Home >Documents >[Rosyid] Mekanika Klasik

[Rosyid] Mekanika Klasik

Date post:31-Dec-2014
Category:
View:190 times
Download:71 times
Share this document with a friend
Transcript:

Mekanika Klasik, M.F.Rosyid 1 Bab 1 Berbagai Sistem Koordinat Baku 1. Sistem Koordinat Kartesius 1.1. Batasan : Sumbu z Sumbu x Sumbu y x y z P(x, y, z) (a) Putar kanan Sumbu z Sumbu y Sumbu x y x z (x, y, z) (a) Putar kiri Mekanika Klasik, M.F.Rosyid 21.2. Permukaan-permukaan Koordinat (a) Persamaan x = b menentukan himpunan yang beranggotakan semua titik dalam ruang yang memiliki proyeksi ke sumbu x di x = b. Jadi, himpunan yang dimaksud adalah {(x,y,z)| x = b}. Himpunan ini tidak lain adalah bidang yang memotong sumbu x secara tegak lurus di titik (b, 0, 0). (b) Persamaan y = c menentukan bidang yang memotong sumbu y secara tegak lurus di titik (0,c,0). Sumbu x Sumbu y Sumbu z (b,0,0) Sumbu x Sumbu y Sumbu z (0,c,0) Mekanika Klasik, M.F.Rosyid 3 (c) Pernsamaan z = d menentukan bidang yang memotong sumbu y secara tegak lurus di z = d. 1.3. Permukaan-permukaan Yang Lain Setiap persamaan dengan peubah x, y dan z yang berbentuk f(x, y, z) = 0 menentukan sebuah permukaan dalam ruang tiga dimensi yang dibentang oleh x, y dan z. Contoh : Persamaan x2 + y2 a2 = 0 menentukan letak titik-titik dalam ruang sedemikian rupa sehingga koordinat x dan y titik-titik itu memenuhi persamaan itu. Persamaan itu dapat diubah menjadi x2 + y2 = a2. Suku x2 + y2 tidak lain menyatakan kuadrat jarak titik-titik yang dimaksud dari sumbu z. Jadi, persamaan x2 + y2 a2 = 0 menentukan letak titik-titik dengan jarak sejauh |a| dari sumbu z. Jadi, titik-titik itu terletak pada selongsong sebuah silinder yang panjangnya tak terhingga dan terletak membujur sepanjang sumbu z dengan sumbu z sebagai sumbu silinder itu (lihat gambar berikut). Sumbu x Sumbu y Sumbu z (0,0,d) Mekanika Klasik, M.F.Rosyid 4 1.4. Kurva-kurva Sistem persamaan yang tersusun atas dua persamaan yang berbentuk f1(x, y, z) = 0 dan f2(x, y, z) = 0, menentukan sebuah kurva dalam ruang tiga dimensi yang dibentang oleh x, y dan z. Kurva yang dimaksud adalah perpotongan antara permukaan yang ditentukan oleh f1(x, y, z) = 0 dan permukaan yang ditentukan oleh f2(x, y, z) = 0. Contoh : Sistem persamaan x2 + y2 a2 = 0 dan z = b, dengan a dan b bilangan-bilangan riil, menentukan sebuah kurva yang berupa sebuah lingkaran mendatar berpusat di titik (0,0,b) dengan jari-jari |a|. Lingkaran itu merupakan perpotongan antara silinder x2 + y2 a2 = 0 dan bidang datar z = b (lihat gambar di bawah). a Mekanika Klasik, M.F.Rosyid 5 1.5. Pertanyaan-pertanyaan : 1. Permukaan macam apa yang ditentukan oleh persamaan x + 2y = 0? 