Soal Aljabar Matriks ITS

i

Kata Pengantar

Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul

ajar ini dapat terselesaikan.

Modul ajar ini dimaksudkan untuk membantu penyelenggaraan kuliah jarak jauh. Se-

jalan dengan tujuan penyelenggaraan perkuliahan, materi modul ajar ini dipilih dari pokok-

pokok aljabar matriks sebagai bahan penyeragaman pemahaman aljabar martriks bagi ma-

hasiswa. Dalam hal ini, setelah mengikuti kuliah sesuai materi dalam modul ajar ini, di-

harapkan mahasiswa mempunyai bekal yang cukup baik untuk mengikuti perkuliahan.

Materi yang diberikan dalam modul ajar ini cukup untuk ukuran perkuliahan satu se-

mester. Untuk itu, materi dalam modul ini diberikan dengan cara sederhana dan contoh

singkat; mengingat bahwa semua materi harus diserap sendiri. Untuk itu diharapkan peser-

ta kuliah dengan tekun dan sungguh-sungguh mengikuti modul ini dan aktif mengerjakan

soal-soal.

Penyusun menyampaikan terimakasih kepada semua pihak yang telah membantu hing-

ga tersusunnya modul ini. Tak lupa, kritik dan saran untuk menyempurnakan modul ini

sangat diharapkan.

Surabaya, Januari 2007

Penyusun

ii

Daftar Isi

Kata Pengantar ii

Daftar Isi iii

1 Sistem Persamaan Linear 1

1.1 Soal-Soal Latihan Pengantar SPL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

1.2 Soal-Soal Latihan Penyelesaian SPL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

1.3 Soal-Soal Latihan Matriks dan Operasinya . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

1.4 Soal-Soal Latihan Matriks Invers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

1.5 Soal-Soal Latihan Matriks Elementer dan Mencari Invers . . . . . . . . . .5

1.6 Soal-Soal Latihan Matriks Diagonal, Segitiga dan Simetris . . . . . . . . .6

2 Determinan 7

2.1 Soal-Soal Latihan Fungsi Determinan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

2.2 Soal-Soal Latihan Cara Lain Menghitung Determinan . . . . . . . . . . . .8

2.3 Soal-Soal Latihan Sifat Fungsi Determinan . . . . . . . . . . . . . . . . .9

2.4 Soal-Soal Latihan Kofaktor dan Matriks Invers . . . . . . . . . . . . . . .10

3 Vektor dan Operasinya 11

3.1 Soal-Soal Latihan Pengantar Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

3.2 Soal-Soal Latihan Panjang Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

3.3 Soal-Soal Latihan Dot Product, Proyeksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

3.4 Soal-Soal Latihan Cross Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

4 Transformasi Linear dan Sifat 14

4.1 Soal-Soal Latihan Transformasi Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

4.2 Soal-Soal Latihan Sifat Transformasi Linear . . . . . . . . . . . . . . . . .15

5 Ruang Vektor 17

5.1 Soal-Soal Latihan Ruang Vektor Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

5.2 Soal-Soal Latihan Kombinasi Linear dan Membangun . . . . . . . . . . . .18

iii

5.3 Soal-Soal Latihan Bebas Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

5.4 Soal-Soal Latihan Basis dan Dimensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

5.5 Soal-Soal Latihan Ruang Baris, Ruang Kolom dan Ruang Kosong . . . . .19

5.6 Soal-Soal Latihan Rank dan Nulitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

iv

Modul 1Sistem Persamaan Linear

1.1 Soal-Soal Latihan Pengantar SPL

Kerjakan soal-soal berikut untuk mengukur tingkat pemahaman saudara, selanjutnya ban-

dingkan jawaban saudara dengan kunci jawaban yang telah disediakan.

