1 RELASI DAN FUNGSI Standar Kompetensi : Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan fungsi linier dan persamaan fungsi kuadrat Kompetensi Dasar : Konsep relasi fungsi, fungsi linier, fungsi kuadrat, fungsi eksponen, fungsi logaritma dan fungsi trigonometri A. Pengertian Relasi dan Fungsi Himpunan Himpunan adalah kumpulan benda-benda tertentu yang menjadi satu kesatuan karena memiliki suatu kesamaan. Contoh: himpunan buah-buahan, himpunan sayuran, himpunan bilangan asli atau himpunan anak-anak kelas XI. Benda atau objek yang termasuk dalam suatu himpunan disebut anggota himpunan atau elemen himpunan atau unsur himpunan. Suatu himpunan ditulis dengan huruf kapital, misal A, B, C. Sedang anggota hipunan ditulis dengan huruf kecil, misal a, b, c. Untuk mendefinisikan himpunan terdapat dua cara, yaitu: 1. Enumerasi atau mendaftar Contoh: A = {persegi, persegi panjang, layang-layang, belah ketupat, trapesium} B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} C = {segitiga sama sisi, segitiga sama kaki, segitiga sembarang} 2. Membangun himpunan Contoh: A = {a|a adalah bangun datar segi empat} *| + *| + C = {c|c adalah macam-macam segitiga menurut panjang sisi-sisinya} Relasi Relasi adalah hubungan antara dua elemen himpunan. Hubungan ini bersifat abstrak dan tidak perlu memiliki arti apapun baik secara konkrit maupun secara matematis. Jika R suatu relasi yang menghubungkan dengan , maka kita dapat menulisnya dengan atau . Dimana x disebut prapeta y, y disebut peta atau bayangan dari x (ditulis: y = R(x)). Himpunan A disebut daerah asal atau domain, himpunan B disebut daerah kawan atau kodomain dan himpunan yang dibentuk dari prapeta pada anggota A yang merupakan anggota himpunan B disebut daerah hasil atau range. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
RELASI DAN FUNGSI
Standar Kompetensi : Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan
fungsi linier dan persamaan fungsi kuadrat
Kompetensi Dasar : 8. Konsep relasi fungsi, fungsi linier, fungsi kuadrat, fungsi eksponen,
fungsi logaritma dan fungsi trigonometri
A. Pengertian Relasi dan Fungsi
Himpunan
Himpunan adalah kumpulan benda-benda tertentu yang menjadi satu kesatuan karena
memiliki suatu kesamaan. Contoh: himpunan buah-buahan, himpunan sayuran, himpunan
bilangan asli atau himpunan anak-anak kelas XI. Benda atau objek yang termasuk dalam
suatu himpunan disebut anggota himpunan atau elemen himpunan atau unsur himpunan.
Suatu himpunan ditulis dengan huruf kapital, misal A, B, C. Sedang anggota hipunan
ditulis dengan huruf kecil, misal a, b, c. Untuk mendefinisikan himpunan terdapat dua
cara, yaitu:
1. Enumerasi atau mendaftar
Contoh:
A = {persegi, persegi panjang, layang-layang, belah ketupat, trapesium}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
C = {segitiga sama sisi, segitiga sama kaki, segitiga sembarang}
2. Membangun himpunan
Contoh:
A = {a|a adalah bangun datar segi empat}
* | + * | +
C = {c|c adalah macam-macam segitiga menurut panjang sisi-sisinya}
Relasi
Relasi adalah hubungan antara dua elemen himpunan. Hubungan ini bersifat abstrak dan
tidak perlu memiliki arti apapun baik secara konkrit maupun secara matematis. Jika R
suatu relasi yang menghubungkan dengan , maka kita dapat menulisnya
dengan atau . Dimana x disebut prapeta y, y disebut peta atau bayangan
dari x (ditulis: y = R(x)). Himpunan A disebut daerah asal atau domain, himpunan B
disebut daerah kawan atau kodomain dan himpunan yang dibentuk dari prapeta pada
anggota A yang merupakan anggota himpunan B disebut daerah hasil atau range. Untuk
lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut.
2
Contoh
A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36} dan R relasi dari A ke B yang ditunjukkan
dengan “kuadrat dari”, maka relasi tersebut dapat digambarkan seperti diagram di bawah
ini.