2. Permukaan macam apa yang ditentukan oleh persamaan bx2 + cy2 = a, dengan a, b, dan c bilangan-bilangan riil? 3. Kurva macam apa yang ditentukan oleh sistem persamaan z = d dan x = b? 4. Kurva macam apa yang ditentukan oleh sistem persamaan x2 + y2 = a dan z = b, dengan a dan b bilangan-bilangan riil? a bidang z = b silinder x2 + y2 a 2 = 0 Mekanika Klasik, M.F.Rosyid 62. Sistem Koordinat Kulit Bola 2.1. Batasan : Sumbu z Sumbu x Sumbu y P(r, , ) r Sumbu z Sumbu x Sumbu y x y z P(r, , ) r x = r sin cos y = r sin sin z = r cos Mekanika Klasik, M.F.Rosyid 72.2. Permukaan-permukaan Koordinat (a) Jika a suatu bilangan riil tak negatif, maka persamaan r = b menentukan sebuah himpunan yang beranggotakan titik-titik dalam ruang yang jaraknya dari titik pangkal sebesar b. Himpunan titik semacam ini tidak lain adalah permukaan/kulit bola yang berpusat di titik pangkal dan berjari-jari b. (b) Jika c suatu bilangan riil dengan 0 c , maka persamaan = c menentukan himpunan yang beranggotakan titik-titik dalam ruang yang terletak pada permukaan kerucut dengan puncak di titik pangkal dan sudut puncak sebesar c. bc Sumbu z Mekanika Klasik, M.F.Rosyid 8 (c) Jika d suatu bilangan riil dengan 0 d 2, maka persamaan = d menentukan himpunan yang beranggotakan titik-titik dalam ruang yang terletak pada bidang yang vertikal yang membentuk sudut sebesar d dengan bidang xz. 2.3. Pertanyaan-pertanyaan : 1. Permukaan macam apa yang ditentukan oleh persamaan r + 2 = 0? 2. Permukaan macam apa yang ditentukan oleh persamaan + 3 = ? 3. Jika c suatu bilangan riil dengan 0 c , kurva macam apa yang ditentukan oleh sistem persamaan r = b dan = c? 4. Jika c dan d bilangan-bilangan riil dengan 0 c dan 0 d 2, kurva macam apa yang ditentukan oleh sistem persamaan = c dan = d? 5. Jika d bilangan riil dengan 0 d 2, kurva macam apa yang ditentukan oleh sistem persamaan r = b dan = d? d Sumbu x Sumbu z Sumbu y Mekanika Klasik, M.F.Rosyid 93. Sistem Koordinat Silinder 3.1. Batasan : Sumbu z Sumbu x Sumbu y x y z P(, , z) x = cos y = r sin z = z Sumbu z Sumbu x Sumbu y P(, , z) z Mekanika Klasik, M.F.Rosyid 103.2. Pertanyaan-pertanyaan : 1. Jika b sebuah bilangan riil tak negatif, maka permukaan macam apa yang ditentukan oleh persamaan = b. 2. Jika d bilangan riil dengan 0 d 2, permukaan macam apa yang ditentukan oleh persamaan = d? 3. Jika b sebuah bilangan riil tak negatif dan d bilangan riil dengan 0 d 2, kurva macam apa yang ditentukan oleh sistem persamaan = b dan = d? 4. Sistem Koordinat Sferoid Lonjong Bila sebuah elips diputar pada sumbu panjangnya, maka permukaan yang disapu oleh elips itu berupa bangun dua dimensi yang disebut sferoida lonjong (ingat bola rugby?). Sistem koordinat ini dinamakan sistem koordinat sferoid lonjong berhubung salah satu permukaan koordinatnya (u = konstanta) berbentuk sferoida lonjong. Dalam sistem koordinat ini setiap titik dalam ruang ditandai oleh tiga bilangan (u, v, ), dengan 0 u , 0 v dan 0 2. Suatu titik P yang memiliki koordinat (x, y, z) dalam suatu sistem koordinat kartesius, memiliki koordinat (u, v, ) sedemikian rupa sehingga x = a sinh u sin v cos y = a sinh u sin v sin z = a cosh u cos v, dengan a suatu bilangan riil positif. 4.1 Permukaan-permukaan koordinat Jika b suatu tetapan dengan 0 b , maka persamaan u = b mengakibatkan x = a sinh b sin v cos = B sin v cos , y = a sinh b sin v sin = B sin v sin , z = a cosh b cos v = A cos v, dengan B = a sinh b dan A = a cosh b. Jelas sekali bahwa B A. Oleh karena itu, berlaku . 