1. Persamaan-persamaan manakah yang termasuk persamaan linear?

(a) 2x + 3y + 2z = 6 (b) 2xy + 3y + 2z = 6 (c) 2x + 3y = 2z + 6

(d) 12x + 3y2 = 6 (e) 1

x + 3y − z = 6 (f) 14x− 2

3y = 6

2. Jikap adalah suatu konstanta, persamaan manakah yang termasuk persamaan linear

(a) 2x + 3y = sin p (b) py + 3x + 2z = π (c) px + 1py = 6

3. Buatlah matriksA, x danb yang dapat mewakili sistem persamaan linear dibawah ini

2x + 3y + 4z = 6

−3x + 3y − 6z = 12

4. Buatlah matriks diperbesar dari sistem persamaan linear dibawah ini

3x + 4y − 3z = 12

−x + 2y + 9z = 21

−3y + 2x + 6z = 22

1

1.2. Soal-Soal Latihan Penyelesaian SPL 2

5. Apakah sistem linear dibawah termasuk sistem linear homogen

3x + 2y = 3z

−x + 9z = 2y

−3y + 11z = 2x

6. Cari sistem persamaan linear dari matriks diperbesar dibawah ini

3 4 −13 1 81

−3 −22 12 2 32

4 3 33 3 32

1 12 11 7 34

2 1 −3 23 55

1.2 Soal-Soal Latihan Penyelesaian SPL



1. Diantara matriks-matriks tersebut yang termasuk matriks yang berbentuk eselon, eselon

tereduksi, atau bukan keduanya

(a).

1 2 1

0 1 2

0 0 1

(b).

1 0 1

0 1 0

0 0 1

(c).

1 0 0

0 1 0

0 0 1

(d).

1 0 0

0 1 0

0 0 0

(e).

0 0 0

0 1 0

0 0 1

(f).

1 0 0

0 1 0

0 0 0

(g).

1 0 0

0 0 1

0 1 0

(h).

1 1 0

0 1 0

0 0 0

2. Selesaikan sistem dibawah ini dengan metode eliminasi Gauss

2x + 2y + 2z = 12

x + 2y + 3z = 14

3x + y + 2z = 11

3. Selesaikan sistem dibawah ini dengan metode eliminasi Gauss-Jordan

x + 2y + 2z = 9

x + y − 3z = 2

3x− y + 2z = 9

Modul Aljabar Matriks ITS BPKLN-DepDikNas

1.3. Soal-Soal Latihan Matriks dan Operasinya 3

4. Selesaikan sistem linear homogen dibawah ini dengan metode sebarang

x + 2y + 2z = 0

x + y − 3z = 0

3x− y + 2z = 0

5. Selesaikan sistem linear dibawah ini dengan metode sebarang

x1 + 2x2 + 2x3 = x4

x1 + x2 − 3x4 = 2x3

2x1 − 2x3 + 2x4 = x2

6. Carilah nilaia, sedemikian hingga sistem linear tersebut mempunyai satu penyelesaian,

banyak penyelesaian dan tidak mempunyai penyelesaian

x1 + 2x2 − 3x3 = 4

3x1 − x2 + 5x4 = 2

4x1 + x2 + (a2 − 14)x3 = a + 2

1.3 Soal-Soal Latihan Matriks dan Operasinya



1. Diketahui matriks beserta ukurannya, yaituA3×4, B3×4, C4×2, D3×2, danE4×3, ten-

tukan manakah yang dapat dilakukan, jika tidak dapat dilakukan beri komentar

(a)B A (b) A C + D (c) A E + B (d) A B + B

(e)E(B + A) (f) E(A C) (g) ET A (h) (AT + E) D

2. Diketahui persamaan matriks dibawah ini(

a-b b+c

3d+c 2a-4d

)=

(16 2

14 12

)

carilah nilaia, b, c dand

3. Pandang matriks-matriks dibawah ini

X =

1 2

3 6

4 3

Y =

(4 −1

−2 2

)Z =

(2 3 −1

0 −2 2

)W =

1 2 −1

3 −2 0

6 2 5

Hitung operasi matriks dibawah (jika memungkinkan)


1.4. Soal-Soal Latihan Matriks Invers 4

(a)XY (b) Y Z (c) ZW (d) WX

(e)Y X − Z (f) ZX − 2Y (g) 3Y + ZX (h) XZ − 2W

4. Carilah matriksA berukuran4×4, yang anggotanya memenuhi syarat yang dinyatakan

(a)aij = i + j (b) aij = ij−1 (c) aij =

{1, |i− j| > 1

−1, |i− j| ≤ 1

5. Jika matriksA berukuranp× q, maka

tr(AAT ) = tr(AT A) = s

dimanas adalah jumlah kuadrat anggota-angotaA.

