Sistem Koordinat Noninersia

8/11/2019 Sistem Koordinat Noninersia

1/30

SISTEM KOORDINAT NONINERSIA

A. Kompetensi Dasar

1. Sistem Koordinat Translasi dan Contohnya2. Sistem Koordinat Rotasi dan Contohnya

3. Gambaran gerak benda pada bumi yang berotasi

a) Efek Statis

b) Efek dinamis

4. Bandul Foucault

5. Sirkulasi Angin Horisontal

B. Tujuan1. Mahasiswa memahami Sistem Koordinat Translasi dan Contohnya

2. Mahasiswa memahami Sistem Koordinat Rotasi dan Contohnya

3. Mahasiswa memahami Gambaran gerak benda pada bumi yang berotasi

a) Efek Statis

b) Efek dinamis

4. Mahasiswa memahami Bandul Foucault

5. Mahasiswa memahami Sirkulasi Angin Horisontal


2/30

BAB I

PENDAHULUAN

Pada bab sebelumnya telah diketahui, akan memudahkan apabila gerak partikel atau

sistem partikel digambarkan dalam sistem inersial. Namun, terdapat keadaan dimana sistem

mempunyai percepatan yang menyebabkan kerangka acuan yang diletakan pada sistem ini

akan menjadi kerangka acuan noninersial. Untuk menggambarkan sistem dinamis seperti it,

kita harus memodifikasi penggunaan persamaan gerak sehingga dapat diaplikasikan dalam

sistem noninersial atau dengan mengabaikan adanya perbedaan ini. Contoh utama adalah

bumi, yang berotasi dan juga mengalami translasisehingga mengalami percepatan. Jadi

kerangka acuan yang diletakan pada bumi, dengan menggunakan hukum gerak Newton,

harus digunakan sistem diantariksa yang relatif tetap terhadap suatu bintang. Alternatif lain

adalah memodifikasi persamaan Newton tentang gerak sehingga dapat diterapkan dibumi

yang berada dalam sistem noninersial.


3/30

BAB III

ISI

3.1 Sistem Koordinat Translasi

Sistem koordinat S(X, Y, Z) menjelaskan gerak translasi dari sistem koordinat awal S

(X, Y, Z). dapat dilihat pada Gambar 1, bahwa ada sebuah titik P yang menggambarkan

lokasi vector r dan vector r terhadap titik O dan O, merupakan gabungan dari dua koordinat

sistem.

Gambar 1. Sistem koordinat S merupakan gambaran gerak translasi pada sistem

koordinat awal S.

Dapat diketahui bahwa r 0 adalah jarak dari titik O ke titik O. Hubungan antara r dan r

adalah sebagai berikut

r = r' + r 0 (11.1)

atau di dalam bentuk komponen

x = x' + x 0 (11.2)

y = y' + y 0 (11.3)


4/30

z = z' + z 0 (11.4)

kita mengasumsikan bahwa pergerakan sumbu X, Y, Z sejajar dengan sumbu X, Y, Z.

hal ini disebut translasi. Kita juga mengasumsikan bahwa kecepatan dan percepatan dari titik

O ke O sebagai v 0 dan a 0. Sehingga hubungan antara kecepatan dan percepatan pada titik P

adalah

atau

atau

Maka, jika ada sebuah partikel bermassa m pada titik P dan dikenai gaya F di koordinat

sistem S. dapat dituliskan dalam Hukum II Newton

Ketika partikel berpindah ke koordinat sistem S, maka

Jika persamaan sistem S bergerak dengan kecepatan yang sama saat menuju S, maka= 0. Sehingga persamaannya akan menjadi

Bentuk persamaan ini sama dengan bentuk persamaan Hukum II Newton. Dengan ini

dapat disimpulkan bahwa bentuk Hukum II Newton adalah sama pada semua sistem yang

bergerak dengan kecepatan konstan. Hal ini merupakan prinsip newton tentang relativitas.

Bentuk persamaan ini juga disebut sebagai sistem inersia.


