Sin, Kos, Tan Dan Sukuan

TRIGONOMETRI

jmsk@polipd

TRIGONOMETRI

(Sin, Kos, Tan Dan Sukuan)

Objektif Am

Mempelajari dan memahami takrifan–takrifan penting dalam trigonometri seperti sinus, kosinus serta

sukuan–sukuannya.

Objektif Khusus

Di akhir unit ini pelajar dapat :-

♦ Mentakrifkan sinus, kosinus, tangen, sekan, kosekan dan kotangen.

♦ Menentukan nilai–nilai trigonometri dengan menggunakan kalkulator.

♦ Menyelesaikan masalah sukuan trigonometri.

12.0 PENGENALAN

Kita telah menggunakan Teorem Pythagoras untuk mengira sisi–sisi bagi satu segi tiga

bersudut tegak dalam Unit 6. Manakala dalam unit ini kita akan membincangkan nisbah–nisbah sisi segi tiga

bersudut tegak yang disebut nisbah – nisbah trigonometri. Tiga nisbah trigonometri asas ialah sinus,

kosinus dan tangen. Seandainya kita telah memahami 3 konsep asas ini maka kita akan dapat mengikuti

subtopik lain dalam trigonometri dengan lebih mudah.

TRIGONOMETRI

jmsk@polipd

A b c B a C

P q r

θ Q p R

12.1 MENTAKRIFKAN NISBAH-NISBAH TRIGONOMETRI ASAS. Untuk menentukan nisbah-nisbah trigonometri, kita perlu mengenalpasti sisi-sisi dalam

sebuah segitiga bersudut tegak. Sebelum itu, mari kita tinjau kaedah menamakan sempadan sisi-sisi sebuah segitiga. Sama-sama kita merujuk kepada rajah 12.1

Rajah 12.1

Sebelum menyatakan nisbah bagi trigonometri asas. Kaedah menamakan jarak sisi-sisi segitiga bagi sebuah segitiga perlu diketahui, iaitu seperti berikut: i) Jarak sisi yang bertentangan dengan bucu A dinamakan a ii) Jarak sisi yang bertentangan dengan bucu B dinamakan b iii) Jarak sisi yang bertentangan dengan bucu C dinamakan c

Iaitu jarak yang bersetentangan dengan sesuatu bucu diwakili dengan huruf kecil simbol bucu tersebut.

Sudut-sudut pada bucu segitiga ini dinamakan mengikut huruf besar bucu-bucu segitiga. Misalnya sudut pada bucu A dinamakan sudut A atau ∠ A, sudut pada bucu B dinamakan sudut B atau ∠ B dan sudut pada bucu C dinamakan sudut C atau ∠ C.

Kita boleh juga menggunakan simbol-simbol huruf Greek untuk menamakan sudut-sudut dalam sesuatu segitiga. Contohnya α ( alpha ), β ( beta ), γ ( Gamma ) atau θ ( theta ) dan sebagainya untuk mewakili sudut-sudut yang belum diketahui nilainya. Mari kita merujuk kepada rajah 12.2

Rajah 12.2

Dengan merujuk kepada segitiga bersudut tegak diatas, rajah 12.2 i) Sisi yang bersetentangan dengan sudut tegak ( sisi yang paling panjang suatu segitiga bersudut tegak), dinamakan hipotenus, iaitu sisi PR atau sisi q. ii) Sisi yang bersetentangan dengan sudut θ dinamakan sisi bertentang, iaitu sisi PQ atau sisi r. iii) Sisi yang berada bersebelahan sudut θ dinamakan sisi bersebelahan, iaitu QR atau sisi p.