1.4 Soal-Soal Latihan Matriks Invers


dingkan jawaban saudara dengan kunci jawaban yang telah disediakan. Diketahui empat

matriks, yaitu

A =

(2 3

3 5

)B =

(5 −3

−3 2

)C =

(4 −3

5 4

)D =

(4 3

5 4

)

1. Hitunglah

(a)AB (b) AC (c) AD

(d) BA (e) BC (f) BD

(g) CA (h) CB (i) CD

(j) DA (k) DB (l) DC

Apa yang dapat saudar simpulkan ?

2. Gunakan hasil kesipulan soal sebelumnya, kemudian hitunglah

(a)A3 (b) B3 (c) C3 (d) D3

(e) (A−1)3 (f) (B−1)3 (g) (C−1)3 (h) (D−1)3

(a) (AB)3 (b) (AB)−1 (c) (CD)−1 (d) (DC)3

3. Gunakan hasil dari soal sebelumnya, kemudian hitung

(a) A2 − 2A + I


1.5. Soal-Soal Latihan Matriks Elementer dan Mencari Invers 5

(b) B2 − 2B + I

(c) (A2 − 2A + I)(B2 − 2B + I)

4. Hitunglah

(a)AT (b) BT (c) CT (d) DT

(e) (A−1)T (f) (B−1)T (g) (C−1)T (h) (D−1)T

(a) (AT BT )−1 (b) (B−1A−1)T (c) (CT DT )T (d) (DC)T

5. Matriks

A =

1 0 1

1 1 0

0 1 1

Tentukan apakahA mempunyai invers atau tidak, jika punya, carilah inversnya (petun-

juk selesaikanAX = I)

1.5 Soal-Soal Latihan Matriks Elementer dan Mencari Invers



1. Manakah diantara matriks dibawah ini yang termasuk matriks elementer

a.

(1 0

−3 1

)b.

(−3 1

1 0

)c.

(1 0

0√

5

)d.

(0 1

1 0

)

2. Carilah operasi baris yang menghasilkan matriks elementer berikut

a.

(0 1

1 0

)b.

(−3 0

0 1

)c.

(1 0

0 52

)d.

(1 0

−3 1

)

3. Diketahui matriks

A =

3 2 1

−3 6 −3

8 1 2

B =

8 1 2

−3 6 −3

3 2 1

C =

3 2 1

−3 6 −3

2 −3 0

Carilah matriks elementerE1, E2, E3 danE4, sedemikian hingga

a. E1A = B b. E2B = A c. E3A = C d. E4C = A

4. Pandang matriks

A =

(1 0

−3 3

)


1.6. Soal-Soal Latihan Matriks Diagonal, Segitiga dan Simetris 6

(a) Cari matriks elementerE1 danE2 sedemikian hinggaE2E1A = I

(b) Tulis A−1 sebagai perkalian dua matriks elementer

(c) Tulis A sebagai perkalian dua matriks elementer

5. Carilah invers dari

B =

1 2 3

2 5 3

1 0 8

1.6 Soal-Soal Latihan Matriks Diagonal, Segitiga dan Simetris



1. Apakah matriks-matriks dibawah ini mempunyai invers, jika ya, cari inversnya

(a)

(−2 0

0 5

)(b)

2 0 0

0 0 0

0 0 5

(c)

−2 0 0

0 3 0

0 0 4

2. HitunglahA2, A−2, danA−l dari

(a) A =

(−2 0

0 3

)(b) A =

2 0 0

0 1 0

0 0 3

(c) A =

12 0 0

0 13 0

0 0 14

3. Cari semua nilaia, b danc, jika matriksA adalah simetris

A =

2 a− 2b + 2c 2a + b + c

3 5 a + c

0 −2 7

4.


