-
Modul 1
Sekilas tentang Teori Himpunan
Dr. Susiswo, M.Si.
impunan merupakan konsep dalam dari matematika. Semua
pembahasan cabang matematika dimulai dari himpunan. Pada Modul
1,
Anda akan belajar sekilas tentang teori himpunan yang meliputi
materi
aljabar himpunan, induksi matematika, dan himpunan tak hingga.
Materi
himpunan yang Anda pelajari pada modul ini akan sangat
bermanfaat untuk
kesuksesan Anda pada modul-modul berikutnya. Oleh karena itu,
pada modul
ini, Anda dituntut untuk belajar secara tekun, teliti, dan
kritis.
Kompetensi umum yang diharapkan setelah mempelajari modul
ini
adalah Anda diharapkan dapat memahami konsep aljabar himpunan,
fungsi,
induksi matematika, dan himpunan tak hingga. Adapun kompetensi
khusus
yang diharapkan adalah Anda dapat
1. menjelaskan kesamaan dua himpunan;
2. menjelaskan operasi dua himpunan;
3. menjelaskan fungsi sebagai pasangan berurutan;
4. menjelaskan bayangan lansung dan bayangan invers;
5. menjelaskan jenis-jenis suatu fungsi (injektif, surjektif,
dan bijektif);
6. menjelaskan invers suatu fungsi;
7. menjelaskan komposisi fungsi;
8. membuktikan pernyataan yang diberikan dalam suku-suku
bilangan asli
dengan induksi matematika;
9. menjelaskan himpunan hingga;
10. menjelaskan himpunan tak hingga;
11. menjelaskan himpunan terhitung;
12. menjelaskan himpunan tak terhitung.
H
PENDAHULUAN
-
1.2 Pengantar Analisis Riil ⚫
Kegiatan belajar pada Modul 1 ini dibagi menjadi dua, yaitu
Kegiatan
Belajar 1 dan Kegiatan Belajar 2. Pada Kegiatan Belajar 1, Anda
akan belajar
materi aljabar himpunan dan fungsi. Pada Kegiatan Belajar 2,
Anda akan
belajar materi induksi matematika dan himpunan tak hingga.
Untuk memantapkan pengetahuan yang Anda peroleh, silakan
mencoba
menyelesaikan latihan tanpa melihat penyelesaiannya terlebih
dahulu.
Dengan demikian, Anda akan dapat mengukur pemahaman yang
Anda
peroleh dari mempelajari uraian materi. Jika Anda menemui
kesulitan, Anda
dipersilakan untuk melihat penyelesaian atau mendiskusikannya
dengan
teman atau tutor Anda. Cobalah sekali lagi menyelesaikan latihan
menurut
Anda sendiri, usahakan sedapat mungkin Anda mencari
alternatif
penyelesaian yang lebih sederhana.
-
⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.3
Kegiatan Belajar 1
Aljabar Himpunan dan Fungsi
A. ALJABAR HIMPUNAN
Pembahasan tentang aljabar himpunan ini akan dimulai terlebih
dahulu
dengan pengertian anggota suatu himpuanan. Misalnya, A
menyatakan suatu
himpunan maka x anggota A dinyatakan sebagai x A . Sebaliknya,
jika x
bukan anggota A dinyatakan sebagai x A .
Gambar 1.1
Empat Kemungkinan Keanggotaan Himpunan
Perhatikan Gambar 1.1. Pada tersebut, terdapat dua himpunan A
dan B .
Jika x adalah anggota, Anda akan mendapatkan empat kemungkinan
berikut.
1. x A dan x B 2. x A dan x B
3. x A dan x B
4. x A dan x B
Perhatikan kembali Gambar 1.1 dan empat kemungkinan di atas.
Jika
kemungkinan (2) tidak ada, akan berlaku pernyataan bahwa jika x
A maka
x B . Anda dapat juga mengatakan bahwa A termuat di B atau B
memuat
A . Secara matematika, pernyataan tersebut dapat Anda nyatakan
bahwa A
himpunan bagian dari B dan Anda tulis sebagai berikut.
atau A B B A
-
1.4 Pengantar Analisis Riil ⚫
Selanjutnya, jika ada anggota B yang tidak termuat di A , Anda
katakan
bahwa A himpunan bagian sejati dari B dan Anda tulis sebagai A B
.
Pernyataan A B tidak secara otomatis bahwa B A . Jika Anda
perhatikan kembali Gambar 1.1 dalam kasus kemungkinan (2),
tetapi (3)
tidak ada, Anda akan memperoleh hubungan tersebut, yaitu B A .
Dalam
hal himpunan A dan himpunan B mempunyai hubungan jika A B
berakibat
bahwa B A , Anda mengatakan bahwa dua himpunan A dan B sama.
Berikut ini akan Anda pelajari tentang definisi kesamaan dua
himpunan.
Definisi 1.1
Dua himpunan adalah sama jika mereka memuat anggota-anggota
yang
sama, ditulis .A B
Berikutnya adalah salah satu cara penulisan himpunan yang akan
sering
Anda jumpai pada pembahasan-pembahasan berikutnya. Penulisan
ini
menggunakan sifat dari keanggotaan himpunan tersebut, yaitu
: ( )x P x
yang berarti bahwa himpunan dari semua anggota x yang mempunyai
sifat
P benar. Anda dapat pula membacanya sebagai “himpunan semua
x
sehingga ( )P x ”. Penulisan lain dalam hal penggunaan sifat
himpunan ini
adalah
: ( )x S P x
yang berarti bahwa himpunan bagian dari S yang mempunyai sifat P
benar.
Beberapa himpunan khusus mempunyai simbol baku seperti
berikut.
Simbol := berarti simbol di sebelah kiri didefinisikan di
sebelah kanan.
(i) Himpunan bilangan asli : 1, 2, 3, ...N .
(ii) Himpunan bilangan bulat : 0, 1,-1,2,-2, ...Z .
(iii) Himpunan bilangan rasional : : , , 0mn
Q m n Z .
(iv) Himpunan bilangan riil R , himpunan ini akan Anda kaji
lebih
mendalam pada Modul 2.
-
⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.5
Contoh 1.1
1, 2, 3, ...N menyatakan himpunan bilangan asli dan
2: 3 2 0A x N x x menyatakan himpunan bilangan asli yang
memenuhi persamaan yang diberikan. Anda tahu bahwa
penyelesaian
persamaan kuadrat 2 3 2 0x x adalah 1x dan 2x . Oleh karena
itu,
himpunan tersebut sama dengan himpunan 1,2B .
Pembahasan selanjutnya adalah suatu cara yang dapat Anda
gunakan
untuk mengonstruksi himpunan baru dari himpunan-himpunan
yang
diberikan. Anda mulai dengan definisi tentang irisan dua
himpunan berikut.
Definisi 1.2
Jika diberikan dua himpunan A dan B , irisan dari dua
himpunan
tersebut adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan
anggota
himpunan A dan himpunan B . Irisan dua himpunan A dan B
disimbolkan sebagai A B .
Jika Anda menuliskan irisan kedua himpunan ini menggunakan
sifat
himpunan yang telah Anda pelajari sebelumnya, Anda dapat
menuliskannya
sebagai berikut.
: danA B x x A x B
Lebih jelas tentang irisan dua himpunan A dan B , dapat Anda
lihat
pada Gambar 1.2 berikut.
Gambar 1.2
Irisan Dua Himpunan A dan B
-
1.6 Pengantar Analisis Riil ⚫
Contoh 1.2
menyatakan himpunan bilangan riil.
2: 4 3 0A x x x dan 2: 7 10 0B x x x
Tentukan A B .
Penyelesaian
Langkah-langkah yang Anda gunakan pada penyelesaian
pertidaksamaan
pada mata kuliah Matematika Dasar dapat Anda gunakan untuk
menentukan
himpunan A dan B . Oleh karena itu, Anda akan mendapatkan
:1 3A x X
dan
: 2 5B x x
Jadi, Anda memperoleh berikut ini.
: 2 3A B x x
Definisi 1.3
Jika diberikan dua himpunan A dan B , gabungan dari dua
himpunan
tersebut adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan
anggota
himpunan A atau himpunan B atau kedua himpunan A dan B .
Gabungan
dua himpunan A dan B disimbolkan sebagai A B .
Seperti halnya pada irisan, pada gabungan dua himpunan ini, Anda
dapat
menuliskannya menggunakan sifat himpunan yang telah Anda
pelajari
sebelumnya seperti di bawah ini.
: atauA x x A x B =
Lebih jelas tentang gabungan dua himpunan A dan B , dapat Anda
lihat
pada Gambar 1.3 berikut.
-
⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.7
Gambar 1.3
Gabungan Dua Himpunan A dan B
Contoh 1.3
Ulangi Contoh 1.2 untuk menentukan gabungan dua himpunan A dan B
yaitu A B
Penyelesaian
Dari Contoh 1.2, Anda telah mempunyai penyelesaian untuk
himpunan
A dan B seperti berikut ini.
:1 3A x x= dan
: 2 5B x x=
Oleh karena itu Anda peroleh gabungan dua himpunan tersebut,
yaitu
:1 5A B x x =
Pada pembahasan sebelumnya, Anda telah mendapatkan bahwa
irisan
dan gabungan dua himpunan adalah sebuah himpunan. Dalam hal
irisan dua
himpunan, Anda mungkin mendapatkan dua himpunan yang irisannya
tidak
mempunyai anggota. Sebagai contoh, jika
:1 3A x x= dan : 4 6B x x= , irisan dua
-
1.8 Pengantar Analisis Riil ⚫
himpunan tersebut tidak mempunyai anggota. Kasus ini mengantar
Anda
pada definisi berikut ini.
Definisi 1.4
Sebuah himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut
himpunan
kosong disimbolkan sebagai .
Definisi 1.5
Dua himpunan yang irisannya himpunan kosong disebut dua
himpunan
yang saling asing.
Oleh karena itu dua himpunan A dan B pada pembahasan di atas
adalah dua himpunan yang saling asing, karena A B
Teorema berikut ini merupakan teorema dari sifat aljabar pada
operasi
himpunan yang telah Anda peroleh pada pembahasan di atas. Bukti
dari
sebagian teorema tersebut dijadikan sebagai latihan.
Teorema 1.1
Misalnya, , ,A B dan C adalah tiga himpunan sebarang. Maka
(a) , ,A A A A A A
(b) , ,A B B A A B B A
(c) ( ) ( ),( ) ( ),A B C A B C A B C B C
(d) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ).A B C A B A C A B C A B A C
Persamaan-persamaan di atas berturut-turut disebut
idempotent,
komutatif, asosiatif, dan distributif.