Relasi tersebut memiliki
Domain : {1, 2, 3, 4, 5}
Kodomain : {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36}
Range : {1, 4, 9, 16, 25}
Latihan Soal
Gambarkan diagram panah dari relasi-relasi berikut, kemudian tentukan domai, kodomain
dan rangenya.
a. Himpunan A = {daun, langit, tanah, batu, laut, awan} dan himpunan B = {merah,
hijau, biru, kuning, putih, coklat, abu-abu} dan R merupakan relasi A ke B yang
menunjukkan “memiliki warna”
b. D = {gula, asem, garam, jamu} E = {x|x adalah macam-macam rasa} dan F
merupakan relasi dari D ke E yang menunjukkan “mempunyai rasa”
c. P = {ayam, kucing, landak, ikan}, K = {bulu, jalu, insang, sayap, sisik} dan Q
merupakan relasi P ke K yang menunjukkan “memiliki”
Fungsi
Suatu relasi disebut fungsi atau pemetaan, jika setiap anggota A berpasangan
dengan tepat satu anggota B. Perhatikan diagram-diagram panah di bawah ini.
3
Keterangan:
1. Relasi f adalah fungsi, karena setiap anggota A mempunyai pasangan tepat satu dengan
anggota B
2. Relasi g adalah fungsi, karena setiap anggota A mempunyai pasangan tepat satu
dengan anggota B, meski peta semua anggota A sama.
3. Relasi h adalah fungsi, karena setiap anggota A mempunyai pasangan tepat satu
dengan anggota B, meski terdapat anggota B yang tidak memiliki prapeta di A
4. Relasi i bukan fungsi, karena terdapat anggota A yang memiliki peta di B lebih dari
satu.
5. Relasi j bukan fungsi, karena ada anggota A yang tidak memiliki peta di B
Contoh
Gambarkan diagram panah dari fungsi-fungsi C dengan C(x) = x+1 merupakan fungsi dari
A = {0, 1, 2, 3, 4} ke B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Jawab:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Diagram panah dari fungsi di atas adalah
Semua fungsi adalah relasi, tapi tidak semua relasi adalah fungsi
Relasi R:A→B dikatakan fungsi apabila setiap anggota A memiliki pasangan
tepat satu di B. Artinya:
a. Semua anggota A harus memiliki peta di B
b. Semua anggota A memiliki peta di B hanya satu, tidak boleh lebih
c. Anggota B boleh ada yang tidak memiliki pasangan, tetapi tidak semua
d. Anggota B boleh memiliki prapeta lebih dari satu
4
Latihan Soal
1. Gambarkanlah diagram panah dari fungsi-fungsi berikut.
a. D = {x|x adalah bilangan asli kurang dari 4}, E = {y|y adalah bilangan asli kurang
dari 11} dan F merupakan fungsi dengan F(x) = x2
+ 1.
b. G = {x|x adalah bilangan cacah kurang dari 5}, H = {-2, -1, 0, 1, 2} dan I
merupakan fungsi dengan I(x) = 0
c. J ={A, B, C, D, E}, K = {badut, cinderela, elang, diana, apel, kalung} dan L
merupakan fungsi dari J ke K yang mendefinisikan inisial dari.
d. M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, N = {-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1} dan O merupakan fungsi
dengan O(x) = -x.
2. Tentukan apakah diagram-diagram panah berikut merupakan fungsi atau bukan,
jelaskan!
B. Fungsi Linier
Grafik Fungsi Linier
Fungsi ( adalah himpunan bilangan Riil) merupakan fungsi linier jika untuk
setiap berlaku f(x) = ax + b, dengan dan . Fungsi linier adalah
fungsi berderajat satu. Sehingga grafiknya merupakan garis lurus dengan persamaan
umumnya y = ax + b. Ada dua cara untuk menggambarkan grafik fungsi linier, yaitu
dengan tabel dan dengan menentukan titik potong terhadap sumbu X dan sumbu Y.
Perhatikan contoh berikut
Contoh
5
Lukiskan grafik fungsi yang ditentukan oleh fungsi ( ) .
jawab:
Cara 1 dengan Tabel
Pilih nilai X = {1, 2, 3, 4, 5}
A B C D E
x 1 2 3 4 5
y = 2x+1 3 5 7 9 11
titik (1,3) (2,5) (3,7) (4,9) (5,11)
Jika titik-titik (1,3), (2,5), (3,7), (4,9), (5,13) digambar ke dalam bidang kartesius
dan digabungkan dengan garis lurus, maka akan terbentuk garis berikut.