Modul 2Determinan

2.1 Soal-Soal Latihan Fungsi Determinan



1. Carilah jumlah pembalikan dari permutasi{1, 2, 3, 4, 5, 6}

(a) (1, 2, 3, 6, 4, 5) (b) (6, 5, 4, 3, 2, 1) (c) (4, 3, 5, 6, 1, 2) (d) (3, 2, 1, 5, 4, 6)

2. Hitung determinan berikut

(a)

∣∣∣∣∣2 3

6 1

∣∣∣∣∣ (b)

∣∣∣∣∣−3 2

5 3

∣∣∣∣∣ (c)

∣∣∣∣∣2 −3

6 4

∣∣∣∣∣ (d)

∣∣∣∣∣3 −3

2 4

∣∣∣∣∣

3. Hitung determinan berikut

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 2

3 5 1

2 2 3

∣∣∣∣∣∣∣∣(b)

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 −3 2

0 2 3

2 −2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣(c)

∣∣∣∣∣∣∣∣

0 2 1

1 0 1

2 2 0

∣∣∣∣∣∣∣∣(d)

∣∣∣∣∣∣∣∣

0 2 1

1 0 1

0 2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣

4. carilah nilaiα sehingga determina dari matriks berikut bernilai nol

(a)

∣∣∣∣∣α− 2 −5

1 α + 4

∣∣∣∣∣ (b)

∣∣∣∣∣∣∣∣

α− 4 0 0

0 α 2

0 3 α− 1

∣∣∣∣∣∣∣∣

7

2.2. Soal-Soal Latihan Cara Lain Menghitung Determinan 8

5. Gunakan aturan yan gsudah diperoleh unutk mendapat nilai determian dari matriks

berikut ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 1 1 0

3 2 2 0

2 5 1 1

1 2 4 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2.2 Soal-Soal Latihan Cara Lain Menghitung Determinan



1. Hitung determinan berikut dengan cepat

(a).

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 1

0 1 2

0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣(b).

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 1 3

0 2 0 2

0 0 1 −3

0 0 0 −3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(c).

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 4 1

3 1 3

6 6 6

∣∣∣∣∣∣∣∣(d).

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 −2 3

10 1 9

1 −2 3

∣∣∣∣∣∣∣∣

2. Hitung determinan berikut dengan mencongak

(a).

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 3

4 1 6

2 4 6

∣∣∣∣∣∣∣∣(b).

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 −4 0

2 1 0

4 5 0

∣∣∣∣∣∣∣∣(c).

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 0 2

0 1 1 0

0 0 1 0

0 0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(d).

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 0

0 0 9

0 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣

3. Dengan melakukan reduksi, hitung determinan berikut

(a).

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 3

4 9 6

2 4 7

∣∣∣∣∣∣∣∣(b).

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 −4 0

2 1 5

4 5 3

∣∣∣∣∣∣∣∣(c).

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 0 2

2 1 1 0

3 3 1 0

4 2 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(d).

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 0

2 4 9

3 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣

4. Dengan menggunakan reduksi baris, buktikan∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1

x y z

x2 y2 z2

∣∣∣∣∣∣∣∣= (y − z)(z − x)(z − y)


2.3. Soal-Soal Latihan Sifat Fungsi Determinan 9

5. Tunjukan bahwa determinan dibawah ini benar

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣

0 0 z

0 y z

x y z

∣∣∣∣∣∣∣∣= −xyz (b)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 0 0 z

0 0 y z

0 x y z

t x y z

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= txyz

2.3 Soal-Soal Latihan Sifat Fungsi Determinan



1. Periksalah bawhadet(kA) = kndet(A)

(a)A =

(−1 2

2 3

); k = 2 (b)

1 2 5

2 3 4

7 9 11

; k = −2

2. Periksalah bahwadet(AB) = det(A)det(B)

1 2 0

4 3 0

0 0 2

dan B =

−1 1 3

1 7 2

0 5 1

3. Periksa matriks-matriks dibawah ini, apakah mempunyai invers atau tidak

X =

1 0 −1

9 −1 4

8 9 −1

Y =

4 2 8

−2 1 −4

3 1 6

Z =

2 −7 0

6 −21 0

5 −9 0

4. Pandang

Z =

a d h

b e i

c f j

dengan mengasumsikan bahwadet(Z) = −5, maka hitung

(a)det(3A) (b) det(A−1 (c) det(2A−1) (d) det(2A)−1)

