Home >Documents >RELASI - .tiga buah fungsi f,g dan h yang dapat dikomposisikan berlakulah: (f o g ) o h=f o (g o

RELASI - .tiga buah fungsi f,g dan h yang dapat dikomposisikan berlakulah: (f o g ) o h=f o (g o

Date post:11-Mar-2019
Category:
View:216 times
Download:0 times
Share this document with a friend
Transcript:

RELASI

Produk Cartesius Relasi Relasi Khusus

Produk Cartesius

Jika A dan B masing-masing menyatkan himpunan yang tidak kosong, maka produk Cartesius himpunan A dan B adalah himpunan semua pasangan terutut (x,y) dengan dan , ditulisAx By

}dan ),{( ByAxyxBA =

{1,2}Bdan },,{ == cbaA

)},3(),,3(),,2(),,2(),,1(),,1{(

)}2,(),1,(),2,(),1,(),2,(),1,{(

bababaAB

ccbbaaBA

=

=

Misalkan maka:

Pengertian Relasi Antara elemen-elemen dari dua buah himpunan

seringkali terdapat suatu relasi atau hubungan tertentu.Misalnya : A = { 2, 3, 5 } dan B = { 1, 4, 7, 10, 14 }

Akan kita tinjau relasi adalah faktor dari antara elemen-elemen himpunan A dengan elemen-elemen himpunan B. Tampaklah bahwa :

2 adalah faktor dari 42 adalah faktor dari 102 adalah faktor dari 145 adalah faktor dari 10

Sedangkan 3 A tidak berrelasi dengan suatuelemenpun dari himpunan B.

2

3

5

1

4

7

10

14

Diagram panahA B

Relasi tersebut jugan dapat dinyatakan sebagai himpunan pasangan terurut. Elemen dari himpunan A yang berrelasi dengan elemen dari himpunan B di susun menjadi suatu pasangan terurut, diman elemen dari A pada urutan pertama dan elemen dari B pada urutan yang kedua. Jadi kalau relasi adalah faktor dari tersebut diberi nama R, maka :R = { (2, 4), (2, 10), (2, 14), (5, 10) }

Jelaslah bahwa R A x B

Secara umum dapat dikatakan bahwa suatu reelasi dari himpunan A ke himpunan B merupakan himpunan bagian dari A X B ( produk Cartesius A dan B ).

Definisi: R adalah suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B bhb R A x B

A disebut daerah asal (domain), B disebut daerah kawan (kodomain),

RELASI KHUSUS

Bila A = B maka relasinya disebut sebagai relasi pada himpunan A.

Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi refleksif bhb setiap elemen dari A berrelasi R dengan dirinya sendiri.

R refleksif pada A bhb. ( xA). (x,x)R R non-refleksif pada A bhb. ( xA).( x,x)R R irrefleksif pada A bhb. ( xA).( x,x)R

RELASI KHUSUS

Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi simetris bhb. Untuk setiap dua elemen x dan y dalam A, bila x berrelasi R dengan y, maka y berrelasi R dengan x.

R simetris pada A bhb(x,yA).(x,y)R(y,x)R

R non- simetris pada A bhb(x,yA).(x,y)R(y,x) R

R asimetris pada A bhb(x,yA).(x,y)R (y,x) R

R antisimetris pada A bhb(x,yA).(x,y)R (y,x)R x=y

RELASI KHUSUS

relasi R pada himpunan A disebut transitif bhb. Untuk setiap tiga elemen x,y dan zA, bila x berrelasi R dengan y dan y berrelasi R dengan z , maka x berrelasi R dengan z. R transitif pada A bhb.(x,y,zA).(x,y)R ( y,z )R (x,z) R

R non-transitif pada A bhb :( x,y,z A).(x,y)R ( y,z )R (x,z)R

R intransitif pada A bhb :( x,y,z A).(x,y)R ( y,z )R (x,z)R

RELASI KHUSUS

Suatu relasi R pada himpunan A yang sekaligus bersifat refleksif,simetris dan transitif disebut relasi ekuivalensi pada A.