Bukti
Untuk membuktikan teorema di atas, Anda gunakan Definisi 1.1
kesamaan dua himpunan. Ada dua langkah dalam membuktikan
kesamaan
dua himpunan yang menggunakan definisi tersebut. Pertama,
dengan
membuktikan bahwa jika x anggota himpunan ruas kiri, x anggota
himpunan
ruas kanan sehingga Anda peroleh himpunan ruas kiri himpunan
bagian dari
himpunan ruas kanan. Kedua, dengan membuktikan bahwa jika x
anggota
himpunan ruas kanan, x anggota himpunan ruas kiri sehingga
Anda
memperoleh himpunan ruas kanan bagian dari himpunan ruas
kiri.
-
⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.9
a) Pertama-tama, Anda buktikan A A A . Anda misalkan x A Amaka x
A dan x A . Oleh karena itu, x A . Jadi, A A A . Sebaliknya,
Anda misalkan x A maka x A dan x A . Oleh karena itu,
x A A . Jadi, A A A . Berdasarkan Definisi 1.1, Anda
memperoleh bahwa A A A . Kedua, Anda membuktikan A A A.
Misalnya, x A A maka x A atau x A . Oleh karena itu, x A .
Jadi,2
A r A A= . Sebaliknya, Anda misalkan x A maka x A
atau x A . Oleh karena itu x A A . Jadi, A A A . Berdasarkan
Definisi 1.1, Anda memperoleh bahwa A A A.
b) Pertama-tama, Anda buktikan bahwa A B C A B A C .
Anda misalkan x A B C maka x A dan x B C . Ini berarti
x A dan x B atau x C . Oleh karena itu, Anda memperoleh (i)
x A dan x B atau (ii) x A dan x C . Selanjutnya, Anda
memperoleh x A B atau x A C sehingga x A B A C .
Jadi, A B C A B A C . Sebaliknya, x A B A C
maka x A B atau x A C . Oleh karena itu, Anda mempunyai (i)
x A dan x B atau (ii) x A dan x C . Maka itu, dapat Anda
sederhanakan menjadi x A dan x B atau x C . Selanjtunya,
Anda
memperoleh x A dan x B C . Jadi, x A B C sehingga
Anda memperoleh A B A C A B C . Berdasarkan
Definisi 1.1, Anda memperoleh A B C A B A C . Kedua,
Anda buktikan bahwa A B C A B A C . Anda misalkan
x A B C maka x A atau x B C . Ini berarti x A atau
x B dan x C . Oleh karena itu, Anda memperoleh (i) x A atau
x B dan (ii) x A atau x C . Selanjutnya, Anda memperoleh
x A B dan x A C sehingga x A B A C . Jadi,
A B C A B A C . Sebaliknya, x A B A C
maka x A B dan x A C . Oleh karena itu, Anda mempunyai (i)
x A atau x B dan (ii) x A atau x C sehingga dapat Anda
sederhanakan menjadi x A atau x B dan x C . Selanjutnya,
Anda
memperoleh x A atau x B C . Jadi, x A B C sehingga
-
1.10 Pengantar Analisis Riil ⚫
Anda memperoleh A B A C A B C . Berdasarkan
Definisi 1.1, Anda memperoleh A B C A B A C .
Perhatikan kembali sifat asosiatif pada Teorema 1.1 bagian b.
Dengan
melihat sifat asosiatif tersebut, untuk menyederhanakan
penulisan, Anda
tidak perlu memberi tanda kurung sehingga cukup Anda tulis
seperti berikut.
,A B C A B C
Selanjutnya, untuk koleksi himpunan 1 2, , , nA A A irisan
dan
gabungan himpunan pada koleksi tersebut didefinisikan sebagai
berikut.
1 2 : : untuk semua n jA A A A x x A j
1 2 : : untuk suatu n jA A A A x x A j
Penyederhanaan penulisan irisan dan gabungan koleksi himpunan di
atas
sebagai berikut.
1 : 1,2, ,ni j jA A A j n
1 : 1,2, ,ni j jB A A j n
Serupa dengan penulisan di atas, untuk masing-masing j J ada
himpunan jA maka irisan sebarang himpunan tersebut dapat Anda
tulis
seperti simbol berikut.
{ : }jA j J
Himpunan di atas menyatakan bahwa himpunan yang anggotanya
adalah
semua anggota himpunan jA untuk j J . Demikian juga untuk
gabungan
sebarang himpunan jA untuk masing-masing j J dapat Anda tulis
seperti
simbol berikut.
{ : }jA j J
-
⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.11
Himpunan di atas menyatakan bahwa himpunan yang anggotanya
adalah
paling sedikit satu anggota himpunan jA untuk j J .
Pembahasan
selanjutnya adalah Anda akan mengonstruksi sebuah himpunan
yang
diperoleh dari selisih dua himpunan yang diberikan.
Definisi 1.6
Jika A dan B dua himpunan, komplemen B relatif terhadap A
adalah
himpunan semua anggota 𝐴 yang bukan anggota B diberi simbol \A B
(dibaca A dikurangi B atau A B atau A B ).
Komplemen B relatif terhadap A dapat pula Anda sebut sebagai
selisih
dari himpunan A dengan himpunan B . Anda dapat menulisnya
dalam
bentuk sifat himpunan seperti berikut.
\ : { : }A B x A x B
Lebih jelas tentang komplemen relatif dua himpunan ini dapat
Anda lihat
pada Gambar 1.4 berikut.
Gambar 1.4
Komplemen B Relatif terhadap A
Contoh 1.4
Ulangi Contoh 1.2 untuk menentukan \A B .
Penyelesaian
Dari Contoh 1.2, Anda telah mempunyai penyelesaian untuk
himpunan
A dan B seperti berikut.
-
1.12 Pengantar Analisis Riil ⚫
:1 3A x x
dan
: 2 5B x x
Oleh karena itu, Anda memperoleh komplemen B relatif terhadap A
.
\ :1 2A B x x
Pembahasan selanjutnya adalah hukum De Morgan untuk tiga
himpunan,
sebagian bukti dijadikan sebagai latihan.
Teorema 1.2
Jika , ,A B dan C adalah sebarang tiga himpunan, maka
\ \ \A B C A B A C
\ \ \ .A B C A B A C
Bukti
Misal \x A B C maka x A , tetapi x B C . Oleh karena x A
tetapi x B dan x C sehingga Anda memperoleh x A , tetapi x B
dan x A , tetapi x C . Ini berarti \x A B dan \x A C . Jadi,
\ \x A B x A C . Ini berarti \ \ \A B C A B A C .
Sebaliknya, Anda misalkan \ \x A B A C . Maka itu, \x A B
dan
\x A C sehingga Anda peroleh x A , tetapi x B dan x A tetapi
x C . Ini berarti x A , tetapi x B dan x C . Oleh karena itu, x
A
tetapi x B C . Jadi, \x A B C . Ini berarti
\ \ \A B A C A B C . Oleh karena itu, berdasarkan definisi
kesamaan dua himpunan, Anda memperoleh berikut ini.
\ \ \A B C A B A C
-
⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.13
Bentuk umum komplemen relatif ini adalah relatif terhadap
himpunan
semesta S . Oleh karena itu, komplemen relatif A terhadap S yang
diberi
simbol \A S atau CA adalah
:CA x S x A .
Selanjutnya, Anda akan mengkaji beda simetrik dua himpunan
yang
merupakan pembahasan terakhir dari kegiatan belajar ini.
Definisi 1.7
Jika A dan B dua himpunan, beda simetris dari A dan B adalah
himpunan yang anggotanya salah satu dari himpunan A atau
himpunan B ,
tetapi tidak keduanya. Beda simetris dari A dan B diberi simbol
A B .
Beda simetris dua himpunan ini dapat Anda tulis dalam bentuk
sifat
himpunan seperti berikut.
: : atau , tetapi A B x x A x B x A B
Lebih jelas tentang beda simetris dua himpunan ini dapat Anda
lihat
pada Gambar 1.5 berikut.
Gambar 1.5
Beda Simetris Dua Himpunan A dan B
Contoh 1.5
Ulangi Contoh 1.2 untuk menentukan A B .
-
1.14 Pengantar Analisis Riil ⚫
Penyelesaian
Dari Contoh 1.2, Anda telah mempunyai penyelesaian untuk
himpunan
A dan B seperti berikut.
:1 3A x x
dan
: 2 5B x x
Oleh karena itu, Anda memperoleh beda simetris dua himpunan A
dan
B seperti berikut.
:1 2 atau 3 5A B x x x
Jika Anda memperhatikan kembali Gambar 1.1, Anda akan
mendapatkan
bahwa anggota x akan memenuhi (1) untuk A B , (2) untuk \A B ,
(3)
\B A , serta gabungan (2) dan (3) untuk A B .
B. FUNGSI
Fungsi yang akan Anda pelajari pada modul ini akan disajikan
dalam
bentuk pasangan berurutan. Pasangan berurutan ini merupakan
unsur dari
perkalian Cartesius (Cartesian product). Oleh karena itu,
sebelum sampai
pada pembahasan tentang fungsi, Anda perlu mempelajari terlebih
dahulu
definisi perkalian Cartesius.
Definisi 1.8
Jika A dan B adalah himpunan-himpunan tak kosong, perkalian
Cartesius A B dari A dan B adalah himpunan semua pasangan
berurutan
,a b dengan a A dan b B , yaitu
, : ,A B a b a A b B .
Contoh 1.6
Misalnya, 1,2,3A dan 2,5B . Tentukan perkalian Cartesius
A B .
-
⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.15
Penyelesaian
1,2 , 1,5 , 2,2 , 2,5 , 3,2 , 3,5A B
Sekarang, Anda telah siap untuk mengkaji fungsi yang
dinyatakan
sebagai pasangan berurutan. Pada mata kuliah Kalkulus, Anda
telah
mengenal definisi fungsi dari A ke B , yaitu suatu aturan yang
mengaitkan
masing-masing anggota x dalam A tepat ke satu anggota f x dalam
B .
Pada mata kuliah ini, khususnya pada Kegiatan Belajar 1 ini,
fungsi akan
dinyatakan sebagai pasangan berurutan. Hal ini dapat Anda lihat
pada
Definisi 1.9 berikut.
Definisi 1.9
Misalnya, A dan B adalah dua himpunan. Maka itu, sebuah fungsi
dari
A ke B adalah sebuah himpunan f dari pasangan berurutan dalam A
B
sehingga masing-masing a A ada tepat satu b B dengan ,a b f
.
Berdasarkan definisi di atas, Anda dapat memperoleh implikasi
jika
,a b f dan ,a b f maka 'b b .
Himpunan A disebut sebagai daerah asal atau domain
dinyatakan
sebagai D f dan himpunan B disebut daerah kawan atau
kodomain.