5/30

Maka, jika koordinat sistem S memiliki percepatan yang sama saat menuju

S.Dan gaya yang dialami oleh kerangka acuan yang bergerak, maka bentuk persamaannya

adalah :

Dimana

Contohnya :

Sebuah roda dengan jari-jari R berputar dengan kecepatan v 0 sepanjang sebuah garis

lurus, seperti ditunjukkan pada gambar dibawah ini. Apakah posisi, kecepatan, dan

percepatan partikel tetap di sisi roda sesuai dengan a). Kerangka acuan berada didalam roda.

b). Kerangka acuan berada di tanah.

Jawab :

1. Untuk gambar (a) menunjukkan sebuah posisi roda yang diam beserta kerangka acuannyadengan arah kecepatan V 0 yang berarti benda akan bergerak searah dengan panah

yang ditunjukkan dengan kecepatan yang selalu V 0. Sedangkan untuk gambar (b)

menunjukkan posisi dan kecepatan benda yang diputar searah dengan arah kecepatan,

jika benda berada di titik P maka v atau v linier akan serah dengan v 0 sehingga resultan

v serah dengan v dan v 0. Jika benda berada di sebelah kanan, bawah dan sebelah kiri

dapat dilihat arah v 0 , v dan v dapat dilihat pada gambar (b).


6/30

2. Untuk gambar (c) menunjukkan sebuah posisi roda yang diam beserta kerangka acuannya

dengan arah kecepatan a 0 = 0 yang berarti benda begerak dengan kecepatan konstan

sehingga arah vektor a selalu menuju kepusat disetiap titik. Sedangkan untuk gambar (d)

menunjukkan posisi dan percepatan benda yang diputar dengan kerangka acuan diluar

ruda tersebut. Sehingga didapatkan gambar percepatan dan arah vektornya yang

ditunjukkan oleh gambar (d).

3.2 Sistem Koordinat Berotasi

Dimisalkan kerangka acuan tetap S dengan sumbu-sumbu koordinat XYZ dan

kerangka acuan yang berotasi Sdengan sumbu-sumbu koordinat XYZ. Jadi S systeminersial dan S adalah system noninersial. Titik pusat kedua system koordinat selalumelekat. Vektor satuan dari kedua system koordinat berturut-turut adalah , dan dan

, dan seperti ditunjukkan dalam gambar 1.

(11.12)

(11.13)


7/30

Gambar 1. Koordinat X, Ydan Z dari system S berotasi terhadap koordinat X, Y dan Z dari system S

Hubungan antar komponen dalam kedua system koordinat dapat diperoleh dari perkalian

titik, yaitu :

. ) + ( . ) +

. ) + ( . ) + (11.14)

. ) + ( . ) + Persamaan tersebut juga dapat ditulis :

x = 11 x + 21 y + 31 z y = 12 x + 22 y + 32 z (11.15) z = 13 x + 23 y + 33 z

dimana 11 , 21 ... 31 adalah kosinus sudut antara vektor satuan yang satu dengan yanglain.

Dimisalkan vektor berada dalam ruang. Karena koordinat berotasi, jika konstanterhadap waktu dalam satu system koordinat, ia tidak konstan untuk system koordinat

yang lain. Turunan waktu untuk vektor tersebut akan berbeda dalam kedua koordinat. Hal

ini dikarenakan ketika (t) berubah menjadi pada salah satu system dalam waktu t, (t) sendiri berubah dalam system koordinat yang lain akibat rorasi. Misal mempunyaikomponen (A x , A y , A z ) dan (A x , A y , A z ) dalam kedua (t + t) kordinat maka

A x + A y + A z (11.16)

A x + A y + A z (11.17)

O

Z PZ

kk

Y

Y

j

j

X X

i i

O


8/30

Misal d/dt menunjukkan derivatif terhadap system koordinat yang diam dan d/dt terhadap system kooardinat yang berotasi dari persamaan (5) dan (6) diperoleh (dengan

menyatakan derivatif sebagai dot).

