Home >Documents >Sekilas tentang Teori Himpunan - .Modul 1 Sekilas tentang Teori Himpunan Dr. Susiswo, M.Si....

Sekilas tentang Teori Himpunan - .Modul 1 Sekilas tentang Teori Himpunan Dr. Susiswo, M.Si....

Date post:10-Aug-2019
Category:
View:221 times
Download:2 times
Share this document with a friend
Transcript:
  • Modul 1

    Sekilas tentang Teori Himpunan

    Dr. Susiswo, M.Si.

    impunan merupakan konsep dalam dari matematika. Semua

    pembahasan cabang matematika dimulai dari himpunan. Pada Modul 1,

    Anda akan belajar sekilas tentang teori himpunan yang meliputi materi

    aljabar himpunan, induksi matematika, dan himpunan tak hingga. Materi

    himpunan yang Anda pelajari pada modul ini akan sangat bermanfaat untuk

    kesuksesan Anda pada modul-modul berikutnya. Oleh karena itu, pada modul

    ini, Anda dituntut untuk belajar secara tekun, teliti, dan kritis.

    Kompetensi umum yang diharapkan setelah mempelajari modul ini

    adalah Anda diharapkan dapat memahami konsep aljabar himpunan, fungsi,

    induksi matematika, dan himpunan tak hingga. Adapun kompetensi khusus

    yang diharapkan adalah Anda dapat

    1. menjelaskan kesamaan dua himpunan;

    2. menjelaskan operasi dua himpunan;

    3. menjelaskan fungsi sebagai pasangan berurutan;

    4. menjelaskan bayangan lansung dan bayangan invers;

    5. menjelaskan jenis-jenis suatu fungsi (injektif, surjektif, dan bijektif);

    6. menjelaskan invers suatu fungsi;

    7. menjelaskan komposisi fungsi;

    8. membuktikan pernyataan yang diberikan dalam suku-suku bilangan asli

    dengan induksi matematika;

    9. menjelaskan himpunan hingga;

    10. menjelaskan himpunan tak hingga;

    11. menjelaskan himpunan terhitung;

    12. menjelaskan himpunan tak terhitung.

    H

    PENDAHULUAN

  • 1.2 Pengantar Analisis Riil ⚫

    Kegiatan belajar pada Modul 1 ini dibagi menjadi dua, yaitu Kegiatan

    Belajar 1 dan Kegiatan Belajar 2. Pada Kegiatan Belajar 1, Anda akan belajar

    materi aljabar himpunan dan fungsi. Pada Kegiatan Belajar 2, Anda akan

    belajar materi induksi matematika dan himpunan tak hingga.

    Untuk memantapkan pengetahuan yang Anda peroleh, silakan mencoba

    menyelesaikan latihan tanpa melihat penyelesaiannya terlebih dahulu.

    Dengan demikian, Anda akan dapat mengukur pemahaman yang Anda

    peroleh dari mempelajari uraian materi. Jika Anda menemui kesulitan, Anda

    dipersilakan untuk melihat penyelesaian atau mendiskusikannya dengan

    teman atau tutor Anda. Cobalah sekali lagi menyelesaikan latihan menurut

    Anda sendiri, usahakan sedapat mungkin Anda mencari alternatif

    penyelesaian yang lebih sederhana.

  • ⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.3

    Kegiatan Belajar 1

    Aljabar Himpunan dan Fungsi

    A. ALJABAR HIMPUNAN

    Pembahasan tentang aljabar himpunan ini akan dimulai terlebih dahulu

    dengan pengertian anggota suatu himpuanan. Misalnya, A menyatakan suatu

    himpunan maka x anggota A dinyatakan sebagai x A . Sebaliknya, jika x

    bukan anggota A dinyatakan sebagai x A .

    Gambar 1.1

    Empat Kemungkinan Keanggotaan Himpunan

    Perhatikan Gambar 1.1. Pada tersebut, terdapat dua himpunan A dan B .

    Jika x adalah anggota, Anda akan mendapatkan empat kemungkinan berikut.

    1. x A dan x B 2. x A dan x B

    3. x A dan x B

    4. x A dan x B

    Perhatikan kembali Gambar 1.1 dan empat kemungkinan di atas. Jika

    kemungkinan (2) tidak ada, akan berlaku pernyataan bahwa jika x A maka

    x B . Anda dapat juga mengatakan bahwa A termuat di B atau B memuat

    A . Secara matematika, pernyataan tersebut dapat Anda nyatakan bahwa A

    himpunan bagian dari B dan Anda tulis sebagai berikut.

    atau A B B A

  • 1.4 Pengantar Analisis Riil ⚫

    Selanjutnya, jika ada anggota B yang tidak termuat di A , Anda katakan

    bahwa A himpunan bagian sejati dari B dan Anda tulis sebagai A B .

    Pernyataan A B tidak secara otomatis bahwa B A . Jika Anda

    perhatikan kembali Gambar 1.1 dalam kasus kemungkinan (2), tetapi (3)

    tidak ada, Anda akan memperoleh hubungan tersebut, yaitu B A . Dalam

    hal himpunan A dan himpunan B mempunyai hubungan jika A B berakibat

    bahwa B A , Anda mengatakan bahwa dua himpunan A dan B sama.

    Berikut ini akan Anda pelajari tentang definisi kesamaan dua himpunan.

