Sekilas tentang Teori Himpunan - pustaka.ut.ac.id · Modul 1 Sekilas tentang Teori Himpunan Dr. Susiswo, M.Si. PENDAHULUAN impunan merupakan konsep dalam dari matematika. Semua pembahasan

Modul 1

Sekilas tentang Teori Himpunan

Dr. Susiswo, M.Si.

impunan merupakan konsep dalam dari matematika. Semua

pembahasan cabang matematika dimulai dari himpunan. Pada Modul 1,

Anda akan belajar sekilas tentang teori himpunan yang meliputi materi

aljabar himpunan, induksi matematika, dan himpunan tak hingga. Materi

himpunan yang Anda pelajari pada modul ini akan sangat bermanfaat untuk

kesuksesan Anda pada modul-modul berikutnya. Oleh karena itu, pada modul

ini, Anda dituntut untuk belajar secara tekun, teliti, dan kritis.

Kompetensi umum yang diharapkan setelah mempelajari modul ini

adalah Anda diharapkan dapat memahami konsep aljabar himpunan, fungsi,

induksi matematika, dan himpunan tak hingga. Adapun kompetensi khusus

yang diharapkan adalah Anda dapat

1. menjelaskan kesamaan dua himpunan;

2. menjelaskan operasi dua himpunan;

3. menjelaskan fungsi sebagai pasangan berurutan;

4. menjelaskan bayangan lansung dan bayangan invers;

5. menjelaskan jenis-jenis suatu fungsi (injektif, surjektif, dan bijektif);

6. menjelaskan invers suatu fungsi;

7. menjelaskan komposisi fungsi;

8. membuktikan pernyataan yang diberikan dalam suku-suku bilangan asli

dengan induksi matematika;

9. menjelaskan himpunan hingga;

10. menjelaskan himpunan tak hingga;

11. menjelaskan himpunan terhitung;

12. menjelaskan himpunan tak terhitung.

H

PENDAHULUAN

1.2 Pengantar Analisis Riil ⚫

Kegiatan belajar pada Modul 1 ini dibagi menjadi dua, yaitu Kegiatan

Belajar 1 dan Kegiatan Belajar 2. Pada Kegiatan Belajar 1, Anda akan belajar

materi aljabar himpunan dan fungsi. Pada Kegiatan Belajar 2, Anda akan

belajar materi induksi matematika dan himpunan tak hingga.

Untuk memantapkan pengetahuan yang Anda peroleh, silakan mencoba

menyelesaikan latihan tanpa melihat penyelesaiannya terlebih dahulu.

Dengan demikian, Anda akan dapat mengukur pemahaman yang Anda

peroleh dari mempelajari uraian materi. Jika Anda menemui kesulitan, Anda

dipersilakan untuk melihat penyelesaian atau mendiskusikannya dengan

teman atau tutor Anda. Cobalah sekali lagi menyelesaikan latihan menurut

Anda sendiri, usahakan sedapat mungkin Anda mencari alternatif

penyelesaian yang lebih sederhana.

⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.3

Kegiatan Belajar 1

Aljabar Himpunan dan Fungsi

A. ALJABAR HIMPUNAN

Pembahasan tentang aljabar himpunan ini akan dimulai terlebih dahulu

dengan pengertian anggota suatu himpuanan. Misalnya, A menyatakan suatu

himpunan maka x anggota A dinyatakan sebagai x A . Sebaliknya, jika x

bukan anggota A dinyatakan sebagai x A .

Gambar 1.1

Empat Kemungkinan Keanggotaan Himpunan

Perhatikan Gambar 1.1. Pada tersebut, terdapat dua himpunan A dan B .

Jika x adalah anggota, Anda akan mendapatkan empat kemungkinan berikut.

1. x A dan x B

2. x A dan x B

3. x A dan x B

4. x A dan x B

Perhatikan kembali Gambar 1.1 dan empat kemungkinan di atas. Jika

kemungkinan (2) tidak ada, akan berlaku pernyataan bahwa jika x A maka

x B . Anda dapat juga mengatakan bahwa A termuat di B atau B memuat

A . Secara matematika, pernyataan tersebut dapat Anda nyatakan bahwa A

himpunan bagian dari B dan Anda tulis sebagai berikut.

atau A B B A


Selanjutnya, jika ada anggota B yang tidak termuat di A , Anda katakan

bahwa A himpunan bagian sejati dari B dan Anda tulis sebagai A B .

Pernyataan A B tidak secara otomatis bahwa B A . Jika Anda

perhatikan kembali Gambar 1.1 dalam kasus kemungkinan (2), tetapi (3)

tidak ada, Anda akan memperoleh hubungan tersebut, yaitu B A . Dalam

hal himpunan A dan himpunan B mempunyai hubungan jika A B berakibat

bahwa B A , Anda mengatakan bahwa dua himpunan A dan B sama.

Berikut ini akan Anda pelajari tentang definisi kesamaan dua himpunan.

Definisi 1.1

Dua himpunan adalah sama jika mereka memuat anggota-anggota yang

sama, ditulis .A B

Berikutnya adalah salah satu cara penulisan himpunan yang akan sering

Anda jumpai pada pembahasan-pembahasan berikutnya. Penulisan ini

menggunakan sifat dari keanggotaan himpunan tersebut, yaitu

: ( )x P x

yang berarti bahwa himpunan dari semua anggota x yang mempunyai sifat

P benar. Anda dapat pula membacanya sebagai “himpunan semua x

sehingga ( )P x ”. Penulisan lain dalam hal penggunaan sifat himpunan ini

adalah

: ( )x S P x

yang berarti bahwa himpunan bagian dari S yang mempunyai sifat P benar.

Beberapa himpunan khusus mempunyai simbol baku seperti berikut.

Simbol := berarti simbol di sebelah kiri didefinisikan di sebelah kanan.

(i) Himpunan bilangan asli : 1, 2, 3, ...N .

(ii) Himpunan bilangan bulat : 0, 1,-1,2,-2, ...Z .

(iii) Himpunan bilangan rasional : : , , 0mn

Q m n Z .

(iv) Himpunan bilangan riil R , himpunan ini akan Anda kaji lebih

mendalam pada Modul 2.


Contoh 1.1

1, 2, 3, ...N menyatakan himpunan bilangan asli dan

2: 3 2 0A x N x x menyatakan himpunan bilangan asli yang

memenuhi persamaan yang diberikan. Anda tahu bahwa penyelesaian

persamaan kuadrat 2 3 2 0x x adalah 1x dan 2x . Oleh karena itu,

himpunan tersebut sama dengan himpunan 1,2B .

Pembahasan selanjutnya adalah suatu cara yang dapat Anda gunakan

untuk mengonstruksi himpunan baru dari himpunan-himpunan yang

diberikan. Anda mulai dengan definisi tentang irisan dua himpunan berikut.

Definisi 1.2

Jika diberikan dua himpunan A dan B , irisan dari dua himpunan

tersebut adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota

himpunan A dan himpunan B . Irisan dua himpunan A dan B disimbolkan

sebagai A B .

Jika Anda menuliskan irisan kedua himpunan ini menggunakan sifat

himpunan yang telah Anda pelajari sebelumnya, Anda dapat menuliskannya

sebagai berikut.

: danA B x x A x B

Lebih jelas tentang irisan dua himpunan A dan B , dapat Anda lihat

pada Gambar 1.2 berikut.

Gambar 1.2

Irisan Dua Himpunan A dan B


Contoh 1.2

menyatakan himpunan bilangan riil.

2: 4 3 0A x x x dan 2: 7 10 0B x x x

Tentukan A B .

Penyelesaian

Langkah-langkah yang Anda gunakan pada penyelesaian pertidaksamaan

pada mata kuliah Matematika Dasar dapat Anda gunakan untuk menentukan

himpunan A dan B . Oleh karena itu, Anda akan mendapatkan

:1 3A x X

dan

: 2 5B x x

Jadi, Anda memperoleh berikut ini.

: 2 3A B x x

Definisi 1.3

Jika diberikan dua himpunan A dan B , gabungan dari dua himpunan

tersebut adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota

himpunan A atau himpunan B atau kedua himpunan A dan B . Gabungan

dua himpunan A dan B disimbolkan sebagai A B .

Seperti halnya pada irisan, pada gabungan dua himpunan ini, Anda dapat

menuliskannya menggunakan sifat himpunan yang telah Anda pelajari

sebelumnya seperti di bawah ini.

: atauA x x A x B =

Lebih jelas tentang gabungan dua himpunan A dan B , dapat Anda lihat



Gambar 1.3

Gabungan Dua Himpunan A dan B

Contoh 1.3

Ulangi Contoh 1.2 untuk menentukan gabungan dua himpunan A dan

B yaitu A B

Penyelesaian

Dari Contoh 1.2, Anda telah mempunyai penyelesaian untuk himpunan

A dan B seperti berikut ini.

:1 3A x x=

dan

: 2 5B x x=

Oleh karena itu Anda peroleh gabungan dua himpunan tersebut, yaitu

:1 5A B x x =

Pada pembahasan sebelumnya, Anda telah mendapatkan bahwa irisan

dan gabungan dua himpunan adalah sebuah himpunan. Dalam hal irisan dua

himpunan, Anda mungkin mendapatkan dua himpunan yang irisannya tidak

mempunyai anggota. Sebagai contoh, jika

:1 3A x x= dan : 4 6B x x= , irisan dua


himpunan tersebut tidak mempunyai anggota. Kasus ini mengantar Anda

pada definisi berikut ini.

Definisi 1.4

Sebuah himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut himpunan

kosong disimbolkan sebagai .

Definisi 1.5

Dua himpunan yang irisannya himpunan kosong disebut dua himpunan

yang saling asing.

Oleh karena itu dua himpunan A dan B pada pembahasan di atas

adalah dua himpunan yang saling asing, karena A B

Teorema berikut ini merupakan teorema dari sifat aljabar pada operasi

himpunan yang telah Anda peroleh pada pembahasan di atas. Bukti dari

sebagian teorema tersebut dijadikan sebagai latihan.

Teorema 1.1

Misalnya, , ,A B dan C adalah tiga himpunan sebarang. Maka

(a) , ,A A A A A A

(b) , ,A B B A A B B A

(c) ( ) ( ),( ) ( ),A B C A B C A B C B C

(d) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ).A B C A B A C A B C A B A C

Persamaan-persamaan di atas berturut-turut disebut idempotent,

komutatif, asosiatif, dan distributif.

