BILANGAN KOMPLEKS Pengertian Bilangan kompleks adalah bilangan yang dinyatakan dalam bentuk : Z = a + bi , a, b IR dan i = Di mana : a disebut bagian riil ditulis Re z = a B disebut bagian imaginer Im z = b Kesamaan Dua bilangan kompleks a+ bi; dan c+ di; dikatakan sama a = c dan b = d. Pada bilangan kompleks tidak berlaku relasi dan . Operasi Aljabar 1. Jumlah dua bilangan kompleks (a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i 2. Selisih dua bilangan kompleks (a+ bi) - (c+ di) = (a- c) + (b- d)i 3. Hasil ganda dua bilangan kompleks (a+ bi) (c+ di) = (ac- bd) + (ad+ bc)i 4. Hasil bagi dua bilangan kompleks Bentuk Kutub Bilangan Kompleks Bilangan kompleks Z = a+ bi dapat dinyatakan dengan sebuah titik pada sebuah bidang yang disebut bidang kompleks. Sumbu X sebagai sumbu riil dan sumbu Y sebagai sumbu imaginer dan bidang XOY dinamakan bidang kompleks.
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
BILANGAN KOMPLEKS
BILANGAN KOMPLEKS
Pengertian
Bilangan kompleks adalah bilangan yang dinyatakan dalam bentuk :
Z = a + bi , a, b ( IR dan i =
Di mana : a disebut bagian riil ditulis Re z = a
B disebut bagian imaginer Im z = b
Kesamaan
Dua bilangan kompleks a+ bi; dan c+ di; dikatakan sama ( a = c dan b = d. Pada bilangan kompleks tidak berlaku relasi ( dan (.
Operasi Aljabar
1. Jumlah dua bilangan kompleks
(a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i
2. Selisih dua bilangan kompleks
(a+ bi) - (c+ di) = (a- c) + (b- d)i
3. Hasil ganda dua bilangan kompleks
(a+ bi) (c+ di) = (ac- bd) + (ad+ bc)i
4. Hasil bagi dua bilangan kompleks
Bentuk Kutub Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks Z = a+ bi dapat dinyatakan dengan sebuah titik pada sebuah bidang yang disebut bidang kompleks. Sumbu X sebagai sumbu riil dan sumbu Y sebagai sumbu imaginer dan bidang XOY dinamakan bidang kompleks.
Bilangan kompleks Z = a+ bi pada bidang kompleks diwakili oleh titik P (a,b). Perwakilan ini disebut diagram Argand
( = sudut antara sumbu x positif dengan
r = disebut modulus atau nilai mutlak dari z, ditulis
Sin ( = , Cos ( =
Sudut ( disebut argumen dari Z
Maka Z = a + bi = r Cos ( + r Sin ( i
= r (Cos ( + i Sin ( )
= r Cis (Jadi r Cis ( , merupakan bentuk kutub dari bilangan kompleks Z
Sifat : Jika Z1 = r1 (Cos (1 + i Sin (1)
Z2 = r2 (Cos (2 + i Sin (2)Maka : Z1Z2 = r1r2 [Cos ((1+(2) + i Sin ((1+(2)] atau
(r1 Cis (1) (r2 Cis (2) = r1 r2 Cis ((1+(2)
Bilangan Kompleks Sejodoh (sekawan) / konjugat
Z = a + bi konjugatnya adalah = a bi
Sifat- sifat : 1. = Z
2. Jika Z1 = a+ bi , Z2 = c + di, maka
3. =
4.
5.
Pada bilangan kompleks berlaku hukum-hukum sebagai berikut:
1. Hukum komutatif
Z1 + Z2 = Z2 + Z1
Z1 . Z2 = Z2 . Z1
2. Hukum asosiatif(Z1 + Z2) + Z3 = Z1 +( Z2 + Z3)
(Z1 . Z2) . Z3 = Z1 .( Z2 . Z3)
3. Hukum distributif
(Z1 + Z2) . Z3 = Z1 Z3 + Z2 Z3Teorema De Moivre
Untuk setiap bilangan rasional n berlaku :
[ r (Cos ( + i Sin ()]n = rn (Cos n( + i Sin n()
Khusus untuk r = 1, maka : [Cos ( + i Sin (]n = Cos n( + i Sin n()
Penarikan Akar
Cos ( = Cos (( + k. 3600)
Sin ( = Sin (( + k. 3600) , k (
x + iy = r (Cos ( + i Sin ()
= r [Cos (( + k. 3600) + i Sin (( + k. 3600)]
Jadi .= r1/n [Cos () + i Sin ()]
k = 0, 1, 2, , (n-1)
SOAL- PENYELESAIAN
1. Dapatkan bentuk kutub dari Z = -3 + 3i
Penyelesaian :
r =
Sin ( = Cos ( =
Jadi : -3 + 3i = (Cos 1350 + i Sin 1350) = Cis 13502. Dapatkan nilai (+ i)6 Penyelesaian :
a + bi = r (Cos ( + i Sin ()
+ i = r (Cos ( + i Sin ()
r =
Sin
+ i = 2(Cos 300 + i Sin 300)Jadi (+ i)6 = [2(Cos 300 + i Sin 300)]6 = 26(Cos 1800 + i Sin 1800) = 26(-1 + 0) = -263. Dapatkan semua akar dari
Penyelesaian :
r =
Sin
k = 0
k = 1
k = 0
SOAL-SOAL LATIHAN
1. Hitunglah
2. Hitungkah
3. Hitunglah (+ i)74. Dapatkan bentuk kutub dari Z = -5 + 5i5. Dapatkan semua akar dari
MATRIKS
Pengertian
Matriks adalah daftar bilangan yang disusun dalam sebuah empat persegi panjang dan diatur dalam baris-baris dan kolom-kolom. Bilangan-bilangan dalam matriks disebut elemen (unsur) matrik. Untuk menunjukkan letak elemen, suatu elemen matriks perlu diberi indeks.
Contoh : matriks A berordo m x n (ditulis Amxn)
Amxn = = [aij], i = 1, 2,, m
j = 1, 2,,n
m adalah banyak baris dari matriks A
n adalah banyak kolom dari matriks A
aij adalah elemen matriks A pada baris ke-i dan kolom ke-j
Amxn = [aij]m x n
AI x n (matriks baris, vektor baris), Am x I (matriks kolom, vektor kolom)
Operasi Matriks1. Dua matriks A= [aij] dan B = [bij] dikatakan sama (A=B) jika A dan B berordo sama dan [aij] = [bij] , ( i, j
2. Jumlah dua matriks A= [aij] dan B = [bij] yang berordo sama adalah matriks C = [cij] dengan cij = aij + bij , ( i, j
3. Selisih dua matriks A= [aij] dan B = [bij] yang berordo sama adalah matriks C = [cij] dengan cij = aij - bij , ( i, j
4. perkalian bilangan k dengan matrik A =[aij] , (k . A) adalah matrik B = [bij] dengan bij = k. aij , ( i, j
5. Perkalian matriks Amxn dan Bp x q terdefinisi bila n = p
A . B adalah matriks C = [cij]m x n dengan cij = ai1 b1j + ai2 b2j ++ain bnj =
Perkalian matriks tidak bersifat komutatif, AB ( BA
Beberapa Jenis Matriks
1. Matriks Bujur Sangkar : matrik yang jumlah baris dan kolomnya sama
2. Matriks diagonal : matrik bujur sangkar yang semua elemen di luar elemen diagonal utamanya nol, sedangkan elemen diagonal utamanya tidak semuanya nol
3. Matriks skalar : matrik diagonal yang semua elemen diagonal utamanya sama
4. Matriks satuan : matrik skalar yang semua elemennya satu
5. Matriks segitiga atas : matrik bujur sangkar dengan aij = 0, i ( j
6. Matriks segitiga bawah : matrik bujur sangkar dengan aij = 0, i ( j
Transpose suatu matriks A yang dinyatakan dengan At adalah matrik yang diperoleh dari matrik A dengan menukarkan baris-baris menjadi kolom-kolom dan sebaliknya.
A =
At =
Misal matriks A, B, dan C mempunyai ordo maka operasi matriks dapat dikerjakan, maka berlaku :
1. A + B = B + A (Hukum komutatif untuk penjumlahan)
2. A + (B + C) = (A + B) + C (Hukum asosiatif untuk penjumlahan)
3. A (BC) = (AB)C (Hukum asosiatif untuk perkalian)
4. A(B + C) = AB + AC dan (B + C)A = BA + CA (Hukum distributif)
Determinan Matriks
Setiap matriks bujur sangkar dapat dikaitkan dengan suatu bilangan riil yang disebut determinan matriks A ditulis det (A) atau dimana :
Det (A) = = Definsi :
A = [a11] = det A = = a11A =.
