat pada gamabr 4.1.1c.

z

y

Gambar 4.1.1c Potensial Coloumb Plus Pöschl–Teller I Non-Sentral e=100C

Pada gambar 4.1.1 c terlihat bahwa Pengaruh potensial Coloumb sudah mulai

terlihat dengan munculnya bentuk potensial Coloumb. (gambar 4.1.1 c). Dari

gambar 4.1.1a, 4.1.1b dan 4.1.1c dapat disimpulkan bahwa potensial Pöschl–

Teller I mendominasi bentuk potensial. Semakin kecil muatannya, semakin besar

potensial Pöschl–Teller I mendominasi. Potensial Coloumb menunjukkan

pengaruhnya ketika nilai muatannya diperbesar. Berdasarkan simulasi yang telah

peneliti buat, potensial Coloumb akan mendominasi bentuk potensial jika muatan

diperbesar 1.1018

coloumb, ciri khas bentuk potensial Pöschl–Teller I tidak hilang.

Seperti ditunjukkan pada Gambar 4.1.1d.


commit to user

48

Navigasi

pengatur nilai e

z

Potensial

Pöschl–Teller I

yang tereleminasi

y

Gambar 4.1.1d Simulasi Potensial Eckart Plus Pöschl–Teller I Non-Sentral, e=1.1018

C

Berdasarkan persamaan 4.1.1d, Gambar potensial Eckart plus Pöschl–

Teller I dapat divisualisasikan dengan mengatur nilai( (

) ( ) ), a merupakan parameter positif yang mengontrol lebar

sumur dan √

untuk mentransformasi koordinat bola ke

koordinat kartesian (x,y,z), V0 =1, dan V1=2, menjelaskan kedalaman potensial

dan nilainya positif, V1>V0.

z

y

Gambar 4.1.2a. Potensial Eckart Plus Pöschl–Teller I pada a =1


commit to user

49

Pada gambar 4.1.2a terlihat bahwa hasilnya sama dengan potensial

Coloumb plus Pöschl–Teller I pada e=1, potensial ecakrt dengan a= 1 belum

mendominasi bentuk potensial. Bentuk potensial Eckart hanya mempengaruhi

fungsi radial dari simetris menjadi asimetris (pada x=1). Potensial Pöschl–Teller I

tetap mendominasi bentuk potensial. Pada a=10, bentuk potensial Eckart sudah

tampak seperti terlihat pada gambar 4.1.2b.

Ciri Potensial Eckart

z

y

Gambar 4.1.2b. Potensial Eckart Plus Pöschl–Teller I pada a =10

Pada gambar 4.1.2b, walaupun pengaruh potensial Eckart sudah tampak,

tetapi tetap belum mendominasi bentuk potensial. Pada a=1015

, potensial Eckart

mengeleminasi bagain Cosecant kuaadrat. Karena keterbatasan spesifikasi

komputer yang kami miliki, visualisasi gambar a=1018

tidak dapat kami

tampilkan. Visualisasi potensial Eckart Plus Pöschl–Teller I pada a=1015

dapat

dilihat pada gambar 4.1.2c.


commit to user

50

Navigasi pengatur a

z

Fungsi

Cosecant kuadrat

tereleminasi

y

Gambar 4.1.2c. Potensial Eckart Plus Pöschl–Teller I pada a =10

15

Tereleminasinya fungsi Cosecant kuadrat pada gamabr 4.1.3b disebabkan karena

pada persamaan 4.1.2c fungsi cosecant kuadrat memiliki penyebut yang sama

dengan potensial Eckart pada koordinat polar (lihat persamaan 4.52).

B. Penyelesaian PS untuk Potensial Non-Sentral Hasil Kombinasi Potensial

Coloumb Plus Pöschl–Teller I dengan Metode NU.

Dalam koordinat bola PS persamaan (4.1) dapat ditulis:

{

(

)

(

)

) ( )

{

( )

( )

} ( ) ( ) (4.2)

PS tiga dimensi dari persamaan (4.2) diselesaikan menggunakan pemisahan

variabel dengan menggunakan ( ) ( ) ( ) ( ) sehingga diperoleh:


commit to user

51

(

)

(

)

( ( )

( )

) ( ) (4.3)

Pada persamaan 4.3, terlihat bahwa terdapat tiga persamaan yang memiliki

mewakili koordinat radial, polar dan azimuth. Suku pertama, kedua dan ketiga

merupakan koordinat radial, suku keempat dan keenam merupakan koordinat

polar, dan suku kelima merupakan koordinat azimuth. Penyelesaian masing-

masing persamaan dipaparkan dalam tiga solusi penyelesaian berikut:

1. Solusi Persamaan Azimuth.

Dari persamaan (4.3) Solusi persamaan untuk bagian azimuth adalah

(4.4a)

Persamaan 4.4a merupakan persamaan deferensial orde dua dan menghasilkan

solusi:

(4.4b)

2. Solusi persamaan Radial

(

)

( ) (4.5a)

Dikalikan dengan R dan menyederhanakan persamaan deferensial diperoleh:

(

) ( )

(4.5b)

Dengan memisalkan


commit to user

52

(4.5c)

Persamaan (4.5b) dapat disederhanakan menjadi (4.5d)

(

( )

) (4.5e)

Solusi persamaan radial dapat diselesaikan dengan metode NU. Dengan

membandingkan persamaan (4.5e) dengan persamaan (2.37) diperoleh:

, ( ) (4.6)

Nilai dapat dicari dengan:

(

) √(

)

√

( )

{

}

(4.7)

dan ( ) ( ) (

)

memberikan (

)

(

) dan (

)

Dengan memasukkan nilai k ke persamaan (4.7) kita dapatkan

; atau

(

)

(

) atau ( )


commit to user

53

{

} (

)

( ) atau {

} (

)

( )

( ) ; atau

( ) ( )

( )

Dengan menggunakan:

;

( )

(

)

( )

Diperoleh:

( ) (4.8)

Dari persamaan (4.8) kita peroleh

( ) , is bilangan kuantum radial,

adalah bilangan kuantum utama, adalah bilangan kuantum orbital dimana,

Persamaan gelombang radial diperoleh dari:

( )


commit to user

54

( )

( ) ( ) ( ( ))

( )( ) ( )( )

( )

( )

( ( ) ( )

( )

(( )( ) )

( )

( )

(( )( ) ) (4.9a)

Persamaan (4.9) dapat ditulis sebagai:

( )

( )

(( )( ) ) (4.9b)

Dimana persamaan (4.9) mempresentasikan relasi Rodrigues untuk polinomial

Laguerre terasosiasi.

Jika maka

and

( )

(4.10a)

Dengan mensubtitusikan persamaan (4.10) pada persamaan (4.9b) diperoleh

( )

( )

(( )( ) ) (4.10b)

dimana ( ) is polinomial Laguerre terasosiasi yang dapat ditulis sebagai:

( )

( )( ) ( ) ( ) (4.11)

Dengan mengatur

dan

Jika = maka persamaan tersebut akan kembali ke persamaan gelombang atom

hydrogen biasa ( ) ( )( )

( )( ) (Terbukti)


commit to user

55

10 20 30 40 50 60

0.005

0.005

0.010

Persamaan gelombang radial lengkap dapat ditulis

( ) ( )

( ) (4.12a)

atau

( ) ( )

( ) ( ) (4.12b)

dimana merupakan konstanta ternormalisasi.

Berdasarkan persamaan (4.12b) dapat diperoleh persamaan gelombang radial

seperti ditunjukkan pada tabel 4.1a

Tabel 4.1a Persamaan Gelombang Radial Potensial Coloumb plus Poschl-Teller I

(Rnl) Persamaan Gelombang Awal Gangguan (Rn’l’) Persamaan Gelombang

Gangguan

R5 3 √

⁄ (

)

κ=2, η=4 R5.41 3.41 ( )

R7 5 ⁄ (

)

√

κ=4, η=2 R 7.46 5.46 ( )

R10 7 √

⁄ (

)

κ=4, η=2 R10.60 7.60 ( )

Dari tabel 4.1 dapat dibuat visualisasi grafik fungsi radial yang dapat dilihat pada

gambar (4.2a) dan (4.2b).

R5 3

R5.41 3.41

Gambar 4.3a. Fungsi Gelombang Radial Potensial Coloumb Plus Posch-Teller I

R5 3 dan R5.41 3.41

r

z


commit to user

56

50 100 150 200

0.002

0.001

0.001

0.002

0.003

0.004

R7 5

R 7.46 5.46

R10 7 R10.60 70.60

Gambar 4.3b. Fungsi Gelombang Radial Potensial Coloumb Plus Posch-Teller I

R7 5, R 7.46 5.46, R10 7, R10.60 70.60

Pada gambar 4.3 a dan 4.3 b terlihat bahwa fungsi radial terganggu,

amplitude gelombang fungsi radial menurun. Hasil ini sesuai dengan sesuai

dengan kesimpulan gambar 4.1.1 a,b dan c. dimana potensial Coloumb pada

fungsi radial tidak mendominasi fungsi potensialnnya pada nilai e kecil.

3. Solusi Persamaan Polar

PS bagian polar untuk potensial Coloumb dikombinasikan dengan

potensial Poschl-Teller I adalah

(

)

(

( )

( )

) ( ) (4.13)

dimana l(l+1) konstanta pemisah. Dengan menggunakan transformasi variabel

pada persamaan 4.13 kita peroleh

( )

(

)

[[ ( ( ) )( )

( )

( )( )

( )

( )( )

( )]] (4.13)

r

z


commit to user

57

Dengan mengkomparasikan persamaan (4.13) dan persamaan (2.40)

( ) , (

) (4.14a)

{ ( ( ) ) ( ) ( )}

[ ( ( ) ) ( )]

( )

(4.14b)

Menggunakan persamaan (5) and (2.42) kita dapatkan

(

)

√{ ( ( ) ) ( ) ( )

} [

( ( ) ) ( )

] (

( )

)

(4.15)

Harga k pada persamaan (4.15) dapat diperoleh dari kondisi bahwa

pernyataan kuadrat dibawah akar merupakan kuadrat sempurna dari polynomial

derajat satu, sehingga dapat ditulis

(

) √(

( )

) (

( ( ) ) ( )

( ( )

)

) (4.16)

Dan diskriminan dibawah akar harus nol.

