Sesi XIV DERET - zacoeb.lecture.ub.ac.idzacoeb.lecture.ub.ac.id/files/2016/11/XIV-Deret.pdf · Fourier yang merupakan deret Sinusoidal (sinus & cosinus). Perhatikan gambar sinyal

12/7/2015

1

Sesi XIV

DERET

e-Mail : [email protected]

www.zacoeb.lecture.ub.ac.id

Hp. 081233978339

Mata Kuliah : Matematika Rekayasa Lanjut Kode MK : TKS 8105 Pengampu : Achfas Zacoeb

Pendahuluan

Deret Fourier ditemukan oleh ilmuan Perancis, Jean

Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) yang

menyatakan bahwa semua bentuk fungsi/sinyal

periodik dapat direpresentasikan ke dalam Deret

Fourier yang merupakan deret Sinusoidal (sinus &

cosinus). Perhatikan gambar sinyal berikut :

12/7/2015

2

Pendahuluan (lanjutan)

Gelombang = Getaran = Sinyal = Fungsi (model matematiknya)

mengakibatkan tekanan molekul udara di suatu daerah menjadi

tinggi & daerah lain rendah. Jika tekanan diukur sebagai fungsi

dari t, maka akan diperoleh fungsi periodik f(t).

Catatan :

1. Jika suatu bentuk sinyal/fungsi tertentu akan berulang

dengan bentuk yangg sama dalam setiap periode, maka

sinyal tersebut dikatakan sebagai sinyal periodik.

2. Gelombang suara merupakan gelombang sinus murni dengan

frekwensi tertentu.

Pendahuluan (lanjutan)

3. Frekwensi resultan gelombang suara merupakan sejumlah

nada dengan frekwensi 2, 3, 4, ... kali frekwensi dasar.

4. Frekwensi lebih tinggi berarti periode lebih pendek.

5. Jika 𝐬𝐢𝐧 𝛚𝒕 dan 𝐜𝐨𝐬 𝛚𝒕 = ferkwensi dasar, maka

𝐬𝐢𝐧 𝒏𝛚𝒕 dan 𝐬𝐢𝐧 𝒏𝛚𝒕 = nada harmonik yang lebih tinggi.

6. Kombinasi antara frekwensi dasar & harmoniknya

membentuk fungsi periodik dengan periode dasar.

7. Setiap sinyal periodik dapat dinyatakan sebagai penjumlahan

dari sinyal-sinyal harmonik.

8. Penjumlahan sinyal-sinyal harmonik dari suatu sinyal

periodik dinyatakan dalam Deret Fourier.

12/7/2015

3

Fungsi/Sinyal Periodik

Fungsi f(x) dikatakan punya periodik T atau f(x) periodik

dengan periode T, jika untuk setiap x berlaku :

𝒇 𝒙 + 𝐓 = 𝒇 𝒙

T = konstanta positif (T > 0), nilai terkecil T dinamakan periode

terkecil atau disingkat f(x). Grafik suatu sinyal/fungsi dengan

periode T didapat dengan menggambarkan grafik fungsi

dasarnya secara berulang seperti gambar berikut :

Fungsi/Sinyal Periodik (lanjutan)

1. Periode dari 𝒇 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙

adalah 2

2. Periode dari 𝒇 𝒙 = 𝐬𝐢𝐧 𝒙

adalah 2

3. Periode dari 𝒇 𝒙 = 𝐭𝐠 𝒙

adalah

12/7/2015

4

Deret Fourier (lanjutan)

Andaikan f(x) adalah sebuah fungsi periodik dengan periode T

yang terdefinisikan dalam selang dasar a < x < a + T, yakni f(x)

= f(x + T), maka fungsi f(x) dapat diuraikan dalam deret Fourier

sebagai berikut :

𝒇 𝒙 =𝒂𝟎

𝟐+ 𝒂𝒏 𝐜𝐨𝐬

𝒏𝝅𝒙

𝑳+ 𝒃𝒏 𝐬𝐢𝐧

𝒏𝝅𝒙

𝑳

∞

𝒏=𝟏

Dengan koefisien-koefisien a0, an, dan bn yang disebut sebagai

koefisien-koefisien Fourier, ditentukan oleh fungsi f(x) melalui

hubungan integral sebagai berikut :

Deret Fourier (lanjutan)

𝒂𝟎 =𝟏

𝑳 𝒇 𝒙 𝒅𝒙

𝒂+𝑻

𝒂

𝒂𝒏 =𝟏

𝑳 𝒇 𝒙 𝐜𝐨𝐬

𝒏𝝅𝒙

𝑳𝒅𝒙

𝒂+𝑻

𝒂

𝒃𝒏 =𝟏

𝑳 𝒇 𝒙 𝐬𝐢𝐧

𝒏𝝅𝒙

𝑳𝒅𝒙

𝒂+𝑻

𝒂

dengan T = periode dan L = ½ periode.