Himpunan semua unsur kedua dalam f disebut daerah hasil atau
range dari
f yang dinyatakan sebagai R f . Berdasarkan definisi fungsi,
Anda juga
akan memperoleh hasil D f A dan R f B .
Notasi
:f A B
Anda gunakan untuk menyatakan fungsi f dari A ke B . Anda
juga
akan sering mengatakan bahwa f adalah sebuah pemetaan dari A ke
B ,
atau f memetakan A ke B . Jika ,a b f , maka Anda dapat
menulisnya
sebagai
b f a atau a b .
-
1.16 Pengantar Analisis Riil ⚫
b Anda sebut sebagai nilai dari f pada a atau sebagai bayangan
dari
a di bawah f . Visualisasi fungsi f dari A ke B lebih jelas
dapat Anda
lihat pada Gambar 1.6 berikut ini, yaitu fungsi yang
divisualisasikan sebagai
grafik.
Gambar 1.6
Fungsi sebagai Grafik
Di samping Anda dapat memvisualisasikan fungsi sebagai grafik,
Anda
dapat pula memvisualisasikan fungsi sebagai transformasi seperti
terlihat
pada Gambar 1.7 berikut ini.
Gambar 1.7
Fungsi f sebagai Transformasi
Contoh 1.7
Misal 1,2,3,4A dan 1,2,3B . Selidiki apakah himpunan
pasangan berurutan 𝑔 dengan
1,2 , 2,1 , 3,2 , 4,1g , merupakan fungsi dari A ke B ?
-
⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.17
Penyelesaian
Untuk mempermudah melihatnya, gambarkan pasangan berurutan
tersebut seperti pada gambar berikut.
Karena masing-masing a A dipasangkan ke tepat satu b B
dengan
,a b g , himpunan pasangan berurutan 1,2 , 2,1 , 3,2 , 4,1g
adalah sebuah fungsi.
Pembahasan berikutnya pada kegiatan belajar ini adalah
jenis-jenis
fungsi. Meskipun demikian, Anda akan membahas materi tentang
bayangan
langsung dan bayangan invers terlebih dahulu. Materi ini akan
berguna
terutama pada fungsi surjektif dan bijektif.
Definisi 1.10
Misal :f A B . Jika E adalah himpunan bagian dari A ,
bayangan
langsung dari E di bawah f adalah himpunan bagian f E dari B
yang
diberikan oleh
:f E f x x E .
Jika H adalah himpunan bagian dari B , bayangan invers dari H
di
bawah f adalah himpunan bagian 1f H dari A yang diberikan
oleh
1 :f H x A f x H .
-
1.18 Pengantar Analisis Riil ⚫
Oleh karena itu, jika Anda mempunyai sebuah himpunan E A ,
titik
1y B adalah bayangan langsung dari f E jika dan hanya jika ada
paling
sedikit satu titik 1x E sehingga 1 1y f x . Serupa dengan itu,
jika Anda
mempunyai himpunan H B , titik 2x dalam bayangan invers 1f H
jika
dan hanya jika 2 2y f x anggota dari H . Ha ini dapat Anda lihat
pada
Gambar 1.8 berikut ini.
Gambar 1.8
Bayangan Langsung dan Invers
Contoh 1.8
Misal :f didefinisikan sebagai 2f x x . Maka itu, bayangan
langsung dari himmpunan : 0 2E x x adalah himpunan
: 0 4f E y y . Jika : 0 4G y y , bayangan invers dari G
adalah 1 : 2 2f G x x . Oleh karena itu, dalam kasus ini,
Anda
melihat bahwa 1f G E .
Sekarang, Anda telah siap untuk mempelajari jenis-jenis fungsi
yang
sangat penting dalam matematika.
Definisi 1.11
Misal :f A B adalah sebuah fungsi dari A ke B . Fungsi f
dikatakan injektif (satu-satu) jika diberikan 1 2x x maka 1 2( )
( )f x f x .
Fungsi f dikatakan surjektif (pemetaan A pada B) jika f A B .
Jika
f kedua-duanya injektif dan surjektif, dikatakan bahwa f
bijektif (satu-satu
pada).
-
⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.19
Berdasarkan Definisi 1.11, dapat pula Anda katakan bahwa f
dikatakan
surjektif (pemetaan A pada B) jika R f B .
Berikut ini adalah cara yang akan sering Anda gunakan berkaitan
dengan
pembuktian fungsi jenis injektif dan surjektif.
Untuk membuktikan sebuah fungsi f injektif, Anda dapat
menunjukkan
bahwa untuk semua 1 2, x x dalam A 1 2 1 2f x f x x x .
Untuk membuktikan ini secara grafik, jika y B , dari titik
tersebut
apabila ditarik garis horizontal sehingga “menyentuh” grafik f ,
kemudian
ditarik garis vertikal, garis tersebut menyentuh sumbu x paling
banyak
sekali. Hal ini dapat Anda lihat pada Gambar 1.9 berikut.
Gambar 1.9
Grafik Fungsi Injektif
Untuk membuktikan f fungsi surjektif, Anda harus menunjukkan
bahwa untuk sebarang y B pasti ada paling sedikit satu x A
sehingga
f x b . Secara grafik, jika Anda menarik garis horizontal dari
sebarang
y B ke grafik f , kemudian Anda tarik garis vertikal, Anda
akan
menemukan paling sedikit satu titik x A . Hal ini dapat Anda
lihat pada
Gambar 1.10 berikut.
-
1.20 Pengantar Analisis Riil ⚫
Gambar 1.10
Fungsi Surjektif
Pada Gambar 1.10, terlihat bahwa ketika Anda menarik garis
horizontal
dari sebarang y , ada 1x dan 2x sehingga 1f x y dan 2f x y .
Jadi,
f adalah fungsi surjektif.
Contoh 1.9
Misal :f sehingga 2f x x . Selidiki hal berikut.
Apakah fungsi tersebut injektif? Jelaskan alasan jawaban
Anda.
Apakah fungsi tersebut surjektif? Jelaskan alasan jawaban
Anda.
Penyelesaian
Ambil 1 2,x x di sehingga 1 2( )f x f x . Maka Anda
memperoleh
berikut ini.
2 21 2x x
2 21 2 0x x
1 2 1 2( ) 0x x x x
1 2x x atau 1 2 2x x x
Jadi, f bukan fungsi injektif. Anda akan mendapatkan bahwa f
fungsi
injektif jika Anda membatasi domainnya, yaitu 0D f .
Mengapa?
-
⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.21
Ambil 1y maka tidak ada x sehingga 2 1f x x .
Jadi, f bukan fungsi surjektif. Anda akan mendapatkan f fungsi
surjektif
jika Anda membatasi kodomain dari f , yaitu 0 . Mengapa?
Oleh karena itu, jika Anda membatasi domain dan komdomain
adalah
0 , Anda akan memperoleh fungsi bijektif f dari ke sehingga
2f x x .
Jika f sebuah fungsi dari A ke B , f merupakan himpunan
bagian
dari A B . Himpunan pasangan berurutan dalam B A diperoleh
dengan
menukar anggota-anggota pasangan berurutan dalam f yang tidak
selalu
merupakan fungsi. Meskipun demikian, jika f bijektif, hasil
penukaran ini
akan merupakan sebuah fungsi yang disebut sebagai fungsi invers.
Hal ini
dapat Anda lihat pada Definisi 1.12 berikut.
Definisi 1.12
Jika :f A B adalah fungsi bijektif dari A pada B maka
, : ,g b a a b f
adalah fungsi dari B pada A . Fungsi ini disebut fungsi invers
dan
dinyatakan sebagai 1f .
Anda dapat mengekspresikan juga hubungan antara f dan 1f
dengan
mencatat bahwa 1D f R f dan 1R f D f dan bahwa
b f a jika dan hanya jika 1a f b .
Contoh 1.10
Anda lihat kembali Contoh 1.9 yang sudah dibatasi domain dan
kodomainnya, yaitu
: 0 0f
-
1.22 Pengantar Analisis Riil ⚫
sehingga 2:f x x .
Dari hasil sebelumnya, Anda sudah memperoleh bahwa fungsi
tersebut
bijektif. Oleh karena itu, fungsi tersebut mempunyai invers,
yaitu
1 : 0 0f
sehingga
1 :f x x atau 1f x x .
Sejauh ini, Anda telah membahas fungsi, jenis-jenis fungsi, dan
fungsi
invers. Fungsi-fungsi yang telah Anda bahas tersebut hanya
terdiri atas satu
fungsi. Pada pembahasan selanjutnya, Anda akan membahas fungsi
yang
merupakan komposisi dari dua fungsi atau lebih. Hal ini seperti
dapat Anda
lihat pada Gambar 1.11 berikut ini.
Gambar 1.11
Fungsi Komposisi dari f dan g
Definisi 1.13
Jika :f A B dan g : B C dan jika R f D g B , fungsi
komposisi g f adalah fungsi dari A ke C didefinisikan oleh
g f x g f x untuk semua x A .
-
⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.23
Perlu Anda perhatikan bahwa secara umum urutan dalam penulisan
di
atas tidak berlaku sebaliknya, yaitu g f f g . Hal ini dapat
Anda lihat
pada Contoh 1.10 berikut.
Contoh 1.11
Misal f dan g dua fungsi yang terdefinisi pada bilangan riil
yang
diberikan oleh
2f x x dan 23 1g x x .
Tentukan g f f g .
Penyelesaian
Karena D f dan R f D g , domain ( )D g f juga
sama untuk dan fungsi komposisi g f diberikan oleh berikut
ini.
2 23(2 ) 1 12 1g f x x x
Domain fungsi komposisi f g juga , tetapi
2 22 3 1 6 2f g x x x .
Oleh karena itu, dalam kasus ini, Anda memperoleh g f f g .
Dari Definisi 1.12, Anda sudah mendapatkan hubungan antara f
dan
( 1) ,f yaitu
b f a jika dan hanya jika 1a f b .
Oleh karena itu, dengan menggunakan definisi fungsi komposisi
ini,
Anda akan mendapatkan hubungan berikut ini.
1 1 1f f a f f a f b a
-
1.24 Pengantar Analisis Riil ⚫
untuk setiap a D f dan
1 1f f b f f b f a b
untuk setiap b R f .
1) Misalnya, 2: 2 0A x x x dan 2{ : 4 0}B x x .
Tentukan
a. A B
b. A B
c. \A B
d. \B A
e. A B . 2) Buktikan bahwa A B jika dan hanya jika A B A .
3) Buktikan
A. Teorema 1.1 bagian (b),
B. Teorema 1.1 bagian (c).
4) Buktikan Teorema 1.2 bagian (b).
5) Tunjukkan bahwa beda simetris dua himpunan
\ \ .A B A B B A
6) Diberikan dua himpunan A dan B . Tunjukkan bahwa A B dan \A
B
saling asing.