A =
Definisi
Minor elemen aij yang ditulis Mij adalah determinan yang diperoleh dari matrik A dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j.
A = M11 =
Kofaktor elemen aij ditulis
K11 = (-1)1 + 1 M11 = M11 ,
K23 = (-1)2 +3 M23 = M23Sifat-Sifat Determinan
1. Bila semua elemen pada suatu baris / kolom dari suatu determinan nol maka nilai det. itu sama dengan nol.
2. Nilai determinan tidak berubah jika baris diganti dengan kolom atau sebaliknya
3. Bila dua baris (kolom) ditukar tempatnya maka nilai det. menjadi negatif dari nilai det. semula
4. Bila dua baris (kolom) dari suatu det. sama, maka nilai det. itu sama dengan nol.
= 05. Bila setiap elemen dalam suatu baris (kolom) dari suatu det. dikalikan dengan bilangan k maka nilai det. yang terjadi terkalikan k.
6. Bila setiap elemen dalam suatu baris (kolom) dar suatu det. dapat dinyatakan sebagai jumlahan dua bilangan maka det. itu dapat dinyatakan sebagai jumlahan dua determinan.
7. Jika suatu baris (kolom) dari suatu det. dikalikan dengan bilangan k kemudian hasilnya ditambahkan pada baris (kolom) yang lain maka nilai det. yang terjadi sama dengan nilai det. semula.
Misal det A = =
Invers MatriksDefinisi : matriks bujur sangkar A dan B sedemikian hingga BA = AB = I dengan I matrik satuan maka B dikatakan invers matriks A atau A invers B. Invers matrik A ditulis, A-1.
Metode mendapatkan invers matrik :
1. Misal A = = i = 1, 2, , n j = 1, 2, , n
Adj A =
Invers matrik ordo 2 x 2 :
Misal A =
2. Operasi Baris Elementer (OBE)
matriks A dengan operasi baris direduksi menjadi matriks I (identitas), bersamaan dengan itu operasi tersebut dilakukan pada I (identitas) untuk memperoleh A-1Pemakaian Matriks
- system persamaan linier (SPL)
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 +.+ a2nxn = b2
.
an1x1 + an2x2 + + amnxn = b3
Misal : A = X = B =
Maka SPL di atas dapat ditulis :
= atau A X = B
Bila A mempunyai invers, maka :
- Sistem persamaan linier dengan metode CRAMERa11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 +.+ a2nxn = b2
.
an1x1 + an2x2 + + amnxn = b3
misal ( =
Metode Cramer
- SPL dengan satu persamaan lebih
perhatikan SPL berikut
a1x + b1y = c1I
a2x + b2y = c2II
a3x + b3y = c3III
umumnya SPL tersebut tidak konsisten (tidak punya solusi tunggal)
Pandang persamaan I & II dan misalkan
maka terdapat sepasang akar, yaitu x = , y =
Supaya akar-akar tersebut memenuhi persamaan III haruslah :
- SPL dengan satu persamaan kurang
perhatikan SPL berikut :
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
dapat ditulis
a1x + b1y = d1 - c1z
a2x + b2y = d2 - c2z
misalkan x = y =
Dalam hal ini x dan y dinyatakan secara linier dengan z, z dapat diberi nilai sebarang bilangan nyata. Satu nilai untuk z terdapat satu nilai untuk x dan satu nilai untuk y. Jadi SPL tersebut mempunyai pasangan akar yang tak terbatas banyaknya.
- SPL Homogen
Misal :
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 +.+ a2nxn = 0
.
an1x1 + an2x2 + + amnxn = 0
setiap SPL homogen punya solusi nol yaitu x1 = 0, x2 = 0, , xn = 0 (disebut solusi trivial)
Suatu system n persamaan linier homogen dengan n bilangan yang tidak diketahui mempunyai solusi non trivial jika dan hanya jika determinan koefisien sama dengan nol
SOAL- PENYELESAIAN
1. Carilah invers matrik A =
Penyelesaian :
2. Carilah nilai X dari SPL berikut :
4x1 + 3x2 + x3 = 6
2x1 + x2 + x3 = 4
x1 + 2x2 + 2x3 = 5
Penyelesaian :
3. Carilah nilai x , y dan z dari SPL di bawah dengan menggunakan metode Cramer2x - y + z = 5
x + 3y 2z = -1
7x + y + z = 8
4. Apakah SPL berikut konsisten, bila konsisten. Selesaikan.x + y + z = 0
x + y +3z = 2
2x -3y -5z = 8
3x-2y-8z = 4
Penyelesaian :
Tinjau 3 pers. pertama
5. Carilah nilai x , y dan z dari SPL di bawah
2x - 2y + 4z = 6 2x 2y = 6 4z2x +3y + 5z = 10 2x + 3y = 10 -5zPenyelesaian :
6. Carilah nilai x , y dan z dari SPL di bawah
x y 3z = 02x 2y 6z = 0
2x + 3y z = 0
Penyelesaian :
jadi SPL tersebut mempunyai solusi non trivial, yaitu
jadi x = 2a , y = -a , z = a , a R
SOAL SOAL
1. Carilah invers matrik A = dengan menggunakan operasi baris elementer (OBE)2. Carilah invers matrik A =
3. Carilah invers matrik A =
4. Dengan metode Cramer carilah nilai x , y dan z dari SPL berikut :
x + y +z = 6
x + 2y + 3z = 14
x +4y + 9z = 36PERSYARATAN MATEMATIKA
1. ALJABAR DAN FUNGSI
Pendahuluan :
Konstanta / parameter : lambang yang mewakili anggota tertentu dalam semesta
pembicaraan.
Peubah / variable : lambang yang mewakili anggota tak tertentu dalam semesta
pembicaraan
Peubah dan konstanta merupakan lambang / symbol, sedangkan lambing itu sendiri adalah unsur bahasa bukan unsur matematika.
Contoh :
2 , (, 52 adalah symbol / lambang untuk menunjukkan unsure tertentu dari matematika
Siti adalah symbol tetapi tidak menunjukkan unsure dari matematika
Pertidaksamaan
Pertidaksamaan satu peubah adalah bentuk matematika dengan satu peubah real yang disertai relasi urutan ( , ( , ( , atau (.
Sifat relasi urutan :
Semesta S = himpuna bilangan Real (R)
1. x ( 0 dan y ( 0 ( x + y ( 0 dan xy ( 02. x ( 0 dan y ( 0 ( x + y ( 0 dan xy ( 03. x ( 0 dan y ( 0 ( xy < 04. x < y dan a ( R ( x + a < y + a5. x < y dan a > 0 ( ax < ay a < 0 ( ax > ay
6. x < y dan z < w ( x + z < y + w
7. 0 < x < y ( >
x < y < 0 ( >
Pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak
Definisi :
Sifat sifat nilai mutlak :
1.
6.
2.
7.
3.
8..
4.
9.
5.
2. FUNGSI DAN GRAFIK
Definisi : suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B ditulis f : A ( B adalah suatu aturan
yang mengaitkan setiap unsur di A dengan tepat satu unsur di B.
Misal f suatu aturan atau pengaitan yaitu f : A( B, bila f mempunyai sifat:
( x1, x2 ( A , x1 ( f (x1) ( B, x2 ( f (x2) ( B dan
x1 = x2 ( f (x1) = f (x2)
Maka f mendefinisikan suatu fungsi dari A ke B
Contoh :
Misal A : himpunan empat dadu A = { D1, D2, D3, D4}
B : himpunan mata dadu B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}
Suatu lemparan menentukan suatu fungsi f dari A ke B A f B
A disebut Domain (daerah asal)
B disebut Co- Domain (daerah kawan)
F (A) = {1, 3, 5} disebut range (daerah hasil)
Fungsi Bernilai Riil (Nyata)
Fungsi f bernilai / berharga riil bila f : R ( R R = himpunan bilangan riil
Macam macam Fungsi
1. Fungsi Pangkat : y = f(x) =
2. Fungsi Eksponensial :
3. Fungsi Logaritma :
Fungsi Periodik, Fungsi Ganjil, Fungsi Genap
Fungsi periodik ( (L ( f (x + L) = f (x)
Contoh : f (x) = sin x ( L = 2(
g (x) = cos 3x ( L = 2(/3
h (x) = x + 1 , 0 ( x < 3 dan h (x + 3) = h (x), (x ( L = 3
Fungsi genap ( f (-x) = f (x), grafiknya simetri terhadap sumbu y
Contoh : f (x) = cos x
f (x) = 2x4 x2 + 9
f (x) = c , c = konstan
Fungsi ganjil ( f (-x) = - f (x)
Contoh : y = x
f (x) = x3 2x
f (x) =
Fungsi- fungsi yang telah kita bicarakan adalah fungsi satu peubah. Grafik fungsi satu peibah ada di R2 (ruang dimensi dua).
