SISTEM DINAMIK DISKRET Anggota Kelompok: 1. Inggrid Riana C. 2. Kharisma Madu B. 3. Solehan
SISTEM DINAMIK DISKRET
Anggota Kelompok:
1. Inggrid Riana C.
2. Kharisma Madu B.
3. Solehan
Kontinu
Diskret
Sistem Dinamik
SISTEM DINAMIK
POKOK BAHASAN
SDD
OTONOMUS
1-D
LINEAR NON-LINEAR
MULTI-D
LINEAR NON-LINEAR
NON-OTONOMUS
SISTEM OTONOMUS 1-D
Kestabilan
Solusi
Titik Tetap
SDD Otonomus Linear 1-D
Kestabilan
Linearisasi
Solusi Jika Ada
Titik Tetap
SDD Otonomus Non-Linear 1-D
SDD OTONOMUS LINEAR 1-D
๐ฅ๐+1 = ๐๐ฅ๐ + ๐,
dengan
๐ = 0,1,2, โฆ,
๐ฅ๐ โ โ, ๐, ๐ โ โ .
Bentuk Umum
SDD OTONOMUS LINEAR 1-D
Solusinya adalah
๐ฅ๐ = ๐ฅ0 โ
๐
1 โ ๐๐๐ +
๐
1 โ ๐ , jika ๐ โ 1
๐ฅ0 + ๐๐ , jika ๐ = 1
Solusi Sistem
Diberikan SDD ๐ฅ๐+1 = ๐๐ฅ๐ + ๐, dengan nilai awal ๐ฅ0.
SDD OTONOMUS LINEAR 1-D
Titik Tetap
Titik tetap dari ๐ฅ๐+1 = ๐๐ฅ๐ + ๐, adalah ๐ฅโ โ โ
sedemikian sehingga
๐ฅโ = ๐๐ฅโ + ๐,
diperoleh
๐ฅโ =
๐
1 โ ๐, jika ๐ โ 1
๐ฅ0, jika ๐ = 1 dan ๐ = 0.
Untuk ๐ = 1 dan ๐ โ 0 titik tetap tidak ada.
SDD OTONOMUS LINEAR 1-D
Proposisi 1.
Titik tetap dari ๐ฅ๐+1 = ๐๐ฅ๐ + ๐ ada jika dan hanya jika
๐ โ 1 atau ๐ = 1 dan ๐ = 0 .
Proposisi 2.
Titik tetap dari ๐ฅ๐+1 = ๐๐ฅ๐ + ๐ tunggal jika dan hanya jika
๐ โ 1.
SDD OTONOMUS LINEAR 1-D
Kestabilan Titik Tetap
Titik tetap ๐ฅโ dari ๐ฅ๐+1 = ๐(๐ฅ๐) adalah:
โข Stabil global (asimtotik) jika
lim๐โโ
๐ฅ๐ = ๐ฅโ, โ๐ฅ0 โ โ
โข Stabil lokal (asimtotik) jika ๐ฅโ stabil lokal
dan
lim๐โโ
๐ฅ๐ = ๐ฅโ.
Proposisi 3.
Titik tetap dari ๐ฅ๐+1 = ๐๐ฅ๐ + ๐, stabil global
jika dan hanya jika
๐ < 1
SDD OTONOMUS LINEAR 1-D
Contoh
1. ๐ฅ๐+1 =3
4๐ฅ๐ + 2
Solusi: ๐ฅ๐ =3
4
๐๐ฅ0 โ 8 + 8
Titik Tetap: ๐ฅโ = 8
Kestabilan: ๐ =3
4< 1 โ stabil
SDD OTONOMUS LINEAR 1-D
Contoh
2. ๐ฅ๐+1 = โ2๐ฅ๐ + 2
Solusi: ๐ฅ๐ = โ2 ๐ ๐ฅ0 โ2
3+
2
3
Titik Tetap: ๐ฅโ =2
3
Kestabilan: ๐ = โ2 > 1 โ tak stabil
SDD OTONOMUS NON-LINEAR 1-D
๐ฅ ๐+1 = ๐ ๐ฅ ๐ , dengan ๐ = 0,1,2, โฆ .