5. Berapa nilaik agar matriksA mempunyai invers

(a)A =

(k − 3 −2

−2 k − 2

)(b)

1 2 4

3 1 6

k 3 2


2.4. Soal-Soal Latihan Kofaktor dan Matriks Invers 10

2.4 Soal-Soal Latihan Kofaktor dan Matriks Invers



1. Pandang matriks

A =

4 −1 1 6

0 0 −3 3

4 1 0 14

4 1 3 2

Hitung semua Minor, Kofaktor dari matriksA?

2. Dengan menggunakan matriks soal pertama, hitung perluasan kofaktor untuk

(a) baris pertama (b) kolom pertama (c) baris ketiga (d) kolom kedua

3. Pandang

1 3 1 1

2 5 2 2

1 3 8 9

1 3 2 2

(a) HitungA−1 dengan menggunakan teorema yang ada

(b) HitungA−1 dengan menggunakan OBE

(c) Manakah yang lebih efisien

4. Dengan aturan Cramer, hitunglah,x1, x2 danx3

4x1 + 5x2 = 2

11x1 + x1 + 2x3 = 3

x1 + 5x1 + 2x3 = 1


Modul 3Vektor dan Operasinya

3.1 Soal-Soal Latihan Pengantar Vektor



1. Sketsa vektor-vektor berikt dengan titik pangkal pada titik asal

(a)v1 = (2, 6) (b) v2 = (4, 2) (c) v3 = (8, 6) (d) v4 = (6,−3)

(e)u1 = (1, 2, 6) (f) u2 = (3, 4, 2) (g) u3 = (−2, 8, 6) (h) u4 = (6,−3,−2)

2. Carilah vektor tak-nolv dengan titik pangkal pada titikP (1, 2, 3) sedemikian hingga

(a) v mempunyai arah yang sama denganu = (3, 2, 1)

(b) v berlawanan arah denganu = (−3,−2, 3)

3. Carilah semua skalark1, k2 dank3 sedemikian hingga

k1(1, 2, 0) + k2(2, 1, 1) + k3(1, 7, 5) = (0, 5, 4)

4. Jikax = (1, 2, 3), y = (−1, 4, 3) danz = (1,−2, 5), hitunglah

(a)x + y (b) z − 2y (c) z − x + y (d) x− 2x + 3y

5. Carilahu sehingga memenuhi

2u− x + y = 2z − 3y + 5u

11

3.2. Soal-Soal Latihan Panjang Vektor 12

3.2 Soal-Soal Latihan Panjang Vektor



1. Hitung panjang vektor-vektor dibawah ini

(a)v1 = (2, 6) (b) v2 = (4, 2) (c) v3 = (8, 6)

(d) u1 = (1, 2, 6) (e)u2 = (3, 4, 2) (f) u3 = (−2, 8, 6)

(g) w1 = (−1,−2, 8, 6) (h) w2 = (6,−3, 6,−3) (i) w3 = (−2, 6,−3,−2)

2. Carilah jarak antara titikP danQ, jika

(a)P (2, 6) danQ(4, 2) (b) P (8, 6) danP (−2, 3)

(c) P (1, 2, 6) danQ(3, 4, 2) (d) P (1, 8, 6) danP (−3,−2, 3)

(e)P (−1,−2, 8, 6) danQ(6,−3, 6,−3) (f) P (−2, 6,−3,−2) danQ(−2, 6,−3,−2)

3. Jikau = (3, 2, 1), v = (−3,−2, 3) danw = (3, 2,−3) hitungkah ekspresi dibawah ini

(a)‖u− v‖ (b) ‖u‖ − ‖v‖ (c) ‖u‖+ ‖v‖(d) ‖u + 2v + 3w‖ (e)

1‖u‖v (f)

∥∥∥∥1‖u‖v

∥∥∥∥

Dot Product, Proyeksi

3.3 Soal-Soal Latihan Dot Product, Proyeksi



1. Hitungu ¦ v, jika

(a)u = (2, 6) danv = (4, 2) (b) u = (8, 6) danv = (−3, 2)

