Problemas Resueltos de Fisica 2

8/9/2019 Problemas Resueltos de Fisica 2

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ÍNDICE GENERAL II I

5.6. Péndulo de torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.7. Superposición de MAS en la misma dirección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.8. Superposición de dos MAS en dirección perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.9. Movimiento oscilatorio amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.10. Movimiento oscilatorio forzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.11. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6. Hidrostática 776.1. Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.2. Densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.3. Peso especifico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.4. Densidad relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.5. Presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.6. Variación de la presión en un fluido en reposo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.6.1. Líquidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.6.2. Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.7. Equilibrio de los líquidos no miscibles en los vasos comunicantes . . . . . . . . . . . . . 806.8. Fuerza ejercida sobre la pared de un recipiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.9. Principio de pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.10. Principio de Arquímedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.11. Manometro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.12. Fuerzas moleculares en los líquidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.13. Tension superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.14. Definición del coeficiente de tension superficial (σ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.15. Formación de una gota liquida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.16. Formación de una burbuja de jabón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.17. Ascenso de liquido en tubos capilares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.18. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7. Hidrodinámica 1017.1. Líneas de fluido o de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.2. Tubos de flujo o de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.3. Principio fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.4. Tipos de flujo o regimen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7.4.1. Regimen estable, permanente o estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027.4.2. Flujo uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027.4.3. Flujo rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027.4.4. Flujo laminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027.4.5. Flujo turbulento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7.5. Ecuación de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027.6. Ecuación de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037.7. Teorema de Torricelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.8. Tubo de Venturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.9. Tubo de Pitot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.10. Flujo de los fluidos viscosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067.11. Numero de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077.12. Ley de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.13. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

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ÍNDICE GENERAL IV

8. Temperatura 1198.1. Ley cero de la termodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

8.1.1. Definición de estado de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1198.1.2. Pared adiabática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

8.1.3. Pared diatérmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1198.1.4. Equilibrio térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1198.2. Concepto de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

8.2.1. Isoterma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1208.2.2. Definición de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1208.2.3. Medición de la temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

8.3. Dilatación por temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1218.4. Dilatación de líquidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

8.4.1. Variación de la densidad con la temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1238.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

9. Calor y primera ley de la termodinámica 128

9.1. Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1289.1.1. Teoría del calórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1289.1.2. Teoría cinética o energética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

9.2. Cantidad de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1299.3. Calor especifico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1299.4. Cambios de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

9.4.1. Region AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1319.4.2. Region BC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1319.4.3. Calor latente de fusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1319.4.4. Region CD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1319.4.5. Region DE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

9.4.6. Calor latente de vaporización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1319.5. Propagación del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1319.5.1. Conducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329.5.2. Conducción de calor entre dos capas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329.5.3. Flujo calorífico radial entre dos cilindros coaxiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1339.5.4. Flujo calorífico radial entre dos esferas concéntricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1349.5.5. Convección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1359.5.6. Radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

9.6. Diferencial entre calor y trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1359.7. Trabajo originados por cambios de volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1369.8. Primera ley de la Termodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1379.9. Transformación isobarica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

9.10. Transformación adiabática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1389.11. Dilatación libre o expansion en el vació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1389.12. Transformación isocora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1389.13. Teoría cinética de gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

9.13.1. Gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1399.13.2. Ley de Boyle - Mariotte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1399.13.3. Ley de Gay - Lusas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1399.13.4. Ley de Dalton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1399.13.5. Calores específicos de un gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

9.14. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

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ÍNDICE GENERAL V

10.Segunda ley de la termodinámica 14910.1. Ciclo de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14910.2. Eficiencia o rendimiento térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15110.3. Enunciado de Clausius y de Kelvin - Planck del segundo Principio de la Termodi-

namica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15110.3.1. Enunciado de Kelvin-Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15210.3.2. Enunciado de Clausius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15210.3.3. Teorema de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15210.3.4. Entropía - Procesos reversible (Teorema de Claussius) . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

10.4. Entropía y la Segunda Ley de la Termodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15410.5. Entropía y desorden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15410.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

11.Metodología 16111.1. Estrategias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16111.2. Métodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

11.3. Medios y Materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

12.Cronograma de Actividades 16212.1. Temas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16212.2. Cronograma de Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

13.Relación de Estudiantes y Asistencias 16313.1. Relación de estudiantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16313.2. Lista de Asistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Bibliografía 165

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Capítulo 2

Justificación

La practica pre-profesional contribuye a lograr el perfil del futuro profesional de la E.P. de Cien-cias Físico Matemáticas, en sus aspectos: personal, profesional y promotor de cambio social y de-

sarrollo.La practica pre-profesionales permite el logro de experiencias en las areas de desempeño do-cente, mediante la aplicación de los conocimientos y el ejercicio de habilidades y destrezas desar-rolladas en la E.P. de Ciencias Físico Matemáticas.