Bentuk Umum
Solusinya adalah
๐ฅ 1 = ๐ ๐ฅ 0
๐ฅ 2 = ๐ ๐ฅ 1 = ๐ ๐ (๐ฅ 0) = ๐ 2 ๐ฅ 0
โฎ ๐ฅ ๐ = ๐ ๐ ๐ฅ 0
Solusi Sistem
Diberikan SDD ๐ฅ๐+1 = ๐ ๐ฅ๐ dengan nilai awal ๐ฅ0.
SDD OTONOMUS NON-LINEAR 1-D
Titik Tetap
Titik tetap dari ๐ฅ๐+1 = ๐ ๐ฅ๐ , adalah ๐ฅโ โ โ
sedemikian sehingga
๐ฅโ = ๐ ๐ฅโ .
Linearisasi
Hasil linearisasi: ๐ฅ๐+1 = ๐๐ฅ๐ + ๐,
dengan ๐ = ๐โฒ ๐ฅโ dan ๐ = ๐ ๐ฅโ โ ๐โฒ ๐ฅโ ๐ฅโ
SDD OTONOMUS NON-LINEAR 1-D
Kestabilan Titik Tetap
Proposisi 4.
Titik tetap dari ๐ฅ๐+1 = ๐ ๐ฅ๐ , stabil lokal di sekitar
titik tetap ๐ฅโ jika dan hanya jika
๐โฒ(๐ฅโ) < 1.
SDD OTONOMUS NON-LINEAR 1-D
Contoh
๐ฅ๐+1 = 3๐ฅ๐ + ๐ฅ๐2 โ ๐ฅ๐
3
Titik Tetap: ๐ฅ1โ = 0 โจ ๐ฅ2
โ = โ1 โจ ๐ฅ3โ = 2
Kestabilan:
๐โฒ(๐ฅ1โ) = ๐โฒ(0) = 3 > 1 โ tidak stabil
๐โฒ(๐ฅ2โ) = ๐โฒ โ1 = โ2 > 1 โ tidak stabil
๐โฒ(๐ฅ1โ) = ๐โฒ(2) = โ3 > 1 โ tidak stabil
SISTEM OTONOMUS MULTI-D
Kestabilan
Solusi
Titik Tetap
SDD Otonomus Linear Multi-D
Kestabilan
Linearisasi
Solusi
Titik Tetap
SDD Otonomus Non-Linear Multi-D
dengan
๐ = 0,1,2, โฆ.
Bentuk Umum
๐ฅ ๐+1 = ๐ด๐ฅ ๐ + ๐ต, ๐ฅ ๐ โ โk
Titik Tetap
Titik tetap dari ๐ฅ ๐+1 = ๐ด๐ฅ ๐ + ๐ต, adalah ๐ฅ โ โ โ๐
sedemikian sehingga ๐ฅ โ = ๐ด๐ฅ โ + ๐ต, diperoleh
๐ฅ โ = ๐ผ โ ๐ด โ1๐ต, jika ๐ผ โ ๐ด โ 0.
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
Proposisi 5.
Titik tetap dari ๐ฅ ๐+1 = ๐ด๐ฅ ๐ + ๐ต, tunggal jika dan hanya
jika ๐ผ โ ๐ด โ 0.
Solusinya adalah
๐ฅ ๐ = ๐ด๐ ๐ฅ 0 โ ๐ผ โ ๐ด โ1๐ต + ๐ผ โ ๐ด โ1๐ต, jika ๐ผ โ ๐ด โ 0.
atau
๐ฅ ๐ = ๐ด๐ ๐ฅ 0 โ ๐ฅ โ + ๐ฅ โ.
Solusi Sistem
Diberikan SDD ๐ฅ ๐+1 = ๐ด๐ฅ ๐ + ๐ต, dengan nilai awal ๐ฅ 0.
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
Lemma 1. Jika matriks ๐ด๐ร๐ mempunyai ๐ nilai
eigen real berbeda ๐1, ๐2, โฆ , ๐๐ maka ada matriks
non singular ๐๐ร๐ sedemikian sehingga
๐ด = ๐๐ท๐โ1,
di mana ๐ท matriks diagonal
๐ท =
๐1 0 โฏ 00โฎ0
๐2โฎ0
โฏโฑโฏ
00๐๐
,
๐ = ๐ฃ 1๐ฃ 2โฏ๐ฃ ๐ dan ๐ด๐ฃ ๐ = ๐๐๐ฃ ๐, ๐ = 1, 2, โฆ , ๐.
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
Proposisi 6.