A x + A y + A z (11.18)

A x + A y + A z (11.19)

Untuk memperoleh hubungan antara dan

= ( A x + A y + A z

= A x + A y + A z + A x + A y + A z (11.20)

Dengan menggunakan hasil persamaan (8) ke dalam persamaan (9) =

+ A x + A y + A z (11.21)

Untuk mengevaluasi ketiga suku terakhir, dimisalkan salah satu system koordinat berotasi

terhadap sumbu ON yang melewati titik pusat dengan kecepatan sudut . Misal vektor

yang membentuk sudut dengan sumbu ON diam dalam system koordinat yang berotasi

sehingga turunannya menjadi = 0, kemudian dihitung turunan dalam system yang

diam . Saat vektor (t) berada sepanjang OP, saat t + t, (t + t) berada sepanjang

OQ sehingga (t + t) - (t) = . Besar pada gambar 2 yaitu: B = RQ = (B sin ) (t)

= B sin (11.22)

Atau dalam batas t=> 0, diperoleh

= B sin (11.23)

= x (11.24)


9/30


10/30

atau = + x (11.29)

persamaan (17) atau (18) memberikan hubungan antara dalam system koordinat diam

dan kecepatan dalam system koordinat rotasi. Hubungan ini dapat diterapkan pada saat

berubah besar dan arahnya. Turunan kedua untuk diperoleh dengan menurunkan persamaan (17) sekali lagi

= (

= (

+ x ) (11.30)

substitusi untuk dari persamaan (16)

= ( + x ) (

+ x )

= + x

+ x + x

+ x x

atau = + x x + x + x (11.31)

dapat juga diganti dengan karena turunan koordinat diam maupun berotasi dari

sembarang vektor yang sejajar pada sumbu rotasi adalah sama. Hal ini dapat dibuktikan

melalui persamaan (15) dimana diganti

= + x = , yaitu = (11.32)

karena | x | = 2 sin 0 = 0; x adalah vektor nol.

Secara ringkas dapat dikatakan apabila O dan O tetap diam, maka sembarang

titik dalam ruang dapat diwakili oleh vektor posisi , yang sama dalam kedua system

koordinat, sementara kecepatan dan percepatan berturut-turut diberikan oleh persamaan

(17) dan (20).

Persamaan (20) merupakan pernyataan teorema Coriolis.

= percepatan relatif terhadap salah satu system koordinat

= percepatan relatif terhadap system koordinat berotasi

x x = percepatan sentripetal dari titik saat berotasi terhadap sumbu

x = percepatan Coriolis, yang muncul ketika partikel bergerak dalam system

koordinat yang berotasi

x = rotasi khusus yang hilang jika konstan

Jika dianggap Hukum II Newton valid dalam system koordinat diam, dengan

persamaan (20) diperoleh

= = + x x + x - x (11.33)


11/30

sedangkan gaya efektif dilihat dari system koordinat berotasi, yang bekerja pada m

diberikan oleh

= = - x x - x

- x (11.34)

dimana

- x x = gaya sentrifugal yang menjauhi pusat (11.35a)

- x = gaya Coriolis (11.35b)

- x = gaya transversal untuk kasus rotasi tak seragam, yang bernilai nol

karena ditinjau hanya rotasi seragam saja (11.35c)

Gambar 3. Percepatan sentripetal | x x | = a c dihasilkan dari rotasi system koordinat bergerak

Dalam persamaan (22), | x x | = a c adalah percepatan sentripetal karena seperti

yang ditunjukkan dalam gambar 3 berarah ke pusat dan tegak lurus sumbu rotasi. Seperti

yang ditunjukkan = x atau v = r sin , dimana v adalah kecepatan gerak melingkardan r sin adalah jarak dari sumbu. Dari gambar 3, dengan menggunakan = v / (r sin )diperoleh

a c = | x x | = 2r sin = (11.36)

N

r

x r

r sin

x x


12/30

besaran - x x disebut gaya sentrifugal yang sama dengan m 2r dimana tegak

lurus vektor jari-jari. Tada negatif menunjukkan gaya sentrifugal arahnya keluar dari

pusat rotasi, ditunjukkan pada gambar 4: Menurut mekanik klasik, gaya sentrifugal

bukanlah gaya nyata melainkan gaya fikif atau gaya noninersial. Gaya ini hadir hanya

jika mengacu pada koordinat yang bergerak dalam ruang. Sebagai contoh partikel yang

bergerak melingkar tidak dikenai gaya sentrifugal. Gaya yang mengarah ke pusat

menghasilkan gaya sentripetal. Jika gerak partikel diamati dari kerangka acuan yang

bergerak bersama partikel, maka partikel akan diam dalam sistem. Terdapat gaya yang

mengarah ke pusat, tetapi partikel tidak jauh ke pusat. Hal ini hanya mungkin jika gaya ke

arah pusat setimbang ke arah utara luar, yaitu gaya sentrifugal.