La practica pre-profesional tiene sustento:

1ro En la curricula flexible por competencias de la C.P. de Ciencias Físico Matemáticas 2001-2006en los reglamentos específicos que habla de las prácticas pre-profesionales en sus artículos40-48 señalan:

Art. 40

El presente reglamento se sustenta en el estatuto de la U.N.A. que contempla la realizaciónde prácticas pre-profesionales en la formación de todos los estudiantes de la universidad.

Art. 41

Los estudiantes de la Carrera Profesional de Cs.Físico Matemáticas están obligados a realizarprácticas pre-profesionales pudiendo efectuarse después de haber logrado un mínimo de170 créditos.

Art. 42

Las prácticas pre profesionales de la Carrera Profesional de Cs. Físico Matemáticas seránprácticas productivas y prácticas de investigación.

Art. 43Las prácticas productivas comprenderán prácticas pedagógicas en centros de enseñanza denivel medio superior y universidades; prácticas en centros productivos, convenio, proyectos

y otros que requieran la participación de Físicos Matemáticos.

Art. 44

Las prácticas de investigación se realizan en la U.N.A. bajo la dirección de un profesor des-ignado específicamente con este fin.

Art. 45

Las prácticas productivas de investigación tendrán una duración de un semestre académico.

Art. 46

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2. Justificación 3

Los estudiantes, después de haber cumplido con sus prácticas productivas y /o de investi-gación presentaran el informe a la institución donde se realizo y esta a su vez informarade su desarrollo a la Dirección de Carrera quien lo remitirá a la comisión de prácticas preprofesionales para su aprobación o desaprobación.

Art. 47En el caso de que la practica productiva y /o prácticas de investigación se realice en la Uni-versidad Nacional del Atiplado el practicante presentara el informe al docente a cargo, este asu vez informara su desarrollo a la Dirección de la Carrera para el visto bueno de la comisiónde prácticas Pre-profesionales.

Art. 48

Los aspectos no contemplados en el presente reglamento serán absueltos por la Comisiónde prácticas pre profesionales.

2d o En el Estatuto Universitario del Titulo VI del regimen académico y administrativo en su capit-ulo II del regimen de estudios en la facultad, cuando nos habla de los estudios en su articulo122 que señala:

Art. 122

La actividad académica en una Escuela Profesional comprende:

Formación general.

Formación básica profesional.

Formación profesional.

Investigación.

Orientación profesional.Proyección y extension universitaria

Su diseño involucra la programación curricular teórico-practica de cada asignatura; proyec-tos de investigación sobre la realidad regional, nacional y mundial; plan de actividades deproyección y extension universitaria; y un plan de prácticas pre-profesionales.Concor.: Arts.10,12, 16 y ss. Ley 23733

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Capítulo 3

Objetivos

3.1. Objetivos Generales

Las prácticas pre-profesionales tienen como objetivo poner en práctica los conocimientosadquiridos plasmándolo en la enseñanza universitaria.

3.2. Objetivos Específicos

Los objetivos específicos que se tiene para la practica desarrollada en la respectiva asignaturadesignada son:

Familiarizarse en el desempeño de la docencia universitaria.

Afianzar los conocimientos adquiridos, para resolver problemas durante la práctica pre-

profesional.

Solucionar con métodos adecuados los problemas que se presentan.

Estar siempre disponible para absolver las inquietudes de los alumnos.

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Capítulo 4

Elasticidad

4.1. Elasticidad

Se llama así a la propiedad que tiene los cuerpos, de recuperar su forma y dimensiones originalcuando la fuerza aplicada cesa de actuar. El trabajo realizado por la fuerza se transforma en energíapotencial de deformación.

4.2. Plasticidad

Cuando al cesar las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, este no recupera su forma o dimen-siones originales, parcial o totalmente. El trabajo realizado por los fuerzas parte se transforma encalor.