Menentukan titik potong terhadap sumbu X dan sumbu Y
Titik potong terhadap sumbu X (y=0)
( )
koordinat titik potongnya ( )
Titik potong terhadap sumbu Y
( )
( ) ( )
Koordinat titik potongnya (0,1)
Jika titik ( ) dan (0,1) ditarik garis, maka akan terbentuk grafik berikut.
6
Latihan Soal
1. Lukiskan grafik fungsi yang ditentukan oleh fungsi ( )
2. Lukiskan grafik fungsi yang ditentukan oleh fungsi ( )
3. Lukiskan grafik fungsi yang ditentukan oleh fungsi ( )
4. Lukiskan grafik fungsi yang ditentukan oleh fungsi ( )
5. Lukiskan grafik fungsi yang ditentukan oleh fungsi ( )
Untuk menentukan fungsi dari suatu grafik yang berbentuk garis lurus, dapat dilakukan
dengan langkah berikut.
1. Jika diketahui gradien m dan satu titik (x1,y1), persamaannya dapat ditentukan dengan
rumus ( ). Dengan gradien m adalah angka kemiringan grafik atau
koefisien arah grafik atau kemiringan grafik dengan sumbu X. Berikut merupakan
ubungan gradien terhadap dua garis
a. Jika garis g sejajar garis l, maka
b. Jika garis g tegak lurus garis l, maka atau
Contoh
a. Tentukan fungsi garis lurus yang bergradien dan melewati titik (2,3)!
Jawab:
Diketahui: garis bergradien m = 2 dan melalui titik (x1,y1) = (2,3)
Persamaannya = ( )
– = ( – )
– = –
= –
= –
Jadi, fungsi dari garis tersebut adalah ( ) –
b. Tentukan persamaan garis g yang melalui titik (1,-2) dan sejajar garis
.
Jawab:
Diketahui: garis g melewati titik (1,-2) dan sejajar
Garis
Sehingga gradien garis adalah
7
Garis g sejajar garis h sehingga
Persamaan garis g: = ( )
( ) ( )
Persamaan garis g:
2. Jika diketahui dua titik, misal (x1,y1) dan (x2,y2), persamaan dapat ditentukan dengan
rumus
Contoh
Tentukan fungsi garis lurus yang melewati titik (5,4) dan (10,8)!
Jawab:
Diketahui: garis melalui titik (x1,y1) = (5,4) dan (x2,y2) = (10,8)
Persamaannya:
=
=
=
( – ) = ( – )
= –
= –
=
Jadi, fungsi dari garis lurus tersebut adalah ( )
3. Khusus garis yang melalui titik (0,a) dan ( ), persamaan ditentukan dengan
menggunakan persamaan
Contoh
Tentukan fungsi garis lurus yang melewati titik (0,3) dan (6,0)!
Jawab:
Diketahui: garis melalui titik ( ) ( ) dan ( ) ( )
Persamaannya =
=
=
=
=
Jadi, fungsi dari garis lurus tersebut adalah ( )
Latihan Soal
1. Tentukan fungsi dari garis lurus yang melalui titik ( ) dan ( )
2. Tentukan fungsi garis yang mempunyai gradien dan melalui titik ( ).
3. Tentukan fungsi garis yang melalui titik ( ) dan ( )
Evaluasi
1. Persamaan garis yang melalui titik ( −1, 1 ) dan titik ( −2, 6 ) adalah ...
8
2. Persamaan garis k yang sejajar dengan garis l : x – 3y + 6 = 0 dan melalui titik (3 , 2)
adalah …
3. Persamaan garis yang melalui titik A (3,2 ) dan tegak lurus pada garis 3x + y + 2 =0
adalah...
C. Fungsi Kuadrat
Fungsi Kuadrat
Fungsi f merupakan fungsi kuadrat jika setiap berlaku ( )
dan .