Gambar 4. Gaya sentrifugal yang dihasilkan dari gerak rotasi ditunjukkan berarah keluar dari pusat

Suku - x disebut gaya Coriolis dan dihasilkan dari gerak partikel dalam

system koordinat berotasi. Gaya ini berbanding lurus dengan kecepatan dan akan

lenyap jika tidak ada gerak. Menurut mekanika klasik, gaya ini bukan gaya riil melainkan

gaya noninersial (gaya fiktif).

m

O

r sin

x r

x x r

-m x x r


13/30

Gaya sentripetal dan gaya Coriolis dikenalkan untuk dapat menuliskan persamaan

yang mirip dengan Hukum II Newton dan tetap dapat diaplikasikan untuk system

noninersial termasuk system koordinat rotasi. Jika Hukum II Newton dituliskan dalam

koordinat diam sebagai

= =

maka gaya yang bekerja pada m dalam system koordinat berotasi adalah

= =

= + gaya noninersial

= + cent + Cor + trans (11.37)

dimana gaya noninersial atau gaya fiktifnya adalah gaya sentripetal dan gaya Coriolis.

Jika system koordinat yang berotasi mempunyai gerak tranlasi dan rotasi, persamaan

berikut menunjukkan hubungan antara vektor perpindahan, kecepatan, dan percepatan

dalam kedua system. Jika 0 adalah jarak O dari O. = + 0 (11.38) =

+ x + (11.39)

=

+ x x + x + x +

(11.40)

Gaya sentrifugal dan gaya Coriolis tidak dihasilkan dari interaksi fisis, tetapidihasilkan dari gerak, sehingga gaya ini disebut gaya noninersial. Sebagai contoh ketika

sebuah mobil bergerak melingkari kurva lengkung terlalu cepat, ia akan terpeleset.

Menurut pengamatan dalam inersial, gaya ke samping yang dilakukan oleh jalan pada ban

mobil tidak cukup untuk menjaga mobil tetap berjalan sesuai lintasan. Menurut pengamat

dalam mobil (dalam system noninersial) dirasakan jika mobil seolah-olah didorong keluar

oleh gaya sentrifugal.

3.3 Gambaran Gerak Pada Bumi Yang Berotasi

Hasil yang diperoleh pada bab sebelumnya dapat diterapkan untuk menjelaskan gerak

dalam sistem koordinat yang diam pada bumi sehingga bergerak bersama rotasi bumi, dengan

kata lain akan dijelaskan gerak dalam sistem koordinat noninersial. Kecepatan sudut dari

bumi dengan vektor jari-jari relatif terhadap matahari adalah radian per hari. Nilai

kecepatan sudut ini, ketika dikoreksi untuk memberikan kecepatan sudut relatif terhadap

bintang yang diam, adalah


14/30

(11.41)

dimana 366,5 adalah jumlah hari dalam satu tahun siderik dan 365,5 adalah jumlah haridalam satu tahun matahari. Kecepatan sudut meskipun sangat kecil memberikan efek yang

sangat besar, diantaranya adalah :

1. Gerak rotasi bumi yang menyebabkan daerah katulistiwa menggembung, yaitu bumi pepat

pada kutub utara dan selatan, menghasilkan jari-jari katulistiwa lebih besar dibandingkan jari-jari kutub.

2. Gaya Koriolis yang bekerja pada massa bergerak, menyebabkan sirkulasi udara

berlawanan arah jarum jam pada bagian utara bumi.

3. Efek Koriolis harus diperhitungkan ketika menghitung secara akurat gerak peluru jarak

jauh dan peluru kendali.

4. Gerak pendulum Foucault dihasilkan oleh gaya Koriolis

Misalkan sebuah partikel bermassa m dengan jarak dari pusat bumi dikenai gaya

gravitasi dan gaya lain selain gaya gravitasi , misalnya gaya gesek. Persamaan gerak partikel tersebut relatif terhadap koordinat diam dalam ruang adalah

(11. 42)

dimana merupakan percepatan relatif terhadap sistem koordinat berotasi.