Sistem persamaan beda linear orde pertama non-
homogen
๐ฅ ๐+1 = ๐ด๐ฅ ๐ + ๐ต,
dapat ditransformasi ke sistem persamaan beda linear
orde pertama homogen
๐ง ๐+1 = ๐ด๐ง ๐,
di mana ๐ง ๐ โก ๐ฅ ๐ โ ๐ฅ โ dan ๐ฅ โ = ๐ผ โ ๐ด โ1๐ต.
Proposisi 6.
Sistem persamaan beda linear orde pertama non-
homogen
๐ฅ ๐+1 = ๐ด๐ฅ ๐ + ๐ต,
dapat ditransformasi ke sistem persamaan beda
linear orde pertama homogen
๐ง ๐+1 = ๐ด๐ง ๐,
di mana ๐ง ๐ = ๐ฅ ๐ โ ๐ฅ โ dan ๐ฅ โ = ๐ผ โ ๐ด โ1๐ต.
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
Proposisi 7.
Solusi dari sistem persamaan beda linear orde pertama
non-homogen
๐ฅ ๐+1 = ๐ด๐ฅ ๐ + ๐ต,
adalah
๐ฅ ๐ = ๐๐ท๐๐โ1 ๐ฅ 0 โ ๐ฅ โ + ๐ฅ โ,
di mana ๐ท adalah Jordan Matriks yang bersesuaian
dengan ๐ด.
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
Kasus 2 (Nilai Eigen Real Kembar)
Contoh
1. Uncoupled System
๐ฅ๐+1 = 2๐ฅ๐,
๐ฆ๐+1 = 2๐ฆ๐,
di mana ๐ฅ 0 = ๐ฅ0, ๐ฆ0 .
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
2. Coupled System
๐ฅ๐+1 = 2๐ฅ๐ โ ๐ฆ๐,
๐ฆ๐+1 = ๐ฅ๐ + 4๐ฆ๐,
di mana ๐ฅ 0 = ๐ฅ0, ๐ฆ0 .
dengan
๐ = 0,1,2, โฆ.
Bentuk Umum
๐ฅ ๐+1 = ๐ด๐ฅ ๐ + ๐ต
Titik Tetap
Titik tetap dari ๐ฅ ๐+1 = ๐ด๐ฅ ๐ + ๐ต, adalah ๐ฅ โ โ โ
sedemikian sehingga ๐ฅ โ = ๐ด๐ฅ โ + ๐ต, diperoleh
๐ฅ โ = ๐ผ โ ๐ด โ1๐ต, jika ๐ผ โ ๐ด โ 0.
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D Kasus 3 (Nilai Eigen Kompleks Berbeda)
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
Lemma 3. Jika matriks ๐ด๐ร๐ mempunyai ๐ 2 nilai eigen
kompleks berbeda ๐1, ๐ 1, ๐2, ๐ 2, โฏ , ๐๐ 2 , ๐ ๐ 2
dimana ๐๐ โก ๐ผ๐ + ๐๐ฝ๐ dan ๐ ๐ โก ๐ผ๐ โ ๐๐ฝ๐, maka ada matriks
non singular ๐๐ร๐ sedemikian sehingga
๐ด = ๐๐ท๐โ1,
di mana ๐ท matriks blok
๐ท =
๐ผ1 โ๐ฝ1๐ฝ1 ๐ผ1
0 00 0
0 00 0
๐ผ2 โ๐ฝ2๐ฝ2 ๐ผ2
โฆ โฆโฏ โฏโฆ โฆโฆ โฆ
0 00 00 00 0
โฑ โฑโฑ โฑ
0 00 0
0 00 0
0 00 0
โฆ โฆโฆ โฆ
๐ผ๐ 2 โ๐ฝ๐ 2
๐ฝ๐ 2 ๐ผ๐ 2
,
๐ = ๐ฃ 1๐ค 1โฏ๐ฃ ๐๐ค ๐ dan ๐ด๐ = ๐๐ท, ๐ = 1, 2, โฆ , ๐.