Bukti

Untuk membuktikan teorema di atas, Anda gunakan Definisi 1.1

kesamaan dua himpunan. Ada dua langkah dalam membuktikan kesamaan

dua himpunan yang menggunakan definisi tersebut. Pertama, dengan

membuktikan bahwa jika x anggota himpunan ruas kiri, x anggota himpunan

ruas kanan sehingga Anda peroleh himpunan ruas kiri himpunan bagian dari

himpunan ruas kanan. Kedua, dengan membuktikan bahwa jika x anggota

himpunan ruas kanan, x anggota himpunan ruas kiri sehingga Anda

memperoleh himpunan ruas kanan bagian dari himpunan ruas kiri.


a) Pertama-tama, Anda buktikan A A A . Anda misalkan x A Amaka

x A dan x A . Oleh karena itu, x A . Jadi, A A A . Sebaliknya,

Anda misalkan x A maka x A dan x A . Oleh karena itu,

x A A . Jadi, A A A . Berdasarkan Definisi 1.1, Anda

memperoleh bahwa A A A . Kedua, Anda membuktikan A A A.

Misalnya, x A A maka x A atau x A . Oleh karena itu, x A .

Jadi,2

A r A A= . Sebaliknya, Anda misalkan x A maka x A

atau x A . Oleh karena itu x A A . Jadi, A A A . Berdasarkan

Definisi 1.1, Anda memperoleh bahwa A A A.

b) Pertama-tama, Anda buktikan bahwa A B C A B A C .

Anda misalkan x A B C maka x A dan x B C . Ini berarti

x A dan x B atau x C . Oleh karena itu, Anda memperoleh (i)

x A dan x B atau (ii) x A dan x C . Selanjutnya, Anda

memperoleh x A B atau x A C sehingga x A B A C .

Jadi, A B C A B A C . Sebaliknya, x A B A C

maka x A B atau x A C . Oleh karena itu, Anda mempunyai (i)

x A dan x B atau (ii) x A dan x C . Maka itu, dapat Anda

sederhanakan menjadi x A dan x B atau x C . Selanjtunya, Anda

memperoleh x A dan x B C . Jadi, x A B C sehingga

Anda memperoleh A B A C A B C . Berdasarkan

Definisi 1.1, Anda memperoleh A B C A B A C . Kedua,

Anda buktikan bahwa A B C A B A C . Anda misalkan

x A B C maka x A atau x B C . Ini berarti x A atau

x B dan x C . Oleh karena itu, Anda memperoleh (i) x A atau

x B dan (ii) x A atau x C . Selanjutnya, Anda memperoleh

x A B dan x A C sehingga x A B A C . Jadi,

A B C A B A C . Sebaliknya, x A B A C

maka x A B dan x A C . Oleh karena itu, Anda mempunyai (i)

x A atau x B dan (ii) x A atau x C sehingga dapat Anda

sederhanakan menjadi x A atau x B dan x C . Selanjutnya, Anda

memperoleh x A atau x B C . Jadi, x A B C sehingga


Anda memperoleh A B A C A B C . Berdasarkan

Definisi 1.1, Anda memperoleh A B C A B A C .

Perhatikan kembali sifat asosiatif pada Teorema 1.1 bagian b. Dengan

melihat sifat asosiatif tersebut, untuk menyederhanakan penulisan, Anda

tidak perlu memberi tanda kurung sehingga cukup Anda tulis seperti berikut.

,A B C A B C

Selanjutnya, untuk koleksi himpunan 1 2, , , nA A A irisan dan

gabungan himpunan pada koleksi tersebut didefinisikan sebagai berikut.

1 2 : : untuk semua n jA A A A x x A j

1 2 : : untuk suatu n jA A A A x x A j

Penyederhanaan penulisan irisan dan gabungan koleksi himpunan di atas

sebagai berikut.

1 : 1,2, ,ni j jA A A j n

1 : 1,2, ,ni j jB A A j n

Serupa dengan penulisan di atas, untuk masing-masing j J ada

himpunan jA maka irisan sebarang himpunan tersebut dapat Anda tulis

seperti simbol berikut.

{ : }jA j J

Himpunan di atas menyatakan bahwa himpunan yang anggotanya adalah

semua anggota himpunan jA untuk j J . Demikian juga untuk gabungan

sebarang himpunan jA untuk masing-masing j J dapat Anda tulis seperti

simbol berikut.

{ : }jA j J

⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.11

Himpunan di atas menyatakan bahwa himpunan yang anggotanya adalah

paling sedikit satu anggota himpunan jA untuk j J . Pembahasan

selanjutnya adalah Anda akan mengonstruksi sebuah himpunan yang

diperoleh dari selisih dua himpunan yang diberikan.

Definisi 1.6

Jika A dan B dua himpunan, komplemen B relatif terhadap A adalah

himpunan semua anggota 𝐴 yang bukan anggota B diberi simbol \A B

(dibaca A dikurangi B atau A B atau A B ).

Komplemen B relatif terhadap A dapat pula Anda sebut sebagai selisih

dari himpunan A dengan himpunan B . Anda dapat menulisnya dalam

bentuk sifat himpunan seperti berikut.

\ : { : }A B x A x B

Lebih jelas tentang komplemen relatif dua himpunan ini dapat Anda lihat


Gambar 1.4

Komplemen B Relatif terhadap A

Contoh 1.4

Ulangi Contoh 1.2 untuk menentukan \A B .

Penyelesaian


A dan B seperti berikut.


:1 3A x x

dan

: 2 5B x x

Oleh karena itu, Anda memperoleh komplemen B relatif terhadap A .

\ :1 2A B x x

Pembahasan selanjutnya adalah hukum De Morgan untuk tiga himpunan,

sebagian bukti dijadikan sebagai latihan.

Teorema 1.2

Jika , ,A B dan C adalah sebarang tiga himpunan, maka

\ \ \A B C A B A C

\ \ \ .A B C A B A C

Bukti

Misal \x A B C maka x A , tetapi x B C . Oleh karena x A

tetapi x B dan x C sehingga Anda memperoleh x A , tetapi x B

dan x A , tetapi x C . Ini berarti \x A B dan \x A C . Jadi,

\ \x A B x A C . Ini berarti \ \ \A B C A B A C .

Sebaliknya, Anda misalkan \ \x A B A C . Maka itu, \x A B dan

\x A C sehingga Anda peroleh x A , tetapi x B dan x A tetapi

x C . Ini berarti x A , tetapi x B dan x C . Oleh karena itu, x A

tetapi x B C . Jadi, \x A B C . Ini berarti

\ \ \A B A C A B C . Oleh karena itu, berdasarkan definisi

kesamaan dua himpunan, Anda memperoleh berikut ini.

\ \ \A B C A B A C

⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.13

Bentuk umum komplemen relatif ini adalah relatif terhadap himpunan

semesta S . Oleh karena itu, komplemen relatif A terhadap S yang diberi

simbol \A S atau CA adalah

:CA x S x A .

Selanjutnya, Anda akan mengkaji beda simetrik dua himpunan yang

merupakan pembahasan terakhir dari kegiatan belajar ini.

Definisi 1.7

Jika A dan B dua himpunan, beda simetris dari A dan B adalah

himpunan yang anggotanya salah satu dari himpunan A atau himpunan B ,

tetapi tidak keduanya. Beda simetris dari A dan B diberi simbol A B .

Beda simetris dua himpunan ini dapat Anda tulis dalam bentuk sifat

himpunan seperti berikut.

: : atau , tetapi A B x x A x B x A B

Lebih jelas tentang beda simetris dua himpunan ini dapat Anda lihat


Gambar 1.5

Beda Simetris Dua Himpunan A dan B

Contoh 1.5

Ulangi Contoh 1.2 untuk menentukan A B .


Penyelesaian


A dan B seperti berikut.

:1 3A x x

dan

: 2 5B x x

Oleh karena itu, Anda memperoleh beda simetris dua himpunan A dan

B seperti berikut.

:1 2 atau 3 5A B x x x

Jika Anda memperhatikan kembali Gambar 1.1, Anda akan mendapatkan

bahwa anggota x akan memenuhi (1) untuk A B , (2) untuk \A B , (3)

\B A , serta gabungan (2) dan (3) untuk A B .

B. FUNGSI

Fungsi yang akan Anda pelajari pada modul ini akan disajikan dalam

bentuk pasangan berurutan. Pasangan berurutan ini merupakan unsur dari

perkalian Cartesius (Cartesian product). Oleh karena itu, sebelum sampai

pada pembahasan tentang fungsi, Anda perlu mempelajari terlebih dahulu

definisi perkalian Cartesius.

Definisi 1.8

Jika A dan B adalah himpunan-himpunan tak kosong, perkalian

Cartesius A B dari A dan B adalah himpunan semua pasangan berurutan

,a b dengan a A dan b B , yaitu

, : ,A B a b a A b B .

Contoh 1.6

Misalnya, 1,2,3A dan 2,5B . Tentukan perkalian Cartesius

A B .

⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.15

Penyelesaian

1,2 , 1,5 , 2,2 , 2,5 , 3,2 , 3,5A B

Sekarang, Anda telah siap untuk mengkaji fungsi yang dinyatakan

sebagai pasangan berurutan. Pada mata kuliah Kalkulus, Anda telah

mengenal definisi fungsi dari A ke B , yaitu suatu aturan yang mengaitkan

masing-masing anggota x dalam A tepat ke satu anggota f x dalam B .

Pada mata kuliah ini, khususnya pada Kegiatan Belajar 1 ini, fungsi akan

dinyatakan sebagai pasangan berurutan. Hal ini dapat Anda lihat pada

Definisi 1.9 berikut.

Definisi 1.9

Misalnya, A dan B adalah dua himpunan. Maka itu, sebuah fungsi dari

A ke B adalah sebuah himpunan f dari pasangan berurutan dalam A B

sehingga masing-masing a A ada tepat satu b B dengan ,a b f .

Berdasarkan definisi di atas, Anda dapat memperoleh implikasi jika

,a b f dan ,a b f maka 'b b .

Himpunan A disebut sebagai daerah asal atau domain dinyatakan

sebagai D f dan himpunan B disebut daerah kawan atau kodomain.

Himpunan semua unsur kedua dalam f disebut daerah hasil atau range dari

f yang dinyatakan sebagai R f . Berdasarkan definisi fungsi, Anda juga

akan memperoleh hasil D f A dan R f B .