Untuk memperoleh persamaan gerak partikel ini terhadap sistem koordinat yang diam

terhadap bumi, yang mempunyai kecepatan sudut , digunakan persamaan (11.33) atau

(11.34), dengan mengingat bahwa untuk kecepatan sudut yang konstan.

Dengan menggunakan persamaan (11.33), yaitu persamaan yang menganggap Hukum II

Newton valid dalam sistem koordinat diam adalah

(11.33)

dimana dan dikenai gaya gravitasi , maka


15/30


16/30

sehingga dapat ditulis

(11.46)

dimana


17/30

Besaran seperti ditunjukkan pada gambar 11.6, berarah radial keluarmenjauhi sumbu bumi. Kombinasi dari suku ini dan yang memberikan resultan .

Seperti yang terlihat pada gambar, di sembarang titik di utara katulistiwa sedikit berarah

ke selatan pusat bumi. Sembarang benda yang dijatuhkan di dekat permukaan bumi akanmengikutiarah . Jika kita memiliki seember cairan yang berotasi, permukaan cairan yang

berotasi akan berada sedemikian sehingga tegak lurus permukaan di seluruh titik. Hal ini

merupakan alasan mengapa bumi berbentuk ellips, yang menyebabkan pepat pada kedua

kutubnya. Efek kombinasi dari percepatan sentripetal dan pepatna bumi yang menyebabkan

jari-jari kutub lebih kecil daripada diameter katulistiwa,

. Perbedaan ini memberikan nilai sekitar 0,53% lebih sedikit pada katulistiwadisbanding pada kutub.

Secara umum, nilai berubah terhadapsudut lintang . Menurut gambar 11.6 (b)

besarnya percepatan sentrifugal untuk titik massa m yaitu

(11.47)

dimana adalah jarak massa m dari sumbu dan adalah sudut lintang titik P pada

bumi. Besarnya gaya sentrifugal adalah

(11.48)

Sudut dimana menyimpang dari (arah gaya gravitasi) adalah (gambar11.6)

(11.49)

Karena sangat kecil, dapat dituliskan

(11.50)


18/30


19/30


20/30

Gambar belahan bumi utara,, peluru yang ditembakkan horizontal menyimpang kekanan akibat

gaya coriolis

Pada kutub utara =90 odan sin 90 o= 1, sehingga nilai maksimum a cor dari

persamaan 5, yaitu

g s

mvva cor 015,05,110.105,1'2sin'2 234

Pembelokan pada kutub, dari persamaan 7 adalah

orad s srad

t

4,0107100/107

sin35

Meskipun kecil, namun menjadi penting dalam peluncuran roket jarak jauh dan

peluru kendali.

3.3.2.2. Pembelokan dari arah vertical benda yang jatuh bebas

Menurut gambar11.7, karena kecepatan benda selalu vertical sepanjang sumbu

Z dan terletak pada bidang vertical utara-selatanya itu pada sumbu XY, gaya coriolis

yang sekarang adalah gaya pembelok vmvm

22 berada dalam arah timur-

barat. Jadi dibagian utara benda yang jatuh bebas a akan disimpangkan ketimur (sumbu

X).

Persamaan gerak pada arah X adalah

sin2)'(2 '22

z x vmvmdt xd

m (11.60)

Dengan =90 o- adalah sudut lintang, maka 'v


21/30

Kontribusi gaya coriolis terhadap kecepatan v z adalah sangat kecil, sehingga

kontribusi pada pembelokan x dapatdiabaikan.Kita dapat menghitung v zseolah -olah

tidak ada kontribusi dari gaya coriolis, adalah

(11.61)dan

Atau (11.62)

Subsitusi untukv z daripersamaan 9 ke 10

(11.63)

Mengintegralkan dua kali dengan syarat awal saat t=0, =0, 0.

x

(11.64)

Subsitusi untuk t daripersamaan 10 dan =90 o-

(11.65)

Jadi, pada khatulistiwa 2(0 o dan jika z=100m, persamaan 11.65

memberikan x=2,3 cm. Pada kutub, =90 o, memberikan x=0 lalu pada =45 o, x=1,55

cm sehingga pembelokan maksimum pada daerah khatulistiwa. Pembelokannya selalu

mengarah kekanan apabila pada bumi bagian utara. Pembelokan dari vertikal serupa


22/30

dengan pembelokan akibat gesekan atau arus udara. Efek kecil ini dapat dengan mudah

dilihat dalam bandul pendulum (pendulum Foucault) dan dalam rotasi atau gerakan

molekul.