Fungsi lebih dari satu peubah
Definisi Suatu fungsi n peubah ialah suatu pemetaan dari Rn ke R ditulis f : Rn ( R atau f : (x1, x2, , xn) ( Rn ( f [(x1, x2, , xn)] ( R.
SOAL PENYELESAIAN1. Selesaikan pertidaksamaan x2 x 6 < 0
Penyelesaian :
I.
x < -2 -2 0 x + 2 > 0 x 3 < 0x 3 < 0 x 3 > 0 (x + 2)(x - 3) >0 (x + 2)(x - 3) 0
II.
( x + 2)
(x - 3)
(x + 2)(x - 3)Jadi HP : {x}2. Selesaikan pertidaksamaan
Penyelesaian :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 HP : {x}
3. Selesaiakan
Penyelesaian :
HP : {x}4. Selesaikan
Penyelesaian :
5. Dapatkan himpunan penyelesaian
Penyelesaian :
HP : {x}
6. Ubahlah fungsi y = 2 tanpa menggunakan tanda nilai mutlak
Penyelesaian :
Harga nol fungsi : x = 0 dan x = 1
x 1 < 0 x 1 < 0 x 1 0
y = x + 1 y = 3x -1
Jadi y = 2 =
LIMIT FUNGSI
Definisi
Limit Sepihak
disebut limit kiri ditulis
(x < a)
disebut limit kanan ditulis
(x > a)
Jika ada ( limit kiri = limit kananRumus rumus Dasar Limit
Bila dan maka :1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Limit Fungsi Geometri1.
4.
2.
5.
3.
6.
4.
7.
SOAL-PENYELESAIAN1.
2.
3.
4.
5.
6.
=
7.
8.
9.
=
10.
11.
SOAL-SOAL1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
10.
KONTINUITAS SUATU FUNGSIDefinisi :Fungsi f(x) dikatakan kontinu di titik x = x0 bila :
(I) f (x0) ada
(II)
(III) Bila paling sedikit ada satu syarat yang tidak dipenuhi maka dikatakan f(x) diskontinu di x = x0.Definisi :1. Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada (a,b) jika f(x) kontinu
2. Fungsi f(x) kontinu pada [a,b], jika f(x) kontinu pada (a,b) dan kontinu di x = a & di x = b
Sifat- sifat fungsi kontinu- Jika f(x) dan g(x) kontinu di x = x0 , maka f(x) g(x) , f(x) g(x) dan , g(x) 0 kontinu di x = x0. Oleh karena itu, setiap fungsi pecah rasional f(x) =
akan kontinu di mana-mana, kecuali pada nilai x yang membuat penyebut menjadi nol.- Bila f kontinu pada (a, b) maka f mempunyai max. mutlak (global) & min mutlak pada (a,b). [Teorema kajadian Maks &Min]
- Fungsi f dikatakan mempunyai max. mutlak pada R jika f mempunyai max mutlak di x1untuk f(x1)- Fungsi f mempunyai min. mutlak pada R jika
- Bila f kontinu pada interval yang tidak tertutup atau f didefinisikan pada (a,b) tetapi mempunyai titik-titik diskontinu pada (a, b) maka adanya max & min mutlak tidak dijamin.
SOAL-PENYELESAIAN1. Hitunglah maksimum dan minimum mutlak pada f(x) = x2 + 2x 3 = (x+3) (x-1) , x ( [-4, 4]
Penyelesaian : max. mutlak = f(4) = 16+8-3=21 ,
min mutlak = f(-1) = 1-2-3 = -4tps x , tps y , titik balik
2. Hitunglah maksimum dan minimum mutlak pada f (x) = 5 , x ( [-2, 3]
Penyelesaian :
mempunyai maks & min mutlak sebab
dan
3. Hitunglah maksimum dan minimum mutlak pada f(x) = x2 , x ( [-2, 2]Penyelesaian :
tidak ada maks mutlak sebab tidak ada
Minimum mutlak ada yaitu f(x) = 0
4. Hitunglah maksimum dan minimum mutlak pada h(x) = x, x ( [0, 3]Penyelesaian :
walaupun h kontinu pada (0,3), tapi h tidak mempunyai maks mutlak & min mutlak pada (0, 3)
5. Selidki fungsi f(x) = x2 + 1 apakah kontinu di x = 2 Penyelesaian :
(i) Nilai fungsi di x = 2 adalah f(2) = 22 + 1 = 5 (ada)
(ii) Nilai limit :
(iii) Karena f(2) = , maka fungsi f(x) kontinu di x = 2
6. Selidiki fungsi f(x) = apakah kontinu di x = 4
Penyelesaian :
(i) Nilai fungsi f(4) = (tak tentu)
(ii)
(iii) Karena f(4) , maka f(x) diskontinu di x = 4
7. f(x) = berapa nilai b agar f(x) kontinu ?Penyelesaian :
Perhatikan untuk x = 0 f(0) =
Agar yaitu
(f kontinu di x = 0 bila b = )
SOAL-SOAL1. Apakah f kontinu di x = 2 ? jika tidak jelaskan alasannya?
a. f(x) = 4x2-2x+2
c. f(x) =
b. f(x) =
2. Di titik-titik mana, jika ada, f(x) diskontinu?a. f(x) =
c. f(x) =
b. f(x) =
3. Fungsi di bawah ini tidak terdefinisi pada suatu titik tertentu, bagaimana mendefinisikan agar kontinu di titik itu?
a. f(x) =
b. f(x) =
TURUNAN (DERIVATIF)Definisi :Turunan fungsi f di titik x = x0 adalah fungsi f dengan f(x0) = , bila limit ini ada. Bila limit ini ada maka dikatakan f terdiferensial atau diferensiabel di x = x0.Turunan fungsi y = f(x) ke peubah x ditulis y = f(x) atau dengan dy dan dx disebut diferensial. Jika maka
Kecepatan SesaatSebuah benda P jatuh mulai dari keadaan diam dan dalam waktu t detik
P jatuh sejauh 16t2. Selama detik kedua (t = 1 sampai t = 2), P jatuh sejauh (64-16) meter.
Kecepatan rata-rata = V rata-rata =
t = 1 sampai t = 1,5 ( V rata-rata =
t = 1 sampai t = 1,1( V rata-rata == 32,6
t = 1 sampai t = 1, 01( V rata-rata = = 32,16
Jadi Kecepatan sesaat V di x0
V =
Teorema : f mempunyai turunan di x0 ( f kontinu di x0Kontraposisi : f diskontinu di x0 ( f tidak punya turunan di x0Teorema : Bila f mempunyai turunan di x = x0 maka f kontinu di x = x0 [f(x0) ada ( f
kontinu di x0]
Rumus Turunan Fungsi AljabarBila u, v, w fungsi dari peubah x yang diferensiabel maka :
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
Turunan Fungsi BersusunBila y = f(x), u = g(v), v = h(x) dimana f, g, h fungsi yang diferensiabel, maka
Turunan Fungsi Logaritma & EksponensialJika u, v fungsi dengan peubah x yang diferensiabel maka :
1.
2.
3.
4.
5.
Turunan Fungsi GoniometriBila u fungsi dari x yang diferensiabel, maka1.
2.
3.
4. 5.
6.
Turunan Fungsi ParameterJika x = f(t), y = g(t) , dengan f, g fungsi yang mempunyai turunan, t parameter, maka
Turunan Fungsi ImplisitSetiap fungsi dalam bentuk eksplisit y = f(x) dapat diubah menjadi bentuk implisit F(x,y) = 0 (sebaliknya belum tentu). Untuk mendapatkan dari F(x, y) = 0, fungsi tersebut diturunkan ke peubah x dan peubah y dengan mengingat y merupakan fungsi x, sbb :
Di mana :
= derivatif positif terhadap x dari fungsi F(x,y), yang diperoleh dengan menganggap
y kontinu
= turunan parsiil terhadap y dari F(x,y), dicari dengan menganggap x konstan.Turunan Tingkat TinggiTurunan fungsi y = f(x) pada umumnya masih merupakan fungsi x, berarti masih dapat diturunkan ke-x lagi.
disebut turunan tingkat satu ke-x
disebut turunan tingkat dua ke-x
disebut turunan tingkat n ke-x
SOAL-PENYELESAIAN1. Dengan definisi carilah turunan fungsi f(x) = c, c = konstanPenyelesaian :
f(x) =
2. f(x) = apakah f(x) kontinu di x = 0 ? jika ya, apakah f(x) ada?Penyelesaian
sehingga f kontinu di x = 0
Apakah f(x) ada?
tidak ada sebab
3. f(x) = (3x-2)2 , f(x)?