4.3. Deformación

Son todas las variaciones que se producen en su longitud, superficie, volumen y también deforma.

4.4. Esfuerzo

Se define como una relación entre las fuerzas entre el area de la sección transversal, su no-tación es σ

σ = F

S (4.1)

4.5. Ley de Hooke

Todo cuerpo bajo la acción de una fuerza, se deforma, esta deformación (x ) es proporcional ala fuerza (F ) que se aplica, dentro del intervalo en el cual el cuerpo se comporta elásticamente.

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4. Elasticidad 6

Figura 4.1: Ley de Hooke

4.6. Deformación longitudinal o unilateral (E )

Se define el modulo de Young (E )

E = Esfuerzo por tensión o compresión

Deformación unitaria longitudinal (4.2)

E = σ

∆ =

F

S

∆L

L 0

= F L 0

S ∆L (4.3)

Figura 4.2: Deformación por tracción

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4. Elasticidad 7

Figura 4.3: Deformación volumétrica

4.7. Deformación multilateral o volumétrica (B )

Si el cuerpo se somete iguales esfuerzos de tracción o compresión por todo los lados, entoncesel cuerpo sufrirá deformación volumétrica.

Definiremos el modulo de compresibilidad (B ) y su inversa el coeficiente de compresibilidad(χ).

B = Esfuerzo volumétrico

Deformación unitaria de volumen =

Variación de presión

Deformación unitaria de volumen (4.4)

B = ∆p

∆ =

∆p ∆V

V 0

(4.5)

χ 1

B (4.6)

4.8. Deformación por cizalladura o elasticidad de forma (η)

Esta deformación es producto de aplicar fuerzas opuestas a os caras contrarías del cuerpo,produciendose un desplazamiento de planes paralelos en la dirección de las fuerzas.

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4. Elasticidad 8

Figura 4.4: Elasticidad de forma

η = Esfuerzo cortante

Deformación cortante =

σr

φ (4.7)

σr = Fuerza tangencial

Superficie que se desplaza =

F

S (4.8)

φ = Corrimiento

Distancia entre las dos caras =

Y

L 0

(4.9)

4.9. Deformación lateral (µ)

Es cuando la muestra se estira, se observa que lateralmente sufre una contracción.Para medirla se usa el coeficiente de Poisson (µ).

µ = Contracción lateral relativa

Alargamiento longitudinal negativo (4.10)

Para el caso del cilindro de la figura

µ∆r L 0

∆L r 0(4.11)

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4. Elasticidad 9

Figura 4.5: Deformación lateral

4.10. Torsion

Es una deformación por cizalladura pura, pero no homogénea, se produce cuando se aplica un parde fuerzas (F ), en la parte superior de la barra y la sección inferior de la base esta fija. Se demuestra

que el torque aplicado es igual aτ =

πµR 4θ

2L o (4.12)

en este caso tampoco hay variación de volumen.

4.11. Energía elastica acumulada en una barra

Cuando una barra es sometida a una fuerza F de tracción , esta se alarga una distancia ∆L y eltrabajo realizado por esta fuerza, se transforma en energía elastica almacenada en la barra.

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4. Elasticidad 10

Figura 4.6: Deformación lateral

U =1

2

E V 0∆2 (4.13)

Relación entre los módulos elásticos

η = E

2(1 + µ), B =

E

3(1 − 2µ) (4.14)

4.12. Deformación volumétrica (Ley de Hooke generalizada)

4.13. Ejercicios resueltos

EJERCICIO NO4. 1 De un tubo vertical cuyo radio inferior r = 1m gotea agua. Hallar el radio de las gotas en el momento de desprenderse. Considérese que las gotas son esféricas

SOLUCIÓN

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4. Elasticidad 11

Figura 4.7: torsion

Figura 4.8: Energía elastica almacenada en una barra

F = W (i)

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4. Elasticidad 12

Figura 4.9: Deformación volumétrica

F = σ A

σ(πr 2) (ii)

W = ρg V

W = ρg

4

3πR 3

(iii)

igualando (ii)=(iii)