(c) u = (1, 2, 6) danv = (3, 4, 2) (d) u = (−2, 8, 6) danv = (−3,−3, 2)

(e)u = (1, 2, 8, 6) danv = (6, 3, 6, 3) (f) u = (−2, 6,−3, 2) danv = (−2, 3, 2, 3)

2. Cari proyeksi ortogonalu terhadapa

(a)u = (2, 6) dana = (4, 2) (b) u = (8, 6) dana = (−3, 2)

(c) u = (1, 2, 6) dana = (3, 4, 2) (d) u = (−2, 8, 6) dana = (−3,−3, 2)

(e)u = (1, 2, 8, 6) dana = (6, 3, 6, 3) (f) u = (−2, 6,−3, 2) dana = (−2, 3, 2, 3)

3. Carilah komponen vektor dariu yang ortogonal terhadapa dari Soal 2

4. Hitunglah‖Proyau‖ dari Soal 2


3.4. Soal-Soal Latihan Cross Product 13

3.4 Soal-Soal Latihan Cross Product



1. Hitungu× v, jika

(a)u = (1, 2, 6) danv = (3, 4, 2) (b) u = (−2, 8, 6) danv = (−3,−3, 2)

(c) u = (1, 2, 8) danv = (6, 3, 6) (d) u = (−2, 6,−3) danv = (−2, 3, 2)

2. Cari vektor yang ortogonal baik terhadapu danv

(a)u = (1, 2, 6) danv = (3, 4, 2) (b) u = (−2, 8, 6) danv = (−3,−3, 2)

3. Carilah luas yang dibangun olehu dana

(a)u = (1, 2, 6) danv = (3, 4, 2) (b) u = (−2, 8, 6) danv = (−3,−3, 2)

4. Carilah hasil kali ganda tigau ¦ (v × w)

(a)u = (−1, 2, 4), v = (3, 4,−2), w = (−1, 2, 5)

(b) u = (3,−1, 6), v = (2, 4, 3), w = (5,−1, 2)


Modul 4Transformasi Linear dan Sifat

4.1 Soal-Soal Latihan Transformasi Linear



1. Carilah matriks standar dari transformasi linear yang didefinisikan dibawah ini

a. w1 = 2x + 3y + 2z, w2 = x + 3y + 2z

b. w1 = 2x + 3y + 2z, w2 = 2x + 3y + 2z, w3 = 2x− 3y + 4z

c. w1 = 2x+3y +2z−2t, w2 = 2x+3y +2z + t, w3 = 2x−3y +4z−2t

2. Carilah matriks standar untuk transformasi linearT : R3 → R3 yang diberikan oleh

w1 = 3x1 + 5x2 − x3

w2 = 2x1 − 5x2 + 3x3

w3 = x1 − 5x2 + 2x3

dan hitungT (−1,−2, 3) dengan secara langusng mensubstitusikan pada persamaan

tersebut dan dengan perkalian matriks.

3. Carilah matriks standar transformasi linear yang diberikan rumus seperti dibawah ini

a. T (x1, x2) = (x1 + x2, x1− 3x2, 4x1 + 2x2)

b. T (x1, x2, x3) = (x1 + x2 − x3, x1− 3x2 + 2x3, 4x1 + 2x2 − 4x3)

c. T (x1, x2, x3, x4) = (x1 + x2 − x3, x1− 3x2 + 2x3 − x4, 4x1 + 2x2 − 4x3 − 2x4)

d. T (x, y, z) = (0, 0, 0, 0, 0)