Penyelesaian : f(x) = 9x2 12x + 4 maka f(x) = 18x-14. Dapatkan dari y = log (1+ x2)Penyelesaian :
5. Dapatkan dari y = Sin (2x3) dan y = tg x-ctg x
Penyelesaian :
6. Tentukan dari x = a(t sin t) , y = a(1-cos t)Penyelesaian :
(
7. Dapatkan dari x3 + y 3 - 3ax2y4 = 0
Penyelesaian :
F(x,y) = x3 + y 3 - 3ax2y4
,
8. Tentukan dari y =
Penyelesaian:
SOAL-SOAL1. f(x) = x2 , x < 0
x , x 0 Apakah f(x) kontinu? Berapa f(0)?
2. Dapatkan dari :
a. y = (x2-3)2
f. y = x(2x-1)(3x+2)
b. y =
g. y = (3x2 + 2)
c. y = (x2-3)23
h. y = 2u, u = (x2+1) , x = (2t3-1)
d. y = (3x-1)(2x+5)
e. y =
3. Dapatkan dari :a. y =
e. y = ln
b. y = ln (x2-2x + 5)
f. y = x2 . e3x+1c. y = ln34x
g. y =
d. y = ln[ln(ln 4x)]
h. y =
4. Dapatkan dari :
a. y = Cos35x
4. y =
b. y =
5. y =
c. y = Sec
6. y = ln (tg x + Sec x)
5. Tentukan dari x = et Cos t , y = et Sin t
6. Dapatkan dari :
a. y3- 3y + 2ax = 0
d. y2 + x2 = 1
b. x4 xy3 +2 y x +11 = 0
e. ey = x + y
c. y = Cos (xy)
7. Tentukan dari y = x ln x ?8. Tentukan y(n) dari y = x ex ?
9. Tentukan y(n) dari y =
FUNGSI SIKLOMETRI DAN FUNGSI HIPERBOLIKFUNGSI SIKLOMETRI
Pengertian Fungsi siklometri adalah kebalikan fungsi goniometri. Oleh karena itu derivatif fungsi siklometri dapat diperoleh dengan memanfaatkan sifat fungsi goniometri.
Rumus-rumus turunan fungsi siklometri1.
4.
2.
5.
3.
6.
FUNGSI HIPERBOLIKRumus rumus fungsi hiperbolik
1. Sinh x =
4. ctgh x =
2. Cosh x =
5. Sech x =
3. tgh x =
6. Cosech x =
Hubungan fungsi-fungsi hiperbolik1. Cosh2x Sinh2x = 12. Sinh 2x = 2 Sinh x Cosh x
3. Cosh 2x = Cosh2x + Sinh2x = 1+ 2 Sinh2x = 2 Cosh2x 14. Sinh (x y) = Sinh x Cosh y Cosh x Sinh y
5. Cosh (x y) = Cosh x Cosh y Sinh x Sinh y
6. tgh (x y) =
7. ctgh (x y) =
Turunan fungsi hiperbolikKarena fungsi hiperbolik didefinisikan dari fungsi eksponensial maka sesuai dengan turunan fungsi eksponensial, dapat diperoleh rumus-rumus turunan fungsi hiperbolik.
Bila u fungsi dari x, maka :
1.
4.
2.
5.
3.
6.
SOAL- PENYELESAIAN1. Tentukan dari y = arc Sin
Penyelesaian :
2.
3.
=
SOAL-SOAL1. y = arc. Cos
8. y =
2. y = arc. Cosec 2x
9. y = arc ctg
3. y = x arc. Sin 2x
10. y = arc Sin
4. y = arc tg
11. y =
5. y = arc Sin
12. y = arc Sec
6. y = arc Sec
13. y =
7. y = arc Sin
14. y = arc ctg
15. Tentukan dari :
a. y = Sinh x
b. y = tgh32x
c. y = arc sin (tgh 5x)TEOREMA ROLLEDefinisi : Jika f kontinu pada [a, b] dan f diferensiabel pada (a, b) serta f(a) = f(b) = 0. Maka
Contoh :
f (x) = x3 x2 -2x, x [0, 2]
f(0) = 0
f(2) = 8 4 4 = 0Menurut teorema Rolle,
f(x) = 3x2 2x 2,
f(x) = 0
x1,2 =
x1 = , x2 = , c = x1 =
TEOREMA LAGRANGE (T. Nilai Rata-rata)Definsi : Jika f(x) kontinu pada [a, b] dan diferensiabel pada (a, b) maka
Contoh :
Carilah bilangan c yang dijamin Teorema Lagrange untuk fungsi f(x) = 2 pada [1, 4]
Penyelesaian :
f(x) =
f kontinu pada [1,4] dan diferensiabel pada (a, b)
PENGGUNAAN TURUNANFungsi Monoton, Fungsi Naik dan Fungsi TurunDefinisi : Misal f terdefinisi pada interval I.
Fungsi f dikatakan monoton naik, jika
Fungsi f dikatan monoton turun, jika
Fungsi f dikatakan monoton jika f monoton naik atau f monoton turun
Teorema : Bila f kontinu pada I dan diferensiabel dalam I, maka
(i) f(x) > 0 ,
(ii) f(x) < 0 ,
Maksimum dan Minimum Relatif (Maks & Min Lokal)Definisi : Fungsi f dikatakan mempunyai maksimum relatif di x1 , jika
Fungsi f dikatakan mempunyai minimum relatif di x2 , jika
Harga maksimum relatif dan minimum relatif disebut juga harga ekstrim fungsi.Bila disekitar x0 f(x) bertanda sama f(x)> 0 untuk x < x0 dan x > x0 atau f(x) < 0 untuk x < x0 dan x > x0, maka f tidak mempunyai maksimum relative atau minimum relative di titik x0.Teorema Titik kritisMisalkan f terdefinisi pada interval I yang memuat x0, bila x0 adalah titik ekstrim, maka x0 haruslah suatu titik kritis, yakni x0 berupa salah satu :
a. Titik ujung dari I
b. Titik stationer dari f (f(x0) = 0)
c. Titik singular dari f (f(x0) tidak ada)Cembung dan Cekung Suatu KurvaDefinisi :
a. Suatu kurva y = f (x) disebut cekung ke atas (cembung ke bawah) bila busur
kurva selalu terletak di atas garis-garis singgung di titik-titik pada kurva tersebut.
b. Suatu kurva y = f (x) disebut cembung ke atas (cekung ke bawah) bila busur kurva selalu terletak di bawah garis-garis singgung di titik-titik pada kurva tersebut.
Bentuk lain definisi di atas (Purcell) :
Definisi :
Misal f diferensiabel pada selang terbuka I
Jika f naik maka f cekung ke atas
Jika f turun maka f cekung ke bawah
Teorema : f naik (f(x) > 0) ( min, cekung ke atasf turun (f(x) < 0) ( maks, cekung ke bawah
TITIK BELOK
Definisi : Titik belok adalah suatu titik di mana busur kurva berubah dari cembung ke bawah
menjadi cekung ke bawah, atau sebaliknya. (ada perubahan kecekungan).Pada titik belok, garis singgung tidak selalu sejajar sumbu x, maka suatu kurva y = f(x) mempunyai titik belok di x = x0 , bila :
(i) f(x0) = 0 dan
(ii) f(x0) 0 dan f(x0) ada ( syarat perluuntuk mencari titik belok, dapat dimulai dengan mengenali titik-titik dengan f(x) = 0 (dan di mana f(x) tidak ada), kemudian diperiksa apakah titik-titik tersebut benar-benar merupakan titik belok.
Harga Ekstrim Suatu Fungsi (i) Syarat perlu adanya harga ekstrim (relatif) pada suatu fungsi f adalah f(x) = 0
(ii) Syarat cukup adanya harga ekstrim (relatif) pada suatu fungsi f adalah f(x) 0, dan bila :
a. f(x) < 0, terjadi maksimum
b. f(x) > 0, terjadi minimum
ASIMTOT
Garis l disebut asimtot dari kurva (grafik) fungsi f jika jarak titik A (x, y) pada kurva tersebut ke garis l mendekati nol untuk A semakin jauh dari titik asal
1. Jika maka garis x = a adalah asimtot tegak dari y = f(x).
2. Jika ada (misal sama dengan b), maka garis y = b asimtot datar dari f.
3. Asimtot miring : y = ax + b
a = , b =
Menggambar grafik fungsi y = f(x), yang sering dilakukan :1. Menyelidiki daerah definisi, titik-titik diskontinu, untuk nilai x yang mana f(x) = 0, f(x) > 0, f(x) < 0.