Notasi

:f A B

Anda gunakan untuk menyatakan fungsi f dari A ke B . Anda juga

akan sering mengatakan bahwa f adalah sebuah pemetaan dari A ke B ,

atau f memetakan A ke B . Jika ,a b f , maka Anda dapat menulisnya

sebagai

b f a atau a b .


b Anda sebut sebagai nilai dari f pada a atau sebagai bayangan dari

a di bawah f . Visualisasi fungsi f dari A ke B lebih jelas dapat Anda

lihat pada Gambar 1.6 berikut ini, yaitu fungsi yang divisualisasikan sebagai

grafik.

Gambar 1.6

Fungsi sebagai Grafik

Di samping Anda dapat memvisualisasikan fungsi sebagai grafik, Anda

dapat pula memvisualisasikan fungsi sebagai transformasi seperti terlihat

pada Gambar 1.7 berikut ini.

Gambar 1.7

Fungsi f sebagai Transformasi

Contoh 1.7

Misal 1,2,3,4A dan 1,2,3B . Selidiki apakah himpunan

pasangan berurutan 𝑔 dengan

1,2 , 2,1 , 3,2 , 4,1g , merupakan fungsi dari A ke B ?

⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.17

Penyelesaian

Untuk mempermudah melihatnya, gambarkan pasangan berurutan

tersebut seperti pada gambar berikut.

Karena masing-masing a A dipasangkan ke tepat satu b B dengan

,a b g , himpunan pasangan berurutan 1,2 , 2,1 , 3,2 , 4,1g

adalah sebuah fungsi.

Pembahasan berikutnya pada kegiatan belajar ini adalah jenis-jenis

fungsi. Meskipun demikian, Anda akan membahas materi tentang bayangan

langsung dan bayangan invers terlebih dahulu. Materi ini akan berguna

terutama pada fungsi surjektif dan bijektif.

Definisi 1.10

Misal :f A B . Jika E adalah himpunan bagian dari A , bayangan

langsung dari E di bawah f adalah himpunan bagian f E dari B yang

diberikan oleh

:f E f x x E .

Jika H adalah himpunan bagian dari B , bayangan invers dari H di

bawah f adalah himpunan bagian 1f H dari A yang diberikan oleh

1 :f H x A f x H .


Oleh karena itu, jika Anda mempunyai sebuah himpunan E A , titik

1y B adalah bayangan langsung dari f E jika dan hanya jika ada paling

sedikit satu titik 1x E sehingga 1 1y f x . Serupa dengan itu, jika Anda

mempunyai himpunan H B , titik 2x dalam bayangan invers 1f H jika

dan hanya jika 2 2y f x anggota dari H . Ha ini dapat Anda lihat pada

Gambar 1.8 berikut ini.

Gambar 1.8

Bayangan Langsung dan Invers

Contoh 1.8

Misal :f didefinisikan sebagai 2f x x . Maka itu, bayangan

langsung dari himmpunan : 0 2E x x adalah himpunan

: 0 4f E y y . Jika : 0 4G y y , bayangan invers dari G

adalah 1 : 2 2f G x x . Oleh karena itu, dalam kasus ini, Anda

melihat bahwa 1f G E .

Sekarang, Anda telah siap untuk mempelajari jenis-jenis fungsi yang

sangat penting dalam matematika.

Definisi 1.11

Misal :f A B adalah sebuah fungsi dari A ke B . Fungsi f

dikatakan injektif (satu-satu) jika diberikan 1 2x x maka 1 2( ) ( )f x f x .

Fungsi f dikatakan surjektif (pemetaan A pada B) jika f A B . Jika

f kedua-duanya injektif dan surjektif, dikatakan bahwa f bijektif (satu-satu

pada).

⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.19

Berdasarkan Definisi 1.11, dapat pula Anda katakan bahwa f dikatakan

surjektif (pemetaan A pada B) jika R f B .

Berikut ini adalah cara yang akan sering Anda gunakan berkaitan dengan

pembuktian fungsi jenis injektif dan surjektif.

Untuk membuktikan sebuah fungsi f injektif, Anda dapat menunjukkan

bahwa untuk semua 1 2, x x dalam A 1 2 1 2f x f x x x .

Untuk membuktikan ini secara grafik, jika y B , dari titik tersebut

apabila ditarik garis horizontal sehingga “menyentuh” grafik f , kemudian

ditarik garis vertikal, garis tersebut menyentuh sumbu x paling banyak

sekali. Hal ini dapat Anda lihat pada Gambar 1.9 berikut.

Gambar 1.9

Grafik Fungsi Injektif

Untuk membuktikan f fungsi surjektif, Anda harus menunjukkan

bahwa untuk sebarang y B pasti ada paling sedikit satu x A sehingga

f x b . Secara grafik, jika Anda menarik garis horizontal dari sebarang

y B ke grafik f , kemudian Anda tarik garis vertikal, Anda akan

menemukan paling sedikit satu titik x A . Hal ini dapat Anda lihat pada

Gambar 1.10 berikut.


Gambar 1.10

Fungsi Surjektif

Pada Gambar 1.10, terlihat bahwa ketika Anda menarik garis horizontal

dari sebarang y , ada 1x dan 2x sehingga 1f x y dan 2f x y . Jadi,

f adalah fungsi surjektif.

Contoh 1.9

Misal :f sehingga 2f x x . Selidiki hal berikut.

Apakah fungsi tersebut injektif? Jelaskan alasan jawaban Anda.

Apakah fungsi tersebut surjektif? Jelaskan alasan jawaban Anda.

Penyelesaian

Ambil 1 2,x x di sehingga 1 2( )f x f x . Maka Anda memperoleh

berikut ini.

2 21 2x x

2 21 2 0x x

1 2 1 2( ) 0x x x x

1 2x x atau 1 2 2x x x

Jadi, f bukan fungsi injektif. Anda akan mendapatkan bahwa f fungsi

injektif jika Anda membatasi domainnya, yaitu 0D f .

Mengapa?

⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.21

Ambil 1y maka tidak ada x sehingga 2 1f x x .

Jadi, f bukan fungsi surjektif. Anda akan mendapatkan f fungsi surjektif

jika Anda membatasi kodomain dari f , yaitu 0 . Mengapa?

Oleh karena itu, jika Anda membatasi domain dan komdomain adalah

0 , Anda akan memperoleh fungsi bijektif f dari ke sehingga

2f x x .

Jika f sebuah fungsi dari A ke B , f merupakan himpunan bagian

dari A B . Himpunan pasangan berurutan dalam B A diperoleh dengan

menukar anggota-anggota pasangan berurutan dalam f yang tidak selalu

merupakan fungsi. Meskipun demikian, jika f bijektif, hasil penukaran ini

akan merupakan sebuah fungsi yang disebut sebagai fungsi invers. Hal ini

dapat Anda lihat pada Definisi 1.12 berikut.

Definisi 1.12

Jika :f A B adalah fungsi bijektif dari A pada B maka

, : ,g b a a b f

adalah fungsi dari B pada A . Fungsi ini disebut fungsi invers dan

dinyatakan sebagai 1f .

Anda dapat mengekspresikan juga hubungan antara f dan 1f dengan

mencatat bahwa 1D f R f dan 1R f D f dan bahwa

b f a jika dan hanya jika 1a f b .

Contoh 1.10

Anda lihat kembali Contoh 1.9 yang sudah dibatasi domain dan

kodomainnya, yaitu

: 0 0f


sehingga 2:f x x .

Dari hasil sebelumnya, Anda sudah memperoleh bahwa fungsi tersebut

bijektif. Oleh karena itu, fungsi tersebut mempunyai invers, yaitu

1 : 0 0f

sehingga

1 :f x x atau

1f x x .

Sejauh ini, Anda telah membahas fungsi, jenis-jenis fungsi, dan fungsi

invers. Fungsi-fungsi yang telah Anda bahas tersebut hanya terdiri atas satu

fungsi. Pada pembahasan selanjutnya, Anda akan membahas fungsi yang

merupakan komposisi dari dua fungsi atau lebih. Hal ini seperti dapat Anda

lihat pada Gambar 1.11 berikut ini.

Gambar 1.11

Fungsi Komposisi dari f dan g

Definisi 1.13

Jika :f A B dan g : B C dan jika R f D g B , fungsi

komposisi g f adalah fungsi dari A ke C didefinisikan oleh

g f x g f x untuk semua x A .

⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.23

Perlu Anda perhatikan bahwa secara umum urutan dalam penulisan di

atas tidak berlaku sebaliknya, yaitu g f f g . Hal ini dapat Anda lihat

pada Contoh 1.10 berikut.

Contoh 1.11

Misal f dan g dua fungsi yang terdefinisi pada bilangan riil

yang

diberikan oleh

2f x x dan 23 1g x x .

Tentukan g f f g .

Penyelesaian

Karena D f dan R f D g , domain ( )D g f juga

sama untuk dan fungsi komposisi g f diberikan oleh berikut ini.

2 23(2 ) 1 12 1g f x x x

Domain fungsi komposisi f g juga , tetapi

2 22 3 1 6 2f g x x x .

Oleh karena itu, dalam kasus ini, Anda memperoleh g f f g .

Dari Definisi 1.12, Anda sudah mendapatkan hubungan antara f dan

( 1) ,f yaitu

b f a jika dan hanya jika 1a f b .

Oleh karena itu, dengan menggunakan definisi fungsi komposisi ini,

Anda akan mendapatkan hubungan berikut ini.

1 1 1f f a f f a f b a


untuk setiap a D f dan

1 1f f b f f b f a b

untuk setiap b R f .

1) Misalnya, 2: 2 0A x x x dan 2{ : 4 0}B x x .

Tentukan

a. A B

b. A B

c. \A B

d. \B A

e. A B .

2) Buktikan bahwa A B jika dan hanya jika A B A .

3) Buktikan

A. Teorema 1.1 bagian (b),

B. Teorema 1.1 bagian (c).

4) Buktikan Teorema 1.2 bagian (b).

5) Tunjukkan bahwa beda simetris dua himpunan

\ \ .A B A B B A

6) Diberikan dua himpunan A dan B . Tunjukkan bahwa A B dan \A B

saling asing.

7) Misal , , ,A a b c d dan 1,2,3,4B . Selidiki apakah himpunan

pasangan berurutan berikut ini merupakan fungsi atau bukan

,2 , ,2 , ,3 , ,1 , ,1h a b c d a .