12/7/2015

5

Contoh

Diketahui fungsi f(x) sebagai berikut :

𝒇 𝒙 = 𝟏, 𝟎 < 𝒙 < 𝟏𝟎, 𝟏 < 𝒙 < 𝟐

Periodik dengan periode 2, sehingga 𝒇 𝒙 ± 𝟐 = 𝒇(𝒙), uraikan

fungsi tersebut dalam deret Fourier!

Penyelesaian :

Periode T = 2, sehingga L = ½ T = 1, interval dasarnya 0 x 2,

jadi a = 0. Ekspansi f(x) dalam daerah kiri dan kanan sumbu x

dapat dilihat pada gambar berikut :

Contoh (lanjutan)

Koefisien-koefisien Fourier dicari sebagai berikut :

𝒂𝟎 =𝟏

𝑳 𝒇 𝒙 𝒅𝒙

𝒂+𝑻

𝒂

=𝟏

𝟏 𝒇 𝒙 𝒅𝒙

𝟐

𝟎

= 𝟏 (𝟏)𝒅𝒙𝟏

𝟎+ (𝟎)𝒅𝒙

𝟐

𝟏

= 𝒅𝒙𝟏

𝟎

= 𝒙 𝟏𝟎

= 𝟏

12/7/2015

6

Contoh (lanjutan)

𝒂𝒏 =𝟏

𝑳 𝒇 𝒙 𝐜𝐨𝐬

𝒏𝝅𝒙

𝑳𝒅𝒙

𝒂+𝑻

𝒂

=𝟏

𝟏 𝒇 𝒙 𝐜𝐨𝐬

𝒏𝝅𝒙

𝑳𝒅𝒙

𝟐

𝟎

= 𝟏 𝟏𝟏

𝟎𝐜𝐨𝐬 𝒏𝝅𝒙 𝒅𝒙 + 𝟎

𝟐

𝟏𝐜𝐨𝐬 𝒏𝝅𝒙 𝒅𝒙

= 𝐜𝐨𝐬 𝒏𝝅𝒙 𝒅𝒙𝟏

𝟎

=𝟏

𝒏𝝅𝐬𝐢𝐧 𝒏𝝅𝒙 𝟏

𝟎

=𝟏

𝒏𝝅𝐬𝐢𝐧 𝒏𝝅 − 𝐬𝐢𝐧 𝟎

= 𝟎

Contoh (lanjutan)

𝒃𝒏 =𝟏

𝑳 𝒇 𝒙 𝐬𝐢𝐧

𝒏𝝅𝒙

𝑳𝒅𝒙

𝒂+𝑻

𝒂

=𝟏

𝟏 𝒇 𝒙 𝐬𝐢𝐧

𝒏𝝅𝒙

𝟏𝒅𝒙

𝟐

𝟎

= 𝟏 𝟏𝟏

𝟎𝐬𝐢𝐧 𝒏𝝅𝒙 𝒅𝒙 + 𝟎

𝟐

𝟏𝐬𝐢𝐧 𝒏𝝅𝒙 𝒅𝒙

= 𝐬𝐢𝐧 𝒏𝝅𝒙 𝒅𝒙𝟏

𝟎

= −𝟏

𝒏𝝅𝐜𝐨𝐬 𝒏𝝅𝒙 𝟏

𝟎

= −𝟏

𝒏𝝅𝐜𝐨𝐬 𝒏𝝅 − 𝐜𝐨𝐬 𝟎 = −

𝟏

𝒏𝝅−𝟏 𝒏 − 𝟏

= 𝟐

𝒏𝝅, 𝒏 ganjil

𝟎, 𝒏 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝

12/7/2015

7

Contoh (lanjutan)

Dengan demikian deret Fourier untuk fungsi f(x) adalah :