TRIGONOMETRI

jmsk@polipd

12.2 NISBAH-NISBAH TRIGONOMETRI ASAS – SINUS, KOSINUS, TANGEN.

Dengan merujuk kepada rajah 12.2, nisbah bertentangan PQ dan sisi bersebelahan QR adalah satu tetapan yang berkait dengan sudut θ atau ditulis tan θ. Iaitu

tan θ = anbersebelahsisi

gantanbertensisi =

p

r

Begitu juga dengan nisbah antaran sisi bertentangan dengan hipotenus disebut sinus θ atau ditulis sin θ iaitu

sin θ = hipotenus

gantanbertensisi =

q

r

Manakala nisbah antara sisi bersebelahan dengan hipotenus pula dikenali kosinus θ atau kos θ. Iaitu

kos θ = hipotenus

anbersebelahsisi =

q

p

Oleh itu , Kaitan antara sin θ, kos θ dan tan θ, adalah seperti berikut. Diketahui bahawa,

tan θ = anbersebelahsisi

gantanbertensisi =

p

r

kos θ = hipotenus

anbersebelahsisi =

q

p

sin θ = hipotenus

gantanbertensisi =

q

r

Didapati

θθ

kos

sin =

qp

qr

= q

r x

p

q = tan θ

Oleh itu, tan θ = θθ

kos

sin

Contoh 12.1 : Merujuk kepada Rajah 12.3 dapatkan sin 30o, kos 30o dan tan 30o.

Penyelesaian :-

Sin 30o = 4

2 Kos 30o =

4

464.3 Tan 30o =

464.3

2

= 0.5 = 0.866 = 0.577

4 cm 2 cm 3.464 cm

Rajah 12.3

TRIGONOMETRI

jmsk@polipd

Contoh 12.2 : Afiq seorang pelajar Sijil Teknologi Pembuatan, dia sedang berdiri 54 m dari sebuah bangunan. Sudut dongak dari tempat ia berdiri ke bangunan itu ialah 80o. Apakah tinggi bangunan itu ?

Penyelesaian :- Bagi menyelesaikan masalah tersebut, kita perlu mengambil maklumat penting dan cuba lukiskan rajah yang bersesuaian seperti Rajah 12.4 di mana h mewakili tinggi bangunan tersebut. Dalam segi tiga bersudut tegak, h adalah sisi bertentangan dan jarak dari bangunanadalah sisi bersebelahan. Untuk mengira sisi bertentangan bagi segi tiga tersebut, nisbah trigonometri yang sesuai adalah tangen.

Tan 80o = 54

h

h = 54 x tan 80o = 306.25 m 12.3 MENTAKRIFKAN SEKAN, KOSEKAN DAN KOTANGEN

Anda telahpun mengetahui nisbah trigonometri asas, iaitu sinus, kosinus dan tangen bagi sesuatu segitiga bersudut tegak. Nisbah trigonometri ini adalah nisbah antara sisi-sisi tertentu sesuatu segitiga bersudut tegak.

Sekarang, anda akan mempelajari songsangan bagi nisbah trigonometri asas. Sila rujuk kepada rajah 12.2;

Songsangan bagi nisbah-nisbah trigonometri dikenali sebagai sekan, kosekan dan kotangen dimana nilai-nilai ini juga adalah suatu tetapan yang berkait dengan sesuatu sudut segitiga bersudut tegak.

Kita namakan nisbah antara hipotenus dengan sisi bersetentangan sebagai nisbah kosekan dimana ditulis seperti berikut:

Kosekan θ = ganbertensisi

hipotenus

tan =

r

q

Diketahui bahawa r

q adalah songsangan kepada sin α

Dengan itu, kosekan θ = αsin

1

Begitu juga , untuk nisbah hipotenus dengan sisi bersebelahan, ia dikenali sebagai nisbah sekan iaitu,

sekan α = anbersebelahsisi

hipotenus =

p

q

Diketahui p

q adalah songsangan kepada kos α

Dengan itu, sekan θ = αkos

1

h

54 m Afiq

80o

TRIGONOMETRI

jmsk@polipd

Manakala nisbah kotangen pula adalah songsangan kepada nisbah tan α, iaitu

kotangen α = αtan

1

Dimana, tan α = anbersebelahsisi

ganbertensisi tan =

p

r

Oleh itu kotangen α = αtan

1

CONTOH 12.3 Dapatkan kosek A, Sek A dan Kot A bagi rajah segitiga berikut dan sisi segi tiga adalah dalam cm. Penyelesaian :-