7) Misal , , ,A a b c d dan 1,2,3,4B . Selidiki apakah
himpunan
pasangan berurutan berikut ini merupakan fungsi atau bukan
,2 , ,2 , ,3 , ,1 , ,1h a b c d a .
8) Misal :f sehingga 3f x x . Buktikan bahwa
A. fungsi tersebut injektif,
LATIHAN
Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,
kerjakanlah latihan berikut!
-
⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.25
B. fungsi tersebut surjektif,
C. fungsi tersebut bijektif.
9) Tentukan invers dari fungsi pada soal nomor 8.
10) Misal f dan g dua fungsi yang masing-masing terdefinisi pada
dan
0 sehingga 1f x x dan g x x . Tentukan
A. g f x dan D g f ,
B. f g x dan D f g .
Petunjuk Jawaban Latihan
1) Penyelesaian pertidaksamaan 2 2 0x x adalah 1x atau 2x .
Oleh karena itu, Anda memperoleh
: 1 atau 2 , 1 2,A x x x .
Penyelesaian pertidaksamaan2 4 0x adalah 2 2x . Oleh
karena itu, Anda memperoleh : 2 2 2,2B x x .
Jadi, diperoleh berikut ini.
a. , 1 2, 2,2 2, 1 2A B
b. , 1 2, 2,2A B
c. \ , 2 2, A B
d. \ 1,2B A
e. , 2 1,2 2,A B
2) Misal x A B maka x A . Jadi, A B A . Misal x A . Karena
A B maka x B . Oleh karena itu, x A dan x B , jadi x A B .
Oleh karena itu, A A B . Jadi, A A B .
3) Untuk pembuktian ini dan pembuktian selanjutnya, Anda
buktikan
dengan cara penulisan yang lebih sederhana, yaitu dengan
menggunakan
ekuivalensi seperti berikut ini.
a. Pertama-tama Anda buktikan A B B A .
x A B x A dan x B
x B dan x A
-
1.26 Pengantar Analisis Riil ⚫
x B A
Jadi, A B B A . Kedua, Anda buktikan A B B A .
x A B x A atau x B
x B atau x A x B A
b. Pertama-tama Anda buktikan A B C A B C .
x A B C x A B dan x C
x A dan x B dan x C
x A dan x B dan x C
x A dan x B C
x A B C
Jadi, A B C A B C .
Kedua, Anda buktikan A B C A B C .
x A B C x A B atau x C
x A atau x B atau x C
x A atau x B atau x C
x A atau x B C
x A B C
4) Seperti pembuktian pada soal sebelumnya, pembuktian pada soal
ini
gunakan ekuivalensi.
\x A B C x A , tetapi x B C
x A , tetapi x B atau x C
x A , tetapi x B atau x A , tetapi x A
\x A B atau \x A C
( \ ) ( \ )x A B A C
Jadi, \ ( \ ) ( \ )A B C A B A C .
5) Akan Anda buktikan seperti berikut ini.
x A B x anggota salah satu dari himpunan A atau himpunan B ,
tetapi tidak keduanya A dan B . x A , tetapi x A atau x A ,
tetapi x B atau x B , tetapi
x A atau x B , tetapi x B
-
⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.27
x A , tetapi x B atau x B , tetapi x A
\x A B atau \x B A
\ \x A B B A
Jadi, \ \A B A B B A .
6) Untuk pembuktian soal ini, Anda akan membuktikannya dengan
bukti
tidak langsung. Anda andaikan bahwa A B dan \A B tidak
saling
asing. Maka itu, ada x A B dan \x A B . Oleh karena itu, x A
dan x B dan x A , tetapi x B . Ini berarti x A dan x B ,
tetapi
x B . Pernyataan x B , tetapi x B adalah hal yang tidak
mungkin.
Oleh karena itu, pengandaian di atas adalah salah. Jadi, yang
benar
adalah A B dan \A B saling asing.
7) Untuk mempermudah melihatnnya, Anda gambarkan pasangan
berurutan
tersebut seperti pada gambar berikut.
Dapat Anda lihat bahwa ada a A yang dipasangkan kedua anggota
,B
yatiu ,1a dan ,2a . Jadi, h bukan merupakan fungsi.
8) Misal :f sehingga 3f x x .
a) Misal 1 2x x maka 3 31 2x x . Oleh karena itu, 1 2( )f x f x
.
Jadi, f fungsi injektif.
b) Ambil x sebarang anggota kodomain f maka ada 3 x anggota
domain f sehingga 3
3 3f x x x . Jadi, f surjektif.
c) Karena f injektif dan surjektif maka f bijektif?
-
1.28 Pengantar Analisis Riil ⚫
9) Invers fungsi f adalah 1f sehingga 1 3f x x karena
31 1 1 3 3( )f f x f f x f x x
dan 31 1 3 3f f x f f x f x x x .
10) Misal f dan g dua fungsi yang masing-masing terdefinisi pada
dan
0 sehingga 1f x x dan g x x . Maka itu,
a) 1 1g f x g f x g x x ,
karena itu : 1D g f x x ;
b) 1f g x f g x f x x ,
karena itu 0D f g .
1) Misal A menyatakan suatu himpunan maka x anggota A dinyatakan
sebagai x A . Sebaliknya, jika x bukan anggota A
dinyatakan sebagai x A .
2) Himpunan A termuat di himpunan B , itu berarti jika x A
maka
x B . Secara matematis, pernyataan tersebut dapat Anda
nyatakan sebagai A B atau B A .
3) Jika ada anggota B yang tidak termuat di A , Anda katakan
bahwa
A himpunan bagian sejati dari B dan Anda tulis sebagai A B .
4) Dua himpunan adalah sama jika mereka memuat anggota-anggota
yang sama dan ditulis A B .
5) Jika diberikan dua himpunan A dan B , irisan dari dua
himpunan tersebut adalah himpunan yang anggota-anggotanya
merupakan
anggota himpunan A dan himpunan B . Irisan dua himpunan A
dan B disimbolkan sebagai A B .
6) Jika diberikan dua himpunan A dan B , gabungan dari dua
himpunan tersebut adalah himpunan yang anggota-anggotanya
merupakan anggota himpunan A atau himpunan B atau kedua
RANGKUMAN
-
⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.29
himpunan A dan B . Gabungan dua himpunan A dan B
disimbolkan sebagai A B . 7) Dua himpunan yang irisannya
himpunan kosong disebut dua
himpunan yang saling asing.
8) Misal A , B , dan C adalah tiga himpunan sebarang. Maka
a) , ,A A A A A A= =
b) , ,A B B A A B B A= =
c) ( ) ( ) ( ) ( ), ,A B C A B C A B C A B C= =
d) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
,
.
A B C A B A C A B C
A B A C
=
=
9) Jika A dan B dua himpunan, komplemen B relatif terhadap A
adalah himpunan semua anggota A yang bukan anggota B diberi
simbol \A B (dibaca A dikurangi B ) atau A B atau ~A B .
10) Jika A, B, dan C adalah sebarang tiga himpunan maka
a) ( ) ( ) ( )\ \ \A B C A B A C=
b) ( ) ( ) ( )\ \ \ .A B C A B A C= 11) Jika A dan B dua
himpunan, beda simetris dari A dan B adalah
himpunan yang anggotanya salah satu dari himpunan A atau
himpunan B , tetapi tidak keduanya. Beda simetris dari A dan
B
diberi simbol A B . 12) Jika A dan B adalah himpunan-himpunan
tak kosong, perkalian
Cartesius A B dari A dan B adalah himpunan semua pasangan
berurutan ,a b dengan a A dan b B , yaitu
, : ,A B a b a A b B .
13) Misal A dan B adalah dua himpunan. Maka itu, sebuah
fungsi
dari A ke B adalah sebuah himpunan f dari pasangan berurutan
dalam A B sehingga masing-masing a Aada tepat satu b B
dengan ,a b f .
14) Misal :f A B . Jika E adalah himpunan bagian dari A ,
bayangan langsung dari E di bawah f adalah himpunan bagian
f E dari B yang diberikan oleh :f E f x x E .
15) Misal :f A B adalah sebuah fungsi dari A ke B .
-
1.30 Pengantar Analisis Riil ⚫
a) Fungsi f dikatakan injektif (satu-satu) jika diberikan
1 2x x maka ( ) ( )
1 2.f x f x
b) Fungsi f dikatakan surjektif (pemetaan A pada B ) jika
f A B .
c) Jika f kedua-duanya injektif dan surjektif, dikatakan
bahwa
f bijektif (satu-satu pada).
16) Jika :f A B adalah fungsi bijektif dari A pada B maka
, : ,g b a a b f
adalah fungsi dari B pada A . Fungsi ini disebut fungsi invers
dan
dinyatakan sebagai 1f .
17) Jika :f A B dan g : B C dan jika R f D g B ,
fungsi komposisi g f adalah fungsi dari A ke C yang
didefinisikan oleh (g f x g f x untuk semua x A .
1) Misal 2: 2 0A x x x dan 2: 1 0B x x . Maka
itu, irisan dua himpunan A B adalah ….
A. , 1,0,1,2
B. 1,2,3,
C. 1,1,2
D. 1,0,1
2) Berdasarkan soal nomor 1, A B adalah ….
A. 0,1, 1,2, 2,
B. 0, 1, 2,
C. 1,0,1,2
D. 1,2,3,
TES FORMATIF 1
Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!
-
⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.31
3) Berdasarkan soal nomor 1, \A B adalah ….
A. 1, 1,2, 2,
B. 0,1,2,
C. 0
D.
4) Berdasarkan soal nomor 1, A B adalah ….
A. 2, 1,1,2,
B. 2, 1,0,1,2,
C. , 4, 3, 2,2,3,4,
D. , 4, 3, 2,3,4,5,
5) Himpunan A dapat dinyatakan dalam bentuk ….
A. \A B A B
B. \A B A B
C. \A B A B
D. \A B A B
6) Di antara dua himpunan yang terbentuk di bawah ini, yang
saling asing adalah …
A. A B dan A B
B. A B dan A B
C. A B dan \A B
D. A B dan \A B
7) Misal 1,2,3,4A dan , , , , B a b c d e . Di antara
himpunan
pasangan berurutan berikut, yang merupakan fungsi dari A ke
Badalah….
A. 1, , 1, , 2, , 3, , 4,a b c a a
B. 1, , 1, , 2, , 3,a b c a
C. 1, , 2, , 3, , 4,b c a a
D. 1, , 2, , 3,c a a
-
1.32 Pengantar Analisis Riil ⚫
8) Misal 1,2,3,4A dan , , , ,B a b c d e . Di antara fungsi
yang
dinyatakan sebagai himpunan pasangan berurutan berikut yang
merupakan fungsi injektif dari A ke B adalah ….