2. Menentukan f(x), untuk nilai x yang mana f(x) = 0, f(x) tidak ada, f(x) > 0, f(x) < 0
3. Menentukan harga ekstrim fungsi (maks & min), untuk x yang mana f(x) maks dan f(x) min.
4. Mencari turunan f(x) jika perlu, untuk x yang mana f(x) = 0, f(x) > 0, f(x) < 0, f(x) tidak ada. Tentukan daerah di mana grafik cembung ke atas/ ke bawah serta titik belok bila ada.
5. Menentukan asimtot (datar/tegak/miring) bila ada
6. Mendaftar titik-titik y = f(x) bila perlu SOAL-PENYELESAIAN1. f(x) = apakah mempunyai titik belok di x = x0?Penyelesaian :
f(x) = tidak ada
f(x) = tidak ada
f(x) = tidak ada
x = 0 bukan titik belok
Syarat perlu adanya titik belok di x0 adalah f(x0) = 0 dan f(x0) 0 , f(x0) ada atau ditulis (A )
f(x0) = 0 dan f(x0) 0 , dan f(x0) ada x = x0 adalah titik belok
2. f(x) = apakah (0, 0) merupakan titik belok ?Penyelesaian :
f(x) = , f(x) = x , f(x) = 1
(0, 0) adalah titik belok sebab :
f(0) = 0
f(0) 0 (f(0) = 1) dan f(0) ada
Pernyataan A belum tentu berlaku, demikian sebaliknya B
3. f (x) = di mana kah titik belok fungsi tersebut ?Penyelesaian :
f(x) = , f(x) = , f (x) =
Dalam hal ini (0.2) adalah titik belok, walaupun f(0),
f(0) dan f(0) tidak ada.
Pada contoh no. 3 : f(-1) > 0, f(2) < 0 atau
f(x) > 0, x < 0 ( cekung ke atas
f(x) < 0, x > 0 ( cekung ke bawah
( ada perubahan kecekungan
x = 0 merupakan titik belok
4. f(x) = apakah fungsi tersebut mempunyai maksimum dan minimum baik relatif maupun mutlak ?Penyelesaian :
f(x) = tidak ada. Untuk mencari harga ekstrim perlu diperiksa titik yang diduga menjadi ekstrim, yaitu :di x = -1 ( f(-1) = maks. mutlak di x = 2
x = 0 ( f(0) = 0
min mutlak di x = 0
x = 2 ( f(2) =
min relatif di x = 0
Fungsi f mempunyai min relative di x0, bila :
5. f(x) = apakah fungsi tersebut mempunyai maksimum dan minimum baik relatif maupun mutlak ?
Penyelesaian :
f(x) = tidak ada
f(-5) = , f(0) = , f(-3) tidak ada, f(5) = dalam contoh no. 5 ini maksimum dan minimum baik relatif maupun mutlak tidak ada.
6. Gambar grafik fungsi f(x) = x3- 3x +3, x (-3, )a. Tentukan interval di mana fungsi naik dan turun
b. Harga maksimum dan minimum relative
c. Titik belok bila ada
Penyelesaian :
f(x) = 3x2 3 = 3(x2 - 1) = 3 (x-1)(x+1) ada pada (-3, ), f(x) = 6x
Syarat perlu adanya harga ekstrim :
f(x) = 0
3 (x-1)(x+1) = 0 x = 1 atau x = -1
a. f naik f(x) > 0 -3< x< -1 atau 1 < x 0 ( min relative
untuk x = -1 ( f(x) = 6x = 6 (-1) = -6 < 0 ( maks relative
jadi maks relative di x = -1 dengan nilai f(-1) = 5
min relative di x = 1 dengan nilai f(1) = 1
c. apakah x = 0 titik belok ?
f(x) = 6x
f(x) = 0 6x = 0 x = 0
f(0) = 0
f(x) = 6 0 (ada)
x = 0 titik belok
f() = 3 > 0, f() = -3 < 0 7. Selidiki dan gambar grafik kurva y = x +
Penyelesaian :
y = x + = , y = , y =
titik diskontinu di x = 0
tanda y = (x2-1) = (x + 1)(x -1)
Syarat perlu ada ekstrim : y = 0
untuk x = 1 ( y = f(1) = 1 + = 2 (1, 2)
x = -1 ( y = f(-1) = 1 + = -2 (-1, -2)
Asimtot :
(tidak ada) ( asimtot datar tidak ada
maka x = 0 asimtot tegak
a = , b =
Persamaan asimtot miring y = xMasalah Praktis 1. Jumlah dua bilangan positif sama dengan 60. Tentukan bilangan- bilangan tersebut sehingga hasil kali bilangan pertama dengan pangkat tiga bilangan kedua adalah maksimal.
Penyelesaian :
Misalkan bilangan itu x dan y , maka x + y = 60 atau x = 60 y
Akan dicari xy3 maksimal
f (y) = xy3 = (60 - y)y3 = 60y3 y4
x 0, x 0
f(y) = 180y2 4y3 = (180 4y)y2f(y) = 360y 12y2 = (360 12y)y
Syarat ekstrim = f(y) = 0
x = 60 y = 60 45 = 15
f(45) = (360 1245) 45 = (360 - 540)45 = -8100 < 0 (terjadi maksimum)
jadi bilangan yang dicari adalah 45 dan 15
2. Kotak segi empat dibuat dari selembar papan, panjang 24 cm dan lebar 9 cm dengan memotong berbentuk bujursangkar pada keempat sudutnya dan melipat ke atas sisi-sisinya seperti pada gambar.Cari ukuran kotak yang volumenya maksimum dan berapa volumenya ?
Penyelesaian :
Misal x = sisi bujur sangkar yang dipotong V = volume kotak yang terjadi
V = x(9 - 2x)(24 2x) = 216x 66x2 + 4x3
x tidak boleh lebih kecil nol atau lebih besar 4,5Syarat ekstrim :
EMBED Equation.3
=
= 12(9 -x)(2 - x)terdapat 3 titik kritis, yaitu x = 0 , x = 2 dan x = 4,5V(0) = V(4,5) = V(2) = 200
kotak mempunyai volume maksimum pada x = 2 sebesar 200 cm3 dan ukurannya :
panjang = 24-2x = 24 2(2) = 20 cm
lebar = 9 2x = 9- 2(2) = 5 cm
tinggi = x = 2 cm
Uji turunan kedua : untuk x = 2 (terjadi maks.SOAL SOALTentukan untuk fungsi-fungsi berikut (bila ada) titik-titik diskontinu, titik ekstrim, interval di mana kurva naik & turun , titik belok, cembung cekung, asimtot dan gambarlah
1. y = x2 2x + 3
5. y =
2. y =
6. y =
3. y = -x4 + 2x2
7. y =
4. y =
8. y =
8. Diketahui kurva y = x3 + 6x2 2x +8 tentukan koordinat titik beloknya.
9. Jumlah dua bilangan positif sama dengan A. Tentukan bilangan-bilangan tersebut, sehingga :a. hasil kali kedua bilangan maksimum
b. hasil kali kuadrat bilangan pertama dengan pangkat tiga bilangan kedua adalah maksimum.
A = 20; 12; 14; 8
10. Tentukan dimensi suatu kebun berbentuk segi empat siku-siku terluas yang dapat dipagari dengan kawat berduri sepanjang 1200 m.PENERAPAN DERIVATIF PADA LIMITBentuk bentuk tak tentu : Jika suatu harga tertentu diberikan kepada peubah bebas x, mengakibatkan bentuk fungsi menjadi :
maka bentuk ini disebut bentuk tak tentu.
1. Bentuk
Andaikan fungsi f(x) dan g(x) berharga tunggal dan differensiabel pada interval , sedangkan g(x), maka bentuk berbentuk :
(i) untuk x = a , bila f(a) = 0 dan g(a) = 0
(ii) untuk x = a, bila f(a) = dan g(a) =
Dengan menggunakan rumus Cauchy, maka :
limit ini ada bila hasil bagi derivatif fungsi-fungsi tidak berbentuk tak tentu lagi. Bila hasil bagi derivative fungsi mempunyai bentuk tak tentu lagi, maka cara di atas dilakukan sekali lagi, sesuai dengan Teorema LHospital Bernoulli, yaitu :Bila mempunyai salah satu bentuk atau untuk x = a (a berhingga atau tak hingga), dan bila f(x) dan g(x) mempunyai derivative untuk semua tingkat, termasuk tingkat-n maka sama dengan salah satu pernyataan-pernyataan :
, yang tidak lagi mempunyai bentuk tak tentu.