    Definisi 1.1

    Dua himpunan adalah sama jika mereka memuat anggota-anggota yang

    sama, ditulis .A B

    Berikutnya adalah salah satu cara penulisan himpunan yang akan sering

    Anda jumpai pada pembahasan-pembahasan berikutnya. Penulisan ini

    menggunakan sifat dari keanggotaan himpunan tersebut, yaitu

    : ( )x P x

    yang berarti bahwa himpunan dari semua anggota x yang mempunyai sifat

    P benar. Anda dapat pula membacanya sebagai “himpunan semua x

    sehingga ( )P x ”. Penulisan lain dalam hal penggunaan sifat himpunan ini

    adalah

    : ( )x S P x

    yang berarti bahwa himpunan bagian dari S yang mempunyai sifat P benar.

    Beberapa himpunan khusus mempunyai simbol baku seperti berikut.

    Simbol := berarti simbol di sebelah kiri didefinisikan di sebelah kanan.

    (i) Himpunan bilangan asli : 1, 2, 3, ...N .

    (ii) Himpunan bilangan bulat : 0, 1,-1,2,-2, ...Z .

    (iii) Himpunan bilangan rasional : : , , 0m n

    Q m n Z .

    (iv) Himpunan bilangan riil R , himpunan ini akan Anda kaji lebih

    mendalam pada Modul 2.

  • ⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.5

    Contoh 1.1

    1, 2, 3, ...N menyatakan himpunan bilangan asli dan

    2: 3 2 0A x N x x menyatakan himpunan bilangan asli yang

    memenuhi persamaan yang diberikan. Anda tahu bahwa penyelesaian

    persamaan kuadrat 2 3 2 0x x adalah 1x dan 2x . Oleh karena itu,

    himpunan tersebut sama dengan himpunan 1,2B .

    Pembahasan selanjutnya adalah suatu cara yang dapat Anda gunakan

    untuk mengonstruksi himpunan baru dari himpunan-himpunan yang

    diberikan. Anda mulai dengan definisi tentang irisan dua himpunan berikut.

    Definisi 1.2

    Jika diberikan dua himpunan A dan B , irisan dari dua himpunan

    tersebut adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota

    himpunan A dan himpunan B . Irisan dua himpunan A dan B disimbolkan sebagai A B .

    Jika Anda menuliskan irisan kedua himpunan ini menggunakan sifat

    himpunan yang telah Anda pelajari sebelumnya, Anda dapat menuliskannya

    sebagai berikut.

    : danA B x x A x B

    Lebih jelas tentang irisan dua himpunan A dan B , dapat Anda lihat

    pada Gambar 1.2 berikut.

    Gambar 1.2

    Irisan Dua Himpunan A dan B

  • 1.6 Pengantar Analisis Riil ⚫

    Contoh 1.2

    menyatakan himpunan bilangan riil.

    2: 4 3 0A x x x dan 2: 7 10 0B x x x

    Tentukan A B .

    Penyelesaian

    Langkah-langkah yang Anda gunakan pada penyelesaian pertidaksamaan

    pada mata kuliah Matematika Dasar dapat Anda gunakan untuk menentukan

    himpunan A dan B . Oleh karena itu, Anda akan mendapatkan

    :1 3A x X

    dan

    : 2 5B x x

    Jadi, Anda memperoleh berikut ini.

    : 2 3A B x x

    Definisi 1.3

    Jika diberikan dua himpunan A dan B , gabungan dari dua himpunan

    tersebut adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota

    himpunan A atau himpunan B atau kedua himpunan A dan B . Gabungan

    dua himpunan A dan B disimbolkan sebagai A B .

    Seperti halnya pada irisan, pada gabungan dua himpunan ini, Anda dapat

    menuliskannya menggunakan sifat himpunan yang telah Anda pelajari

    sebelumnya seperti di bawah ini.

     : atauA x x A x B =  

    Lebih jelas tentang gabungan dua himpunan A dan B , dapat Anda lihat

    pada Gambar 1.3 berikut.

  • ⚫ PEMA4423/MODUL 1 1.7

    Gambar 1.3

    Gabungan Dua Himpunan A dan B

    Contoh 1.3

    Ulangi Contoh 1.2 untuk menentukan gabungan dua himpunan A dan B yaitu A B

    Penyelesaian

    Dari Contoh 1.2, Anda telah mempunyai penyelesaian untuk himpunan

    A dan B seperti berikut ini.

     :1 3A x x=    dan

     : 2 5B x x=   

    Oleh karena itu Anda peroleh gabungan dua himpunan tersebut, yaitu

     :1 5A B x x =   

    Pada pembahasan sebelumnya, Anda telah mendapatkan bahwa irisan

    dan gabungan dua himpunan adalah sebuah himpunan. Dalam hal irisan dua

    himpunan, Anda mungkin mendapatkan dua himpunan yang irisannya tidak

    mempunyai anggota. Sebagai contoh, jika

     :1 3A x x=    dan  : 4 6B x x=    , irisan dua

  • 1.8 Pengantar Analisis Riil ⚫

    himpunan tersebut tidak mempunyai anggota. Kasus ini mengantar Anda

    pada definisi berikut ini.

    Definisi 1.4

    Sebuah himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut himpunan

    kosong disimbolkan sebagai .

    Definisi 1.5

    Dua himpunan yang irisannya himpunan kosong disebut dua himpunan

    yang saling asing.

    Oleh karena itu dua himpunan A dan B pada pembahasan di atas adalah dua himpunan yang saling asing, karena A B

    Teorema berikut ini merupakan teorema dari sifat aljabar pada operasi

    himpunan yang telah Anda peroleh pada pembahasan di atas. Bukti dari

    sebagian teorema tersebut dijadikan sebagai latihan.

    Teorema 1.1

    Misalnya, , ,A B dan C adalah tiga himpunan sebarang. Maka

    (a) , ,A

Embed Size (px)
Recommended