A. 1, , 2, , 3, , 4,b c a a
B. 1, , 2, , 3, , 4,a c a b
C. 1, , 2, , 3, , 4,a a a a
D. 1, , 2, , 3, , 4,b c e a
9) Misal f adalah fungsi yang terdefinisi pada sehingga
2 1.f x x Maka itu, invers dari f adalah fungsi g sehingga
….
A. 1
12
g x x
B. 2 1g x x
C. 1
12
g x x
D. 1g x x
10) Misal f dan g dua fungsi yang masing-masing terdefinisi
pada
sehingga 2 1f x x dan 3 1g x x . Maka itu, f g x
adalah ….
A. 3 2x
B. 32 1x
C. 32 1x
D. 32( 1) 1x
-
⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.33
Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1
yang
terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang
benar.
Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat
penguasaan
Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.
Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70% = kurang
Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda
dapat
meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah
80%,
Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian
yang
belum dikuasai.
Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar
×100%Jumlah Soal
-
1.34 Pengantar Analisis Riil ⚫
Kegiatan Belajar 2
Induksi Matematika dan Himpunan Tak Hingga
A. INDUKSI MATEMATIKA
Induksi matematika merupakan metode yang sangat kuat dalam
pembuktian yang sering digunakan untuk membuktikan kesahihan
pernyataan-pernyataan yang diberikan dalam suku-suku bilangan
asli. Untuk
keperluan ini, Anda ingat kembali simbol bilangan asli yang
pernah Anda
kenal pada Kegiatan Belajar 1 modul ini, yaitu
1,2,3, .
Pembahasan akan Anda mulai dengan sifat dasar bilangan asli
berikut.
1. Sifat Urutan Baik Bilangan Asli
Setiap himpunan bagian tak kosong dari bilangan asli
mempunyai
anggota paling kecil. Sifat tersebut dapat Anda buat lebih
perinci seperti
berikut. Jika S adalah himpunan bagian dari dan jika S maka
ada
m S sehingga m k untuk semua k S .
Berdasarkan sifat urutan di atas, Anda akan menurunkan prinsip
induksi
matematika yang dinyatakan dalam suku-suku himpunan bagian
bilangan asli
berikut.
a. Prinsip Induksi Matematika
Misal S merupakan himpunan bagian bilangan asli yang
mempunyai
sifat berikut:
a. bilangan1 S ;
b. untuk setiap k , jika k S maka 1k S .
Maka itu, S .
-
⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.35
Bukti
Anda akan membuktikannya dengan bukti tidak langsung, yaitu
dengan
mengandaikan S . Oleh karena itu, \ S sehingga oleh sifat
urutan
baik bilangan asli, Anda mempunyai bilangan terkecil, misal m .
Berdasarkan
hipotesis (1) 1 S maka 1m . Ini berakibat bahwa m – 1
merupakan
bilangan asli S. Karena m – 1 < m dan karena m adalah
bilangan terkecil
dalam , tetapi bukan dalam S , yaitu m , tetapi m S maka
dapat
Anda simpulkan bahwa 1m S . Selanjutnya, Anda gunakan hipotesis
(2)
untuk anggota 1k m S maka 1 1 1k m m S . Hal ini
bertentangan dengan m S . Oleh karena itu, pengandaian S
salah.
Jadi, S .
Contoh 1.12
Buktikan bahwa untuk masing-masing n , jumlah n bilangan
asli
pertama diberikan oleh
11 2 1
2n n n .
Bukti
Untuk membuktikan rumus ini, Anda misalkan S adalah himpunan
semua n . Di sini, rumus ini benar. Anda harus menyelidiki
kondisi (1)
dan (2) dalam 1.2 memenuhi.
Jika 1n , Anda mempunyai berikut ini.
11 .1. 1 1
2
Oleh karena itu, 1 S .
Anda asumsikan bahwa k S dan ingin menyimpulkan bahwa asumsi
ini berakibat 1k S . Jika k S maka
11 2 1
2k k k .
-
1.36 Pengantar Analisis Riil ⚫
Jika Anda tambahkan 1k pada kedua ruas pada asumsi di atas,
Anda
akan mendapatkan berikut ini.
11 2 1 1 1
2
1 11 .2. 1
2 2
1 11 1 .2
2 2
11 2
2
k k k k k
k k k
k k k
k k
Karena rumus pernyataan ini untuk 1n k , Anda simpulkan
bahwa
1k S . Oleh karena itu, kondisi (2) dalam 1.2 terpenuhi.
Kosekuensinya
adalah dengan prinsip induksi matematika. Anda menyimpulkan
bahwa
rumus tersebut benar untuk semua n .
Prinsip induksi matematika digunakan untuk himpunan yang
keaggotaannya bersifat “terus”, yaitu dalam kerangka kerja
pernyataan-
pernyataan tentang bilangan asli. Jika P n adalah suatu
pernyataan untuk
n maka P n mungkin benar untuk suatu nilai n dan salah untuk
nilai
yang lainnya. Sebagai contoh, jika 1P n adalah suatu pernyaaan
2
" "n n
maka 1 1P adalah benar, sedangkan 1P n adalah salah untuk 1,n n
.
Di pihak lain, jika 2P n adalah pernyataan 2
" 1"n maka 2 1P adalah
pernyataan yang salah dan 2P n adalah pernyataan benar untuk 1,n
n .
Dalam konteks ini, prinsip induksi matematika dapat dirumuskan
seperti
berikut.
b. Prinsip Induksi Matematika (Versi Pertama)
Untuk masing-masing n , misalkan P n , adalah pernyataan
tentang
n. Anggap bahwa
a. 1P adalah pernyataan benar;
b. untuk setiap k , jika P k adalah pernyataan benar maka 1P
k
adalah pernyataan benar.
Maka P n adalah pernyataan benar untuk semua n .
-
⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.37
Hubungan versi ini dengan versi sebelumnya, yaitu prinsip
induksi
matematika yang diberikan dalam 1.2, adalah dibuat dengan
memisalkan
: adalah benarS n P n . Oleh karena itu, (1) dan (2) pada
1.2
berkorespondensi berturut-turut dengan (1’) dan (2’). Hubungan
S
dalam 1.2 bekorespondensi dengan kesimpulan bahwa P n adalah
benar
untuk semua n .
Dalam (2’), asumsi “jika P k adalah pernyataan benar”
disebut
hipotesis induksi. Dalam pembuktian (2’), Anda tidak perlu
memperhatikan
kebenaran dan kesalahan dari P k , tetapi hanya dengan
kesahihan
implikasinya “jika P k maka 1P k ”.
Contoh 1.13
Anda perhatikan pernyataan :" 5"P n n n maka (2’) secara
logika
benar. Untuk itu, Anda dapat menambahkan 1 pada kedua ruas dari
P k
untuk memperoleh 1P k . Meskipun demikian, karena pernyataan
perhatikan bahwa 1P : "1 6" adalah pernyataan salah, Anda tidak
dapat
menggunakan induksi matematika untuk menyimpulkan bahwa 5n n
untuk semua n .
Dapat terjadi bahwa P n adalah pernyataan salah untuk bilangan
asli
0n tertentu, tetapi benar untuk semua 0n n . Oleh karena itu,
prinsip
induksi matematika dapat Anda modifikasi berkaitan dengan
kejadian ini,
seperti berikut.
c. Prinsip Induksi Matematika (Versi Kedua)
Misal 0n dan P n adalah pernyataan untuk masing-masing
bilangan
asli 0n n . Anggap bahwa
a. pernyataan 0( )P n adalah benar;
b. untuk semua 0k n , kebenaran P k berakibat pada kebenaran
1P k . Maka itu, P n benar untuk semua 0n n .
Bilangan asli 0n dalam (1) disebut basis karena dia merupakan
basis
dimulainya kebenaran untuk 0( )P n yang berakibat pada kebenaran
dalam
-
1.38 Pengantar Analisis Riil ⚫
(2), yaitu 1P k P k , yang disebut sebagai jembatan karena
menghubungkan kasus k ke kasus 1k .
Contoh 1.14
Buktikan bahwa ketaksamaan
2 2 1n n
benar untuk semua bilangan asli 3n .
Bukti
Mula-mula Anda periksa untuk 1n , 12 2 , dan 2.1 1 3 serta
untuk 2n , 22 4 dan 2.2 1 5 .
Ketaksamaan 2 2 1n n salah untuk 1n dan 2n . Selanjutnya,
Anda periksa untuk 3n , 32 8 2.3 1 7 .
Jadi ketaksamaan benar untuk 3n . Selanjutnya, Anda periksa
kondisi
(2) dalam 1.3, yaitu untuk semua 0k n , kebenaran P k berakibat
pada
kebenaran 1P k . Anda anggap bahwa 2 2 1k k .
Maka dengan mengalikan kedua ruas dengan 2, Anda memperoleh
berikut ini.
12 2 2 1 4 2 2 2 2 2 3
2 1 1
k k k k k k
k
Oleh karena itu, dengan basis 0 3n , Anda dapat menerapkan
induksi
matematika untuk menyimpulkan bahwa ketaksamaan 2 2 1n n
benar
untuk semua bilangan asli 3n .
Pembahasan tentang induksi matematika ini akan Anda akhiri
dengan
prinsip induksi matematika versi lain, kadang-kadang sangat
bermanfaat
dalam pembuktian induksi. Prinsip ini disebut sebagai “prinsip
induksi kuat”.
Meskipun demikian, kenyataannya prinsip ini ekuivalen dengan
prinsip
induksi matematika 1.2 tidak dibuktikan dalam pembahasan
ini.
e. Prinsip Induksi Kuat
Misal S adalah himpunan bagian dari sehingga
a. 1 S ;
-
⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.39
b. Untuk setiap k , jika 1,2, ,k S maka 1k S .
Maka S .
2. Himpunan Hingga dan Tak Hingga
Ketika Anda menghitung anggota suatu himpunan, Anda akan
mengatakan “satu, dua, tiga, …,” berhenti saat anggota himpunan
habis. Dari
perspektif matematika, pekerjaan yang telah Anda lakukan
tersebut sama
artinya dengan Anda membuat pemetaan bijektif antara himpunan
Anda
dengan himpunan bagian bilangan asli. Dalam hal demikian,
Anda
mengatakan bahwa anggota himpunan tersebut hingga. Sebaliknya,
ketika
anggota yang Anda hitung tidak berhenti, seperti himpunan
bilangan asli
sendiri, Anda mengatakan himpunan tersebut sebagai tak hingga.
Gagasan ini
merupakan ilustrasi dari Definisi 1.14 berikut.