[ ( ( ) ) ( )

]

{ ( )

} {

( ( ) ) ( )

( )

} (4.17)

Nilai dari k diperoleh dari persamaan (4.17) adalah


commit to user

58

(

)

(√ √ )

(4.18a)

(

)

(√ √ )

(4.18b)

Dengan memisalkan ( ( ) )

dan

( )

(

)

(4.19)

dan memasukkan persamaan (4.18) and (4,19) pada persamaan (4.17) pada

kondisi maka persamaan (4.17) menjadi

(√ √

√

) √ √

√

untuk (4.18a)

(√ √

√

) √ √

√

untuk (4.18b)

dan dapat dicafi dengan menggunakan persamaan (2.45), (4.13) dan

nilai pada persamaan (4.14a), sehingga

(√ √

√ )

√ √

√ untuk (4.19a)

dan (√ √

√ ) √ √

√ untuk (4.19b)

nilai dan diperoleh dengan menggunakan persamaan (2.43), (2.44), (4.15a),

(4.18a), (4.18b), (4.19a), dan 4.19).

(

)

(√ √ )

(√ √

√

) (4.20a)

(

)

(√ √ )

(√ √

√

) (4.20b)


commit to user

59

(√ √

√ ) ( ) (4.21a)

(√ √

√ ) ( ) (4.21b)

Agar memiliki arti fisis lebih, pilihan terbaik untuk nilai diperoleh dari

persamaan (4.20b) dengan (4.21b), dimana

√ ( ) (4.22)

Bagian pertama fungsi gelombang diperoleh dari persamaan (2.41), (4.14a) dan

(4.18b).

( )√

√ ( )√

√

( )√ ( )

( )

( )√ ( )

( )

(4.23)

Fungsi bobot dari fungsi gelombang bagian kedua diperoleh dari

persamaan (2.47), (4.14a) and (4.19b) adalah

( ) √

√ ( ) √

√ ( )√ ( ) ( )

(4.24)

Dengan memasukkan persamaan (4.24) dan (4.14a) pada persamaan (2.46)

persamaan gelombang polar bagian kedua

( )

( )√ ( ) ( )

(( ) √ ( ) ( )

) (4.25)

Sehingga, persamaan lengkap bagian polar adalah


commit to user

60

( ) ( ) √ ( )

( )

(( ) √ ( ) (

)

) (4.25)

Dengan √ ( ) dan (4.26)

diperoleh

( ) ( )

( )

(( ) ( )

) (4.27)

C. Penyelesaian PS untuk Potensial Non-Sentral Hasil Kombinasi Potensial

Eckart Plus Pöschl–Teller I dengan Metode NU.

Potensial Non-Sentral yang dibentuk oleh potensial Eckart dan Poschl-

Teller diberikan oleh:

( )

(

( )

)

( ( )

( )

) (4.28)

dengan V0 dan V1 mendiskrisikan kedalaman sumur potensial dan bernilai positif,

V1>V0, a merupakan parameter positif yang mengontrol lebar potensial,

, .

PS tiga dimensi bergantung waktu untuk potensial Eckart dikombinasikan dengan

Poschl-Teller I adalah

{

(

)

(

)

) ( )

{

(

( )

)

( ( )

( )

)} ( )

( ) (4.29)


commit to user

61

PS tiga dimensi yang ditunjukkan pada persamaan (4.29) dpat diselesaikan dnegan

pemisahan variabel, ( ) ( ) ( ) ( ) sehingga kita peroleh

(

)

(

( )

)

(

)

( ( )

( )

) (4.30)

dimana ( ). Dari persamaan (4.30) kita dapatkan persamaan bagian

radial, polar dan azimuth dari PS yaitu:

Persamaan radial:

(

)

(

( )

)

( ) (4.31a)

Persamaan polar:

(

)

( ( )

( )

) ( ) (4.31b)

Persamaan Azimuth

(4.31c)

1. Solusi Persamaan Azimuth

Dari persamaan (4,31c) kita dapatkan persamaan gelombang bagian azimuth:

(4.32)


commit to user

62

2. Solusi Persamaan Radial

Untuk menselesaikan PS bagian radial kita mensubtitusikan

dan ( )

pada persamaan (4.31a) kita dapatkan

{ ( )

( )

( )}

{

( )

} ( ) ( )

(4.33)

Persamaan (4.33) dapat diselesaikan dengan menggunakan pendekatan faktor

sentrifugal (Y. Xu, S. He and C. S. Jia:2010) jika

<<<1 maka

(

( )

) (4.34)

dengan

. dengan memasukkan persamaan (4.34) ke persamaan (4.33) kita

dapatkan

( )

{( ( ))

( )

( ) } ( )

(4.35)

dengan menggunakan transformasi koordinat, ( ) ( ) pada

persamaan (4.35) kita dapatkan

( )

{

( ( ))

( )

( )( )

( )

( ( ) )( )

( ) }

(4.36)


commit to user

63

Prosesnya:

(

)

{

( ( ))

( )

( )( )( )

( )

( ( ) )( )

( ) }

{

( )

( )

( )( )( )

( )

( )( )

( ) } dikalikan

( )

{

( ( ))

( )

( )( )

( )

( ( ) )( )

( ) }

Dengan mengkomparasikan persamaan (4.36) dengan persamaan (2.37)

kita peroleh

, ( ), (4.37)

(( ( ) ) ( ( ) ( )

) ( ( ) )) (4.38)

Dengan memasukkan persamaan (4.37) dan (4.38) pada persamaan (2.42) kita

peroleh

√

(

( ( )

)

( ( )

( ( ) )

)

( ( ) )