8) Misal :f sehingga 3f x x . Buktikan bahwa

A. fungsi tersebut injektif,

LATIHAN

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,

kerjakanlah latihan berikut!

⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.25

B. fungsi tersebut surjektif,

C. fungsi tersebut bijektif.

9) Tentukan invers dari fungsi pada soal nomor 8.

10) Misal f dan g dua fungsi yang masing-masing terdefinisi pada dan

0 sehingga 1f x x dan g x x . Tentukan

A. g f x dan D g f ,

B. f g x dan D f g .

Petunjuk Jawaban Latihan

1) Penyelesaian pertidaksamaan 2 2 0x x adalah 1x atau 2x .

Oleh karena itu, Anda memperoleh

: 1 atau 2 , 1 2,A x x x .

Penyelesaian pertidaksamaan2 4 0x adalah 2 2x . Oleh

karena itu, Anda memperoleh : 2 2 2,2B x x .

Jadi, diperoleh berikut ini.

a. , 1 2, 2,2 2, 1 2A B

b. , 1 2, 2,2A B

c. \ , 2 2, A B

d. \ 1,2B A

e. , 2 1,2 2,A B

2) Misal x A B maka x A . Jadi, A B A . Misal x A . Karena

A B maka x B . Oleh karena itu, x A dan x B , jadi x A B .

Oleh karena itu, A A B . Jadi, A A B .

3) Untuk pembuktian ini dan pembuktian selanjutnya, Anda buktikan

dengan cara penulisan yang lebih sederhana, yaitu dengan menggunakan

ekuivalensi seperti berikut ini.

a. Pertama-tama Anda buktikan A B B A .

x A B x A dan x B

x B dan x A


x B A

Jadi, A B B A . Kedua, Anda buktikan A B B A .

x A B x A atau x B

x B atau x A

x B A

b. Pertama-tama Anda buktikan A B C A B C .

x A B C x A B dan x C

x A dan x B dan x C

x A dan x B dan x C

x A dan x B C

x A B C

Jadi, A B C A B C .

Kedua, Anda buktikan A B C A B C .

x A B C x A B atau x C

x A atau x B atau x C

x A atau x B atau x C

x A atau x B C

x A B C

4) Seperti pembuktian pada soal sebelumnya, pembuktian pada soal ini

gunakan ekuivalensi.

\x A B C x A , tetapi x B C

x A , tetapi x B atau x C

x A , tetapi x B atau x A , tetapi x A

\x A B atau \x A C

( \ ) ( \ )x A B A C

Jadi, \ ( \ ) ( \ )A B C A B A C .

5) Akan Anda buktikan seperti berikut ini.

x A B x anggota salah satu dari himpunan A atau himpunan B ,

tetapi tidak keduanya A dan B . x A , tetapi x A atau x A , tetapi x B atau x B , tetapi

x A atau x B , tetapi x B

⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.27

x A , tetapi x B atau x B , tetapi x A

\x A B atau \x B A

\ \x A B B A

Jadi, \ \A B A B B A .

6) Untuk pembuktian soal ini, Anda akan membuktikannya dengan bukti

tidak langsung. Anda andaikan bahwa A B dan \A B tidak saling

asing. Maka itu, ada x A B dan \x A B . Oleh karena itu, x A

dan x B dan x A , tetapi x B . Ini berarti x A dan x B , tetapi

x B . Pernyataan x B , tetapi x B adalah hal yang tidak mungkin.

Oleh karena itu, pengandaian di atas adalah salah. Jadi, yang benar

adalah A B dan \A B saling asing.

7) Untuk mempermudah melihatnnya, Anda gambarkan pasangan berurutan

tersebut seperti pada gambar berikut.

Dapat Anda lihat bahwa ada a A yang dipasangkan kedua anggota ,B

yatiu ,1a dan ,2a . Jadi, h bukan merupakan fungsi.

8) Misal :f sehingga 3f x x .

a) Misal 1 2x x maka 3 31 2x x . Oleh karena itu, 1 2( )f x f x .

Jadi, f fungsi injektif.

b) Ambil x sebarang anggota kodomain f maka ada 3 x anggota

domain f sehingga 3

3 3f x x x . Jadi, f surjektif.

c) Karena f injektif dan surjektif maka f bijektif?


9) Invers fungsi f adalah 1f sehingga

1 3f x x karena

31 1 1 3 3( )f f x f f x f x x

dan 31 1 3 3f f x f f x f x x x .

10) Misal f dan g dua fungsi yang masing-masing terdefinisi pada dan

0 sehingga 1f x x dan g x x . Maka itu,

a) 1 1g f x g f x g x x ,

karena itu : 1D g f x x ;

b) 1f g x f g x f x x ,

karena itu 0D f g .

1) Misal A menyatakan suatu himpunan maka x anggota A

dinyatakan sebagai x A . Sebaliknya, jika x bukan anggota A

dinyatakan sebagai x A .

2) Himpunan A termuat di himpunan B , itu berarti jika x A maka

x B . Secara matematis, pernyataan tersebut dapat Anda

nyatakan sebagai A B atau B A .

3) Jika ada anggota B yang tidak termuat di A , Anda katakan bahwa

A himpunan bagian sejati dari B dan Anda tulis sebagai A B .

4) Dua himpunan adalah sama jika mereka memuat anggota-anggota

yang sama dan ditulis A B .

5) Jika diberikan dua himpunan A dan B , irisan dari dua himpunan

tersebut adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan

anggota himpunan A dan himpunan B . Irisan dua himpunan A

dan B disimbolkan sebagai A B .

6) Jika diberikan dua himpunan A dan B , gabungan dari dua

himpunan tersebut adalah himpunan yang anggota-anggotanya

merupakan anggota himpunan A atau himpunan B atau kedua

RANGKUMAN

⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.29

himpunan A dan B . Gabungan dua himpunan A dan B

disimbolkan sebagai A B .

7) Dua himpunan yang irisannya himpunan kosong disebut dua

himpunan yang saling asing.

8) Misal A , B , dan C adalah tiga himpunan sebarang. Maka

a) , ,A A A A A A= =

b) , ,A B B A A B B A= =

c) ( ) ( ) ( ) ( ), ,A B C A B C A B C A B C= =

d) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

,

.

A B C A B A C A B C

A B A C

=

=

9) Jika A dan B dua himpunan, komplemen B relatif terhadap A

adalah himpunan semua anggota A yang bukan anggota B diberi

simbol \A B (dibaca A dikurangi B ) atau A B atau ~A B .

10) Jika A, B, dan C adalah sebarang tiga himpunan maka

a) ( ) ( ) ( )\ \ \A B C A B A C=

b) ( ) ( ) ( )\ \ \ .A B C A B A C=

11) Jika A dan B dua himpunan, beda simetris dari A dan B adalah

himpunan yang anggotanya salah satu dari himpunan A atau

himpunan B , tetapi tidak keduanya. Beda simetris dari A dan B

diberi simbol A B .

12) Jika A dan B adalah himpunan-himpunan tak kosong, perkalian

Cartesius A B dari A dan B adalah himpunan semua pasangan

berurutan ,a b dengan a A dan b B , yaitu

, : ,A B a b a A b B .

13) Misal A dan B adalah dua himpunan. Maka itu, sebuah fungsi

dari A ke B adalah sebuah himpunan f dari pasangan berurutan

dalam A B sehingga masing-masing a Aada tepat satu b B

dengan ,a b f .

14) Misal :f A B . Jika E adalah himpunan bagian dari A ,

bayangan langsung dari E di bawah f adalah himpunan bagian

f E dari B yang diberikan oleh :f E f x x E .

15) Misal :f A B adalah sebuah fungsi dari A ke B .


a) Fungsi f dikatakan injektif (satu-satu) jika diberikan

1 2x x maka ( ) ( )

1 2.f x f x

b) Fungsi f dikatakan surjektif (pemetaan A pada B ) jika

f A B .

c) Jika f kedua-duanya injektif dan surjektif, dikatakan bahwa

f bijektif (satu-satu pada).

16) Jika :f A B adalah fungsi bijektif dari A pada B maka

, : ,g b a a b f

adalah fungsi dari B pada A . Fungsi ini disebut fungsi invers dan

dinyatakan sebagai 1f .

17) Jika :f A B dan g : B C dan jika R f D g B ,

fungsi komposisi g f adalah fungsi dari A ke C yang

didefinisikan oleh (g f x g f x untuk semua x A .

1) Misal 2: 2 0A x x x dan

2: 1 0B x x . Maka

itu, irisan dua himpunan A B adalah ….

A. , 1,0,1,2

B. 1,2,3,

C. 1,1,2

D. 1,0,1

2) Berdasarkan soal nomor 1, A B adalah ….

A. 0,1, 1,2, 2,

B. 0, 1, 2,

C. 1,0,1,2

D. 1,2,3,

TES FORMATIF 1

Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!

⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.31

3) Berdasarkan soal nomor 1, \A B adalah ….

A. 1, 1,2, 2,

B. 0,1,2,

C. 0

D.

4) Berdasarkan soal nomor 1, A B adalah ….

A. 2, 1,1,2,

B. 2, 1,0,1,2,

C. , 4, 3, 2,2,3,4,

D. , 4, 3, 2,3,4,5,

5) Himpunan A dapat dinyatakan dalam bentuk ….

A. \A B A B

B. \A B A B

C. \A B A B

D. \A B A B

6) Di antara dua himpunan yang terbentuk di bawah ini, yang saling asing

adalah …

A. A B dan A B

B. A B dan A B

C. A B dan \A B

D. A B dan \A B

7) Misal 1,2,3,4A dan , , , , B a b c d e . Di antara himpunan

pasangan berurutan berikut, yang merupakan fungsi dari A ke B

adalah….

A. 1, , 1, , 2, , 3, , 4,a b c a a

B. 1, , 1, , 2, , 3,a b c a

C. 1, , 2, , 3, , 4,b c a a

D. 1, , 2, , 3,c a a


8) Misal 1,2,3,4A dan , , , ,B a b c d e . Di antara fungsi yang

dinyatakan sebagai himpunan pasangan berurutan berikut yang

merupakan fungsi injektif dari A ke B adalah ….