Kemudian jika blok pertama pada matriks blok D diubah
dalam bentuk koordinat polar dimana ๐ผ๐ = ๐๐ cos ๐๐ dan
๐ฝ๐ = ๐๐ sin ๐๐, maka :
๐ผ๐ โ๐ฝ๐๐ฝ๐ ๐ผ๐
= ๐๐cos ๐๐ โsin ๐๐sin ๐๐ cos ๐๐
Lemma 6
๐๐cos ๐๐ โsin ๐๐sin ๐๐ cos ๐๐
๐
= ๐๐๐cos ๐๐๐ โsin ๐๐๐sin ๐๐๐ cos ๐๐๐
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
Teorema 3
Titik tetap dari ๐ฅ๐+1 = ๐ด๐ฅ๐ + ๐ต dengan ๐ด mempunyai ๐ 2
pasang ๐1, ๐ 1, ๐2, ๐ 2, โฏ , ๐๐ 2 , ๐ ๐ 2 nilai eigen imajiner yang
berbeda, dimana ๐๐ โก ๐ผ๐ + ๐๐ฝ๐ dan ๐ ๐ โก ๐ผ๐ โ ๐๐ฝ๐ stabil global
(asimtotik) jika dan hanya jika
๐๐ โก ๐ผ๐2 + ๐ฝ๐
2 1 2 < 1, โ๐ = 1,2,โฏ , ๐ 2
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
Diagram Phase
Sistem
๐ฅ๐+1 = ๐ผ๐ฅ๐ โ ๐ฝ๐ฆ๐
๐ฆ๐+1 = ๐ฝ๐ฅ๐ + ๐ผ๐ฆ๐
mempunyai variasi perilaku bergantung pada nilai
๐.
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
Orbit Periodik : ๐ = ๐
Spiral Masuk : ๐ < ๐
Spiral Keluar : ๐ > ๐
Searah Jarum Jam Berlawanan Arah Jarum Jam
Searah Jarum Jam
Searah Jarum Jam
Berlawanan Arah Jarum Jam
Berlawanan Arah Jarum Jam
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
Orbit Periodik : ๐ = ๐
Orbit periodik berlawanan arah jarum jam
Misalkan ๐ = 1, ๐ฝ = 1 dan nilai awal ๐ฅ0, ๐ฆ0 = 1,0 .
Berdasarkan persamaan di atas, diperoleh ๐ฅ1, ๐ฆ1 = 0,1 ,
๐ฅ2, ๐ฆ2 = โ1,0 , ๐ฅ3, ๐ฆ3 = 0,โ1 , dan ๐ฅ4, ๐ฆ4 = 1,0 .
Terlihat bahwa sistem berbentuk orbit periodik dan
berlawanan arah jarum jam.
๐ฅ๐+1 = ๐ผ๐ฅ๐ โ ๐ฝ๐ฆ๐
๐ฆ๐+1 = ๐ฝ๐ฅ๐ + ๐ผ๐ฆ๐
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
Orbit Periodik : ๐ = ๐
Orbit periodik searah arah jarum jam
Misalkan ๐ = 1, ๐ฝ = โ1 dan nilai awal ๐ฅ0, ๐ฆ0 = 1,0 .
Berdasarkan persamaan di atas, diperoleh
๐ฅ1, ๐ฆ1 = 0,โ1 , ๐ฅ2, ๐ฆ2 = โ1,0 , ๐ฅ3, ๐ฆ3 = 0, 1 , dan
๐ฅ4, ๐ฆ4 = 1,0 . Terlihat bahwa sistem berbentuk orbit
periodik dan searah jarum jam. Sebagai catatan, ๐ผ
menentukan arah pergerakan.
๐ฅ๐+1 = ๐ผ๐ฅ๐ โ ๐ฝ๐ฆ๐
๐ฆ๐+1 = ๐ฝ๐ฅ๐ + ๐ผ๐ฆ๐
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
Contoh
1. Uncoupled System
๐ฅ๐+1 = 2๐ฅ๐,
๐ฆ๐+1 = 0.5๐ฆ๐,
di mana ๐ฅ 0 = ๐ฅ0, ๐ฆ0 .
Kasus 1 (Nilai Eigen Real Berbeda)
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
2. Coupled System
๐ฅ๐+1 = ๐ฅ๐ + 0.5๐ฆ๐,
๐ฆ๐+1 = ๐ฅ๐ + 1.5๐ฆ๐,
di mana ๐ฅ 0 = ๐ฅ0, ๐ฆ0 .
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
Contoh
1. ๐ = ๐, ๐ท > ๐
๐ฅ๐+1 = ๐ฆ๐,
๐ฆ๐+1 = โ๐ฅ๐,
di mana ๐ฅ 0 = ๐ฅ0, ๐ฆ0 .