3.3.2.3. Efek dinamik( gerak proyektil) : penyelesaian alternatif

Dalam penyelesaian alternatif ini, kita mulai dengan persamaan umum peluru

(proyektil). Persamaanumumgerakpeluruadalah

(11.66)

Dimana^

k g g (11.67)

dan^^^

k ji z y x (11.68)

sementara

... (11.69)

Sehingga dapat ditulis dalam bentuk komponen

(11.70)

(11.71)

(11.72)

3.5 Pendulum Foucault

Pendulum Foucault merupakan sebuah system yang dibuat oleh J.L. Foucault pada tahun1851. Pendulum Foucault menggambarkan bumi sebagai system noninersial yaitu suatusystem yang memiliki gaya Coriolis akibat rotasi bumi. Pendulum Foucault terdiri atas beban

bermasa 28 kg yang digantung pada kubah Pantheon di Paris dengsn tali sepanjang 67 m.Pendulum tersebut berayun secara bebas pada sembarang bidang vertical. Ketika pendulumtersebut dibuat berayun pada bidang vertical tertentu terlihat bahwa bidang ayun berpresesiterhadap vertical yang besarnya hampir satu sentimeter setiap ayunan, sehingga secaralangsung menunjukan adanya rotasi bumi.


23/30

Syarat yang diperlukan pada pendulum Foucault adalah tali yang digunakan harus sangat panjang, masa beban sangat besar dan tanpa gesekan agar pendulum berayun bebas. Sepertiyang ditunjukan pada gambar 9

Gambar.9

Titik pusat O dari system koordinat OXYZ berada tepat di bawah titik gantung danmerupakan titik setimbang dari pendulum. Sumbu Z berarah vertical dan bidang datar yangdidefinisikan sumbu X dan Y sebagai bidang horizontal. Untuk mengkaji gerak pendulum

pada bidang horizontal ini, gerak pendulum akan dibatasi pada osilasi dengan amplitudo yangcukup kecil, sehingga perpindahan ( r ) beban dari titik setimbang hampir horizontal, dan

kecepatanya sama dengan v z sangat kecil dibandingkan dengan v x atau v y. Jika T adalahtegangan tali dan v = =d r /dt adalah kecepatan bandul, persamaan gerak dari masa m adalah

Suku terakhir dari persamaan tersebut menunjukan gaya koriolis dan akan hilang jika bumi tidak berotasi. Persamaan tersebut tanpa suku terakhir merupakan persamaan pendulumsederhana pada bumi yang tidak berotasi.

Untuk kecepatan rendah (v10km/jam), gaya koriolis sekitar 0,1% dari gaya gravitasimge, sehingga komponen vertical dari gaya koriolis dapat diabaikan jika disbanding gayagravitasi. Sebaliknya, komponen horizontal dari gaya koriolis yang tegak lurus terhadap dan

berada pada bidang XY mempunyai efek yang tidak dapat diabaikan pada gerak pendulum,karena tidak ada gaya lain yang bekerja pada bidang ini. Komponen pada gaya koriolis iniyang membuat pendulum tidak dapat berayun pada bidang vertical tetap dan menyebabkan

presesi atau rotasi pada bidang ini terhadap sumbu vertical.


24/30

Persamaan diferensial gerak dengan masa m pada persamaan (11.73) dapat ditulissebagai

dengan komponen x seperti yang telah ditentukan sebelumnya

Gambar 9(b)

Komponen T darigambar 9(b) (dimana ,, dan adalah kosinus arah) adalah

Dengan mengunakan persamaan ini persamaan (11.74) dapat ditulis kan dalam bentu


25/30

Dalam kasus ini perpindahan pendulum dari arah vertical sangat kecil sehingga zL danTZ Tmg. Begitu pula vz mendekati nol dibanding dan . Jadi, gerak pada bidang XY darimasa m dengan v z = 0 dan T=mg dapat ditulis

Didefinisikan = sin

sehingga persamaanya menjadi

Kedua persamaan ini disebut persamaan terkopel karena persamaan untuk berisi dan persamaan berisi .