Definisi 1.14
a. Himpunan kosong dikatakan mempunyai 0 anggota.
b. Jika n , sebuah himpunan S dikatakan mempunyai n anggota
jika
ada pemetaan bijektif dari himpunan 1,2, ,n n ke S .
c. Sebuah himpunan S dikatakan hingga jika dia salah satu
himpunan
kosong atau mempunyai n anggota untuk suatu n . Selain itu,
dikatakan himpunan tak hingga.
Karena invers dari pemetaan bijektif merupakan pemetaan
bijektif, Anda
dapat pula mengatakan bahwa sebuah himpunan S mempunyai n
anggota
jika dan hanya terdapat pemetaan bijektif dari himpunan S pada
himpunan
1,2, ,n n . Juga, karena komposisi dari pemetaan bijektif
adalah
pemetaan bijektif, Anda dapat pula mengatakan bahwa sebuah
himpunan 1S
mempunyai n anggota jika dan hanya jika terdapat pemetaan
bijektif dari
himpunan 1S ke 2S yang mempunyai n anggota.
Berikut ini adalah teorema-teorema tentang himpunan hingga dan
tak
hingga yang tidak dibuktikan dalam pembahasan ini.
Teorema 1.3
Jika S adalah himpunan hingga, banyak anggota dalam S adalah
bilangan tunggal dalam .
-
1.40 Pengantar Analisis Riil ⚫
Teorema 1.4
Himpunan bilangan asli adalah himpunan tak hingga.
Teorema berikut ini merupakan sifat dasar dari
himpunan-himpunan
hingga dan tak hingga.
Teorema 1.5
a. Jika A adalah himpunan dengan m anggota dan B adalah
himpunan
dengan n anggota dan jika A B maka A B mempunyai m n
anggota.
b. Jika A adalah himpunan dengan m anggota dan C A adalah
himpunan dengan 1 anggota maka \A C adalah himpunan dengan
1m
anggota.
c. Jika C adalah himpunan tak hingga dan B adalah himpunan
hingga
maka \C B adalah himpunan tak hingga.
Bukti
Misal f pemetaan bijektif dari m pada A dan 𝑔 pemetaan
bijektif
dari n pada B . Anda definisikan h pada m n oleh h i f i
untuk
1,2, ,i m dan h i g i m untuk 1, 2, ,i m m m n . Maka
itu, h adalah pemetaan bijektif dari m n pada A B . Jadi, A
B
mempunyai m n anggota.
Bukti (b) dan (c) ditinggalkan sebagai latihan.
Teorema 1.6 berikut ini tentang hubungan himpunan hingga dan
tak
hingga antara suatu himpunan dengan himpunan bagiannya.
Contoh 1.15
Misal 1 2 3 4, , ,A a a a a dan 1 2 3 4 5, , , ,B b b b b b .
Maka itu,
perhatikan berikut ini.
a. Anda memperoleh
1 2 3 4 1 2 3 4 5, , , , , , ,A B a a a a b b b b b
1 2 3 4 1 2 3 4 5, , , , , , , ,a a a a b b b b b .
Anda lihat bahwa A B . Oleh karena itu, A B mempunyai
4 5 9 anggota.
-
⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.41
b. Jika 2C a maka 1 3 4\ , ,A C a a a sehingga \A C
mempunyai
4 1 3 anggota.
Contoh 1.16
Misal adalah himpunan bilangan asli dan 1,2, ,C n . Maka
itu,
\ 1, 2, 3,C n n n . Oleh karena itu, \ C adalah himpunan tak
hingga.
Teorema 1.6
Anggap bahwa T dan S adalah himpunan-himpunan sehingga T S .
a. Jika S himpunan hingga, T himpunan hingga.
b. Jika T himpunan tak hingga, S himpunan tak hingga.
Bukti
a. Jika T , berdasarkan Definisi 1.14 bagian (c), T adalah
himpunan
hingga. Oleh karena itu, Anda dapat menganggap bahwa T .
Anda
buktikan dengan induksi matematika pada banyak anggota dalam S
.
Jika S mempunyai 1 anggota, T juga mempunyai satu anggota
(karena
T ). Oleh karena itu, T adalah himpunan hingga. Anggap
setiap
himpunan bagian tidak kosong dari suatu himpunan dengan k
anggota
adalah hingga. Dengan induksi matematika, Anda akan
membuktikan
bahwa setiap himpunan bagian tidak kosong dari suatu himpunan
dengan
1k anggota adalah hingga. Misalnya, S suatu himpunan yang
mempunyai 1k anggota. Maka itu, ada pemetaan bijektif f dari
1k pada S . Misalnya, T S . Jika 1f k T , Anda dapat
memandang T sebagai himpunan bagian dari 1 \ 1S S f k yang
mempunyai k anggota, yaitu berdasarkan Teorema 1.5 bagian (b).
Oleh
karena itu, berdasarkan hipotesis setiap himpunan bagian tidak
kosong
dari suatu himpunan dengan k anggota adalah hingga, Anda
dapat
menyimpulkan bahwa T adalah himpunan hingga. Di pihak lain,
jika
1f k T maka 1 \ 1T T f k adalah himpunan bagian dari
1S . Karena 1S mempunyai k anggota, oleh hipotesis serupa 1T
adalah
himpunan hingga. Oleh karena itu, berdasarkan Teorema 1.5 bagian
(a),
1 1T T f k juga himpunan hingga.
-
1.42 Pengantar Analisis Riil ⚫
b. Bagian merupakan kontrapisosisi dari bagian (a), bukti
selesai.
Pembahasan selanjutnya adalah himpunan terhitung. Himpunan ini
dapat
berupa himpunan hingga maupun himpunan tak hingga. Untuk lebih
jelasnya,
Anda ikuti Definisi 1.15 berikut ini.
Definisi 1.15
a. Sebuah himpunan S dikatakan denumerable (contably infinite)
jika ada
pemetaan bijektif dari pada S .
b. Sebuah himpunan S dikatakan terhitung jika salah satu hingga
atau
denumerable, selain itu dikatakan tak terhitung.
Contoh 1.17
Tunjukkan bahwa himpunan 2 :E n n adalah himpunan
denumerable.
Penyelesaian
Buat pemetaan :f E yang didefinisikan sebagai 2f n n
untuk n . Maka itu, pemetaan ini merupakan pemetaan bijektif.
Jadi, E
adalah himpunan denumerable.
Teorema berikut ini berguna untuk menunjukkan bahwa himpunan
bilangan rasional adalah denumerable. Bukti teorema akan Anda
bahas
secara informal.
Teorema 1.7
Himpunan adalah denumerable.
Bukti
Bukti informal Anda ingat bahwa terdiri atas semua pasangan
berurutan ,m n , yaitu ,m n . Anda dapat menyebutkan satu per
satu
pasangan sebagai berikut.
(1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (2,2), (3,1), (1,4), ...
Lebih jelas, dapat Anda sebutkan seperti pada Gambar 1.12
berikut.
-
⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.43
Gambar 1.12
Himpunan
Penyebutan dengan gambar di atas dikatakan sebagai prosedur
diagonal
karena Anda bergerak sepanjang diagonal-diagonal yang
masing-masing
memuat sejumlah hingga suku-suku.
Pemetaan bijektif yang ditunjukkan oleh diagram dapat
diturunkan
seperti berikut ini. Pertama, Anda catat bahwa diagonal pertama
mempunyai
hanya satu titik. Kedua, diagonal kedua mempunyai dua titik dan
seterusnya
diagonal ke k mempunyai k titik. Karena menggunakan jumlah
suku-suku
dalam rumus pada Contoh 1.12, Anda peroleh total jumlah
titik-titik diagonal
sampai ke k adalah
11 2 1
2φ k k k k .
Titik (m,n) dilalui diagonal ke k ketika 1k m n dan dia
adalah
titik ke-m dalam diagonal, seperti Anda bergerak menurun dari
kiri ke kanan.
Sebagai contoh, titik (3,2) dilalui diagonal ke-4 karena 3 2 1 4
dan dia
adalah titik ke-3 dalam diagonal tersebut. Oleh karena itu,
dalam perhitungan
seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.12, Anda dapat menghitung
titik
(m,n) oleh perhitungan pertama titik-titik dalam diagonal 1 2k m
n
pertama dan menambah m. Oleh karena itu, fungsi penghitung
:h diberikan oleh berikut ini.
, 2h m n φ m n m
-
1.44 Pengantar Analisis Riil ⚫
12 1
2m n m n m
Sebagai contoh, titik (3,2) dihitung sebagai 1
3,2 .3.4 3 92
h ,
seperti ditunjukkan oleh Gambar 1.12. Serupa dengan hal itu,
titik (17,25)
dihitung sebagai jumlah 17,25 40 17 837h φ .
Konstruksi secara eksplisit pemetaan bijektif di antara
himpunan-
himpunan sering menjadi masalah yang rumit. Dua teorema
berikutnya dapat
Anda gunakan untuk membuktikan dalam perhitungan
himpunan-himpunan
karena untuk mengerjakannya Anda tidak melibatkan pemetaan
tertentu.
Teorema 1.8 tidak dibuktikan dalam pembahasan ini. Bagian (b)
dari teorema
ini merupakan kontaposisi dari bagian (a).
Teorema 1.8
Anggap bahwa S dan T adalah dua himpunan sehingga T S .
Jika S adalah himpunan terhitung, T adalah himpunan
terhitung.
Jika T adalah himpunan tak terhitung, S adalah himpunan tak
terhitung.
Teorema 1.9
Pernyataan-pernyataan berikut adalah ekuivalen.
S adalah himpunan terhitung.
Ada fungsi surjektif dari pada S.
Ada fungsi injektif dari S ke dalam .
Bukti
a. b jika S berhingga, ada pemetaan bijektif h dari suatu
himpunan
n pada S dan Anda definisikan H pada oleh berikut ini.
, untuk 1,2, ,
, untuk
h k k nH k
h n k n∶
Oleh karena itu, H adalah pemetaan surjektif dari pada S. Jika
S
denumerable, ada pemetaan bijektif H dari pada S yang juga
merupakan pemetaan surjektif dari pada S.
-
⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.45
b. c jika H adalah pemetaan surjektif dari pada S, Anda
definisikan 1 :H S dengan memisalkan 1H s anggota terkecil
dalam himpunan 1 :H s n H n s . Untuk melihat bahwa
1H adalah pemetaan injektif dari S ke , Anda catat bahwa
jika
,s t S dan 1 1stn H s H t maka sts H n t .
c. a jika 1H adalah pemetaan injektif dari S ke , dia adalah
pemetaan bijektif dari S pada 1H S . Oleh Teorema 1.8 bagian
(a), 1H S adalah himpunan terhitung. Jadi, S adalah himpunan
terhitung.
Contoh 1.18
Buktikan bahwa himpunan bilangan rasional adalah
denumerable.