a) ASin

Kosek1=θ

AKosASek

1= ATan

AKot1=

1061=

1081=

861=

3

5

6

10 == 4

5

8

10 == 3

4

6

8 ==

b) ASin

Kosek1=θ

AKosASek

1= ATan

AKot1=

1351=

1312

1=

1251=

5

13= 12

13= 5

12=

10 6

8

A

12

13 5

A

TRIGONOMETRI

jmsk@polipd

y y

θ β β θ x x

Sudut rujukan bagi θ ialah β Sudut rujukan bagi θ ialah

β = 180o - θ

y y

θ θ x x

β β

Sudut rujukan bagi θ ialah Sudut rujukan bagi θ ialah

β = θ - 180o β = 360o - θ

12.4 SUKUAN DALAM TRIGONOMETRI. Kita telah mempelajari 6 nisbah trigonometri yang utama dan mengira sudut. Sebelum kita

menentukan nilai trigo mengikut sukuan, kita perlu tahu posisi piawai sudut dalam sistem koordinat Cartesan, sudut rujukan dan sudut getaran.

Merujuk kepada Rajah 7.7, R1 ialah jejari dari titik O ke A. Satu sudut di bentuk dengan memusingkan R1, sekeliling titik hujungnya. Posisi permulaan jejari disebut sisi permulaan dan posisi di akhir pusingan disebut sisi terminal. Titik hujung disebut bucu bagi sudut.

Sekarang kita memperkenalkan sistem koordinat Cartesan untuk mendapat posisi piawai bagi sudut dengan mengambil titik awalan sebagai ‘bucu’ dan paksi – x positif sebagai sisi permulaan.

Dengan memutarkan R1 mengikut arah lawan jam ke posisi terminal, kita akan mendapat sudut positif, manakala ikut arah jam akan memberikan kita sudut negatif. Tiada had bagi bilangan pusingan. Sudut positif dan negatif diilustrasikan dalam rajah di bawah.

Sisi Terminal R1 A O Sisi permulaan

Rajah 7.7

θ

-β

R1 diputarkan mengikut arah R1 diputarkan mengikut arah R1 diputarkan mengikut jam. Sudutadalah positif. jam. Sudut adalah negatif. arah jam. Sudut adalah negatif.

x x x -γ

y y y

TRIGONOMETRI

jmsk@polipd

CONTOH 12,4 Cari sudut rujukan bagi a) θ = 135o b) θ = -130o c) θ = 240o d) θ = 650o Penyelesaian :- a) 135o terletak di sukuan kedua seperti rajah di bawah:- Sudut rujukan bagi θ ialah β = 180o - θ

= 180o - 135o = 45o

b) –130o terletak di sukuan ketiga seperti rajah di bawah :- Sudut diukur mengikut arah jam. Sudut dari paksi – x ialah β = 180o - θ

= 180o – 130o = 50o

c) 240o terletak di sukuan ketiga seperti rajah di bawah :- Sudut dari paksi – x ialah :- β = θ - 180o

= 240o – 180o = 60o

CONTOH 12.5 Cari sudut setara dan sudut rujukan bagi :- a) 685o b) -380o

Penyelesaian :- Posisi θ ditunjukkan seperti rajah di bawah:- a) Sudut setara ialah θ = 685o – 360o

= 325o Sudut rujukan yang terletak di sukuan keempat ialah

β = 360o – 325o = 35o

b) Sudut setara ialah θ = -(380o – 360o)