Contoh
1. ( )
2. ( )
3. ( )
Sifat-sifat Fungsi Kuadrat
Grafik dengan fungsi kuadrat ( ) membentuk kurva dan
mempunyai sifat:
1. Grafik terbuka ke atas jika dan terbuka ke bawah jika .
2. Grafik memotong sumbu Y pada . Titik potong terhadap sumbu Y adalah ( ).
3. Titik potong dan titik singgung grafik dengan sumbu X diperoleh pada . Dengan
D adalah diskriminan dan .
Jika , maka grafik memotong sumbu X di dua titik,
Jika , maka grafik menyinggung sumbu X,
Jika , maka grafik tidak memotong sumbu X.
4. Grafik mempunyai sumbu simetri dengan persamaan
.
5. Grafik memiliki titik ekstrim, yaitu (
)
Contoh
Sifat-sifat dari grafik dengan fungsi ( ) adalah ...
Jawab:
1. Grafik terbuka ke atas, karena
2. Grafik memotong sumbu Y di titik ( ) ( )
3. .= ( ) , maka grafik memotong sumbu X
di dua titik.
( )( )
atau . Berarti titik potong terhadap sumbu X adalah ( ) dan ( )
4. Grafik mempunyai sumbu simetri dengan persamaan
9
5. Mempunyai titik ekstrim (
) (
( )
) (
)
Latihan Soal
Tentukan sifat-sifat grafik dari fungsi-fungsi di bawah ini.
1. ( )
2. ( )
3. ( )
4. ( )
5. ( )
Grafik Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat adalah fungsi yang berderajat dua, sehingga grafiknya membentuk sebuah
parabola. Untuk melukis grafik fungsi kuadrat ( ) dapat dilakukan
dengan langkah-langkah berikut.
1. Tentukan sifat-sifat pada fungsi kuadrat tersebut,
2. Tandai titik potong terhadap sumbu Y dan titik ekstrim pada bidang kartesius,
kemudian gabungkan titik-titik tersebut dengan garis.
Contoh
Lukiskan grafik fungsi ( ) !
Jawab:
Sifat-sifat grafik fungsi ( ) adalah
Kurva menghadap ke atas
Memotong sumbu Y di titik ( )
Grafik memotong sumbu X di dua titik, yaitu titik ( ) dan ( )
Titik ekstrim atau titik puncak grafik adalah (
)
Grafik fungsinya adalah
10
Latihan Soal
Lukiskan grafik dari fungsi-fungsi berikut.
1. ( )
2. ( )
3. ( )
4. ( )
5. ( )
Menentukan fungsi parabola
Untuk menentukan fungsi parabola dapat digunakan cara berikut
1. Jika diketahui tiga titik, misal titik (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3), maka persamaan parabola
dimisalkan ( ) , lalu nilai x dan y dimasukkan ke persamaan
tersebut. Akan didapat tiga persamaan dengan variabel a, b, dan c. Untuk menentukan
nilai a, b, dan c dapat digunakan cara eliminasi atau substitusi. Terakhir, substitusi nilai
a, b, dan c ke fungsi ( )
2. Jika diketahui titik potong dengan sumbu X, misal (x1,0) dan (x2,0) serta melalui
sebuah titik tertentu, misal (p,q), maka persamaan parabola dapat dilakukan dengan
cara menstubstitusi kedua titik ekstrim ke persamaan ( )( ). Setelah
itu akan didapat sebuah persamaan dengan tiga variabel, yaitu x, y, dan a. Untuk
menentukan nilai a, dapat dilakukan dengan menstubtitusi titik (p,q) ke persamaan
tersebut. Terakhir, substitusi nilai x1, x2, dan a ke persamaan semula.
3. Jika diketahui titik ekstrim (xe,ye) dan sebuah titik tertentu (p,q), maka dapat digunakan
cara menstubtitusi titik ektrim ke dalam persamaan ( ) . Untuk
menentukan nilai a, dapat digunakan dengan cara menstubtitusi titik (p,q) ke
persamaan tersebut. Terakhir, substitusi kembali nilai a, xe, dan ye ke persamaan
pertama.
Contoh
11
1. Tentukan persamaan parabola yang melalui tiga titik, yaitu titik
( ) ( ) dan ( )!
2. Tentukan persamaan parabola yang melalui tiga titik, yaitu titik ( ) ( ) dan
( )!
3. Tentukan persamaan parabola yang memiliki titik ekstrim ( ) dan melalui titik