Bukti
Ide dari pembuktian ini adalah mengamati himpunan bilangan
rasional
positif dengan menyebutkan seperti berikut ini.
1 1 2 1 2 3 1, , , , , , , ,
1 2 1 3 3 1 4
yang merupakan “pemetaan diagonal”, seperti terlihat pada Gambar
1.12
berikut.
Gambar 1.13
Himpunan
-
1.46 Pengantar Analisis Riil ⚫
Berdasarkan Teorema 1.7, adalah himpunan denumerable maka
dia merupakan himpunan terhitung (Definisi 1.15 bagian (b)).
Oleh Teorema
1.9 bagian (b), ada pemetaan surjektif f dari pada .
Contohnya
sebagai berikut.
:g
,m
g m nn
.
Maka itu, g adalah pementaan surjektif pada . Oleh karea
itu,
komposisi g f adalah pemetaan surjektif dari pada . Oleh
Teorema
1.9, dapat Anda simpulkan bahwa adalah himpunan terhitung.
Serupa
dengan itu untuk himpunan bilangan rasional negatif . Oleh
karena itu,
0 adalah himpunan terhitung. Karena memuat ,
haruslah himpunan denumerable.
Teorema selanjutnya adalah teorema tentang gabungan himpunan
terhitung. Seperti halnya pada Teorema 1.9, Anda tidak perlu
takut tentang
kemungkinan tumpang-tindih dari himpunan-himpunan ini. Juga,
Anda tidak
perlu mengonstruksi pemetaan bijektif.
Teorema 1.10
Jika mA adalah himpunan terhitung untuk masing-masing m ,
sebarang gabungan 1m mA A adalah himpunan terhitung.
Bukti
Untuk masing-masing m , misalkan m , pemetaan surjektif dari
pada mA . Anda definisikan
:β A
: , mβ m n n .
-
⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.47
Anda duga bahwa β adalah pemetaan surjektif. Jika a A , ada
anggota
terkecil m sehingga ma A dan ada anggota terkecil n sehingga
ma n . Oleh karena itu, ,a β m n . Karena adalah himpunan
terhitung, berdasarkan Teorema 1.9, ada pemetaan bijektif :f ,
yaitu
β f adalah pemetaan surjektif dari pada A . Selanjutnya,
dengan
menerapkan Teorema 1.9 lagi, Anda dapat menyimpulkan bahwa A
adalah
himpunan terhitung.
Anda tutup pembahasan pada kegiatan belajar ini dengan
teorema
Cantor.
Teorema 1.11 (Teorema Cantor)
Jika A sebarang himpunan, tidak ada pemetaan surjektif dari A
pada
himpunan ρ A dari semua himpunan bagian A .
Bukti
Anda buktikan dengan bukti tidak langsung. Andaikan bahwa
: A ρ A adalah pemetaan surjektif. Karena a adalah himpunan
bagian dari A , salah satu a anggota untuk a atau bukan angota a
.
Anda misalkan
:D a A a a .
Karena D adalah himpunan bagian dari A , jika adalah
surjektif
maka 0D a untuk suatu 0a A . Anda harus mempunyai salah satu
0a D atau 0a D maka karena 0D a , Anda harus mempunyai
0 0a a , bertentangan dengan pendefinisian dari D . Serupa
dengan itu,
jika 0a D maka 0 0a a sehingga 0a D yang juga bertentangan.
Jadi, tidak ada pemetaan surjektif dari A pada himpunan ρ A dari
semua
himpunan bagian A .
-
1.48 Pengantar Analisis Riil ⚫
Contoh 1.19
Misal A a . Maka itu, ,ρ A a . Oleh karena itu, tidak ada
pemetaan surjektif dari himpuanan A pada himpunan ρ A .
Akibat dari teorema Cantor ini adalah koleksi ρ itu himpunan
tak
terhitung karena tidak ada pemetaan surjektif dari pada ρ
(berdasarkan Definisi 1.15).
1) Untuk masing-masing n , tunjukkan bahwa jumlah kuadrat dari
n
bilangan asli pertama adalah
2 2 2 11 2 1 2 16
n n n n .
2) Diberikan dua bilangan riil a dan b . Buktikan bahwa a b
adalah
faktor dari n na b untuk semua n .
3) Buktikan bahwa ketaksamaan 2 1 !n n berlaku untuk semua n
.
4) Jika , 1r r , buktikan bahwa persamaan
1
2 111
nn rr r r
r
berlaku untuk semua n . Rumus tersebut merupakan rumus
jumlah
dari deret geometri.
5) Buktikan bahwa rumus jumlah dari deret geometri pada soal
nomor 4
dapat dibuktikan tanpa menggunakan induksi matematika.
6) Buktikan Teorema 1.5 bagian (b).
7) Buktikan Teorema 1.5 bagian (c). 8) Jika A adalah himpunan
dengan m anggota dan C A adalah
himpunan dengan 2 anggota, buktikan bahwa \A C adalah
himpunan
dengan 2m anggota.
LATIHAN
Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,
kerjakanlah latihan berikut!
-
⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.49
9) Buktikan bahwa himpunan semua bilangan bulat
adalah
denumerable.
10) Tunjukkan bahwa gabungan dua himpunan yang saling asing
yang
masing-masing denumerable adalah denumerable.
Petunjuk Jawaban Latihan
1) Untuk menunjukkan rumus ini, Anda catat bahwa dia benar untuk
1n
karena 21
1 .1. 1 1 2.1 16
. Anda anggap dia benar untuk n k
maka 2 2 21
1 2 1 2 16
k k k k .
Jika Anda menjumlahkan kedua ruas dengan 2
1k , Anda
memperoleh berikut ini.
2 22 2 2
22
2
2
11 2 1 1 2 1 1
6
1 11 2 .6. 1
6 6
11 2 6 6
6
11 2 7 6
6
11 2 2 3
6
11 1 1 2 1 1
6
k k k k k k
k k k k
k k k k
k k k
k k k
k k k
Jadi, rumus 2 2 21
1 2 1 2 16
n n n n
benar untuk semua n .
2) Pertama, Anda perhatikan bahwa pernyataan benar untuk 1n ,
yaitu
a b faktor dari 1 1a b . Kedua, Anda anggap pernyataan benar
untuk n k , yaitu a b faktor dari k ka b . Selanjutnya, Anda
buktikan bahwa pernyataan benar untuk 1n k seperti berikut.
-
1.50 Pengantar Analisis Riil ⚫
1 1 1 1k k k k k k
k k k
a b a ab ab b
a a b b a b
Berdasarkan hipotesis induksi a b adalah faktor dari k ka b
.
Oleh karena itu, a b adalah faktor k ka a b . Jelas bahwa a
b
adalah faktor kb a b . Jadi, a b adalah faktor dari 1 1k ka b
.
3) Pertama, Anda perhatikan bahwa ketaksamaan berlaku untuk 1n
,
yaitu 12 1 1 ! . Kedua anggap ketaksamaan berlaku untuk n k
maka 2 1 !k k .
Selanjutnya, Anda buktikan bahwa ketaksamaan berlaku untuk
1n k seperti berikut ini. Perhatikan kenyataan 2 2k untuk
setiap bilangan asli k . Maka itu,
12 2.2 2 1 ! 2 1 ! 1 !k k k k k k .
Jadi, ketaksamaan 2 1 !n n berlaku untuk semua bilangan asli
n .
4) Persamaan berlaku untuk 1n , yaitu 1 1 1 11
11 1
r rrr
r r.
Anda anggap persamaan berlaku n k , yaitu 1
2 111
kk rr r r
r.
Selanjutnya, Anda buktikan bahwa persamaan berlaku 1n k .
Anda
tambahkan kedua ruas dengan 1kr . Maka itu, Anda memperoleh
berikut ini.
-
⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.51
12 1 1
11
1 11 1
1 1
11
1
11
1 1
1
1
1
1
kk k k
kk
kk k
k
rr r r r r
r
r rr
r r
r r r
r
r
r
Jika , 1r r , terbukti bahwa persamaan
12 11
1
nn rr r r
r berlaku untuk semua n .
5) Anda misalkan 21 nns r r r .
Anda kalikan masing-masing ruas dengan r maka Anda akan
memperoleh
2 1n n
nrs r r r r .
Jika Anda kurangkan persamaan pertama dengan persamaan
kedua,
Anda akan memperoleh
11 1 nnr s r .
Jika Anda bagi kedua ruas dengan 1 r , Anda memperoleh
11
1
n
n
rs
r.
Jadi, rumus jumlah deret geometri 1
2 111
nn rr r r
r
berlaku untuk semua n .
6) Misal f pemetaan bijektif dari m pada A dan misal C c .
Karena C A maka ada mj sehingga f j c . Anda definisikan
h pada 1m oleh h i f i untuk 1,2, , 1i j dan
-
1.52 Pengantar Analisis Riil ⚫
1h i f i untuk , 1, , 1i j j m . Maka itu, h adalah
pemetaan bijektif dari 1m pada \A C . Jadi, \A C mempunyai
1m
anggota.
7) Anda buktikan dengan bukti tidak langsung seperti berikut
ini. Andaikan
\C B adalah himpunan hingga, misal mempunyai anggota m . Karena
B
himpunan hingga, Anda dapat memisalkannya mempunyai n
anggota.
Karena \C B B dan karena \C C B B , berdasarkan bagian
(a), C mempunyai m n anggota. Jadi, C adalah himpunan
hingga.
Hal ini bertentangan dengan hipotesis C sebagai himpunan tak
hingga.
Jadi, pengandaian salah dan yang benar adalah \C B adalah
himpunan
tak hingga.
8) Anda misalkan 1 2,C c c . Maka itu, 1 2C C C , yaitu 1 1C
c
dan 2 2C c . Oleh karena itu, menerapkan Teorema 1.5 bagian
(b),
himpunan 1 1\A A C mempunyai 1m anggota. Dengan cara serupa,
himpunan 2\ \A C A C mempunyai 1 1 2m m anggota.
9) Untuk mengonstruksi sebuah pemetaan bijektif dari pada ,
Anda
dapat memetakan 1 ke 0. Anda petakan semua bilangan asli genap
ke
bilangan bulat positif dan Anda petakan bilangan asli ganjil
lebih dari
satu ke bilangan bulat negatif. Pemetaan yang Anda buat dapat
didaftar
seperti berikut ini.
0,1, 1,2, 2,3, 3,
10) Anda misalkan 1 2 3, , ,A a a a dan 1 2 3, , ,B b b b . Maka
itu,
Anda dapat mendaftar anggota-anggota dari A B seperti
berikut.
1 1 2 2 3 3, , , , , ,a b a b a b
Jadi, gabungan dua himpunan yang saling asing yang
masing-masing
denumerable adalah denumerable.