A. 1, , 2, , 3, , 4,b c a a

B. 1, , 2, , 3, , 4,a c a b

C. 1, , 2, , 3, , 4,a a a a

D. 1, , 2, , 3, , 4,b c e a

9) Misal f adalah fungsi yang terdefinisi pada sehingga

2 1.f x x Maka itu, invers dari f adalah fungsi g sehingga ….

A. 1

12

g x x

B. 2 1g x x

C. 1

12

g x x

D. 1g x x

10) Misal f dan g dua fungsi yang masing-masing terdefinisi pada

sehingga 2 1f x x dan 3 1g x x . Maka itu, f g x

adalah ….

A. 3 2x

B. 32 1x

C. 32 1x

D. 32( 1) 1x

⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.33

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang

terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.

Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan

Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.

Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali

80 - 89% = baik

70 - 79% = cukup

< 70% = kurang

Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat

meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%,

Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang

belum dikuasai.

Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar

×100%Jumlah Soal


Kegiatan Belajar 2

Induksi Matematika dan Himpunan Tak Hingga

A. INDUKSI MATEMATIKA

Induksi matematika merupakan metode yang sangat kuat dalam

pembuktian yang sering digunakan untuk membuktikan kesahihan

pernyataan-pernyataan yang diberikan dalam suku-suku bilangan asli. Untuk

keperluan ini, Anda ingat kembali simbol bilangan asli yang pernah Anda

kenal pada Kegiatan Belajar 1 modul ini, yaitu

1,2,3, .

Pembahasan akan Anda mulai dengan sifat dasar bilangan asli berikut.

1. Sifat Urutan Baik Bilangan Asli

Setiap himpunan bagian tak kosong dari bilangan asli mempunyai

anggota paling kecil. Sifat tersebut dapat Anda buat lebih perinci seperti

berikut. Jika S adalah himpunan bagian dari dan jika S maka ada

m S sehingga m k untuk semua k S .

Berdasarkan sifat urutan di atas, Anda akan menurunkan prinsip induksi

matematika yang dinyatakan dalam suku-suku himpunan bagian bilangan asli

berikut.

a. Prinsip Induksi Matematika

Misal S merupakan himpunan bagian bilangan asli yang mempunyai

sifat berikut:

a. bilangan1 S ;

b. untuk setiap k , jika k S maka 1k S .

Maka itu, S .

⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.35

Bukti

Anda akan membuktikannya dengan bukti tidak langsung, yaitu dengan

mengandaikan S . Oleh karena itu, \ S sehingga oleh sifat urutan

baik bilangan asli, Anda mempunyai bilangan terkecil, misal m . Berdasarkan

hipotesis (1) 1 S maka 1m . Ini berakibat bahwa m – 1 merupakan

bilangan asli S. Karena m – 1 < m dan karena m adalah bilangan terkecil

dalam , tetapi bukan dalam S , yaitu m , tetapi m S maka dapat

Anda simpulkan bahwa 1m S . Selanjutnya, Anda gunakan hipotesis (2)

untuk anggota 1k m S maka 1 1 1k m m S . Hal ini

bertentangan dengan m S . Oleh karena itu, pengandaian S salah.

Jadi, S .

Contoh 1.12

Buktikan bahwa untuk masing-masing n , jumlah n bilangan asli

pertama diberikan oleh

11 2 1

2n n n .

Bukti

Untuk membuktikan rumus ini, Anda misalkan S adalah himpunan

semua n . Di sini, rumus ini benar. Anda harus menyelidiki kondisi (1)

dan (2) dalam 1.2 memenuhi.

Jika 1n , Anda mempunyai berikut ini.

11 .1. 1 1

2

Oleh karena itu, 1 S .

Anda asumsikan bahwa k S dan ingin menyimpulkan bahwa asumsi

ini berakibat 1k S . Jika k S maka

11 2 1

2k k k .


Jika Anda tambahkan 1k pada kedua ruas pada asumsi di atas, Anda

akan mendapatkan berikut ini.

11 2 1 1 1

2

1 11 .2. 1

2 2

1 11 1 .2

2 2

11 2

2

k k k k k

k k k

k k k

k k

Karena rumus pernyataan ini untuk 1n k , Anda simpulkan bahwa

1k S . Oleh karena itu, kondisi (2) dalam 1.2 terpenuhi. Kosekuensinya

adalah dengan prinsip induksi matematika. Anda menyimpulkan bahwa

rumus tersebut benar untuk semua n .

Prinsip induksi matematika digunakan untuk himpunan yang

keaggotaannya bersifat “terus”, yaitu dalam kerangka kerja pernyataan-

pernyataan tentang bilangan asli. Jika P n adalah suatu pernyataan untuk

n maka P n mungkin benar untuk suatu nilai n dan salah untuk nilai

yang lainnya. Sebagai contoh, jika 1P n adalah suatu pernyaaan 2

" "n n

maka 1 1P adalah benar, sedangkan 1P n adalah salah untuk 1,n n .

Di pihak lain, jika 2P n adalah pernyataan 2

" 1"n maka 2 1P adalah

pernyataan yang salah dan 2P n adalah pernyataan benar untuk 1,n n .

Dalam konteks ini, prinsip induksi matematika dapat dirumuskan seperti

berikut.

b. Prinsip Induksi Matematika (Versi Pertama)

Untuk masing-masing n , misalkan P n , adalah pernyataan tentang

n. Anggap bahwa

a. 1P adalah pernyataan benar;

b. untuk setiap k , jika P k adalah pernyataan benar maka 1P k

adalah pernyataan benar.

Maka P n adalah pernyataan benar untuk semua n .

⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.37

Hubungan versi ini dengan versi sebelumnya, yaitu prinsip induksi

matematika yang diberikan dalam 1.2, adalah dibuat dengan memisalkan

: adalah benarS n P n . Oleh karena itu, (1) dan (2) pada 1.2

berkorespondensi berturut-turut dengan (1’) dan (2’). Hubungan S

dalam 1.2 bekorespondensi dengan kesimpulan bahwa P n adalah benar

untuk semua n .

Dalam (2’), asumsi “jika P k adalah pernyataan benar” disebut

hipotesis induksi. Dalam pembuktian (2’), Anda tidak perlu memperhatikan

kebenaran dan kesalahan dari P k , tetapi hanya dengan kesahihan

implikasinya “jika P k maka 1P k ”.

Contoh 1.13

Anda perhatikan pernyataan :" 5"P n n n maka (2’) secara logika

benar. Untuk itu, Anda dapat menambahkan 1 pada kedua ruas dari P k

untuk memperoleh 1P k . Meskipun demikian, karena pernyataan

perhatikan bahwa 1P : "1 6" adalah pernyataan salah, Anda tidak dapat

menggunakan induksi matematika untuk menyimpulkan bahwa 5n n

untuk semua n .

Dapat terjadi bahwa P n adalah pernyataan salah untuk bilangan asli

0n tertentu, tetapi benar untuk semua 0n n . Oleh karena itu, prinsip

induksi matematika dapat Anda modifikasi berkaitan dengan kejadian ini,

seperti berikut.

c. Prinsip Induksi Matematika (Versi Kedua)

Misal 0n dan P n adalah pernyataan untuk masing-masing bilangan

asli 0n n . Anggap bahwa

a. pernyataan 0( )P n adalah benar;

b. untuk semua 0k n , kebenaran P k berakibat pada kebenaran

1P k . Maka itu, P n benar untuk semua 0n n .

Bilangan asli 0n dalam (1) disebut basis karena dia merupakan basis

dimulainya kebenaran untuk 0( )P n yang berakibat pada kebenaran dalam


(2), yaitu 1P k P k , yang disebut sebagai jembatan karena

menghubungkan kasus k ke kasus 1k .

Contoh 1.14

Buktikan bahwa ketaksamaan

2 2 1n n

benar untuk semua bilangan asli 3n .

Bukti

Mula-mula Anda periksa untuk 1n , 12 2 , dan 2.1 1 3 serta

untuk 2n , 22 4 dan 2.2 1 5 .

Ketaksamaan 2 2 1n n salah untuk 1n dan 2n . Selanjutnya,

Anda periksa untuk 3n , 32 8 2.3 1 7 .

Jadi ketaksamaan benar untuk 3n . Selanjutnya, Anda periksa kondisi

(2) dalam 1.3, yaitu untuk semua 0k n , kebenaran P k berakibat pada

kebenaran 1P k . Anda anggap bahwa 2 2 1k k .

Maka dengan mengalikan kedua ruas dengan 2, Anda memperoleh

berikut ini.

12 2 2 1 4 2 2 2 2 2 3

2 1 1

k k k k k k

k

Oleh karena itu, dengan basis 0 3n , Anda dapat menerapkan induksi

matematika untuk menyimpulkan bahwa ketaksamaan 2 2 1n n benar

untuk semua bilangan asli 3n .

Pembahasan tentang induksi matematika ini akan Anda akhiri dengan

prinsip induksi matematika versi lain, kadang-kadang sangat bermanfaat

dalam pembuktian induksi. Prinsip ini disebut sebagai “prinsip induksi kuat”.

Meskipun demikian, kenyataannya prinsip ini ekuivalen dengan prinsip

induksi matematika 1.2 tidak dibuktikan dalam pembahasan ini.

e. Prinsip Induksi Kuat

Misal S adalah himpunan bagian dari sehingga

a. 1 S ;

⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.39

b. Untuk setiap k , jika 1,2, ,k S maka 1k S .

Maka S .

2. Himpunan Hingga dan Tak Hingga

Ketika Anda menghitung anggota suatu himpunan, Anda akan

mengatakan “satu, dua, tiga, …,” berhenti saat anggota himpunan habis. Dari

perspektif matematika, pekerjaan yang telah Anda lakukan tersebut sama

artinya dengan Anda membuat pemetaan bijektif antara himpunan Anda

dengan himpunan bagian bilangan asli. Dalam hal demikian, Anda

mengatakan bahwa anggota himpunan tersebut hingga. Sebaliknya, ketika

anggota yang Anda hitung tidak berhenti, seperti himpunan bilangan asli

sendiri, Anda mengatakan himpunan tersebut sebagai tak hingga. Gagasan ini

merupakan ilustrasi dari Definisi 1.14 berikut.

Definisi 1.14

a. Himpunan kosong dikatakan mempunyai 0 anggota.

b. Jika n , sebuah himpunan S dikatakan mempunyai n anggota jika

ada pemetaan bijektif dari himpunan 1,2, ,n n ke S .

c. Sebuah himpunan S dikatakan hingga jika dia salah satu himpunan

kosong atau mempunyai n anggota untuk suatu n . Selain itu,

dikatakan himpunan tak hingga.