14

4.2. Soal-Soal Latihan Sifat Transformasi Linear 15

4. Dengan menggunakan matriks pencerminan, carilah hasil daris = (−1, 2) jika di-

lakukan pencerminan terhadap

a. sumbu-x

b. sumbu-y

c. garis-y = x

d. sumbu-x kemudian garis-y = x

e. garis-y = x kemudian sumbu-x

5. Dengan menggunakan matriks pencerminan, carilah hasil daris = (−1, 2, 3) jika di-

lakukan pencerminan terhadap

a. bidang-xy

b. bidang-xz

c. bidang-yz

d. bidang-xy kemudian bidang-y = x

e. bidang-y = x kemudian bidang-xy

6. Carilah matriks standar untuk transformasi linear yang mentransformasi secara ortogo-

nal pada

a. sumbu-x

b. sumbu-y

7. Carilah matriks standar untuk transformasi linear yang mentransformasi secara ortogo-

nal pada

a. bidang-xy

b. bidang-xz

c. bidang-yz

8. Carilah matriks transformasi untuk rotasi padaR2

4.2 Soal-Soal Latihan Sifat Transformasi Linear



1. Cari matriks standar untuk operator linear yang sesuai dari persamaan-persamaan berikut

ini


4.2. Soal-Soal Latihan Sifat Transformasi Linear 16

a.

w1 = 2x1 + 3x2

w2 = 3x1 − 4x2

b.

w1 = 2x1 + 3x2 − 2x3

w2 = 3x1 − 4x2 + x3

w3 = x1 + 2x2 + 2x3

2. Tunjukan bahwa daerah hasil dari operator linear dengan pesamaan dibawah ini

w1 = x1 − 2x2 + x3

w2 = 4x1 + x2 + 2x3

w3 = 5x1 − x2 + 3x3

tidqk berada diR3 dan cari sebuah vektor yang tidak berada di daerah hasil.

3. Anggal l adalah garis pada bidang-xyyang melalui titik asal dan membentuk sudutθ

dengan sumbu-x positif dengan0 ≤ θ < π, danT : R2 → R2 adalah operator linear

yang memetakan setipa vektor ke proyeksi ortogonalnya ke garisl.

a. Cari matriks standar untukT

b. cari proyeksi ortogonal vektorx = (1, 5) pada garis yang melalui titik asal yang

membentuk sudutθ = π6 dengan sumbu-x positif.

4. Carilah operator linear balikanT−1 dari soal nomor 1


Modul 5Ruang Vektor

5.1 Soal-Soal Latihan Ruang Vektor Real



1. Himpunan semua pasangan dua bilangan(x, y) dengan operasi

(x, y) + (x′, y′) = (x + x′, y + y′), k(x, y) = (3kx, 3ky)

2. Himpunan semua pasangan tiga bilangan(x, y, z) dengan operasi

(x, y, z) + (x′, y′, z′) = (x + x′, y + y′, z + z′), k(x, y, z) = (kx, y, z)

3. Himpunan semua pasangan bilangan real yang berbentuk(x, 0) dengan operasi-operasi

standar padaR2

4. Himpunan semua matriks2× 2 berbentuk(

a 1

1 b

)

dengan penjumlahan dan perkalian skalar matriks

5. Himpunan semua matriks2× 2 berbentuk(

a a + b

a + b b

)

dengan penjumlahan dan perkalian skalar matriks

6. Gunakan Teorema??untuk menentukan manakah yang termasuk sub-ruang dariR3

17

5.2. Soal-Soal Latihan Kombinasi Linear dan Membangun 18

(a) semua vektor berbentuk(x, 0, 0)

(b) semua vektor berbentuk(x, 1, 1)

(c) semua vektor berbentuk(x, y, z) denganx = y + z

(d) semua vektor berbentuk(x, y, z) dengany = x + z + 1

5.2 Soal-Soal Latihan Kombinasi Linear dan Membangun



1. Nyatakan vektor-vektor dibawah ini merupakan kombinasi linear darip̄ = (1,−1, 3),

q̄ = (2, 1, 4) danr̄ = (3, 2, 5)

(a) (6, 11, 6) (b) (0, 0, 0) (c) (5, 6, 7)

2. Nyatakan matriks-matriks dibawah ini merupakan kombinasi linear dari matriks

p̄ =

(1 −1

2 3

)q̄ =

(0 1

2 4

)q̄ =

(4 0

−2 −2

)

(a)

(0 0

0 0

)(b)

(6 0

3 8

)(c)

(5 −1

1 7

)

3. Apakah vektor-vektor dibawah ini membangunR3

(a) p̄ = (1,−1, 3), q̄ = (2, 1, 4) danr̄ = (3, 2, 5)