Perlu diingat : hati-hati dalam pemakaian Teorema LHospital Bernoulli yaitu harus teliti apakah persyaratan-persyaratan yang diminta terpenuhi, jika tidak maka kita akan melakukan kesalahan-kesalahan.2. Bentuk
Bila fungsi f(x).g(x) berbentuk untuk x = a, dimana f(a) = 0 dan g(a) = , maka dapat dicari dengan jalan mengubah bentuk di atas menjadi salah satu bentuk di bawah ini, yaitu :
yang masing-masing berbentuk dan untuk x = a sehingga memenuhi syarat Teorema LHospital.
3. Bentuk
Bila f(x) dan g(x) menjadi , untuk x = a (atau ), maka f(x)-g(x) mempunyai bentuk . Untuk mencari , bentuk f(x) - g(x) harus diubah dulu menjadi bentuk : yang mempunyai bentuk untuk x = aKemudian digunakan Teorema LHospital.
4. Bentuk
Diketahui fungsi fungsi ini akan berbentuk salah satu dari ketiga bentuk di bawah, untuk sesuatu harga x = a yang tertentu.
(a) Bila f(a) = 0 dan g(a) = 0 , akan berbentuk 00(b) Bila f(a) = 1 dan g(a) = , akan berbentuk
(c) Bila f(a) = dan g(a) = 0, akan berbentuk
Untuk mencari , bentuk diubah dulu menjadi bentuk sehingga . Fungsi g(x)ln f(x) mempunyai bentuk untuk x = a. Jadi dalam hal ini, dicari dulu
SOAL- PENYELESAIAN1. Hitung
Penyelesaian :
f(x) = x4 81 , f(3) = 0
berbentuk untuk x = 3
g(x) = x 3 , g(3) = 0
jadi
2. Tentukan
Penyelesaian :
Bentuk
=
3. Apakah contoh dibawah ini salah atau benar?
Penyelesaian :
Salah, yang benar
4. Hitung
Penyelesaian :
Untuk x = , berbentuk , maka
5. Hitung
Penyelesaian :Untuk x = 0, x2 ln x berbentuk ( diubah ke bentuk atau yaitu :
6. Hitung
=
7. Hitung (bentuk ) Penyelesaian :
Dicari dulu
=
jadi
8. Hitung (bentuk )Penyelesaian :
Dicari :
=
Jadi = e1= e
9. Hitung (berbentuk )Penyelesaian :
Dicari dulu :
jadi
SOAL SOAL1.
11.
2.
12.
3.
13.
4.
14.
5.
15.
6.
16.
7.
17.
8.
18.
9.
19.
10.
20.
INTEGRAL TAK TENTUDefinisi :Integral tak tentu dari suatu fungsi f pada interval tertutup [a,b] adalah fungsi F sedemikian hingga F(x) = F disebut antiderivatif dari f pada [a,b]. Jika F dan G keduanya adalah integral tak tentu dari f pada interval I, maka F(x) dan G(x) hanya berselisih suatu konstan.Contoh :
Jika f(x) = 4x , maka F(x) = dan G(x) = msing-masing adalah antiderivatif dari f, karena dan
Notasi :Jadi kalau F suatu antiderivatif dari f maka
= F(x) + c, c = konstanta integrasi , f(x) disebut integran
Sifat-sifat integral tak tentu1.
2.
3.
Akibat sifat no.3
Rumus-Rumus Dasar Integral1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
INTEGRAL PARSIALBila integran merupakan pergandaan fungsi u(x) dengan v(x), dapat diselesaikan dengan menggunakan integral parsial.
Rumus :CONTOH:1.
u = ln x, du = , dv = du v =x2.
u = ex , du = exdx , dv = cos x dx , v = sin x
3.
u = x , du = dx , dv = cos 2x dx , v = sin 2x4.
u = x2 , du = 2x , dv = sinx dx , v = -cos x
5.
u = arc tg x , du = , dv = dx , v = xSOAL-SOALSelesaikan dengan integral parsial1.
2.
3.
4.
5.
INTEGRAL TRIGONOMETRIRumus Pendukung1.
7.
2.
8.
3.
9.
4.
10.
5.
11.
6.
12.
CONTOH SOAL 1.
2.
3.
=
4.
=
5.
=
6.
=
=
7.
=
SOAL-SOAL1.
8.
2.
9.
3.
10.
4.
11.
5.
12.
6.
13.
7.
14.
INTEGRAL FUNGSI (PECAH) RASIONALPolinom derajat n dapat ditulis:Pn(x) = Jika N(x) dan D(x) masing-masing adalah polinom maka bentuk disebut fungsi pecah rasional. Akan dihitung :
1. Kalau N(x) = D(x) maka
2. Jika derajat N(x) derajat D(x) maka
Di mana Q(x) dan R(x) adalah polinom, serta derajat R(x) lebih kecil derajat D(x) sehingga :
Langkah-langkah Memisahkan atas pecahan parsialPerlu diperhatikan :
Derajat N(x) < derajat D(x)
Koefisien suku pangkat tertinggi dari D(x) harus Satu
N(x) dan D(x) sudah tidak mempunyai factor berserikat
Dalam memisah atas pecahan parsial dibedakan atas 4 keadaan :
a. Semua akar D(x) = 0 real dan berlainan, sehingga
dipecah menjadi
b. Semua akar D(x) = 0 real tetapi ada yang sama (ada faktor yang berulang) sehingga :
(D(x) derajat n ada n konstanta)
c. D(x) = 0, mempunyai akar tak real yang semuanya berlainan. Sehingga :
d. D(x) = 0 mempunyai akar tak real tetapi ada yang sama.
Dalam hal khusus tidak perlu dipecah/dipisah, missal
SOAL PENYELESAIAN
1. Hitung
Penyelesaian :
=
2. Hitung
Penyelesaian :
3x-1 = A(x-3) + B(x+2) = (A + B)x + (-3A + 2B) A + B = 3, -3A + 2B = -1 sehingga diperoleh
jadi
3. Hitung
Penyelesaian :
Jadi
Catatan :
4. Hitung
Penyelesaian :
Jadi
=
5. Hitung
Penyelesaian :
diperoleh : A = 1 , B = -1 , C = 0 , D = -1 , E = 1
Jadi
=
=
INTEGRAL TERTENTUDefinisi :Jika , maka selisih F(b) F(a) disebut integral tertentu dari fungsi f(x) antara batas a dan b dan dinyatakan dengan lambang
Contoh :
Sifat SifatJika f(x) dan g(x) kontinu pada [a, b], maka
1.
2.
3.
4.
5.
Penggunaan IntegralLuas Daerah Bidang Datar
Misal fungsi y = f(x) kontinu pada interval maka ada.
1.
2.
Volume Benda Putar
1. Jika daerah yang dibatasi oleh
Y = f(x) , sb-x, garis x = a dan
garis x = b diputar mengelilingisumbu x maka volume benda
putar yang terjadi adalah
2.
3.
Panjang Busur (Kurva)Panjang busur AB adalah
Kurva : K
SOAL PENYELESAIAN1. Hitunglah
Penyelesaian :
2. Hitunglah
Penyelesaian :
3. Tentukan luas daerah R di bawah kurva y = x2 + 1 antara x = -1 dan x = 2
Penyelesaian :
4. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh sumbu x dan kurva y = sin x,
Penyelesaian :
5. Tentuka panjang ruas garis antara A(0, 1) dan B(5, 13)Penyelesaian
pers. garis AB =
6. Tentukan volume benda putar apabila setengah lingkaran yang berada di atas sumbu x diputar mengelilingi sumbu x.
Penyelesaian :
=
SOAL-SOAL1. Hitunglah
2. Hitunglah
3. Hitunglah
4. Tentukan luas daerah antar kurva y = x4 dan y = 2x x25. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = -x +2 dan kurva y = x26. Tentukan volume benda putar bila daerah yang dibatasi oleh garis y = 4x dan parabola y = 4x2 yang diputar mengelilingi sumbu x. Kij = (-1)i + j Mij
Setiap fungsi yang kontinu di x = 0 belum tentu mempunyai turunan di titik tersebut.