1222222= + +AzByBx Ini adalah persamaan sferoid lonjong dengan sumbu pendek B dan sumbu panjang A. Mekanika Klasik, M.F.Rosyid 11 Jika c suatu tetapan dengan 0 c , maka persamaan v = c mengakibatkan x = a sinh u sin c cos = B sinh u cos , y = a sinh u sin c sin = B sinh u sin , z = a cosh u cos c = A cosh u, dengan A = a cos c dan B = a sin c. Dari persamaan-persamaan itu diperoleh 1' ' '222222= ByBxAz. Ini adalah persamaan hiperbolaida berdaun ganda. 4.2 Pertanyaan-pertanyaan 1. Permukaan macam apa yang ditentukan oleh persamaan = d, jika d suatu tetapan? 2. Jika 0 b dan 0 c , Kurva macam apa yang ditentukan oleh sistem persamaan u = b dan v = c? sumbu x sumbu y sumbu y sumbu x sumbu z Mekanika Klasik, M.F.Rosyid 125. Sistem Koordinat Sferoid Pepat Bila sebuah elips diputar pada sumbu pendeknya, maka permukaan yang disapu oleh elips itu berupa bangun dua dimensi yang disebut sferoida pepat (ingat bola bumi?). Sistem koordinat ini dinamakan sistem koordinat sferoid pepat berhubung salah satu permukaan koordinatnya (u = konstanta) berbentuk sferoida pepat. Dalam sistem koordinat ini setiap titik dalam ruang ditandai oleh tiga bilangan (u, v, ), dengan 0 u , 0 v dan 0 2. Suatu titik P yang memiliki koordinat (x, y, z) dalam suatu sistem koordinat kartesius, memiliki koordinat (u, v, ) sedemikian rupa sehingga x = a cosh u sin v cos y = a cosh u sin v sin z = a sinh u cos v, dengan a suatu bilangan riil positif. 5.1 Permukaan-permukaan koordinat Jika b suatu tetapan dengan 0 b , maka persamaan u = b mengakibatkan x = a sinh b sin v cos = A sin v cos , y = a sinh b sin v sin = A sin v sin , z = a cosh b cos v = B cos v, dengan A = a cosh b dan B = a sinh b. Jelas sekali bahwa B A. Oleh karena itu, berlaku . 1222222= + +BzAyAx sumbu y sumbu x sumbu z Mekanika Klasik, M.F.Rosyid 13 Ini adalah persamaan sferoid pepat dengan sumbu pendek B dan sumbu panjang A. Jika c suatu tetapan dengan 0 c , maka persamaan v = c mengakibatkan x = a cosh u sin c cos = B cosh u cos , y = a cosh u sin c sin = B cosh u sin , z = a sinh u cos c = A sinh u, dengan A = a cos c dan B = a sin c. Dari persamaan-persamaan itu diperoleh 1' ' '222222= +AzByBx. Ini adalah persamaan hiperbolaida berdaun tunggal. 5.2 Pertanyaan-pertanyaan 1. Permukaan macam apa yang ditentukan oleh persamaan = d, jika d suatu tetapan? 2. Jika 0 b dan 0 c , Kurva macam apa yang ditentukan oleh sistem persamaan u = b dan v = c? 3. Jika 0 d 2 dan 0 c , kurva macam apa yang ditentukan oleh sistem persamaan v = c dan = d? sumbu x sumbu y Mekanika Klasik, M.F.Rosyid 144. Jika 0 d 2 dan 0 b , kurva macam apa yang ditentukan oleh sistem persamaan u = b dan = d? 6. Sistem Koordinat Silinder Eliptik Silinder eliptik adalah silinder dengan penampang berupa elips. Dalam sistem koordinat silinder eliptik, sebuah titik dalam ruang ditandai dengan tiga bilangan riil (u, v, z), dengan 0 u , 0 v , dan z . Bila sua

Embed Size (px)
Recommended