𝒇 𝒙 =𝒂𝟎

𝟐+

𝟐

𝒏𝝅𝐬𝐢𝐧 𝒏𝝅𝒙

∞

𝒌=𝟏

→ dalam hal ini 𝒏 = 𝟐𝒌 − 𝟏

=𝟏

𝟐+

𝟐

𝝅𝐬𝐢𝐧 𝝅𝒙 +

𝟐

𝟑𝝅𝐬𝐢𝐧 𝟑𝝅𝒙 +

𝟐

𝟓𝝅𝐬𝐢𝐧𝟓 𝝅𝒙 + ⋯

=𝟏

𝟐+

𝟐

𝝅𝐬𝐢𝐧 𝝅𝒙 +

𝟏

𝟑𝐬𝐢𝐧 𝟑𝝅𝒙 +

𝟏

𝟓𝐬𝐢𝐧𝟓 𝝅𝒙 + ⋯

Syarat Dirichlet

Persyaratan sebuah fungsi f(x) agar dapat dinyatakan dalam

deret Fourier ditentukan oleh syarat Dirichlet sebagai berikut :

Jika (a) f(x) periodik dengan periode T

(b) bernilai tunggal serta kontinu bagian demi bagian dalam

interval dasarnya : a x a + T, dan

(c) 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙𝒂+𝒕

𝒂 nilainya berhingga,

Maka deret Fourier di ruas kanan konvergen ke nilai :

12/7/2015

8

Syarat Dirichlet (lanjutan)

f(x) di semua titik kekontinuan f(x) dan

½ 𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙𝟎− + 𝒍𝒊𝒎 𝒇 𝒙𝟎+ di setiap titik ketakkontinuan

x0 (pada daerah lompatan).

Contoh :

Pada contoh sebelumnya (perhatikan gambar), tentukanlah

konvergen ke nilai berapa deret fourier tersebut di titik-titik

kekontinuan 𝑥 =1

2,3

2,3

4, −

5

2 dan di titik-titik ketakkontinuan x =

0, 1, 2, -3.

Syarat Dirichlet (lanjutan)

Penyelesaian :

Menurut syarat Dirichlet, maka :

- Di titik-titik kekontinuan :

𝒙 =𝟏

𝟐 konvergen ke 1 𝒙 =

𝟑

𝟒 konvergen ke 1

𝒙 =𝟑

𝟐 konvergen ke 0 𝒙 = −

𝟓

𝟐 konvergen ke 0

- Di titik-titik ketakkontinuan :

x = 0 konvergen ke ½ (0 + 1) = ½

x = 1 konvergen ke ½ (1 + 0) = ½

x = 2 konvergen ke ½ (0 + 1) = ½

x = -3 konvergen ke ½ (1 + 0) = ½

12/7/2015

9

Latihan

Diketahui fungsi f(t) sebagai berikut :

𝒇 𝒕 = 𝟑, −𝟐 < 𝒕 < 𝟎−𝟓, 𝟎 < 𝒕 < 𝟐

Periodik sehingga 𝒇 𝒕 + 𝟒 = 𝒇(𝒕) , uraikan fungsi tersebut

dalam deret Fourier dan gambarkan bentuk gelombangnya!

Lendutan Pelat Segiempat (Rectangular Slabs Deflection)

x

y z

x

y z

Mx Mx

My

My

Persamaan umum pelat klasik :

PDP Tk. 4, linier, non homogen

D

q

yx

w

y

w

x

w

22

4

4

4

4

4

2

Variabel terikat : w (lendutan)

Variabel bebas : x dan y (jarak)

Beban luar : q (data)

Kekakuan lentur : D (data)

2

3

13

2

EhD

12/7/2015

10

Lendutan Pelat Segiempat (Metode Kirchhoff – Love)

Persamaan umum pelat klasik :

Dalam bentuk operator laplace 2D :

Penyelesaian :

D

q

yx

w

y

w

x

w

22

4

4

4

4

4

.2

qwD 22

),(),(),( yxwyxwyxw ph

dengan :

wh(x,y) = penyelesaian homogen (ruas kanan = 0)

wp(x,y) = penyelesaian khusus/integral parsial (PDP non homogen)

Lendutan Pelat Segiempat (Metode Kirchhoff – Love) – cont’d

Metode Kirchhoff–Love adalah model matematika yang digunakan

untuk menentukan tegangan dan deformasi pada pelat tipis 2D akibat

gaya dan momen. Metode ini merupakan lanjutan dari teori balok Euler-

Bernoulli yang dikembangkan oleh Love (Inggris) pada tahun 1888

dengan menggunakan asumsi yang diusulkan oleh Kirchhoff seperti

berikut :

• Garis lurus normal ke pertengahan permukaan tetap lurus setelah

deformasi.