Gerak yang digambarkan oleh persamaan diferensial (11.83) dan (11.84) dapat dilihatdengan transformasi ke sumbu koordinat baru OXY yang berotasi pada bidang XY dengan

kecepatan sudut tetap- = sin relative terhadap sumbu OXY, seperti ditunjukan padagambar 10.

Gambar.10

Perlu diperhatikan bahwa rotasi terhadap sumbu Z yang melekat dengan sumbu Z .Persamaan transformasinya adalah


26/30

Dengan menghitung nilai dan dari persamaan (11.85) dan (11.86) subtitusi nilai x,

dan dalam persamaan (11.83) akan diperoleh

Koefisien dari cos t dan sin t harus nol yaitu

didefinisikan

dan persamaan (11.88) dan (11.89) akan berbentuk

Persamaan diferensial (11.91) dan (11.92) membuyktikan bahwa lintasan partikel bermasa m dalam system koordinat OXY adalah ellips (akibat dari dua gerak harmonicsederhana pada setiap sudut yang saling tegak lurus) ditunjukan pada gambar 11a. Dalamkoordinat OXY sumbu mayor ellips memiliki arah tetap, namun tidak bila sumbu mayorini dilihat dari system koordinat OXY, karena OXY berotasi pada OXY dengan kecepatan

sudut konstan . Jadi ketika dilihat dari system koordinat OXY, sumbu mayor mengalami presesi tetap searah jarum jam dengan = sin , yaitu bidang vertical berpresesi terhadapvertical dengan kecepatan sudut ketika diacu pada sisten OXY.

Periode presesi Tp adalah


27/30

3.6 Sistem Cuaca Sirkulasi Angin Horizontal

Kekuatan Coriolis adalah salah satu dari banyak faktor yang mempengaruhi gerakan

angin dan cuaca sistem. Hal itu terjadi karena adanya perbedaan pemanas udara, dan daerah

hasil tekanan rendah di atmosfer. Kurva horizontal dapat ditunjukan pada gambar di bawah

ini:

Gambar 11.12(a)Aliran Angin dari tekanan tinggi tanpa adanya kekuatan coriolis

11.12 (b) Aliran angina ke tekanan rendah dengan adanya kekuatan coriolis

Dan kurva tertutup pada gambaran 11.13 dan 11.14 merupakan garis konstan tekanan

yang disebut isobars. Karena gradien tekanan, gaya pada setiap elemen udara dan tidak

adanya kekuatan lain, massa udara cenderung bergerak dari daerah yang bertekanan tinggi ke

daerah yang bertekanan rendah, dan perbedaan tekanan akan cepat menyamakan kedudukan.

Dengan demikian,aliran udara ini disebut aliran gradien tekanan. Dalam arah vertikal, gradien

tekanan seimbang dengan gaya gravitasi. Oleh karena itu, massa udara mengalir hanya pada

bidang horizontal dan disebut angin.


28/30

Gambar 11.13 aliran angin tekanan rendah di belahan bumi utara (a)tanpa gaya

Coriolis,(b)ideal di hadapan kekuatan Coriolis, (c)sebenarnya

1

2

3

4 Gambar 11.14 aliran angin tekanan tinggi di belahan bumi

utara (a) tanpa gaya coriolis, (b)aktual dengan coriolis dan kekuatan lain.

Adanya kekuatan Coriolis, yang sebanding dengan kekuatan tekanan gradien,

mengubah situasi. Dengan tidak adanya kekuatan Coriolis, arah angin akan tegak lurus ke

isobars seperti yang ditunjukkan pada gambar 11.12(a). Kekuatan coriolis membuat

penyimpangan ke kanan seperti yang ditunjukkan oleh gambar 11.12 (b). Defleksi seperti

massa udara ke kanan terus sampai angin vektor sejajar dengan isobar, dan kekuatan coriolis

hanya menyeimbangkan kekuatan gradien tekanan. Jadi, angin terus sejajar dengan isobars

beredar di arah yang berlawanan terhadap tekanan rendah di belahan bumi utara seperti

ditunjukkan pada gambar 11.13, di mana pada bagian(a) tidak mununjukan adanya kekuatan

coriolis, (b) menunjukan aliran ideal di hadapan kekuatan coriolis ,dan bagian (c)menunjukan