(4.39)

Harga k pada persamaan (4.39) dapat diperoleh dari kondisi bahwa

pernyataan kuadrat dibawah akar merupakan kuadrat sempurna dari polynomial

derajat satu, persamaam (4.39) dapat ditulis sebagai

√( ( )

) (

( ( ) ( ( ) )

( ( )

)

)


commit to user

64

(4.40)

dan

( ) ( ( ) ) ( ( )

) [ ( ( ) )] (4.41)

sehingga diskriminan dibawah akar harus nol. Nilai k k berdasarkan persamaan

(4.41) adalah

{

} √ (4.42a)

{

} √ (4.42b)

dimana

( )

dan ( ) (4.43)

Dengan memasukkan persamaan (4.42a) dan (4.42b) kedalam persamaan (4.40)

dan dengan kita peroleh

(√ √

) √ untuk {

} √

(4.44a)

dan (√ √

) √ untuk {

} √

(4.44b)


commit to user

65

dengan memasukkan persamaan (4.37), (4.44a) dan (4.44b) pada persamaan

(2.45) diperoleh

( (√ √ )) √ untuk (4.45a)

and ( (√ √ )) √ untuk (4.45b)

Untuk mendapatkan nilai eigen baru dari persamaan deferesial tipe

hipergeometrik pada persamaan (2.40) dapat diperoleh dengan menggunakan

persamaan (2.43), (2.44), (4.42a), (4.42b), (4.44a) dan (4.44b).

{

} √ (√ √

) untuk k1 (4.46a)

{

} √ (√ √

) untuk k2 (4.46b)

dan

( )

( (√ √ )) ( )

(√ √ ) (4.47a)

( )

( (√ √ )) ( )

(√ √ ) (4.47b)

Dengan menghitung persamaan (4.46a) dengan (4.47a) atau persamaan

(4.46b) dengan (4.47b) kita mendapatkan hasil yang sama, yaitu

( ) {(√

)

(√

)

}

(4.48)


commit to user

66

Dan sepektrum energi dari potensial Eckart dikombinasikan dengan Poschl-Teller

I non-sentral yang diperoleh dari persamaan (4.48) adalah

{

(√ (

)

)

(√ (

)

)

( )

} (4.49)

Prosesnya:

( )

( (√ √ )) ( ) (√ √ )

{

} √ (√ √

) (√ √ )

√ √ √ (√ ) (√

) {

}

( √ )√ (√

)

√ (√

)

(√

)

( ) {(√

)

(√

)

}

(√

)

(√

)

( )

{(√

)

(√ )

( )

}

Dengan menggunakan persamaan (2.41) dan nilai pada persamaan (4.44a) dan

(4.44b) dan pada persamaan (4.37) fungsi gelombang bagian pertama adalah

( )√

( ) √ (4.50a)


commit to user

67

dan

( )√

( )√ (4.50b)

Fungsi bobot bagian radial diperoleh dari persamaan (2.47), (4.37), (4.45a) dan

(4.45b) adalah

( ) √ √ (4.51a)

dan ( ) √ √ (4.51b)

Bagian kedua persamaan gelombangnya adalah

( )

( ) √ √

(( ) √ √ ) (4.52a)

atau

( )

( ) √

√

(( ) √

√ ) (4.52b)

Persamaan gelombang radial diperoleh dengan memasukkan persamaan (4.50a),

(4.51a) dan (4.52a) atau menggunakan persamaan (4.50b), (4.51b) dan (4.52b)

adalah

( ) ( ) ( )

√ (

)

√

(( )

√ (

)

√

)

(4.53a)

atau

( ) ( ) ( )

√ (

)

√

(( )

√ (

)

√

)

(4.53b)

dengan (

)

dan ( ) (√

)

(√

) dimana ( )


commit to user

68

Agar memiliki arti fisisi kita memilih persamaan gelombangnya adalah

( ) ( ) (

) √

(

)√

((

) √ (

) √

)

(4.53c)

Dan pemilihan harga k, dan adalah k1,

Persamaan gelombang yang ditunjukkan pada persamaan (4.50a) adalah

persamaan tipe hypergelometrik dengan persamaan fungsi bobot pada persamaan

(4.51b).

Pengecekan kondisi awal: Jika √

, √ dan n=0, maka

persamaan ( ) (

) , hasilnya sama dengan menggunakan

hipergeometri. Dengan menggunakan persamaan 4.53c dapat diperoleh grafik

visualisasi dengan nilai l yang berbeda. Persamaan gelombang radialnya dapat

dilihat pada tabel 4.2b

Tabel 4.1b Persamaan Gelombang Radial Potensial Eckart Plus Poschl-Teller I

No. Rnl Persamaan Gelombang

1. R1 0 ( )

( )

2. R4 3 ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

3. R4 3.73 ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

Berdasarkan tabel 4.2b dapat divisualisasikan untuk persamaan gelombang polar

dengan menggunakan software matematica 8.0. Visualisasi bentuk gelombang

radial dapat dilihat pada gambar 4.3 c.


commit to user

69

3.25 3.30 3.35 3.40 3.45 3.50

2 1019

4 1019

6 1019

8 1019

R4 3.73

R4 3

R1 0

Gambar 4.3 c. Persamaan Radial Potensial Eckart Plus Poschl-Teller R1 0, R4 3, R4 3.73

Pada gambar 4.3 c terlihat bahwa fungsi radial terganggu, amplitude gelombang

fungsi radial naik. Hasil ini sesuai dengan sesuai dengan kesimpulan gambar 4.1.2

b. dimana potensial Eckart pada fungsi radial sudah mempengaruhi fungsi

potensialnnya pada Pada a=10. Hasil ini berkebalikan dengan kesimpulan pada

potensial Coloumb plus potensial Posch-Teller I. perlu diingat bahwa bentuk

potensial eckart dan potensial Coloumb berkebalikan, sehingga persamaan

gelombang yang dihasilkan pun berkebalikan.