Definisi: Keluarga himpunan bagian yang tidakkosong dari suatu himpunan A disebut

P a r t i s i dari A bhb.1. Gabungan dari semua himpunan bagian itu

adalah himpunan A sendiri.2. Setiap dua himpunan bagian yang tidak sama

merupakan dua himpunan yang saling lepas.Jadi suatu keluarga himpunan bagian yang tidak

kosong dari himpunan A, misalnya{A1 , A2 , A3 , ..An }, adalah partisi dari A apabila1. A1 A2 A3 .. An = A2. (Ai , Aj ). Ai Aj Ai Aj =

FUNGSI

Suatu relasi antara anggota-anggota himpunan Adengan anggota-anggota himpunan B disebutFungsi. (pemetaan) bhb relasi itu mengkaitkansetiap anggota A dengan tepat satu anggotaB.

f : A B bhb. ( x A).( !y B) . y = f (x)

FUNGSI

Perhatikan bahwa suatu fungsi f dari A ke Badalah suatu relasi yang mempunyai duasifat khusus, yaitu:

1. Setiap anggota himpunan A (daerah asal)dikawankan dengan anggota himpunan B.(Seringkali dikatakan bahwa daerah asaldihabiskan )

2. Kawan dari anggota-anggota himpunan A(daerah asal) adalah tunggal. Sifat ini dapatdinyatakan secara simbolis:

( xi, xi A). x1 = x2 f (x1) = f (x2)

FUNGSI

2

3

5

1

4

7

10

14

Diagram panahA B

FUNGSI

Contoh:Misalkan A : {1, 2, 3, 4}B : {a, b, c}Terdapat fungsi f : ABa. f : {(1,a), (2,b), (3,c)} bukan fungsi

hanya relasi biasab. f : {(1,a), (1,b), (2,a), (3,b), (4,c)}

bukan fungsi hanya relasi biasac. f : {(1,a), (2,a), (3,b), (4,c)} fungsi

FUNGSI

Ada dua macam cara untuk menyajikansuatu fungsi, yaitu:

1. Cara aturan : fungsi itu disajikan dengancara menyatakan aturan yang menentukanrelasi antara angggota anggota daerahasal dengan anggota anggota daerahkawannya.Contoh :f: R R dimana f(x) = xR = himpunan semua bilangan nyata.

FUNGSI

2. Cara himpunan :Seperti halnya relasi, maka fungsi f dariA ke B dapat dipandang sebagaihimpunan bagian (khusus) dari A x B.Maka fungsi f : R R dimana f ( x ) = xdapat juga disajikan sebagai suatuhimpunan, yaitu himpunan bagian dariR x R :

F = { (x,y)|x R, y R, y = x2 }

FUNGSI

Kesamaan dua buah fungsi. Dua buah fungsi f : A B dan g : A B

dikatakan sama bila kedua fungsi itumengkaitkan anggota-anggota dari daerahasalnya dengan anggota-anggota yang samadidaerah kawannya.f = g bhb ( x A).f(x) = g(x)

Contoh :f : R R dimana f(x) = 2(x+1)(x-2)g : R R dimana g(x) = 2x2-2x-4Karena f (x ) = 2(x+1)(x-2)

= 2(x2-x-2) = 2x2-2x-4 = g(x)Maka f = g

FUNGSI-FUNGSI KHUSUS

1. FUNGSI SURJEKTIF2. FUNGSI INJEKTIF3. FUNGSI BIJEKTIF4. FUNGSI KONSTAN5. FUNGSI IDENTITAS

FUNGSI SURJEKTIF/ONTO

Suatu fungsi f : A B disebut fungsi surjektif dari A kepada (onto) B bila setiap anggota B merupakan bayangan dari suatu anggota A.

Jadi pada fungsi yang surjektif, daerah hasilnya berimpit dengan daerah kawan (atau daerah kawannya dihabiskan ).

f : A B adalah fungsi surjektif bhb ( yB) ( xA). y = f (x)bhb Rf = Bbhb ( yB) f-1 (y) =

FUNGSI SURJEKTIF

Contoh

2

3

5

7

10

Diagram panahA B

FUNGSI INJEKTIF/SATU-SATU

Suatu fungsi f : A B disebut fungsi injektif bila anggota anggota dari B merupakan bayangan dari tepat satu anggota A.

f : A B adalah fungsi injektif bhb ( x1,x2 A ). x1 x2 f(x1) f(x2) bhb ( x1,x2 A ). f(x1) = f(x2) x1 = x2

FUNGSI INJEKTIF

contoh

2

3

5

1

4

7

10

14

Diagram panahA B

FUNGSI BIJEKTIF

Suatu fungsi f : AB merupakan fungsi bijektif apabila fungsi f adalah fungsi surjektif dan sekaligus injektif.