• Garis lurus normal ke pertengahan permukaan tetap normal pada

pertengahan permukaan setelah deformasi.

• Ketebalan plat tidak berubah selama deformasi.

12/7/2015

11

Contoh :

Pelat segi empat dengan tumpuan sederhana dan beban sinusoidal.

y

b

a

x

R

R R

R

a

b

Persamaan beban :

dengan q0 = intensitas beban di tengah pelat

b

y

a

xqq

sinsin0


Persamaan umum pelat menjadi :

b

y

a

x

D

q

y

w

yx

w

x

w sinsin2 0

4

4

22

4

4

4

Kondisi batas untuk x = 0 dan x = a :

Lendutan,w = 0

Momen ujung, Mx = 0

Kondisi batas untuk y = 0 dan y = b :

Lendutan,w = 0

Momen ujung, My = 0


12/7/2015

12

Persamaan lendutan pelat yang memenuhi kondisi batas :

b

y

a

xcw

sinsin

Konstanta c harus dihitung dengan memperhatikan kondisi batas,

sehingga didapatkan :

2

22

4

0

11

1

ba

D

qc

Sehingga persamaan lendutan pelat menjadi :

b

y

a

x

ba

D

qw

sinsin

11

12

22

4

0


Penyelesaian dengan deret Fourier :

Secara praktis di lapangan, beban sinusoidal tidak ada (yang ada adalah

beban merata, beban terpusat, dan beban segitiga) harus

diekspansikan dulu ke dalam deret Fourier.

q0

beban sinusoidal

beban merata

beban terpusat

beban segitiga

Lendutan Pelat Segiempat (Deret Fourier Sinus)

12/7/2015

13

Penyelesaian dengan deret Fourier ganda dikembangkan oleh Navier

(Prancis) pada tahun 1820.

Persamaan beban :

Lendutan Pelat Segiempat (Metode Navier)

yxfqz ,

Persamaan beban dalam bentuk deret Fourier ganda (sinus) :

b

yn

a

xmAyxf

m n

mn

sinsin,

1 1

dengan Amn adalah koefisien Fourier yang harus dicari sesuai dengan

bentuk bebannya.

dxdyb

xn

a

xmyxf

abA

a b

mn

sinsin),(

4

0 0

Persamaan lendutan untuk keempat sisi tumpuan berupa sendi :

Lendutan Pelat Segiempat (Metode Navier) – cont’d

b

yn

a

xm

ba

A

Dyxw

m n

mn

sinsin

11

1,

1 12

22

4

Untuk beban merata f(x,y) = P0 :

beban merata

q0

z

x/y

mn

q

dxdyb

xn

a

xm

ab

q

dxdyb

xn

a

xmq

abA

a b

a b

mn

2

0

0 0

0

0 0

0

16

sinsin4

sinsin4

12/7/2015

14

Selanjutnya persamaan lendutan pelat segiempat dengan keempat

sisi tumpuan berupa sendi menjadi :

Lendutan Pelat Segiempat (Metode Navier) – cont’d

b

yn

a

xm

bamn

A

D

qyxw

m n

mn

sin.sin

11

16,

1 12

22

6

0

Untuk kondisi pelat segiempat dengan keempat sisi tumpuan

berupa sendi dan akibat beban merata, lendutan maksimum terjadi

di tengah bentang, pada x = a/2 dan y = b/2 :

1 12

22

12

6

0max

11

116

m n

nm

bamn

D

qw

Penyelesaian dengan deret Fourier tunggal dikembangkan oleh Levy

(Prancis) pada tahun 1899.

Bentuk persamaan lendutan :

Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy)

dengan Ym = f(x,y)

1

sin),(m

ma

xmYyxw

sendi sendi

a

b

y

x

Asumsi tumpuan pada x = 0 dan

x = a adalah sendi yang sejajar

sumbu, sehingga diperlukan

adanya penyesuaian sistim

koordinat.