3. Solusi Persamaan Polar

PS bagian polar untuk potensial Eckart dikombinasikan dengan potensial

Poschl-Teller I non-sentral adalah

(

)

(

( )

( )

) ( ) (4.52)

Bentuk persamaan ini sama dengan persamaan (4.13) sehingga menghasilkan

hasil yang sama pula. Persamaan bagian polar untuk potensial Eckart

r

z


commit to user

70

dikombinasikan dengan potensial Poschl-Teller I non-sentral sama dengan

potensial Coloumb dikombinasikan dengan potensial Poschl-Teller I non-sentral.

Solusinya:

( ) ( )

( )

(( ) ( )

) (4.27)

Fungsi gelombang pada persamaan (4.27) dapat divisulisasikan pada tabel

4.2. Visualiasasi fungsi gelombang polar 2D dan 3D menggunakan bantuan

software Matematica 8.0. Penurunan fungsi gelombang juga dilakukan dengan

menggunakan software matematica. Untuk mengecek hasil perhitungan komputer,

penurunan secara manual juga dilakukan. Setelah proses penurunan selesai, grafik

divisualisasikan dalam bentuk 2 dimensi (2D) koordinat polar maupun 3 Dimensi

3D pada kordinat bola.

Cara memperoleh fungsi gelombang secara manual pada tabel 4.2 kami paparkan

sebagai berikut:

( ) ( )

(( ) ( )

) ( )

{ ( )

( )( )

}

( ) ( )

( ) ( ) ( )

(( ) ( )

) (

) ( )

{ ( ) ( )

( ) ( )

}

( ) ( )

( ) ( )

{ ( )

( )}

( ) ( ) ( ( ))


commit to user

71

( ) ( )

(( )( )

) ( )

{ ( )

( )( )

}

( ) ( )

( )

{ ( )

( )}

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

(( ) ( ) )

( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) (

) ( ) )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )

( ))

( ) ( ) ( ) ( ( ))

( ) ( ) ( ) ( ( ))

Pembuktian kondisi awal:

Dari persmaan tingkat enrgi potensial Eckart kita dapat enghitung energi pada kasus

khusus untuk Eckart potensial kita memilih:

, sehingga spectrum enegri untuk potensial Eckart adalah

{

[√ (

)

]

[√ (

)

]

( )

} (g)

sehingga or

m adalaah bilangan kuntum magnetik,

bilangan bulat positif , so selalu bilangan positif.


commit to user

72

Kasus Khusus

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

Sehingga

( ) ( )

(( ) ( )

)

( ) ( )

( )

(( ) ( )

)

(

) (

)

; sehingga kita perileh ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( (

) (

))

(

) (

)

(

) (

)

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

(( ) ( )

)

Untuk

( )

( )

(( ) ( )

)


commit to user

73

( )

( ( )

( )( )

) ( )

( )

( ( )

( ))

(

( )

Sehingga

(

( ))

untuk

( ) ( )

(( ) ( )

)

( )

( )

(

( )

)

( )

( )

(

( )) ( )

(

)

untuk maka

( ) ( )

(( ) ( )

)

( )

(ok) ( )

untuk

Persamaan dan visualisasi fungsi gelombang dapat dilihat pada tabel 4.2 (z

merupakan koordinat simetri yang berperan sebagai amlitudo gelombang,

merupakan koordinat polar dan Azimuth.


commit to user

74

Tabel 4.2 Visualisasi Gambar dan Fungsi Gelombang

Fungsi Gelombang 3 Dimensi (3D) 2 dimensi (2D)

( )

( ) (

( ))

( )(

( ))

( ) ( )

( ( ))

( ) ( )

( ( ))

( )

(

( ))

( ) ( )

( )

{

( ( )

( )

( ( ))

( ( ) }

( ( ) )

2 1 1 2

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

4 2 2 4

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

3 2 1 1 2 3

2

1

1

2

2 1 1 2

2

1

1

2

1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

2 1 1 2

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5


commit to user

75

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

Fungsi Gelombang 3 Dimensi (3D) 2 dimensi (2D)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Berdasarkan pada Tabel 4.2 Terlihat bahwa potensial Pöschl–Teller I Non-

Sentral dapat merubah fungsi gelombang. Perubahan fungsi gelombang ini

disebabkan karena adalanya perubahan fungsi l. fungsi gelombang pada tabel 4.2

kita perbesar ukurannya untuk mempermudah pengkajian seperti ditunjukan pada

gambar 4.5, 4.6 dan 4.7.