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
Contoh 1
๐ด =0 1โ1 0
๐๐ผ โ ๐ด = 0
๐ โ11 ๐
= 0
๐2 + 1 = 0
๐2 = โ1
๐1,2 = ยฑ๐
๐1 = ๐ ๐ 1 = โ๐
๐ = ๐
๐ โ11 ๐
๐1 โ ๐2 1 ๐๐ โ1
๐๐1 + ๐2 1 ๐0 0
๐ค =๐โ1
=0โ1
+ ๐10
๐ =0 1โ1 0
๐โ1 =0 โ11 0
๐1 = ๐ ๐ 1 = โ๐ maka ๐ผ = 0, ๐ฝ = 1
๐ = tanโ1๐ฝ
๐ผ= tanโ1โ = 90
๐ = ๐ผ2 + ๐ฝ2 = 0 + 1 = 1
๐ฅ๐+1 = ๐ฆ๐,
๐ฆ๐+1 = โ๐ฅ๐,
๐ฅ 0 = ๐ฅ0, ๐ฆ0
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
๐ท๐ = 1๐cos 90๐ โ sin 90๐sin 90๐ cos 90๐
=cos 90๐ โ sin 90๐sin 90๐ cos 90๐
๐ฅ ๐ = ๐๐ท๐๐โ1๐ฅ 0
=0 1โ1 0
1cos 90๐ โ sin 90๐sin 90๐ cos 90๐
0 โ11 0
๐ฅ0๐ฆ0
=cos 90๐ โ sin 90๐sin 90๐ cos 90๐
๐ฅ0๐ฆ0
๐ฅ๐+1 = ๐ฆ๐,
๐ฆ๐+1 = โ๐ฅ๐,
๐ฅ 0 = ๐ฅ0, ๐ฆ0
๐ฅ๐ = ๐ฅ0 cos 90๐ โ ๐ฆ0 sin 90๐
๐ฆ๐ = ๐ฅ0 sin 90๐ + ๐ฅ0 cos 90๐
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
2. ๐ > ๐, ๐ท > ๐
๐ฅ๐+1 = โ๐ฅ๐ + ๐ฆ๐,
๐ฆ๐+1 = โ๐ฅ๐ โ ๐ฆ๐,
di mana ๐ฅ 0 = ๐ฅ0, ๐ฆ0 .
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
Contoh 2
๐ด =โ1 1โ1 โ1
๐๐ผ โ ๐ด = 0
๐ + 1 โ11 ๐ + 1
= 0
(๐ + 1)2+1 = 0
๐2 + 2๐ + 2 = 0
๐1,2 = โ1 ยฑ ๐
๐1 = โ1 + ๐
๐ 1 = โ1 โ ๐
๐ = ๐
๐ โ11 ๐
๐1 โ ๐2 1 ๐๐ โ1
๐๐1 + ๐2 1 ๐0 0
๐ค =๐โ1
=0โ1
+ ๐10
๐ =0 1โ1 0
๐โ1 =0 โ11 0
๐1 = โ1 + ๐, ๐ 1 = โ1 โ ๐
maka ๐ผ = โ1, ๐ฝ = 1
๐ = tanโ1๐ฝ
๐ผ= tanโ1โ1 = 135
๐ = ๐ผ2 + ๐ฝ2 = 1 + 1 = 2
๐ฅ๐+1 = โ๐ฅ๐ + ๐ฆ๐,
๐ฆ๐+1 = โ๐ฅ๐ โ ๐ฆ๐,
๐ฅ 0 = ๐ฅ0, ๐ฆ0
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
๐ท๐ = 2๐ cos 135๐ โ sin 135๐
sin 135๐ cos 135๐=
cos 135๐ โ sin 135๐sin 135๐ cos 135๐
๐ฅ ๐ = ๐๐ท๐๐โ1๐ฅ 0
=0 1โ1 0
2๐ cos 135๐ โ sin 135๐
sin 135๐ cos 135๐0 โ11 0
๐ฅ0๐ฆ0
= 2๐ cos 135๐ โ sin 135๐
sin 135๐ cos 135๐
๐ฅ0๐ฆ0
๐ฅ๐ = 2๐๐ฅ0 cos 135๐ โ 2
๐๐ฆ0 sin 135๐
๐ฆ๐ = 2๐๐ฅ0 sin 135๐ + 2
๐๐ฅ0 cos 135๐
๐ฅ๐+1 = โ๐ฅ๐ + ๐ฆ๐,
๐ฆ๐+1 = โ๐ฅ๐ โ ๐ฆ๐,
๐ฅ 0 = ๐ฅ0, ๐ฆ0
dengan
๐ = 0,1,2, โฆ.