12/7/2015

15

Persamaan umum lendutan :

Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d

D

q

y

w

yx

w

x

w

2

4

22

4

2

4

2

)(),(

),(

xwyxw

wwyxw

PH

PH

Catatan :

wP adalah lendutan pelat ke arah sumbu x saja dengan asumsi tumpuan

sisi y = b/2 di x, sehingga :

D

q

x

wP

2

4

Proses integrasi 4x dan 4c dengan kondisi batas di x = 0 dan x = a :


13

3

cxD

q

x

wP

21

2

2

2

2cxcx

D

q

x

wP

32

213

26cxcx

cx

D

q

x

wP

43

22314

2624cxcx

cx

cx

D

qwP

12/7/2015

16

Dengan c1, c2, c3, c4 dihitung untuk kondisi batas pada x = 0 dan x = a :


)2(24

)(334xaaxx

D

qxwP

Selanjutnya, ekspansikan dalam deret Fourier tunggal :

sehingga :

1

sin)(m

mPa

xmAxw

Dm

qa

dxa

xmxw

aA

a

Pm

55

4

0

4

sin)(2

Maka penyelesaian wP(x) :


a

xm

mD

qaxw

m

P

sin

14)(

155

4

Penyelesaian wH(x,y) :

024

4

22

4

4

4

y

w

yx

w

x

w HHH

1

sin),(m

mHa

xmYyxw

0sin21

4

44

2

2

2

22

4

4

a

xm

a

ym

y

y

a

m

y

y

m

mmm

12/7/2015

17

Persamaan diferensial biasa (ordinary differential equation) orde

4, linier, homogen dengan penyelesaian umum :

dengan : dan


024

44

2

2

2

22

4

4

a

ym

y

y

a

m

y

y mmm

a

ym

a

ymD

a

ymC mm

coshsinh

a

ym

a

ymB

a

ymA

D

qayy mmm

sinhcosh)(

4

yyeey

2

1sinh yy

eey

2

1cosh

Penyederhanaan persamaan tersebut

atas dasar garis simetris sumbu z :


w(x,y) = w(x,-y) dengan w = lendutan

z

y

w(x,y)

w(x,y) = w(x,-y)

mungkin

Untuk fungsi ganjil :

w

b

y z

z y

½ b ½ b

sendi sendi

y

x

*

w(x,y) = -w(x,-y)

tidak mungkin y

z

w(x,y)

* simetri terhadap sumbu z, tumpuan terhadap sumbu x simetris (sendi).

Untuk fungsi genap :

12/7/2015

18

Solusi persamaan homogen :


a

ym

a

ymD

a

ymC

a

ym

a

ymB

a

ymA

D

qayy mmmmm

coshsinhsinhcosh)(

4

genap genap ganjil ganjil

Evaluasi:

x

y

y = cos x genap x

y

y = sin x ganjil

x

y

y = x ganjil

x

y

y = x2 ganjil

Karena kondisi batas yang digunakan adalah fungsi genap, maka

persamaannya menjadi :

Koefisien Am dan Bm dihitung dengan kondisi batas pada y = b/2,

tumpuan simetris terhadap sumbu x setelah digabung dengan solusi non

homogen, sehingga persamaan lendutan total adalah :

dengan m = 1,3,5


a

ym

a

ymB

a

ymA

D

qayy mmm

sinhcosh)(

4

a

xm

a

ym

a

ymB

a

ymA

mD

qayxw mm

m

sinhsinhcosh

4),(

55

4

12/7/2015

19

Hanya berlaku untuk fungsi genap dengan kondisi batas pada +b/2 :

dan


0w

Persamaan tersebut diturunkan, kemudian disubstitusikan ke kondisi

batas dan ambil permisalan :

sehingga :

dan

ma

bm

20sinhcosh

455

mmmmm BAm

0sinhcosh)2( mmmmmm BBA

02

2

y

w

m

mmm

mA

cosh

2tanh255

m

mm

B cosh

255

Nilai Am dan Bm disubstitusikan ke persamaan lendutan total :


b

y

mD

qayxw m

m

mm

m

2cosh

cosh2

2tanh1

14,

5,3,155

4

a

xm

b

y

b

y m

m

m

sin

2sinh

2

cosh2

Lendutan maksimum pada x = a/2 dan y = 0 :

m

mm

m

m

mD

qaw

cosh2

2tanh1

)1(4

5,3,15

2

1

5

4

max

Catatan : untuk desain, nilai m yang digunakan hanya sampai suku ke

5, sedangkan suku ke 7 dan setelahnya dapat diabaikan

pengaruhnya/nilainya kecil

12/7/2015

20

Thanks for your kind attention!

Sesi XIV DERET - zacoeb.lecture.ub.ac.idzacoeb.lecture.ub.ac.id/files/2016/11/XIV-Deret.pdf · Fourier yang merupakan deret Sinusoidal (sinus & cosinus). Perhatikan gambar sinyal

Documents