Karena invers dari pemetaan bijektif merupakan pemetaan bijektif, Anda

dapat pula mengatakan bahwa sebuah himpunan S mempunyai n anggota

jika dan hanya terdapat pemetaan bijektif dari himpunan S pada himpunan

1,2, ,n n . Juga, karena komposisi dari pemetaan bijektif adalah

pemetaan bijektif, Anda dapat pula mengatakan bahwa sebuah himpunan 1S

mempunyai n anggota jika dan hanya jika terdapat pemetaan bijektif dari

himpunan 1S ke 2S yang mempunyai n anggota.

Berikut ini adalah teorema-teorema tentang himpunan hingga dan tak

hingga yang tidak dibuktikan dalam pembahasan ini.

Teorema 1.3

Jika S adalah himpunan hingga, banyak anggota dalam S adalah

bilangan tunggal dalam .


Teorema 1.4

Himpunan bilangan asli adalah himpunan tak hingga.

Teorema berikut ini merupakan sifat dasar dari himpunan-himpunan

hingga dan tak hingga.

Teorema 1.5

a. Jika A adalah himpunan dengan m anggota dan B adalah himpunan

dengan n anggota dan jika A B maka A B mempunyai m n

anggota.

b. Jika A adalah himpunan dengan m anggota dan C A adalah

himpunan dengan 1 anggota maka \A C adalah himpunan dengan 1m

anggota.

c. Jika C adalah himpunan tak hingga dan B adalah himpunan hingga

maka \C B adalah himpunan tak hingga.

Bukti

Misal f pemetaan bijektif dari m pada A dan 𝑔 pemetaan bijektif

dari n pada B . Anda definisikan h pada m n oleh h i f i untuk

1,2, ,i m dan h i g i m untuk 1, 2, ,i m m m n . Maka

itu, h adalah pemetaan bijektif dari m n pada A B . Jadi, A B

mempunyai m n anggota.

Bukti (b) dan (c) ditinggalkan sebagai latihan.

Teorema 1.6 berikut ini tentang hubungan himpunan hingga dan tak

hingga antara suatu himpunan dengan himpunan bagiannya.

Contoh 1.15

Misal 1 2 3 4, , ,A a a a a dan 1 2 3 4 5, , , ,B b b b b b . Maka itu,

perhatikan berikut ini.

a. Anda memperoleh

1 2 3 4 1 2 3 4 5, , , , , , ,A B a a a a b b b b b

1 2 3 4 1 2 3 4 5, , , , , , , ,a a a a b b b b b .

Anda lihat bahwa A B . Oleh karena itu, A B mempunyai

4 5 9 anggota.

⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.41

b. Jika 2C a maka 1 3 4\ , ,A C a a a sehingga \A C mempunyai

4 1 3 anggota.

Contoh 1.16

Misal adalah himpunan bilangan asli dan 1,2, ,C n . Maka itu,

\ 1, 2, 3,C n n n . Oleh karena itu, \ C adalah himpunan tak

hingga.

Teorema 1.6

Anggap bahwa T dan S adalah himpunan-himpunan sehingga T S .

a. Jika S himpunan hingga, T himpunan hingga.

b. Jika T himpunan tak hingga, S himpunan tak hingga.

Bukti

a. Jika T , berdasarkan Definisi 1.14 bagian (c), T adalah himpunan

hingga. Oleh karena itu, Anda dapat menganggap bahwa T . Anda

buktikan dengan induksi matematika pada banyak anggota dalam S .

Jika S mempunyai 1 anggota, T juga mempunyai satu anggota (karena

T ). Oleh karena itu, T adalah himpunan hingga. Anggap setiap

himpunan bagian tidak kosong dari suatu himpunan dengan k anggota

adalah hingga. Dengan induksi matematika, Anda akan membuktikan

bahwa setiap himpunan bagian tidak kosong dari suatu himpunan dengan

1k anggota adalah hingga. Misalnya, S suatu himpunan yang

mempunyai 1k anggota. Maka itu, ada pemetaan bijektif f dari

1k pada S . Misalnya, T S . Jika 1f k T , Anda dapat

memandang T sebagai himpunan bagian dari 1 \ 1S S f k yang

mempunyai k anggota, yaitu berdasarkan Teorema 1.5 bagian (b). Oleh

karena itu, berdasarkan hipotesis setiap himpunan bagian tidak kosong

dari suatu himpunan dengan k anggota adalah hingga, Anda dapat

menyimpulkan bahwa T adalah himpunan hingga. Di pihak lain, jika

1f k T maka 1 \ 1T T f k adalah himpunan bagian dari

1S . Karena 1S mempunyai k anggota, oleh hipotesis serupa 1T adalah

himpunan hingga. Oleh karena itu, berdasarkan Teorema 1.5 bagian (a),

1 1T T f k juga himpunan hingga.


b. Bagian merupakan kontrapisosisi dari bagian (a), bukti selesai.

Pembahasan selanjutnya adalah himpunan terhitung. Himpunan ini dapat

berupa himpunan hingga maupun himpunan tak hingga. Untuk lebih jelasnya,

Anda ikuti Definisi 1.15 berikut ini.

Definisi 1.15

a. Sebuah himpunan S dikatakan denumerable (contably infinite) jika ada

pemetaan bijektif dari pada S .

b. Sebuah himpunan S dikatakan terhitung jika salah satu hingga atau

denumerable, selain itu dikatakan tak terhitung.

Contoh 1.17

Tunjukkan bahwa himpunan 2 :E n n adalah himpunan

denumerable.

Penyelesaian

Buat pemetaan :f E yang didefinisikan sebagai 2f n n

untuk n . Maka itu, pemetaan ini merupakan pemetaan bijektif. Jadi, E

adalah himpunan denumerable.

Teorema berikut ini berguna untuk menunjukkan bahwa himpunan

bilangan rasional adalah denumerable. Bukti teorema akan Anda bahas

secara informal.

Teorema 1.7

Himpunan adalah denumerable.

Bukti

Bukti informal Anda ingat bahwa terdiri atas semua pasangan

berurutan ,m n , yaitu ,m n . Anda dapat menyebutkan satu per satu

pasangan sebagai berikut.

(1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (2,2), (3,1), (1,4), ...

Lebih jelas, dapat Anda sebutkan seperti pada Gambar 1.12 berikut.

⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.43

Gambar 1.12

Himpunan

Penyebutan dengan gambar di atas dikatakan sebagai prosedur diagonal

karena Anda bergerak sepanjang diagonal-diagonal yang masing-masing

memuat sejumlah hingga suku-suku.

Pemetaan bijektif yang ditunjukkan oleh diagram dapat diturunkan

seperti berikut ini. Pertama, Anda catat bahwa diagonal pertama mempunyai

hanya satu titik. Kedua, diagonal kedua mempunyai dua titik dan seterusnya

diagonal ke k mempunyai k titik. Karena menggunakan jumlah suku-suku

dalam rumus pada Contoh 1.12, Anda peroleh total jumlah titik-titik diagonal

sampai ke k adalah

11 2 1

2φ k k k k .

Titik (m,n) dilalui diagonal ke k ketika 1k m n dan dia adalah

titik ke-m dalam diagonal, seperti Anda bergerak menurun dari kiri ke kanan.

Sebagai contoh, titik (3,2) dilalui diagonal ke-4 karena 3 2 1 4 dan dia

adalah titik ke-3 dalam diagonal tersebut. Oleh karena itu, dalam perhitungan

seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.12, Anda dapat menghitung titik

(m,n) oleh perhitungan pertama titik-titik dalam diagonal 1 2k m n

pertama dan menambah m. Oleh karena itu, fungsi penghitung

:h diberikan oleh berikut ini.

, 2h m n φ m n m


12 1

2m n m n m

Sebagai contoh, titik (3,2) dihitung sebagai 1

3,2 .3.4 3 92

h ,

seperti ditunjukkan oleh Gambar 1.12. Serupa dengan hal itu, titik (17,25)

dihitung sebagai jumlah 17,25 40 17 837h φ .

Konstruksi secara eksplisit pemetaan bijektif di antara himpunan-

himpunan sering menjadi masalah yang rumit. Dua teorema berikutnya dapat

Anda gunakan untuk membuktikan dalam perhitungan himpunan-himpunan

karena untuk mengerjakannya Anda tidak melibatkan pemetaan tertentu.

Teorema 1.8 tidak dibuktikan dalam pembahasan ini. Bagian (b) dari teorema

ini merupakan kontaposisi dari bagian (a).

Teorema 1.8

Anggap bahwa S dan T adalah dua himpunan sehingga T S .

Jika S adalah himpunan terhitung, T adalah himpunan terhitung.

Jika T adalah himpunan tak terhitung, S adalah himpunan tak

terhitung.

Teorema 1.9

Pernyataan-pernyataan berikut adalah ekuivalen.

S adalah himpunan terhitung.

Ada fungsi surjektif dari pada S.

Ada fungsi injektif dari S ke dalam .

Bukti

a. b jika S berhingga, ada pemetaan bijektif h dari suatu himpunan

n pada S dan Anda definisikan H pada oleh berikut ini.

, untuk 1,2, ,

, untuk

h k k nH k

h n k n∶

Oleh karena itu, H adalah pemetaan surjektif dari pada S. Jika S

denumerable, ada pemetaan bijektif H dari pada S yang juga

merupakan pemetaan surjektif dari pada S.

⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.45

b. c jika H adalah pemetaan surjektif dari pada S, Anda

definisikan 1 :H S dengan memisalkan 1H s anggota terkecil

dalam himpunan 1 :H s n H n s . Untuk melihat bahwa

1H adalah pemetaan injektif dari S ke , Anda catat bahwa jika

,s t S dan 1 1stn H s H t maka sts H n t .

c. a jika 1H adalah pemetaan injektif dari S ke , dia adalah

pemetaan bijektif dari S pada 1H S . Oleh Teorema 1.8 bagian

(a), 1H S adalah himpunan terhitung. Jadi, S adalah himpunan

terhitung.

Contoh 1.18

Buktikan bahwa himpunan bilangan rasional adalah denumerable.

Bukti

Ide dari pembuktian ini adalah mengamati himpunan bilangan rasional

positif dengan menyebutkan seperti berikut ini.