z

z

Gambar 4.5. Fungsi gelombang 2D dan 3D

3 2 1 1 2 3

2

1

1

2

2 1 1 2

2

1

1

2


commit to user

76

21

12

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

21

12

2112

z

z

Gambar 4.6. Fungsi gelombang 2D dan 3D

z

z

Gambar 4.7 Fungsi gelombang 2D dan 3D

Pada gambar 4.5, 4.6 dan 4.7 tampak bahwa gangguan parameter dan

mempengaruhi fungsi gelombang. Parameter memecah fungsi sudut dengan


commit to user

77

fungsi sudut kecil, parameter memecah fungsi sudut dengan fungsi

sudut besar. Lebih jelasnya perhatikan gambar 4.7a, 4.7 b dan 4.7c (nilai

)

z

Gambar 4.7a Fungsi gelombang 2D

z

Gambar 4.7b Fungsi gelombang 2D


commit to user

78

z

Gambar 4.7c Fungsi gelombang 2D

Dari gambar 4.7a, 4.7 b dan 4.7 c terlihat bahwa terjadi perubahan panjang

gelombang. Panjang gelombang sebelum terganggu (4.7a) sebersar berubah

menjadi 2.5 (4.7b) dan (4.7c) dengan nilai z yang mengalami perubahan. Nilai z

yang tidak konstan menunjukkan bahwa vibrasi yang terjadi berubah-ubah, tetapi

tetap periodik. Gangguan parameter dan dapat menaikkan fungsi gelombang.

z dalam hal ini amplitude gelombang juga mengalami kenaikan seiring dengan

perbesaran parameter. Jika parameter dan tidak nol, parameter

menghasilkan nilai z lebih besar pada periode tertentu dibandingkan dengan

parameter , sehingga kenaikkan tingkat energi (momentum) juga lebih besar,

tetapi, kerapatan parameter lebih besar daripada parameter .

Hasil ini sangat bersesuaian dengan prinsip ketidakpastian Heisenberg.

Prinsip ketidakpastian Heisenberg menyatakan bahwa:

equivalen

dengan

. Jika > , maka atau naik, atau menurun, jika


commit to user

79

< , maka maka atau turun, atau naik. Parameter juga berdampak

pada perubahan orbit. yang berada pada orbital d, setelah diganggu menjadi

berpindah ke orbital f.

D. Analisis Energi pada Potensial Non-Sentral Kombinasi Coloumb Plus

Pöschl–Teller I dan Potensial Eckart Plus Pöschl–Teller I

1. Analisis Energi pada Potensial Coloumb Plus Pöschl–Teller I

Dengan menggunakan persamaan (4.48) dan mengambil nilai parameter

=4 dan =2 diperoleh grafik tingkat energi seperti ditunjukkan pada gambar 4.8.

Gambar 4.8 Tingkat Energi Potensial Coloumb Plus Pöschl–Teller Non-Sentral.

Grafik pada gambar 4.8 menunjukkan bahwa parameter pada potensial

Pöschl–Teller I Non-Sentral dapat menambah nilai energi tiap tingkatan.

Peningkatan energi terbesar pada kondisi Eo. Eo tanpa parameter menghasilkan

energi -13.6 MeV, dengan parameter menghasilkan energi -3,80 MeV.

Penambahan ini disebabkan perubahan bilangan kuantum l sehingga merubah

energi tiap tingkatannya. Dampak potensial pengganggu berdasarkan grafik 4.2

dapat menaikkan tingkat energi. Potensial Coloumb yang berbentuk sumur

menyebabkan enrgi ikat electron mengecil, sehingga electron mudah tereksitasi.

-15

-10

-5

0

Tanpa Parameter Dengan Parameter


commit to user

80

2. Analisis Energi pada Potensial Eckart Plus Pöschl–Teller I Non-Sentral

Grafik tingkat energi diperoleh dari persamaan (4.49). Dengan memilih

=1, =4 dan =2 diperoleh grafik seperti pada

gambar 4.9.

Gambar 4.9 Tingkat Energi Potensial Eckart Plus Pöschl–Teller Non-Sentral.

Berkebalikan dengan Grafik pada gambar 4.9, pada gambar 4.9,. Fungsi

parameter pada potensial Pöschl–Teller I Non-Sentral dapat menurunkan nilai

energi tiap tingkatan. Penurunan energi terbesar pada kondisi E12. E12 tanpa

parameter menghasilkan energi -1219.568425 MeV, dengan parameter

menghasilkan energi -2723.240661MeV. Pengurangan ini disebabkan perubahan

bilangan kuantum l sehingga merubah energi tiap tingkatannya. Potensial Eckart

dengan faktor sentrifugal lebih stabil dibandingkan potensial Coloumb, ketika

potensial Eckart dengan faktor sentrifugal mengalami gangguan, dominasi medan

potensialnya masih kuat sehingga pengaruh medan pengganggu tidak menurunkan

energi gap, malah menaikkan energi gap. Dari bentuk potensialnya, potensial

-3000

-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

Tanpa Parameter Dengan Parameter


commit to user

81

Eckart berbentuk bukit, sedangkan potensial Coloumb berbentuk lembah. Bentuk

kedua potensial ini menyebabkan hasil tingkat energinya berkebalikan. Walaupun

hasilnya berkebalikan dengan potensial Coloumb plus Pochl-Teller I, karena

bentuk dasar dari potensial Eckart plus Pochl-Teller I Non-Sentral adalah bukit,

maka semakin negatif tingkat energinya, maka energi ikat partikel semakin mudah

terlepas. Penurunan tingkat energi ini menyebabkan jarak antar partikel semakin

jauh, sehingga amplitude gelombang radial membesar. Hasil ini sesuai dengan

analisis fungsi gelombang radial.

