PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/Pertemuan_5_Linear_ODE.pdf · 2019-04-08 · Maka tampilan grafiknya adalah seperti berikut ... Dimana

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

𝑣 𝑡 = 𝑡2 + 1

𝑎(𝑡) = 2𝑡

REVIEW PERSAMAAN DIFFERENSIAL

Jika diketahui persamaan kecepatan kendaraan adalah 𝑣 𝑡 = 𝑡2 + 1Maka dengan menggunakan differensial dapat dengan mudah

menentukan nilai percepatan:𝑑𝑣

𝑑𝑡= 2𝑡 + 𝐶

𝑎 = 2𝑡Maka tampilan grafiknya adalah seperti berikut

Ada garis singgung

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

MENGAPA FIRST ORDER ODE?

𝑑𝑣

𝑑𝑡= 𝑡2 + 1

𝑑𝑧

𝑑𝑡= sin(𝑡) + 1

𝑑𝑞

𝑑𝑡− 𝑐𝑜𝑠(𝑡) = sin(𝑡) + 1

Mudah diselesaikan !

Bahkan tidak perlu di selesaikan cukup

masukkan nilai t dari 0 sampai nilai

tertentu, maka grafik pasti valid!!

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

MENGAPA FIRST ORDER ODE?

𝑑𝑣

𝑑𝑡= 𝑡2𝑣 + 1

Bagaimana menyelesaikan persamaan tersebut?

Berapa nilai 𝑣 yang harus dimasukkan ?

Maka dari itu diperlukan ODE solver!

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

REVIEW - PERSAMAAN DIFFERENTIAL TERPISAH

𝑁 𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑀(𝑥)

𝑁 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑀 𝑥 𝑑𝑥

𝑁 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑀 𝑥 𝑑𝑥

Persamaan differensial terpisah adalah persamaan differensial yang dapat dituliskan dalam bentuk persamaan

seperti dibawah ini :

Validitas interval harus diperhatikan. Hindari

pembagian dengan 0, bilangan komplek, logaritma

negative atau 0

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

𝒅𝒚

𝒅𝒙+ 𝒂 𝒙 𝒚 = 𝒃(𝒙)

𝑎(𝑥) 𝑏(𝑥)

REVIEW - METODE INTEGRASI FAKTOR

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

PERSAMAAN LINEAR ODE ORDE SATU

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

PERSAMAAN LINEAR ODE ORDE SATU

Bentuk umum persamaan linear ODE orde satu :

Dimana fungsi 𝑃 dan 𝑄 adalah fungsi kontinyu dengan interval tertentu

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑄(𝑥)

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

CONTOH 1

Diketahui persamaan differensial linear berikut ini 𝑥𝑦′ +1

𝑥𝑦 = 2𝑥 untuk 𝑥 ≠ 0

𝑦′ +𝑦

𝑥= 2

𝑥𝑦′ + 𝑦 = 2𝑥𝑥𝑦′ = 2𝑥

𝑥 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥 𝑑𝑥

𝑥𝑦 = 𝑥2 + 𝑐

𝑦 = 𝑥 +𝑐

𝑥

Aturan perkalian diff

𝑥𝑦′ + 𝑦 = 𝑥𝑦′

Pemecahan dari persamaan linear ODE 𝑥𝑦′ +1

𝑥𝑦 = 2𝑥

untuk 𝑥 ≠ 0 adalah

𝑦 = 𝑥 +𝑐

𝑥

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

PLOT - MATLAB

x=0:0.1:10;

c=1;

y=x+(c./x);

figure(1);

hold on

plot(x,y,'b','LineWidth',3);

c=3;

y=x+(c./x);

plot(x,y,'r','LineWidth',3);

c=5;

y=x+(c./x);

plot(x,y,'g','LineWidth',3);

legend('c=1','c=3','c=5');

xlabel('x');

ylabel('y');

title ('Linear ODE contoh 1');

hold off

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

CONTOH 2

Cari solusi dari persamaan linear ODE

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

PLOT - MATLAB

x=0:0.1:10;

c=1;

y=2+(c.*exp(-x.^3));

figure(1);

hold on

plot(x,y,'b','LineWidth',3);

c=3;

y=2+(c.*exp(-x.^3));

plot(x,y,'r','LineWidth',3);

c=5;

y=2+(c.*exp(-x.^3));

plot(x,y,'g','LineWidth',3);

legend('c=1','c=3','c=5');

xlabel('x');

ylabel('y');

title ('Linear ODE contoh 2');

hold off

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

CONTOH 3

Cari solusi dari persamaan linear ODE

Karena y(1)=2 maka

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

PLOT - MATLAB

x=0:0.1:10;

c=1;

y=(log(x)+ c)./x;

figure(1);

hold on

plot(x,y,'b','LineWidth',3);

c=3;

y=(log(x)+ c)./x;

plot(x,y,'r','LineWidth',3);

c=5;

y=(log(x)+ c)./x;

plot(x,y,'g','LineWidth',3);

legend('c=1','c=3','c=5');

xlabel('x');

ylabel('y');

title ('Linear ODE contoh 3');

hold off

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

SOAL LATIHAN

• 𝑦′ + 2𝑦 = 2𝑒𝑥

• 𝑥𝑦′ − 2𝑦 = 𝑥2

• 𝑥𝑦′ + 𝑦 = 𝑥

•𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 2𝑥𝑦 = 𝑥2

• 𝑦′ = 𝑥 + 5𝑦

• 1 + 𝑥𝑦 = 𝑥𝑦′