1 1 2 1 2 3 1, , , , , , , ,

1 2 1 3 3 1 4

yang merupakan “pemetaan diagonal”, seperti terlihat pada Gambar 1.12

berikut.

Gambar 1.13

Himpunan


Berdasarkan Teorema 1.7, adalah himpunan denumerable maka

dia merupakan himpunan terhitung (Definisi 1.15 bagian (b)). Oleh Teorema

1.9 bagian (b), ada pemetaan surjektif f dari pada . Contohnya

sebagai berikut.

:g

,m

g m nn

.

Maka itu, g adalah pementaan surjektif pada . Oleh karea itu,

komposisi g f adalah pemetaan surjektif dari pada . Oleh Teorema

1.9, dapat Anda simpulkan bahwa adalah himpunan terhitung. Serupa

dengan itu untuk himpunan bilangan rasional negatif . Oleh karena itu,

0 adalah himpunan terhitung. Karena memuat ,

haruslah himpunan denumerable.

Teorema selanjutnya adalah teorema tentang gabungan himpunan

terhitung. Seperti halnya pada Teorema 1.9, Anda tidak perlu takut tentang

kemungkinan tumpang-tindih dari himpunan-himpunan ini. Juga, Anda tidak

perlu mengonstruksi pemetaan bijektif.

Teorema 1.10

Jika mA adalah himpunan terhitung untuk masing-masing m ,

sebarang gabungan 1m mA A adalah himpunan terhitung.

Bukti

Untuk masing-masing m , misalkan m , pemetaan surjektif dari

pada mA . Anda definisikan

:β A

: , mβ m n n .

⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.47

Anda duga bahwa β adalah pemetaan surjektif. Jika a A , ada anggota

terkecil m sehingga ma A dan ada anggota terkecil n sehingga

ma n . Oleh karena itu, ,a β m n . Karena adalah himpunan

terhitung, berdasarkan Teorema 1.9, ada pemetaan bijektif :f , yaitu

β f adalah pemetaan surjektif dari pada A . Selanjutnya, dengan

menerapkan Teorema 1.9 lagi, Anda dapat menyimpulkan bahwa A adalah

himpunan terhitung.

Anda tutup pembahasan pada kegiatan belajar ini dengan teorema

Cantor.

Teorema 1.11 (Teorema Cantor)

Jika A sebarang himpunan, tidak ada pemetaan surjektif dari A pada

himpunan ρ A dari semua himpunan bagian A .

Bukti

Anda buktikan dengan bukti tidak langsung. Andaikan bahwa

: A ρ A adalah pemetaan surjektif. Karena a adalah himpunan

bagian dari A , salah satu a anggota untuk a atau bukan angota a .

Anda misalkan

:D a A a a .

Karena D adalah himpunan bagian dari A , jika adalah surjektif

maka 0D a untuk suatu 0a A . Anda harus mempunyai salah satu

0a D atau 0a D maka karena 0D a , Anda harus mempunyai

0 0a a , bertentangan dengan pendefinisian dari D . Serupa dengan itu,

jika 0a D maka 0 0a a sehingga 0a D yang juga bertentangan.

Jadi, tidak ada pemetaan surjektif dari A pada himpunan ρ A dari semua

himpunan bagian A .


Contoh 1.19

Misal A a . Maka itu, ,ρ A a . Oleh karena itu, tidak ada

pemetaan surjektif dari himpuanan A pada himpunan ρ A .

Akibat dari teorema Cantor ini adalah koleksi ρ itu himpunan tak

terhitung karena tidak ada pemetaan surjektif dari pada ρ

(berdasarkan Definisi 1.15).

1) Untuk masing-masing n , tunjukkan bahwa jumlah kuadrat dari n

bilangan asli pertama adalah

2 2 2 11 2 1 2 1

6n n n n .

2) Diberikan dua bilangan riil a dan b . Buktikan bahwa a b adalah

faktor dari n na b untuk semua n .

3) Buktikan bahwa ketaksamaan 2 1 !n n berlaku untuk semua n .

4) Jika , 1r r , buktikan bahwa persamaan

1

2 11

1

nn r

r r rr

berlaku untuk semua n . Rumus tersebut merupakan rumus jumlah

dari deret geometri.

5) Buktikan bahwa rumus jumlah dari deret geometri pada soal nomor 4

dapat dibuktikan tanpa menggunakan induksi matematika.

6) Buktikan Teorema 1.5 bagian (b).

7) Buktikan Teorema 1.5 bagian (c).

8) Jika A adalah himpunan dengan m anggota dan C A adalah

himpunan dengan 2 anggota, buktikan bahwa \A C adalah himpunan

dengan 2m anggota.

LATIHAN

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,

kerjakanlah latihan berikut!

⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.49

9) Buktikan bahwa himpunan semua bilangan bulat

adalah

denumerable.

10) Tunjukkan bahwa gabungan dua himpunan yang saling asing yang

masing-masing denumerable adalah denumerable.

Petunjuk Jawaban Latihan

1) Untuk menunjukkan rumus ini, Anda catat bahwa dia benar untuk 1n

karena 2 11 .1. 1 1 2.1 1

6. Anda anggap dia benar untuk n k

maka 2 2 2 11 2 1 2 1

6k k k k .

Jika Anda menjumlahkan kedua ruas dengan 2

1k , Anda

memperoleh berikut ini.

2 22 2 2

22

2

2

11 2 1 1 2 1 1

6

1 11 2 .6. 1

6 6

11 2 6 6

6

11 2 7 6

6

11 2 2 3

6

11 1 1 2 1 1

6

k k k k k k

k k k k

k k k k

k k k

k k k

k k k

Jadi, rumus 2 2 2 11 2 1 2 1

6n n n n

benar untuk semua n .

2) Pertama, Anda perhatikan bahwa pernyataan benar untuk 1n , yaitu

a b faktor dari 1 1a b . Kedua, Anda anggap pernyataan benar

untuk n k , yaitu a b faktor dari k ka b . Selanjutnya, Anda

buktikan bahwa pernyataan benar untuk 1n k seperti berikut.


1 1 1 1k k k k k k

k k k

a b a ab ab b

a a b b a b

Berdasarkan hipotesis induksi a b adalah faktor dari k ka b .

Oleh karena itu, a b adalah faktor k ka a b . Jelas bahwa a b

adalah faktor kb a b . Jadi, a b adalah faktor dari

1 1k ka b .

3) Pertama, Anda perhatikan bahwa ketaksamaan berlaku untuk 1n ,

yaitu 12 1 1 ! . Kedua anggap ketaksamaan berlaku untuk n k

maka 2 1 !k k .

Selanjutnya, Anda buktikan bahwa ketaksamaan berlaku untuk

1n k seperti berikut ini. Perhatikan kenyataan 2 2k untuk

setiap bilangan asli k . Maka itu,

12 2.2 2 1 ! 2 1 ! 1 !k k k k k k .

Jadi, ketaksamaan 2 1 !n n berlaku untuk semua bilangan asli

n .

4) Persamaan berlaku untuk 1n , yaitu 1 1 1 11

11 1

r rrr

r r.

Anda anggap persamaan berlaku n k , yaitu 1

2 11

1

kk r

r r rr

.

Selanjutnya, Anda buktikan bahwa persamaan berlaku 1n k . Anda

tambahkan kedua ruas dengan 1kr . Maka itu, Anda memperoleh

berikut ini.

⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.51

12 1 1

11

1 11 1

1 1

11

1

11

1 1

1

1

1

1

kk k k

kk

kk k

k

rr r r r r

r

r rr

r r

r r r

r

r

r

Jika , 1r r , terbukti bahwa persamaan

12 1

11

nn r

r r rr

berlaku untuk semua n .

5) Anda misalkan 21 n

ns r r r .

Anda kalikan masing-masing ruas dengan r maka Anda akan

memperoleh

2 1n n

nrs r r r r .

Jika Anda kurangkan persamaan pertama dengan persamaan kedua,

Anda akan memperoleh

11 1 n

nr s r .

Jika Anda bagi kedua ruas dengan 1 r , Anda memperoleh

11

1

n

n

rs

r.

Jadi, rumus jumlah deret geometri 1

2 11

1

nn r

r r rr

berlaku untuk semua n .

6) Misal f pemetaan bijektif dari m pada A dan misal C c .

Karena C A maka ada mj sehingga f j c . Anda definisikan

h pada 1m oleh h i f i untuk 1,2, , 1i j dan


1h i f i untuk , 1, , 1i j j m . Maka itu, h adalah

pemetaan bijektif dari 1m pada \A C . Jadi, \A C mempunyai 1m

anggota.

7) Anda buktikan dengan bukti tidak langsung seperti berikut ini. Andaikan

\C B adalah himpunan hingga, misal mempunyai anggota m . Karena B

himpunan hingga, Anda dapat memisalkannya mempunyai n anggota.

Karena \C B B dan karena \C C B B , berdasarkan bagian

(a), C mempunyai m n anggota. Jadi, C adalah himpunan hingga.

Hal ini bertentangan dengan hipotesis C sebagai himpunan tak hingga.

Jadi, pengandaian salah dan yang benar adalah \C B adalah himpunan

tak hingga.

8) Anda misalkan 1 2,C c c . Maka itu, 1 2C C C , yaitu 1 1C c

dan 2 2C c . Oleh karena itu, menerapkan Teorema 1.5 bagian (b),

himpunan 1 1\A A C mempunyai 1m anggota. Dengan cara serupa,

himpunan 2\ \A C A C mempunyai 1 1 2m m anggota.

9) Untuk mengonstruksi sebuah pemetaan bijektif dari pada , Anda

dapat memetakan 1 ke 0. Anda petakan semua bilangan asli genap ke

bilangan bulat positif dan Anda petakan bilangan asli ganjil lebih dari

satu ke bilangan bulat negatif. Pemetaan yang Anda buat dapat didaftar

seperti berikut ini.

0,1, 1,2, 2,3, 3,

10) Anda misalkan 1 2 3, , ,A a a a dan 1 2 3, , ,B b b b . Maka itu,

Anda dapat mendaftar anggota-anggota dari A B seperti berikut.

1 1 2 2 3 3, , , , , ,a b a b a b

Jadi, gabungan dua himpunan yang saling asing yang masing-masing

denumerable adalah denumerable.

⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.53

1) Sifat urutan baik bilangan asli: setiap himpunan bagian tak kosong

dari bilangan asli mempunyai anggota paling kecil.