E. Dampak Spesifik Parameter Terhadap Tingkat Energi

Dampak spesifik parameter terhadap kenaikan tingkat energi pada

potensial Coloumb plus potensial Poschl-teller I dapat dilihat pada tabel 4.3.

Tabel 4.3 Dampak Spesifik Parameter terhadap Kenaikan tingkat Energi Pada Potensial

Coloumb Plus Posch-Teller I

n m κ η En

1 0 2 4 -0.46395

1 0 4 2 -0.24411

2 0 2 4 -0.19209

2 0 4 2 -0.1242

1 1 2 4 -0.41392

1 1 4 2 -0.23511

1 1 2 4 -0.41392

1 1 4 2 -0.23511

Tabel 4.3 diperoleh dari memasukkan persamaan (4.8) dengan mengganti

nilai l d dengan l’ yang merupakan bilangan kuantum obital baru akibat gangguan.

Berdasarkan tabel 4.2 dapat dismpulkan bahwa parameter κ memberikan kenaikan

tingkat energi yang lebih baik daripada parameter η. Kedua parameter tersebut


commit to user

82

sama-sama dapat menaikkan tingkat energi. Meskipun parameter κ memberikan

kenaikan tingkat yang lebih baik daripada parameter η, kerapatan yang dihasilkan

parameter κ menaglami penurunan (kecil). Pada nilai n=1 dan m=0, parameter

κ=4 dan η=2 menghasilkan energi=-0.24411 MeV, sedangkan pada parameter κ=2

dan η=4 menghasilkan energi -0.46395 MeV.

Dampak spesifik parameter terhadap penurunan tingkat energi pada

potensial Eckart plus potensial Poschl-teller I dapat dilihat pada tabel 4.4.

Tabel 4.4 Dampak Spesifik Parameter terhadap Penurunan tingkat Energi Pada Potensial

Eckart Plus Posch-Teller I

n m κ η En

0 0 4 2 -70.3453

0 0 2 4 -23.933

1 0 4 2 -190.75

1 0 2 4 -103.131

0 2 4 2 -87.1516

0 2 2 4 -43.8032

Tabel 4.4 diperoleh dari memasukkan persamaan (4.49) dengan mengganti

nilai l d dengan l’ , l’ merupakan bilangan kuantum obital baru akibat gangguan.

Berdasarkan tabel 4.4 dapat dismpulkan bahwa parameter κ memberikan

penurunan tingkat energi yang lebih baik daripada parameter η. Kedua parameter

tersebut sama-sama dapat menurunkan tingkat energi.

F. Konversi Potensial Non-Sentral ke potensial dasar Coloumb

Konversi potensial Non-Sentral ke potensial Coloumb disajikan pada tabel

4.5.


commit to user

83

Tabel 4.5 Konversi Potensial non sentrakl ke potensial dasar Coloumb

No. Potensial Batasan-batasan

( ) {

( ( )

( )

)} 1. Jika parameter dan =0 maka

potensial yang bekerja hanya

potensial Coloumb.

2. Jika hanya =0, maka potensial

yang bekerja adalah potensial ring

shape.

3. Jika hanya =0, maka potensial

yang bekerja adalah cosecant

kuadrat teta.

4. Potensial Coloumb akan tampak ketika nilai e (muatan lebih dari

100C)

( )

(

( )

)

( ( )

( )

)

Jika V1=0, parameter dan =0 maka

persamaan V0=1, maka persmaan menjadi

V=

( )

=

[

] =

(

). Dengan

nilai =- , (

) <<<0. Maka

persamaan potensial tersebut akan

kembali pada potensial Coloumb.


commit to user

84

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

A. Kesimpulan

Bedasarkan pembahasan yang telah dipaparkan pada bab IV dapat kami simpulkan bahwa:

1. Penyelesaian persamaan energi dan fungsi gelombang potensial non sentral hasil

kombinasi Coloumb plus Pöschl–Teller I dapat diselesaikan dengan menggunkan

metode NU. Persamaan energi dinyatakan dalam bentuk

dan bentuk persamaan gelombang dinyatakan dalam bentuk

untuk persamaan gelombang radial dan

(

)

untuk porsamaan polar dan azimuth. Persamaan gelombang radial terganggu mengalami

penurunan z (koordinat simetri yang berperan sebagai amplitude gelombang) jika

dibandingkan dengan gelombang sebelum terganggu. Dilihat dari bentuk dan fungsi

potensial, potensial Coloumb tidak tampak ketika diganggu oleh potensial Pöschl–Teller I

jika nilai e kecil, dengan kata lain potensial Pöschl–Teller I lebih dominan dibandingkan

dengan potensial Coloumb. Fungsi gelombang pada koordinat polar dan azimuth juga

mengalami gangguan. Berbeda dengan koordinat polar, gangguan pada kordinat polar dan

azimuth mengalami Gangguan parameter dan dapat menaikkan fungsi gelombang. z

84


commit to user

85

dalam hal ini amplitude gelombang juga mengalami kenaikan seiring dengan perbesaran

parameter. Jika parameter dan tidak nol, parameter menghasilkan nilai z lebih besar

pada periode tertentu dibandingkan dengan parameter , sehingga kenaikkan tingkat energi