EMBED Equation.3
D1
D2
D3
D4
1
2
3
4
5
y
x
X
Y
-2
2
O
EMBED Equation.3
P (a, b)
b
r
A
a
y
x
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
3
-2
- - - - - + + + + + + + + + + + ++
EMBED Equation.3
-2
- - - - - - - - - - - - - - - + + + +
3
EMBED Equation.3
+ + + - - - - - - - - - - + + + +
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
3
-2
- - - - - - - - - - - - - - + + + + +
EMBED Equation.3
3
- - - - - + + + + + + + + + + + ++
EMBED Equation.3
2
+ + + - - - - - - - - - - + + + +
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
3
2
+ + + + + + - - - - - - + + + + +
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
2
0
-1
+
+
-
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
0
-6
x < 0
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
1
0
1
21
-4
-3
4
-4
5
y
x
3
-2
y
x
3
x
x
24 cm
9 cm
x
9 2x
24 2x
y
x
b
a
R1
y
x
b
a
R2
x
b
a
x =f(y)
x
y
d
c
y = g(x)
y = f(x)
x
b
a
y
x
2
-1
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
y = sin x
1
B(5, 13)
A(0, 1)
r
-r
_1251483308.unknown
_1251597599.unknown
_1251657269.unknown
_1251690049.unknown
_1251696784.unknown
_1251790777.unknown
_1251869544.unknown
_1270632364.unknown
_1270633679.unknown
_1270634469.unknown
_1270635771.unknown
_1270634387.unknown
_1270632456.unknown
_1270633491.unknown
_1270632078.unknown
_1270632251.unknown
_1251948219.unknown
_1270632023.unknown
_1251948085.unknown
_1251866166.unknown
_1251866246.unknown
_1251866275.unknown
_1251866202.unknown
_1251861002.unknown
_1251865732.unknown
_1251866124.unknown
_1251866142.unknown
_1251865822.unknown
_1251866106.unknown
_1251863928.unknown
_1251864829.unknown
_1251864791.unknown
_1251861649.unknown
_1251790916.unknown
_1251858313.unknown
_1251858459.unknown
_1251856503.unknown
_1251790830.unknown
_1251789987.unknown
_1251790480.unknown
_1251790746.unknown
_1251790756.unknown
_1251790721.unknown
_1251790112.unknown
_1251790293.unknown
_1251790013.unknown
_1251787452.unknown
_1251789732.unknown
_1251789942.unknown
_1251789649.unknown
_1251786692.unknown
_1251786745.unknown
_1251696934.unknown
_1251702997.unknown
_1251693439.unknown
_1251695703.unknown
_1251696292.unknown
_1251696530.unknown
_1251696629.unknown
_1251696361.unknown
_1251696052.unknown
_1251696118.unknown
_1251695906.unknown
_1251694910.unknown
_1251695100.unknown
_1251695674.unknown
_1251694975.unknown
_1251694540.unknown
_1251694554.unknown
_1251693848.unknown
_1251693896.unknown
_1251693928.unknown
_1251693453.unknown
_1251691245.unknown
_1251691991.unknown
_1251692777.unknown
_1251692982.unknown
_1251693209.unknown
_1251693289.unknown
_1251692902.unknown
_1251692701.unknown
_1251692733.unknown
_1251692345.unknown
_1251692662.unknown
_1251691726.unknown
_1251691867.unknown
_1251691642.unknown
_1251690583.unknown
_1251690864.unknown
_1251690974.unknown
_1251690613.unknown
_1251690157.unknown
_1251690351.unknown
_1251690140.unknown
_1251686060.unknown
_1251688402.unknown
_1251689042.unknown
_1251689362.unknown
_1251689609.unknown
_1251689626.unknown
_1251689509.unknown
_1251689312.unknown
_1251689201.unknown
_1251688441.unknown
_1251688997.unknown
_1251688410.unknown
_1251686848.unknown
_1251688128.unknown
_1251688225.unknown
_1251688366.unknown
_1251687158.unknown
_1251687289.unknown
_1251687471.unknown
_1251687646.unknown
_1251687743.unknown
_1251687532.unknown
_1251687332.unknown
_1251687200.unknown
_1251687042.unknown
_1251687089.unknown
_1251686983.unknown
_1251686490.unknown
_1251686798.unknown
_1251686807.unknown
_1251686742.unknown
_1251686167.unknown
_1251686241.unknown
_1251686119.unknown
_1251685354.unknown
_1251685664.unknown
_1251685909.unknown
_1251685968.unknown
_1251685832.unknown
_1251685491.unknown
_1251685566.unknown
_1251685609.unknown
_1251685523.unknown
_1251685468.unknown
_1251685191.unknown
_1251685256.unknown
_1251685272.unknown
_1251685235.unknown
_1251657343.unknown
_1251657534.unknown
_1251657311.unknown
_1251648930.unknown
_1251655993.unknown
_1251656663.unknown
_1251656818.unknown
_1251657131.unknown
_1251657229.unknown
_1251657042.unknown
_1251656734.unknown
_1251656804.unknown
_1251656701.unknown
_1251656187.unknown
_1251656326.unknown
_1251656357.unknown
_1251656274.unknown
_1251656256.unknown
_1251656217.unknown
_1251656133.unknown
_1251656167.unknown
_1251656051.unknown
_1251655446.unknown
_1251655708.unknown
_1251655797.unknown
_1251655917.unknown
_1251655778.unknown
_1251655546.unknown
_1251655659.unknown
_1251655482.unknown
_1251652531.unknown
_1251655123.unknown
_1251655245.unknown
_1251655417.unknown
_1251655221.unknown
_1251653523.unknown
_1251654226.unknown
_1251654988.unknown
_1251655089.unknown
_1251654409.unknown
_1251654858.unknown
_1251654471.unknown
_1251654354.unknown
_1251653888.unknown
_1251654185.unknown
_1251653650.unknown
_1251653063.unknown
_1251653275.unknown
_1251653476.unknown
_1251653180.unknown
_1251652977.unknown
_1251653024.unknown
_1251652753.unknown
_1251650195.unknown
_1251650741.unknown
_1251652383.unknown
_1251652417.unknown
_1251650854.unknown
_1251652376.unknown
_1251650350.unknown
_1251650655.unknown
_1251650291.unknown
_1251649783.unknown
_1251649882.unknown
_1251649928.unknown
_1251649818.unknown
_1251649238.unknown
_1251649487.unknown
_1251649616.unknown
_1251649709.unknown
_1251649390.unknown
_1251649205.unknown
_1251600556.unknown
_1251602883.unknown
_1251603701.unknown
_1251604221.unknown
_1251648546.unknown
_1251648576.unknown
_1251648456.unknown
_1251603954.unknown
_1251604210.unknown
_1251603865.unknown
_1251603291.unknown
_1251603483.unknown
_1251603590.unknown
_1251603370.unknown
_1251603065.unknown
_1251603188.unknown
_1251603015.unknown
_1251601985.unknown
_1251602395.unknown
_1251602602.unknown
_1251602818.unknown
_1251602591.unknown
_1251602308.unknown
_1251602382.unknown
_1251602187.unknown
_1251601416.unknown
_1251601606.unknown
_1251601715.unknown
_1251601498.unknown
_1251601144.unknown
_1251601205.unknown
_1251600784.unknown
_1251599206.unknown
_1251599653.unknown
_1251600380.unknown
_1251600458.unknown
_1251600519.unknown
_1251599740.unknown
_1251600199.unknown
_1251600288.unknown
_1251599697.unknown
_1251599535.unknown
_1251599597.unknown
_1251599619.unknown
_1251599572.unknown
_1251599383.unknown
_1251599429.unknown
_1251599479.unknown
_1251599499.unknown
_1251599448.unknown
_1251599403.unknown
_1251599351.unknown
_1251598321.unknown
_1251598689.unknown
_1251598932.unknown
_1251599025.unknown
_1251598734.unknown
_1251598492.unknown
_1251598581.unknown
_1251598371.unknown
_1251597810.unknown
_1251597982.unknown
_1251598059.unknown
_1251597843.unknown
_1251597725.unknown
_1251597761.unknown
_1251597679.unknown
_1251534097.unknown
_1251550282.unknown
_1251569271.unknown
_1251571117.unknown
_1251572058.unknown
_1251572376.unknown
_1251597415.unknown
_1251597477.unknown
_1251597532.unknown
_1251597553.unknown
_1251597446.unknown
_1251572474.unknown
_1251597382.unknown
_1251572426.unknown
_1251572451.unknown
_1251572275.unknown
_1251572349.unknown
_1251572176.unknown
_1251571730.unknown
_1251571905.unknown
_1251572027.unknown
_1251571767.unknown
_1251571215.unknown
_1251571700.unknown
_1251571175.unknown
_1251570771.unknown
_1251570940.unknown
_1251571024.unknown
_1251571066.unknown
_1251570983.unknown