aliran aktual (modifikasi yang dihasilkan dari gesekan dan kekuatan lain). Di sisi lain, angin

beredar searah jarum jam di sekitar daerah tekanan tinggi di Belahan Utara seperti yang

ditunjukkan pada gambar 11.14. ( Pembentukan angin kencang(badai) tentang suatu wilayah

tekanan tinggi yang tidak umum, yang akan dijelaskan nanti). Arah aliran angin belahan bumi

selatan tentang daerah yang bertekanan rendah dan tekanan tinggi berlawanan dengan daerah

yang ada di Belahan Utara. Arah angin tersebut disebut angin geotropis atau angin siklon. Di

khatulistiwa, tidak ada kekuatan coiolis dan oleh karena itu maka tidak ada angin melingkarmengarah ke lebih seragam dekat khatulistiwa.


29/30

Untuk menganalisa secara sudut pandang yang analitis, maka dapat

mempertimbangkan massa udara yang memiliki volume, V= A.r , di mana A adalah luas penampang dan r adalah keteb alan (lihat gambar 11.15). Massa udara ini pada jarak r dari

pusat tekanan rendah. Gaya tekan pada bagian dalam permukaan PA dan pada permukaan

luar adalah ( P+ P)A. Gaya Coriolis Fc adalah 2m sin ,di mana m = V= A r adalahmassa udara, adalah mas sa jenis, adalah kecepatan. Karena massa udara berputar

berlawanan, maka gaya coriolis bertindak keluar. Percepatan sentripetal menjadi 2 /r , makadapat menulis persamaan gerak massa udara sebagai berikut:

m 2 / r = PA - 2m sin ( 11.95)

Mengganti m= A r dan mengambil batas r 0, maka akan diperoleh :

2 / r= 1 / dP /dr - 2m sin ( 11.96)

Gambar 11.15 Gaya bertindak atas massa udara pada jarak r dari pusat sebuah tekanan rendah.

Di dekat pusat tekanan rendah, dP/dr sangat besar dan oleh karena itu kecepatan angin

sangat besar pula. Di satu sisi lain, yang jauh dari pusat yang rendah, dapat mengabaikan

istilah 2 / r dan menulis : 1/ dP/dr = 2m sin ( 11.97)

= 1 / 2m sin 1/ dP/dr ( 11.98)

Aliran angin di sekitar daerah rendah dan tekanan tinggi bersama-sama dengan arah

dari coriolis gaya Fc dan gaya Fp karena gradien tekanan ditunjukan pada gambar 11.16.

Dalam kasus daerah tekanan rendah untuk gradien tekanan rendah ( 1 sampai 4

milibar/m), maka didapat kecepatan angin 80 km/h. Jika gradien tekanan adalah 30

mbars/m, kecepatan angin mencapai 160 km/h dan disebut badai. Perhitungannya dapatditunjukan dengan contoh 11.3.


30/30

Dalam kasus daerah tekanan tinggi, arah dari Fp dan Fc yang berlawanan dengan

yang

daerah tekanan rendah, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 11.16 (b), dan setelah menulis

ulang persamaan. (11.96), kita mendapatkan :

= r sin [(r sin )2- r/dP/dr] (11.99)

Dengan demikian, jika (11.100)

atau

maka, F P> F c, tekanan tinggi tidak dapat memberikan percepatan sentripetal untuk

membentuk badai.Hal ini karena gaya Coriolis terlalu lemah untuk memasok gaya sentripetal

yang dibutuhkan. Jadi ,dapat disimpulkan bahwa badai dan angin topan selalu tekanan rendah

sistem, dan tekanan sistem tidak tinggi. Massa udara bergerak dengan kecepatan tinggi

disebut badai.

DAFTAR RUJUKAN

Arya, Atam P. 1998. Introduction to Classical Mechanics . Second Edition. New Jersey:Prentice Hall.

Astono, Juli. 2005. Mekanika . Malang: UM Press.

Jamil, Fatma.2013. Pengertian Gaya Coreolis , (Online),(http://apapengertian.blogspot.com)

diakses tanggal 6 April 2014

Sarojo, Ganijanti Aby. 2002. Mekanika Seri Fisika Dasar. Jakarta : Salemba Teknika

Sistem Koordinat Noninersia

Documents