(momentum) juga lebih besar, tetapi, kerapatan parameter lebih besar daripada parameter

. Hasil ini sangat bersesuaian dengan prinsip ketidakpastian Heisenberg, jika kerapatan

tinggi (posisi lebih mudah ditentukan), energi partikel rendah, ketika energi partikel tinggi

maka kerapatan yang dihasilkan rendah. Vibrasi molekul yang dihasilkan akibat gangguan

tidak konstan tetapi tetap periodik. Hal ini dapat dilihat dari perubahan nilai z pada

intrepetasi gelombang. parameter pada potensial Pöschl–Teller I dapat menambah nilai

energi tiap tingkatan. Peningkatan energi terbesar pada kondisi Eo. Eo tanpa parameter

menghasilkan energi -13.6 MeV, dengan parameter menghasilkan energi -3,80 MeV. Pada

potensial Eckart terlihat bahwa fungsi radial terganggu, amplitude gelombang fungsi radial

naik. Hasil ini berkebalikan dengan kesimpulan pada potensial Coloumb plus potensial

Posch-Teller I. perlu diingat bahwa bentuk potensial eckart dan potensial Coloumb

berkebalikan, sehingga persamaan gelombang yang dihasilkan pun berkebalikan. Fungsi

parameter pada potensial Pöschl–Teller I Non-Sentral dapat menurunkan nilai energi tiap

tingkatan. Penurunan energi terbesar pada kondisi E12. E12 tanpa parameter menghasilkan

energi -1219.568425 MeV, dengan parameter menghasilkan energi -2723.240661MeV.

Pengurangan ini disebabkan perubahan bilangan kuantum l sehingga merubah energi tiap

tingkatannya. Potensial Eckart dengan faktor sentrifugal lebih stabil dibandingkan

potensial Coloumb, ketika potensial Eckart dengan faktor sentrifugal mengalami

gangguan, dominasi medan potensialnya masih kuat sehingga pengaruh medan

pengganggu tidak menurunkan energi gap, malah menaikkan energi gap.

77


commit to user

86

2. Penyelesaian persamaan energi dan fungsi gelombang potensial non sentral hasil

kombinasi Eckart plus Pöschl–Teller I dapat diselesaikan dengan menggunkan metode

NU. Persamaan energi dinyatakan dalam bentuk :

{(√

)

(√

)

}

dan bentuk persamaan gelombang dinyatakan dalam bentuk

√

√

(

√ (

)

√

)

untuk persamaan gelombang radial,

(

)

untuk porsamaan polar dan azimuth. Dilihat dari bentuk dan fungsi potensial, potensial

Eckart tidak tampak ketika diganggu oleh potensial Pöschl–Teller I jika nilai a kecil,

tapi sudah menunjukkan bentuk potensialnya ketika a dinaikkan 10. Ini menunjukkan

bahwa potensaial Eckart lebih dominan dibandingkan dengan Coloumb ketiha

mengalami gangguan potensial Pöschl–Teller I non sentral. Fungsi gelombang pada

koordinat polar dan azimuth juga mengalami gangguan. Pada kordinat polar dan

azimuth mengalami Gangguan. Parameter dan dapat menurunkan fungsi

gelombang. z dalam hal ini amplitude gelombang juga mengalami penurunan seiring

dengan perbesaran parameter. Jika parameter dan tidak nol, parameter

menghasilkan nilai z yang lebih kecil pada periode tertentu dibandingkan dengan

parameter , sehingga penurunan tingkat energi (momentum) juga lebih tajam. Hasil

ini berkebalikan dengan potensial Coloumb plus potensial Posch-Teller I non sentral.

Vibrasi molekul yang dihasilkan akibat gangguan tidak konstan tetapi tetap periodik.


commit to user

87

Hal ini dapat dilihat dari perubahan nilai z pada intrepetasi gelombang. parameter pada

potensial Pöschl–Teller I.

3. Bentuk visualisasi gelombang bagian sudut dalam 2 dimensi dan 3 dimensi dapat

dibuat menggunakan program matematica 8.0. Simulasi potensial dan komputasi

fungsi radial juga dapat dibuat melalui program matematica. Visualisasi 2 dimensi

menggunakan koordinat kartesian dan polar, visualisasi 3 dimensi menggunakan

koordinat kartesian dan bola. Fungsi tingkat energi juga dapat digambarkan dengan

program matematica 8.0. pada thesis ini peneliti menggunakan program M.S exel

karena dipandang lebih detail.

B. Saran

Berdasarkan hasil seminar Fisika LIPI pada tanggal 20 juli 2012, ada empat saran

dari para pakar:

1. Menngkaji bentuk potensial lain dan menyimpulkan potensial mana yang

menghasilkan tingkat energi lebih tinggi.

2. Melakukan perhitungan secara numerik fungsi gelombang, kemudian membandingkan

hasil fungsi tersebut dengan hasil analitik.

3. Pengkajian lebih mendalam hasil teori terhadap Fisika terapan, misalnya material.

4. Mewujudkan perhitungan teoritik menjadi sebuah simulasi produk (rancangan alat)

yang dapat menggambarkan dan atau mengukur potensial setiap bahan material.

digilib.uns.ac.id/Solusi... · perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id commit to user ii SOLUSI PERSAMAAN SCHRODINGER UNTUK POTENSIAL NON SENTRAL KOMBINASI POTENSIAL COULOMB, ECKART

Documents