_1251570855.unknown
_1251570894.unknown
_1251570799.unknown
_1251570423.unknown
_1251570680.unknown
_1251570735.unknown
_1251570466.unknown
_1251570292.unknown
_1251570399.unknown
_1251570041.unknown
_1251567070.unknown
_1251568724.unknown
_1251568988.unknown
_1251569122.unknown
_1251569185.unknown
_1251569049.unknown
_1251568791.unknown
_1251568956.unknown
_1251568740.unknown
_1251568431.unknown
_1251568661.unknown
_1251568677.unknown
_1251568531.unknown
_1251568620.unknown
_1251568546.unknown
_1251568480.unknown
_1251568495.unknown
_1251567612.unknown
_1251568323.unknown
_1251568372.unknown
_1251568388.unknown
_1251568108.unknown
_1251567136.unknown
_1251567436.unknown
_1251567093.unknown
_1251564264.unknown
_1251566153.unknown
_1251566213.unknown
_1251566517.unknown
_1251566721.unknown
_1251566922.unknown
_1251566636.unknown
_1251566264.unknown
_1251566169.unknown
_1251564806.unknown
_1251565010.unknown
_1251565211.unknown
_1251565972.unknown
_1251566105.unknown
_1251565435.unknown
_1251565076.unknown
_1251564935.unknown
_1251564516.unknown
_1251564610.unknown
_1251564341.unknown
_1251551082.unknown
_1251551426.unknown
_1251564097.unknown
_1251564192.unknown
_1251563967.unknown
_1251551290.unknown
_1251551350.unknown
_1251551216.unknown
_1251550979.unknown
_1251551037.unknown
_1251551049.unknown
_1251550396.unknown
_1251550486.unknown
_1251550762.unknown
_1251550335.unknown
_1251543926.unknown
_1251546257.unknown
_1251548781.unknown
_1251549523.unknown
_1251549596.unknown
_1251550027.unknown
_1251550105.unknown
_1251550007.unknown
_1251549937.unknown
_1251549580.unknown
_1251548929.unknown
_1251548958.unknown
_1251548837.unknown
_1251548890.unknown
_1251548802.unknown
_1251546815.unknown
_1251548609.unknown
_1251548743.unknown
_1251546848.unknown
_1251546732.unknown
_1251546774.unknown
_1251546607.unknown
_1251546689.unknown
_1251546338.unknown
_1251545164.unknown
_1251545828.unknown
_1251545939.unknown
_1251546091.unknown
_1251545870.unknown
_1251545718.unknown
_1251545799.unknown
_1251545216.unknown
_1251544447.unknown
_1251544524.unknown
_1251545139.unknown
_1251544509.unknown
_1251544134.unknown
_1251544191.unknown
_1251544060.unknown
_1251535168.unknown
_1251536373.unknown
_1251536572.unknown
_1251543761.unknown
_1251543812.unknown
_1251543731.unknown
_1251536441.unknown
_1251536483.unknown
_1251536405.unknown
_1251535719.unknown
_1251535806.unknown
_1251535859.unknown
_1251535270.unknown
_1251535472.unknown
_1251535497.unknown
_1251535214.unknown
_1251534709.unknown
_1251534993.unknown
_1251535114.unknown
_1251534870.unknown
_1251534417.unknown
_1251534608.unknown
_1251534260.unknown
_1251522313.unknown
_1251528605.unknown
_1251532912.unknown
_1251533444.unknown
_1251533565.unknown
_1251533599.unknown
_1251533519.unknown
_1251533083.unknown
_1251533303.unknown
_1251532994.unknown
_1251532641.unknown
_1251532839.unknown
_1251532528.unknown
_1251532577.unknown
_1251532352.unknown
_1251523432.unknown
_1251528116.unknown
_1251528371.unknown
_1251528559.unknown
_1251528206.unknown
_1251523633.unknown
_1251523845.unknown
_1251523495.unknown
_1251522665.unknown
_1251523115.unknown
_1251523259.unknown
_1251522678.unknown
_1251522480.unknown
_1251522592.unknown
_1251522412.unknown
_1251486968.unknown
_1251521527.unknown
_1251522053.unknown
_1251522153.unknown
_1251522164.unknown
_1251522122.unknown
_1251521774.unknown
_1251521875.unknown
_1251521655.unknown
_1251487161.unknown
_1251487362.unknown
_1251487375.unknown
_1251487226.unknown
_1251487069.unknown
_1251487117.unknown
_1251487006.unknown
_1251485523.unknown
_1251486198.unknown
_1251486716.unknown
_1251486805.unknown
_1251486890.unknown
_1251486846.unknown
_1251486770.unknown
_1251486511.unknown
_1251485838.unknown
_1251486033.unknown
_1251485798.unknown
_1251484520.unknown
_1251484849.unknown
_1251485362.unknown
_1251485405.unknown
_1251485446.unknown
_1251485381.unknown
_1251485345.unknown
_1251484781.unknown
_1251484491.unknown
_1251484508.unknown
_1251484015.unknown
_1251484471.unknown
_1251483547.unknown
_1251352859.unknown
_1251466288.unknown
_1251480094.unknown
_1251481459.unknown
_1251482260.unknown
_1251482987.unknown
_1251483077.unknown
_1251483286.unknown
_1251483002.unknown
_1251482380.unknown
_1251482917.unknown
_1251481741.unknown
_1251481767.unknown
_1251481655.unknown
_1251481707.unknown
_1251481506.unknown
_1251481017.unknown
_1251481221.unknown
_1251481362.unknown
_1251481116.unknown
_1251480388.unknown
_1251480844.unknown
_1251480925.unknown
_1251480373.unknown
_1251478173.unknown
_1251479028.unknown
_1251479456.unknown
_1251479900.unknown
_1251479937.unknown
_1251479520.unknown
_1251479189.unknown
_1251478679.unknown
_1251478996.unknown
_1251478412.unknown
_1251466750.unknown
_1251466787.unknown
_1251478108.unknown
_1251466762.unknown
_1251466491.unknown
_1251466532.unknown
_1251466394.unknown
_1251451125.unknown
_1251452659.unknown
_1251453082.unknown
_1251465754.unknown
_1251466169.unknown
_1251453101.unknown
_1251452910.unknown
_1251452988.unknown
_1251452684.unknown
_1251451623.unknown
_1251451925.unknown
_1251452196.unknown
_1251452524.unknown
_1251451783.unknown
_1251451405.unknown
_1251451450.unknown
_1251451358.unknown
_1251449317.unknown
_1251450945.unknown
_1251451034.unknown
_1251451082.unknown
_1251451004.unknown
_1251450093.unknown
_1251450573.unknown
_1251450762.unknown
_1251450802.unknown
_1251450699.unknown
_1251450488.unknown
_1251449392.unknown
_1251448923.unknown
_1251449172.unknown
_1251449252.unknown
_1251449023.unknown
_1251449065.unknown
_1251449113.unknown
_1251448994.unknown
_1251352887.unknown
_1251353031.unknown
_1251352868.unknown
_1251342375.unknown
_1251348867.unknown
_1251350765.unknown
_1251352001.unknown
_1251352722.unknown
_1251352792.unknown
_1251352075.unknown
_1251352656.unknown
_1251351874.unknown
_1251351968.unknown
_1251351631.unknown
_1251350144.unknown
_1251350574.unknown
_1251350714.unknown
_1251350478.unknown
_1251350541.unknown
_1251349132.unknown
_1251349270.unknown
_1251350114.unknown
_1251349123.unknown
_1251343261.unknown
_1251347271.unknown
_1251348118.unknown
_1251348342.unknown
_1251347561.unknown
_1251343677.unknown
_1251346763.unknown
_1251343609.unknown
_1251342873.unknown
_1251343057.unknown
_1251343141.unknown
_1251342952.unknown
_1251342576.unknown
_1251342707.unknown
_1251342778.unknown
_1251342621.unknown
_1251342451.unknown
_1251287814.unknown
_1251338894.unknown
_1251339739.unknown
_1251340786.unknown
_1251341388.unknown
_1251342194.unknown
_1251342243.unknown
_1251341705.unknown
_1251341155.unknown
_1251340187.unknown
_1251340636.unknown
_1251339850.unknown
_1251339404.unknown
_1251339593.unknown
_1251338966.unknown
_1251338322.unknown
_1251338530.unknown
_1251338593.unknown
_1251338445.unknown
_1251338037.unknown
_1251338145.unknown
_1251338189.unknown
_1251338113.unknown
_1251287997.unknown
_1251286298.unknown
_1251286939.unknown
_1251287419.unknown
_1251287658.unknown
_1251287109.unknown
_1251286593.unknown
_1251286830.unknown
_1251286453.unknown
_1251285891.unknown
_1251286173.unknown
_1251286243.unknown
_1251286149.unknown
_1251285755.unknown
_1251285771.unknown
_1251285890.unknown
_1251284995.unknown
_1251285577.unknown
Related Documents