2) Prinsip induksi matematika: misal S merupakan himpunan bagian

bilangan asli yang mempunyai sifat berikut:

a) bilangan 1 S ,

b) untuk setiap k , jika k S maka 1k S+ ,

c) maka S .

3) Prinsip induksi matematika (versi pertama): untuk masing-masing

n , misalkan P n adalah pernyataan tentang

n . Anggap

bahwa

a) P 1 adalah pernyataan benar,

b) untuk setiap k , jika P k adalah pernyataan benar

maka P k 1 adalah pernyataan benar,

Maka itu, P n adalah pernyataan benar untuk semua n .

4) Prinsip induksi matematika (versi kedua): misal 0n dan misal

P n adalah pernyataan untuk masing-masing bilangan asli

0n n . Anggap bahwa

a) pernyataan 0P(n ) adalah benar,

b) untuk semua 0k n , kebenaran P k berakibat pada

kebenaran P k 1 .

Maka itu, P n benar untuk semua 0n n .

5) Prinsip induksi kuat: misal S adalah himpunan bagian dari

sehingga

a) 1 S ,

b) untuk setiap k , jika 1,2, ,k S maka k 1 S .

Maka S . 6) Himpunan kosong dikatakan mempunyai 0 anggota.

7) Jika n , sebuah himpunan S dikatakan mempunyai n anggota

jika ada pemetaan bijektif dari himpunan 1,2, ,n n ke S .

RANGKUMAN


8) Sebuah himpunan S dikatakan hingga jika dia salah satu

himpunan kosong atau mempunyai n anggota untuk suatu

,n selain itu dikatakan himpunan tak hingga.

9) Jika S adalah himpunan hingga, banyak anggota dalam S adalah

bilangan tunggal dalam .

10) Himpunan bilangan asli adalah himpunan tak hingga.

11) Jika A adalah himpunan dengan m anggota dan B adalah

himpunan dengan n anggota dan jika A B maka A Bmempunyai m n anggota.


himpunan dengan 1 anggota maka \A C adalah himpunan dengan

1m anggota.

13) Jika C adalah himpunan tak hingga dan B adalah himpunan

hingga maka \C B adalah himpunan tak hingga.

14) Anggap bahwa T dan S adalah himpunan-himpunan sehingga

T S .

a) Jika S himpunan hingga, T himpunan hingga.

b) Jika T himpunan tak hingga, S himpunan tak hingga.

15) Sebuah himpunan S dikatakan denumerable (contably infinite)

jika ada pemetaan bijektif dari pada S .

16) Sebuah himpunan S dikatakan terhitung jika salah satu hingga

atau denumerable, selain itu dikatakan tak terhitung.

17) Himpunan adalah denumerable.

18) Anggap bahwa S dan T adalah dua himpunan sehingga T S .

a) Jika S adalah himpunan terhitung, T adalah himpunan

terhitung.

b) Jika T adalah himpunan tak terhitung, S adalah himpunan

tak terhitung.

19) Pernyataan-pernyataan berikut adalah ekuivalen:

a) S adalah himpunan terhitung,

b) ada fungsi surjektif dari pada S ,

c) ada fungsi injektif dari S ke dalam .

20) Jika mA adalah himpunan terhitung untuk masing-masing m ,

sebarang gabungan 1m mA A adalah himpunan terhitung.

21) Teorema Cantor: jika A sebarang himpunan, tidak ada pemetaan

surjektif dari A pada himpunan ρ A dari semua himpunan

bagian A .

⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.55

1) Pada pinsip induksi matematika, misal S merupakan himpunan bagian

bilangan asli yang mempunyai sifat berikut:

a) bilangan 1 S ,

b) untuk setiap k , jika k S maka 1k S . Dapat Anda

simpulkan bahwa ….

A. 1,2, , 1S k untuk suatu k

B. 1, , 1S k k untuk suatu n

C. 1,2, ,S n untuk suatu n

D. 𝑆 = {1,2,3, … }

2) Rumus dari penjumlahan 1 1 1

1.2 2.3 1n n untuk semua n

adalah ….

A. 1

.2

n

B. 1

n

n

C. 1

3

n

n

D. 1

1n n

3) Rumus dari penjumlahan3 3 3

1 2 ... n+ + + untuk semua 𝑛 ∈ ℕ adalah ….

A. 3n

B. 1

12

n n

C.

21

12

n n

D. 2 2 2n n

TES FORMATIF 2

Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!


4) Ketaksamaan 2 !n n berlaku untuk ….

A. semua n

B. semua 4,n n

C. hanya beberapa nilai belangan riil

D. bukan permasalahan prinsip induksi matematika

5) Ketaksamaan 22 3 2nn untuk semua 5,n n dapat Anda

buktikan dengan ….

A. bukan permasalahan prinsip induksi matematika

B. prinsip induksi matematika versi pertama

C. prinsip induksi matematika versi kedua

D. prinsip induksi matematika

6) Di antara pernyataan berikut ini yang benar untuk bilangan asli

adalah….

A. himpunan bilangan asli adalah himpunan tak terhitung

B. himpunan bilangan asli adalah himpunan tak hingga

C. himpunan bilangan asli adalah himpunan tak tentu

D. himpunan bilangan asli adalah himpunan hingga


himpunan dengan n anggota, yaitu n m , maka himpunan \A C

mempunyai anggota sebanyak ….

A. 0

B. 1m

C. 2m

D. m n

8) Sebuah himpunan S dikatakan denumerable (contably infinite) jika ….

A. ada pemetaan injektif dan surjektif dari pada S

B. ada pemetaan surjektif dari pada S

C. S adalah himpunan tidak terhitung

D. S adalah himpunan tak hingga

⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.57

9) Misal A adalah himpunan hingga dan B adalah himpunan terhitung. Di

antara jawaban berikut ini yang paling tepat untuk himpunan A Badalah ….

A. denumerable

B. tak terhitung

C. terhitung

D. hingga

10) Misal A adalah suatu himpunan sehingga ada pemetaan injektif dari A

ke himpunan bilangan asli . Pernyataan berikut ini yang paling tepat

untuk himpunan A adalah ….

A. ada fungsi bijektif dari pada S

B. A adalah himpunan tak hingga

C. A adalah himpunan terhitung

D. A adalah himpunan hingga

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang

terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.

Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan

Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.

Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali

80 - 89% = baik

70 - 79% = cukup

< 70% = kurang

Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat

meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%,

Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang

belum dikuasai.

Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar

×100%Jumlah Soal


Kunci Jawaban Tes Formatif

Tes Formatif 1

1) C

Untuk menentukan himpunan A , mula-mula Anda faktorkan seperti

berikut. 2 2 0x x 1 2 0x x

Oleh karena itu, Anda peroleh 1,0,1,2A

Demikian juga untuk menentukan himpunan B , 2 1 0x

1 1 0x x .

Oleh karena itu, Anda peroleh , 3, 2, 1,1,2,3,B .

Jadi, 1,1,2A B

2) A

Berdasarkan jawab nomor 1, Anda peroleh 0,1, 1,2, 2,A B .

3) C

Berdasarkan jawab nomor 1, Anda peroleh \ 0A B .

4) D

Berdasarkan jawab nomor 1, Anda peroleh

, 4, 3, 2,3,4,5,A B .

5) B

Anda buktikan seperti berikut.

x A x A atau x B , tetapi x B

i x A dan x B atau (ii) x A , tetapi x B

x A B atau \x A B

\x A B A B

6) B

Anda buktikan bahwa A B A B , seperti berikut.

C CA B A B A B B A A B

C CA B A B B A A B

⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.59

C CA B B B A A

7) C

Masing-masing anggota A mempunyai pasangan tepat satu unsur di B .

8) D

Sudah jelas.

9) A

12 1 2 1 1

2g f x g f x g x x x

dan 1 1

( 1 2 1 12 2

f g x f g x f x x x

10) C 3 3 31 2 1 1 2 1f g x f g x f x x x

Tes Formatif 2

1) D

Berdasarkan prinsip induksi matematika, dapat Anda simpulkan bahwa

S . Hal ini sama artinya jika Anda menyatakan bahwa

1,2,3,S .

2) B

Untuk memeriksanya, Anda masukkan untuk beberapa nilai n , misalkan

1,2,3,4n . Untuk membuktikannya, Anda gunakan prinsip induksi

matematika.

3) C

Untuk memeriksanya, Anda masukkan beberapa nilai n , misalkan

1,2,3,4n . Untuk membuktikannya, Anda dapat menggunakan prinsip

induksi matematika.

4) B

Untuk memeriksanya, Anda dapat memasukkan beberapa nilai n ,

misalkan 1,2,3,4,5,6n . Untuk membuktikannya, gunakan prinsip

induksi matematika versi dua.

5) C

Lihatlah prinsip induksi matematika versi kedua.


6) A

Lihat akibat dari teorema Cantor.

7) D

Terapkanlah hasil dari latihan pada Kegiatan Belajar 2 soal nomor 8

secara berulang.

8) A

Lihat Definisi 1.15, yaitu sebuah himpunan S dikatakan denumerable

(contably infinite) jika ada pemetaan bijektif dari pada S . Bijektif

pada definisi ini berarti surjektif dan injektif.

9) C

Karena A adalah himpunan hingga maka A adalah himpunan terhitung.

Oleh karena itu, A B adalah gabungan dua himpunan terhitung. Jadi,

A B adalah himpunan terhitung.

10) C

Lihatlah Teorema 1.9.

⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.61

Daftar Pustaka

Bartle, Robert G., dan Donald R. Sherbert. 2011. Introduction to Real

Analysis. Edisi keempat. New Jersey: John Wiley & Sons, Inc.

Larson, Lee. 2013. “Notes on Real Analysis.” Online.

Lebl, Jirí. 2011. Introduction to Real Analysis. San Francisco, California:

Creative Commons.

Mabizela, Sizwe. 2009. Real Analysis Notes. Rhodes University: Department

of Mathematics (Pure & Applied).

Trench, William F. 2003. Introduction to Real Analysis. New Jersey: Pearson

Education.

Ziemer, William P. tt. Modern Real Analysis. Indiana: Department of

Mathematics, Indiana University Bloomington.

Sekilas tentang Teori Himpunan - pustaka.ut.ac.id · Modul 1 Sekilas tentang Teori Himpunan Dr. Susiswo, M.Si. PENDAHULUAN impunan merupakan konsep dalam dari matematika. Semua pembahasan

Documents