Bentuk Umum
๐ฅ ๐+1 = ๐ด๐ฅ ๐ + ๐ต
Titik Tetap
Titik tetap dari ๐ฅ ๐+1 = ๐ด๐ฅ ๐ + ๐ต, adalah ๐ฅ โ โ โ
sedemikian sehingga ๐ฅ โ = ๐ด๐ฅ โ + ๐ต, diperoleh
๐ฅ โ = ๐ผ โ ๐ด โ1๐ต, jika ๐ผ โ ๐ด โ 0.
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D Kasus 4 (Nilai Eigen Kompleks Kembar)
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
Lemma 4. Jika matriks ๐ด๐ร๐ mempunyai ๐ 2 nilai eigen
kompleks kembar, ๐, ๐ , ๐, ๐ , โฏ , ๐, ๐
dimana ๐ โก ๐ผ + ๐๐ฝ dan ๐ โก ๐ผ โ ๐๐ฝ, maka ada matriks non
singular ๐๐ร๐ sedemikian sehingga
๐ด = ๐๐ท๐โ1,
di mana ๐ท matriks diagonal
๐ท =
๐ผ โ๐ฝ๐ฝ ๐ผ
0 00 0
1 00 1
๐ผ โ๐ฝ๐ฝ ๐ผ
โฆ โฆโฏ โฏโฆ โฆโฆ โฆ
0 00 00 00 0
0 00 0
1 00 1
โฑ โฑโฑ โฑ
0 00 0
0 00 0
0 00 0
โฆ โฆโฆ โฆ
๐ผ โ๐ฝ๐ฝ ๐ผ
,
๐ = ๐ฃ ๐ค โฏ๐ฃ ๐ค dan ๐ด๐ = ๐๐ท, ๐ = 1, 2, โฆ , ๐.
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
๐ท๐ =
๐๐ cos๐๐ โ๐๐ sin ๐๐๐๐ sin ๐๐ ๐๐ cos๐๐
0 00 0
๐๐๐โ1 cos ๐ โ 1 ๐ โ๐๐๐โ1 sin ๐ โ 1 ๐
๐๐๐โ1 sin ๐ โ 1 ๐ ๐๐๐โ1 cos ๐ โ 1 ๐๐๐ cos๐๐ โ๐๐ sin ๐๐๐๐ sin ๐๐ ๐๐ cos๐๐
โฆ โฆโฏ โฏโฆ โฆโฆ โฆ
0 00 00 00 0
๐ ๐ โ 1 ๐๐โ2 cos ๐ โ 2 ๐
2!โ๐ ๐ โ 1 ๐๐โ2 sin ๐ โ 2 ๐
2!๐ ๐ โ 1 ๐๐โ2 sin ๐ โ 2 ๐
2!
๐ ๐ โ 1 ๐๐โ2 cos ๐ โ 2 ๐
2!
๐๐๐โ1 cos ๐ โ 1 ๐ โ๐๐๐โ1 sin ๐ โ 1 ๐
๐๐๐โ1 sin ๐ โ 1 ๐ ๐๐๐โ1 cos ๐ โ 1 ๐
โฑ โฑโฑ โฑ
0 00 0
โฎ โฎโฎ โฎ
โฎ โฎโฎ โฎ
โฆ โฆโฆ โฆ
๐๐ cos ๐๐ โ๐๐ sin ๐๐๐๐ sin ๐๐ ๐๐ cos๐๐
,
๐ฅ๐+1 = ๐๐โ๐๐๐
cos ๐ โ ๐ ๐๐ฅ0 โ sin ๐ โ ๐ ๐๐ฆ0๐โ1
๐=0
๐ฆ๐+1 = ๐๐โ๐๐๐
sin ๐ โ ๐ ๐๐ฅ0 โ cos ๐ โ ๐ ๐๐ฆ0๐โ1
๐=0
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
Teorema 4
Titik tetap dari ๐ฅ๐+1 = ๐ด๐ฅ๐ + ๐ต dengan ๐ด mempunyai ๐ 2 pasang
๐, ๐ , ๐, ๐ ,โฏ , ๐, ๐ nilai eigen imajiner kembar, dimana ๐ โก ๐ผ + ๐๐ฝ
dan๐ โก ๐ผ โ ๐๐ฝ stabil global jika dan hanya jika
๐๐ โก ๐ผ๐2 + ๐ฝ๐
2 1 2 < 1, โ๐ = 1,2,โฏ , ๐ 2
SDD OTONOMUS NON-LINEAR
MULTI-D
๐ฅ ๐+1 = ๐ ๐ฅ ๐ , dengan ๐ = 0,1,2, โฆ .