Fungsi bijektif sering dikatakan fungsi korespondensi satu-satu.

FUNGSI BIJEKTIF

Contoh

2

3

5

7

10

14

Diagram panahA B

FUNGSI KONSTAN

Suatu fungsi f : A B disebut fungsi konstan bila bayangan semua anggota A adalah satu anggota yang sama di B.

f : A B adalah fungsi konstan bhb.( !c B)(xA).f(x) = c

Contoh:1. f(x) = 2

2

3

5

71014

2. Diagram panahA B

FUNGSI IDENTITAS

Suatu fungsi f : A B disebut fungsi indentitas bila bayangan dari setiap anggota dari A ialah dirinya sendiri.

Daerah asal dan saerah kawan dari suatu fungsi identits adalah himpunan yang sama.

f : A A adalah fungsi indentitas bhb.( xA). f(x) = x

FUNGSI IDENTITAS

CONTOH

2

3

5

2

3

5

Diagram panahA A

LATIHAN

MisalkanA : {a,b,c}B : {1,2,3}C: {x, y, z, w}D: {4,5,6}f: AB g: BC h: CDi: BDTentukan apakah fungsi berikut surjektif, injektif

atau bijektif?a. f: {(a,2), (b,1), (c,2)}b. g: {(1,y), (2,x), (3,w)}c. h: {(x,4), (y,6), (z,4), (w,5)}d. i: {(1,4), (2,6), (3,5)}

FUNGSI TERSUSUN

Dua buah fungsi yang memenuhi syarat tertentu dapatdisusun (dikomposisikan) menjadi suatu fungsi baruyang disebut fungsi tersusun (fungsi komposisi).

Misalnya kita mempunyai dua buah fungsif : A B dan g : C D di mana Rg A,

C A B

maka kedua fungsi tersebut dapat disusun menjadifungsi baru, yang disajikan dengan lambangf o g : C B

Dengan aturan ( f o g ) ( x ) = f [ g ( x ) ] ( lambang f o g dibaca f bundaran g )

f gf o g

FUNGSI TERSUSUN

CONTOH: Modul halaman 81Latihan:1. Misalkan

A : {a,b,c}B : {1,2}C: {1,2,3}D: {x, y, z, w}f: AB, f: {(a,2), (b,1), (c,2) g: CD, g: {(1,y), (2,x), (3,w)}Tentukan g o f!

2. Perhatikan fungsi f(x) = x2 + 3x + 1 dang(x) = 2x -3. Tentukan g o f (x)!

FUNGSI TERSUSUN

Sifat-sifat Komposisi Fungsi.1. Komposisi fungsi bersifat assosiatif, yaitu untuk tiap

tiga buah fungsi f,g dan h yang dapat dikomposisikan berlakulah: (f o g ) o h=f o (g o h)

2. Bila i adalah fungsi identitas, yaitu i (x) = x untuk tiap x anggota domainnya, dan i dapat dikomposisikan dengan suatu fungsi f, maka i o f = f dan f o i = f.

3. Bila f adalah fungsi bijektif, maka f o f = f o f = i dimana i adalah fungsi identitas.

Fungsi Nyata dan GrafikFungsi

Fungsi nyata ialah fungsi yang daerah asal dan daerah kawannya adalah himpunan bilangan bilangan nyata.

RELASIProduk CartesiusSlide Number 3Pengertian RelasiSlide Number 5Slide Number 6Slide Number 7RELASI KHUSUSRELASI KHUSUSRELASI KHUSUSRELASI KHUSUSSlide Number 12FUNGSIFUNGSIFUNGSIFUNGSIFUNGSIFUNGSIFUNGSIFUNGSI-FUNGSI KHUSUSFUNGSI SURJEKTIF/ONTOFUNGSI SURJEKTIFFUNGSI INJEKTIF

Embed Size (px)
Recommended