(b) p̄ = (1, 1, 1), q̄ = (0, 1, 1) danr̄ = (0, 0, 1)

(c) p̄ = (1, 2, 6), q̄ = (3, 4, 1), r̄ = (3, 2, 5) dans̄ = (1, 2, 5)

5.3 Soal-Soal Latihan Bebas Linear



1. Apakah himpunan vektor dibawah ini yang bebas linear atau tak bebas linear

(a) {(8, 1, 3), (2, 3, 5)}(b) {(8, 1, 3), (2, 3, 5), (2, 3, 4)}(c) {(8, 1, 3), (2, 3, 5), (2, 3, 4), (1, 2, 7)}


5.4. Soal-Soal Latihan Basis dan Dimensi 19

2. Untuk nilai realα berapakah vektor berikut ini membentuk suatu himpunan vektor yang

bebas linear

v̄1 = (α,−1,−1), v̄2 = (−1, α,−1), v̄3 = (−1,−1, α),

3. Tunjukan bahwa vektor-vektoru1 = (4,−7, 1, 3), u2 = (6, 0, 5, 1) danu3 = (0, 3, 1,−1)

merupakan himpunan vektor yang tak bebas linear diR4

4. Nyatakan setiap vektor pada soal 3 sebagai kombinasi linear dari dua vektor yang lain-

nya.

5.4 Soal-Soal Latihan Basis dan Dimensi



1. Apakah himpunan vektor dibawah ini merupakan basis untukR2

(a) (1, 2), (3, 0) (b) (4, 1), (7, 8) (c) (−3,−9), (4, 12)

2. Apakah himpunan vektor dibawah ini merupakan basis untukR3

(a)(1, 0, 0), (2, 2, 0), (3, 3, 3) (b) (3, 1,−4), (2, 5, 6), (1, 4, 8) (c) (1, 6, 4), (−1, 2, 5), (2, 4, 1)

3. Carilah koordinat vektor̄v relatif terhadap basisS = {v̄1, v̄2, v̄3}(a) v̄ = (−2, 1,−3), v̄1 = (1, 0, 0), v̄2 = (2, 2, 0), v̄3 = (3, 3, 3)

(b) v̄ = (5,−12, 3), v̄1 = (3, 1,−4), v̄2 = (2, 5, 6), v̄3 = (1, 4, 8

4. Carilah basis dan dimensi dari ruang penyelesaian dari sistem linear berikut

(a)3x1 + x2 + x3 + x4 = 0, 5x1 − x2 + x3 − x4 = 0

(b) x1 − 4x2 + 3x3 − x4 = 0, 2x1 − 8x2 + 6x3 − 2x4 = 0

5.5 Soal-Soal Latihan Ruang Baris, Ruang Kolom dan Ruang

Kosong



1. Carilah basis ruang kosong dari matriks dibawah ini

(a)

1 −1 3

4 −3 −3

3 3 2

(b)

−1 −4 −5 −5 −9

3 −2 1 4 −1

2 3 5 7 8

−1 0 −1 −2 −1


5.6. Soal-Soal Latihan Rank dan Nulitas 20

2. Carilah basis ruang baris dari matriks-matriks pada Soal 1

3. Carilah basis ruang kosong dari matriks-matriks pada Soal 1

5.6 Soal-Soal Latihan Rank dan Nulitas



1. Tunjukan bahwarank(A) = rank(AT ) dari matriks dibawah ini

(a) A =

1 2 2 −2 0

3 −2 3 5 2

5 −1 2 4 1

(b) A =

2 1 −2 1 2

4 3 −4 −1 3

6 5 −6 1 2

8 7 −8 −1 2

2. Carilah jumlah parameter yang dibutuhkan pada soal 1

3. Carilahnull(A) dari soal 1


Daftar Pustaka

[1] Howard Anton, 2000, Dasar-Dasar Aljabar Linear, Interaksara, Batam.

[2] Steven J. Leon, 2001, Aljabar Linear dan Aplikasinya, Erlangga, Jakarta.

21

Soal Aljabar Matriks ITS

Documents