Bentuk Umum
Solusinya adalah
๐ฅ 1 = ๐ ๐ฅ 0
๐ฅ 2 = ๐ ๐ฅ 1 = ๐ ๐ (๐ฅ 0) = ๐ 2 ๐ฅ 0
โฎ ๐ฅ ๐ = ๐ ๐ ๐ฅ 0
Solusi Sistem
Diberikan SDD ๐ฅ๐+1 =, ๐ ๐ฅ๐ dengan nilai awal ๐ฅ0.
SDD OTONOMUS NON-LINEAR
MULTI-D Titik Tetap
Titik tetap dari ๐ฅ ๐+1 = ๐ ๐ฅ ๐ , adalah ๐ฅโ โ โ
sedemikian sehingga
๐ฅ โ = ๐ ๐ฅ โ .
Linearisasi
Hasil linearisasi: ๐ฅ ๐+1 = ๐๐ฅ ๐ + ๐,
dengan ๐ = ๐ โฒ ๐ฅ โ dan ๐ = ๐ ๐ฅ โ โ ๐ โฒ ๐ฅ โ ๐ฅ โ
Kestabilan
Sama seperti SDD Linear Multi-D
SDD Linear 1D
Bentuk: ๐ฅ๐+1 = ๐๐ฅ๐ + ๐
Titik Tetap: ๐ฅโ =๐
1โ๐
Titik tetap ๐ฅโ stabil global โบ ๐ < 1
SDD Non-Linear 1D
Bentuk: ๐ฅ๐+1 = ๐ ๐ฅ๐
Titik Tetap: ๐ฅโ = ๐ ๐ฅโ
Titik tetap ๐ฅโ stabil lokal โบ ๐โฒ ๐ฅโ < 1
KESIMPULAN
KESIMPULAN
SDD Linear Multi-D
Bentuk: ๐ฅ ๐+1 = ๐ด๐ฅ ๐ + ๐ต
Titik Tetap: ๐ฅ โ = ๐ผ โ ๐ด โ1๐ต
Kestabilan untuk kasus 2-D:
Nilai Eigen Positif
โข Stabil: 0 < ๐1 < ๐2 < 1.
โข Saddle: 0 < ๐1 < 1 < ๐2.
โข Source: 1 < ๐1 < ๐2
1. Nilai Eigen Berbeda
Nilai Eigen Negatif
โข Stabil (Osilasi Konvergen) : โ1 < ๐1 < ๐2 < 0.
โข Saddle (Osilasi Konvergen/Divergen) : ๐1 < โ1 < ๐2 < 0.
โข Source (Osilasi Divergen) : ๐1 < ๐2 < โ1
โข Fokus (Stabil): 0 < ๐1 = ๐2 < 1.
โข Fokus (Osilasi Konvergen): โ1 < ๐1 = ๐2 < 0.
โข Improper (Stabil): 0 < ๐ < 1.
โข Improper (Source): ๐ > 1.
โข Continuum Unstable: ๐ = 1.
2. Nilai Eigen Kembar
KESIMPULAN
KESIMPULAN
โข Periodik Tertutup: ๐ = 1.
1. ๐ฝ > 0 Berlawanan Arah Jarum Jam
2. ๐ฝ < 0 Searah Jarum Jam
โข Spiral Masuk (Stabil Asimtotik) : ๐ < 1.
1. ๐ฝ > 0 Berlawanan Arah Jarum Jam
2. ๐ฝ < 0 Searah Jarum Jam
โข Spiral Keluar (Tak Stabil) : 1 < ๐. 1. ๐ฝ > 0 Berlawanan Arah Jarum Jam
2. ๐ฝ < 0 Searah Jarum Jam
3. Nilai Eigen Kompleks
SDD Non-Linear Multi-D
Bentuk: ๐ฅ ๐+1 = ๐ ๐ฅ ๐
Titik Tetap: ๐ฅ โ = ๐ ๐ฅ โ
Kestabilan titik tetap ๐ฅ โ sama seperti SDD Linear Multi-D
KESIMPULAN