= -20o Sudut rujukan yang terletak di sukuan keempat

β = 20o

Y

β 130o

y 240o x

β

y 685o

β

y -380o x

β

y

β 135o

x

TRIGONOMETRI

jmsk@polipd

β

5 unit 3 unit α

4 unit

12.5 PENGGUNAAN KALKULATOR UNTUK MENCARI NILAI TRIG ONOMETRI (TERMASUK NILAI RADIAN)

Nisbah trigonometri berkait dengan sudut dan nisbah sisi-sisi segitiga bersudut tegak. Sekarang mari kita tinjau agaimana kita boleh mendapatkan sudut berkaitan. Dengan menggunakan kalkulator. Kalkulator anda mestilah jenis yang mempunyai kekunci sin, kos dan tangen pada papan kekunci. Kekunci ini digunakan untuk mengira nilai-nilai sinus, kosinus dan tanggen. Kekunci ini juga boleh mendapatkan songsangan nisbah trigonometri (iaitu sudut yang berkaitan) dengan menekan kunci songsangan (Inverse / Shift ). Untuk memahami dengan lebih terperinci lagi penggunaan kalkulator anda, sila baca manual kalkulator masing-masing dan jangan lupa memilih ‘mode’ yang sesuai dengan penggunaannya. Misalnya ‘mode’ untuk sudut dalam ukuran darjah atau ukuran radian.

Contoh nilai-nilai nisbah trigonometri :

Sudut (θo)

Nisbah Trigonometri

0o 30o 45o 60o 90o

Sin θ 0 0.5 0.707 0.866 1 Kos θ 1 0.866 0.707 0.5 0 Tan θ 0 0.577 1 1.732 ∞

Sekiranya sisi-sisi segitiga bersudut tegak diberi, sudut yang berkaitan boleh kita kirakan

dengan menggunakan kalkulator.

Jika dua sisi suatu segitiga bersudut tegak ialah 3 unit dan 4 unit. Daripada Teorem Pythagoras, kita tahu panjang hipotenusnya ialah 5 unit. Apa pula dengan sudut-sudut dalam segitiga tersebut. Mari kita pertimbangkan segitiga tersebut. Katakan sudut-sudut dalamnya ialah α dan β. Mengikut nisbah trigonometri,

Sin α = 5

3tan =Hipotenus

ganBertenSisi

atau Sin α = 0.6 α = sin-1 0.6 (perlu tekan kekunci untuk songsangan di kalkulator)

= 36.87° = 36°52’12” (tekan kekunci °’’’ pada papan kekunci)

Kita boleh kirakan α dengan cara nisbah kosinus atau tangen. Iaitu,

Kos α = hipotenus

anbersebelahsisi =

5

4 = 0.8

α = kos-1 0.8 = 36.87°

TRIGONOMETRI

jmsk@polipd

atau tan α = anbersebelahsisi

ganbertensisi tan =

4

3 = 0.75

α = tan-1 0.75 = 36.87°

Sudut β boleh dikira dengan cara nisbah trigonometri juga, iaitu seperti cara yang

ditunjukkan di atas. Atau dengan menjumlah sudut-sudut dalam suatu segitiga bersamaan 180°. iaitu 90° + α + β = 180°

β = 180° - 90° - α = 90° - α = 90° - 36.87° = 53.13°

Contoh 12.6 Kirakan nilai θ untuk:- a) kos θ = 0.345 b) tan θ = 9.250 c) kosek θ = 3.500 Penyelesaian ; a) kos θ = 0.345

θ = kos-10.34 = 69.82°

b) tan θ = 9.250

θ = tan-1 9.250 = 83.83°

c) kosek θ = 3.500

θsin

1 = 3.500

500.3

1 = sin θ

sin θ = 0.2857 θ = sin-1 0.2857 = 16.60°

Sudut boleh dinyatakan dalam unit darjah(°) atau dalam ukuran radian.

Mari kita pertimbangkan bagaimana caranya untuk mendapatkan sudut-sudut nisbah trigonometri dalam ukuran radian. Caranya sama sahaja dengan sudut dalam ukurran darjah. Anda hanya perlu setkan kalkulator anda ke ‘mode’ radian terlebih dahulu.