-
⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.53
1) Sifat urutan baik bilangan asli: setiap himpunan bagian tak
kosong dari bilangan asli mempunyai anggota paling kecil.
2) Prinsip induksi matematika: misal S merupakan himpunan bagian
bilangan asli yang mempunyai sifat berikut:
a) bilangan 1 S ,
b) untuk setiap k , jika k S maka 1k S+ ,
c) maka S .
3) Prinsip induksi matematika (versi pertama): untuk
masing-masing
n , misalkan P n adalah pernyataan tentang
n . Anggap
bahwa
a) P 1 adalah pernyataan benar,
b) untuk setiap k , jika P k adalah pernyataan benar
maka P k 1 adalah pernyataan benar,
Maka itu, P n adalah pernyataan benar untuk semua n .
4) Prinsip induksi matematika (versi kedua): misal 0n dan
misal
P n adalah pernyataan untuk masing-masing bilangan asli
0n n . Anggap bahwa
a) pernyataan 0P(n ) adalah benar,
b) untuk semua 0k n , kebenaran P k berakibat pada
kebenaran P k 1 .
Maka itu, P n benar untuk semua 0n n .
5) Prinsip induksi kuat: misal S adalah himpunan bagian dari
sehingga
a) 1 S ,
b) untuk setiap k , jika 1,2, ,k S maka k 1 S .
Maka S . 6) Himpunan kosong dikatakan mempunyai 0 anggota. 7)
Jika n , sebuah himpunan S dikatakan mempunyai n anggota
jika ada pemetaan bijektif dari himpunan 1,2, ,n n ke S .
RANGKUMAN
-
1.54 Pengantar Analisis Riil ⚫
8) Sebuah himpunan S dikatakan hingga jika dia salah satu
himpunan kosong atau mempunyai n anggota untuk suatu
,n selain itu dikatakan himpunan tak hingga.
9) Jika S adalah himpunan hingga, banyak anggota dalam S
adalah
bilangan tunggal dalam .
10) Himpunan bilangan asli adalah himpunan tak hingga. 11) Jika
A adalah himpunan dengan m anggota dan B adalah
himpunan dengan n anggota dan jika A B maka A Bmempunyai m n
anggota.
12) Jika A adalah himpunan dengan m anggota dan C A adalah
himpunan dengan 1 anggota maka \A C adalah himpunan dengan
1m anggota.
13) Jika C adalah himpunan tak hingga dan B adalah himpunan
hingga maka \C B adalah himpunan tak hingga.
14) Anggap bahwa T dan S adalah himpunan-himpunan sehinggaT S
.
a) Jika S himpunan hingga, T himpunan hingga.
b) Jika T himpunan tak hingga, S himpunan tak hingga.
15) Sebuah himpunan S dikatakan denumerable (contably
infinite)
jika ada pemetaan bijektif dari pada S .
16) Sebuah himpunan S dikatakan terhitung jika salah satu
hingga
atau denumerable, selain itu dikatakan tak terhitung.
17) Himpunan adalah denumerable.
18) Anggap bahwa S dan T adalah dua himpunan sehingga T S .
a) Jika S adalah himpunan terhitung, T adalah himpunan
terhitung.
b) Jika T adalah himpunan tak terhitung, S adalah himpunan
tak terhitung.
19) Pernyataan-pernyataan berikut adalah ekuivalen: a) S adalah
himpunan terhitung,
b) ada fungsi surjektif dari pada S ,
c) ada fungsi injektif dari S ke dalam .
20) Jika mA adalah himpunan terhitung untuk masing-masing m
,
sebarang gabungan 1m mA A adalah himpunan terhitung.
21) Teorema Cantor: jika A sebarang himpunan, tidak ada
pemetaan
surjektif dari A pada himpunan ρ A dari semua himpunan
bagian A .
-
⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.55
1) Pada pinsip induksi matematika, misal S merupakan himpunan
bagian
bilangan asli yang mempunyai sifat berikut:
a) bilangan 1 S ,
b) untuk setiap k , jika k S maka 1k S . Dapat Anda
simpulkan bahwa ….
A. 1,2, , 1S k untuk suatu k
B. 1, , 1S k k untuk suatu n
C. 1,2, ,S n untuk suatu n
D. 𝑆 = {1,2,3, … }
2) Rumus dari penjumlahan 1 1 1
1.2 2.3 1n n untuk semua n
adalah ….
A. 1
.2
n
B. 1
n
n
C. 1
3
n
n
D. 1
1n n
3) Rumus dari penjumlahan3 3 3
1 2 ... n+ + + untuk semua 𝑛 ∈ ℕ adalah ….
A. 3n
B. 1
12
n n
C.
21
12
n n
D. 2 2 2n n
TES FORMATIF 2
Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!
-
1.56 Pengantar Analisis Riil ⚫
4) Ketaksamaan 2 !n n berlaku untuk ….
A. semua n
B. semua 4,n n
C. hanya beberapa nilai belangan riil D. bukan permasalahan
prinsip induksi matematika
5) Ketaksamaan 22 3 2nn untuk semua 5,n n dapat Anda
buktikan dengan ….
A. bukan permasalahan prinsip induksi matematika B. prinsip
induksi matematika versi pertama C. prinsip induksi matematika
versi kedua D. prinsip induksi matematika
6) Di antara pernyataan berikut ini yang benar untuk bilangan
asliadalah….
A. himpunan bilangan asli adalah himpunan tak terhitung
B. himpunan bilangan asli adalah himpunan tak hingga
C. himpunan bilangan asli adalah himpunan tak tentu
D. himpunan bilangan asli adalah himpunan hingga
7) Jika A adalah himpunan dengan m anggota dan C A adalah
himpunan dengan n anggota, yaitu n m , maka himpunan \A C
mempunyai anggota sebanyak ….
A. 0 B. 1m
C. 2m
D. m n
8) Sebuah himpunan S dikatakan denumerable (contably infinite)
jika ….
A. ada pemetaan injektif dan surjektif dari pada S
B. ada pemetaan surjektif dari pada S
C. S adalah himpunan tidak terhitung
D. S adalah himpunan tak hingga
-
⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.57
9) Misal A adalah himpunan hingga dan B adalah himpunan
terhitung. Di antara jawaban berikut ini yang paling tepat untuk
himpunan A Badalah ….
A. denumerable B. tak terhitung C. terhitung D. hingga
10) Misal A adalah suatu himpunan sehingga ada pemetaan injektif
dari A ke himpunan bilangan asli . Pernyataan berikut ini yang
paling tepat
untuk himpunan A adalah …. A. ada fungsi bijektif dari pada S B.
A adalah himpunan tak hingga C. A adalah himpunan terhitung D. A
adalah himpunan hingga
Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1
yang
terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang
benar.
Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat
penguasaan
Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.
Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70% = kurang
Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda
dapat
meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah
80%,
Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian
yang
belum dikuasai.
Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar
×100%Jumlah Soal
-
1.58 Pengantar Analisis Riil ⚫
Kunci Jawaban Tes Formatif
Tes Formatif 1
1) C
Untuk menentukan himpunan A , mula-mula Anda faktorkan
seperti
berikut. 2 2 0x x 1 2 0x x
Oleh karena itu, Anda peroleh 1,0,1,2A
Demikian juga untuk menentukan himpunan B , 2 1 0x
1 1 0x x .
Oleh karena itu, Anda peroleh , 3, 2, 1,1,2,3,B .
Jadi, 1,1,2A B
2) A
Berdasarkan jawab nomor 1, Anda peroleh 0,1, 1,2, 2,A B .
3) C
Berdasarkan jawab nomor 1, Anda peroleh \ 0A B .
4) D
Berdasarkan jawab nomor 1, Anda peroleh
, 4, 3, 2,3,4,5,A B .
5) B
Anda buktikan seperti berikut.
x A x A atau x B , tetapi x B
i x A dan x B atau (ii) x A , tetapi x B
x A B atau \x A B
\x A B A B
6) B
Anda buktikan bahwa A B A B , seperti berikut.
C CA B A B A B B A A B
C CA B A B B A A B
-
⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.59
C CA B B B A A
7) C
Masing-masing anggota A mempunyai pasangan tepat satu unsur di B
.
8) D
Sudah jelas.
9) A
12 1 2 1 1
2g f x g f x g x x x
dan 1 1
( 1 2 1 12 2
f g x f g x f x x x
10) C 3 3 31 2 1 1 2 1f g x f g x f x x x
Tes Formatif 2
1) D
Berdasarkan prinsip induksi matematika, dapat Anda simpulkan
bahwa
S . Hal ini sama artinya jika Anda menyatakan bahwa
1,2,3,S .
2) B
Untuk memeriksanya, Anda masukkan untuk beberapa nilai n ,
misalkan
1,2,3,4n . Untuk membuktikannya, Anda gunakan prinsip
induksi
matematika.
3) C
Untuk memeriksanya, Anda masukkan beberapa nilai n ,
misalkan
1,2,3,4n . Untuk membuktikannya, Anda dapat menggunakan
prinsip
induksi matematika.
4) B
Untuk memeriksanya, Anda dapat memasukkan beberapa nilai n ,
misalkan 1,2,3,4,5,6n . Untuk membuktikannya, gunakan
prinsip
induksi matematika versi dua.
5) C
Lihatlah prinsip induksi matematika versi kedua.
-
1.60 Pengantar Analisis Riil ⚫
6) A
Lihat akibat dari teorema Cantor.
7) D
Terapkanlah hasil dari latihan pada Kegiatan Belajar 2 soal
nomor 8
secara berulang.
8) A
Lihat Definisi 1.15, yaitu sebuah himpunan S dikatakan
denumerable
(contably infinite) jika ada pemetaan bijektif dari pada S .
Bijektif
pada definisi ini berarti surjektif dan injektif.
9) C
Karena A adalah himpunan hingga maka A adalah himpunan
terhitung.
Oleh karena itu, A B adalah gabungan dua himpunan terhitung.
Jadi,
A B adalah himpunan terhitung.
10) C
Lihatlah Teorema 1.9.
-
⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.61
Daftar Pustaka
Bartle, Robert G., dan Donald R. Sherbert. 2011. Introduction to
Real
Analysis. Edisi keempat. New Jersey: John Wiley & Sons,
Inc.
Larson, Lee. 2013. “Notes on Real Analysis.” Online.
Lebl, Jirí. 2011. Introduction to Real Analysis. San Francisco,
California:
Creative Commons.
Mabizela, Sizwe. 2009. Real Analysis Notes. Rhodes University:
Department
of Mathematics (Pure & Applied).
Trench, William F. 2003. Introduction to Real Analysis. New
Jersey: Pearson
Education.
Ziemer, William P. tt. Modern Real Analysis. Indiana: Department
of
Mathematics, Indiana University Bloomington.