σπr 2 = ρg 4

3πR 3

R 3 = 34σr 2

ρg ⇒ R = 3 3

4σr 2

ρg

EJERCICIO NO4. 2 En la figura se representa dos alambre de sección uniforme A que están articu-ladas en X , Y , Z , inicialmente tiene una longitud H y están horizontales, cuando se ha aplicado ninguna carga. El peso del cable es despreciable. Si se aplica gradualmente un peso P en el punto Y .Hallar P para producir una deformación vertical v , respecto del punto Y

SOLUCIÓNSOLUCIÓN

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4. Elasticidad 13

F Y = 0

2T cos θ = P (i)

cos θ = v H 2 + v 2

(ii)

∆L = F L 0

AE , F = T

t = ∆LA E

L 0(iii)

(iii) en (i)

P = 2∆LAE

L 0cos θ

P = 2 AE H H 2 + v 2H − 1 v H 2 + v 2∆L =

L f − L 0L 0

∆L =

H 2 + v 2 − H

H

∆L =

h 2 + v 2

H − 1

EJERCICIO NO4. 3 Si el esfuerzo de corte en el acero excede aproximadamente 4 × 108N /m 2, el acero se rompe. Determinar para (a) Corte un perno de acero de 1, 0c m de diametro. (b) Hacer un hoyo de 1,0c m de diametro en una placa de acero de 0, 5cm de espesor.

SOLUCIÓN(a)

σr = F r

A ⇒ F r = σr A

A = πr 2 = πd 2

4 , F r =

σr πd 2

4(b) SOLUCIÓN

σr = F r

A ⇒ F r = σr A

A = πd l f r = σr πd l

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4. Elasticidad 14

EJERCICIO NO4. 4 A dos caras opuestas de un bloque cubico de acero de 26cm de lado se aplica fuerzas de extension opuesta de 200K g f cda una.Hallar el ángulo de cizalla y el desplazamiento relativo, el modulo de rigidez del acero vale 8,4 × 105K g f /c m 2

SOLUCIÓNSOLUCIÓN

(a)

G = σ

εs =

F / A

∆ y /h =

F / A

tanθ , tan θ = θ

θ = F

AG

(b) Si tan θ ≈ θ = ∆ y h

, ∆ y = θ h

EJERCICIO NO4. 5 Se aplican fuerzas de compresion a dos caras opuestas de un bloque rectangular de volumen V 0 = L x L y L z . La disminucion relativa de volumen es 0,0005 y la distancia relativa de la longitud del bloque es 0,001. Determinar el coeficiente de poisson del material del bloque.

SOLUCIÓNConsideremos las ecuaciones de Ley de Hooke generalizadas para el caso de compresion, se tiene.

SOLUCIÓN

εx = −1

y

σx − µ(σ y + σz )

ε y = −

1

y

σ y − µ(σz + σx )

εz = −

1

y σz − µ(σx + σ y )Fisica II


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4. Elasticidad 15

como las fuerzas están aplicadas en la dirección del eje y tenemos σx = σz = 0, reemplazamosestos valores en las ecuaciones anteriores y sumando.

εv = ∆V

V 0

= εx + ε y εz (1)

εx + ε y εz = +1

y µσ y −

σ y

y +

µσ y

y

εx + ε y εz = −1

y (1 − 2µ)σ y (2)

en la dirección y se tiene

σ y = y ε y = y ∆L y

L y , ε y =

∆L y

L y (3)

ahora (2),(3) en (1)

εV = − 1 y

(1 − 2µ)σ y = − 1 y

(1 − 2µ) (− y ε y ) Porcompresionodisminucion

εV =1

y (1 − 2µ) y ε y

εV

ε y = 1 − 2µ

µ = 1

2 1 −εV

ε y EJERCICIO NO4. 6 Sea una barra de longitud L o que al calentarla desde 0o C hasta t o C se dilata en una magnitud ∆L, si α es el coeficiente lineal del material de la barra. Para reducir la barra medi-ante un deformación elastica de compresión, en la magnitud ∆L hay que aplicar una carga σn si E es el modulo de Young del material, hallar σn .

SOLUCIÓNCuando la barra se calienta desde 0oC hasta t oC , el cuerpo se dilata una longitud:

∆L = I o αt o (1)

También se puede dilatar la barra debido a la carga σn :

E = σn /∆ = σn /(∆L /I o )∆L = σn I o /E (2)

Igualando las expresiones (1) y (2): I o αt o = σn I o /E

σn = αE t o

EJERCICIO NO4. 7 Una barra de cobre de longitud L = 1m , dispuesta horizontalmente gira alrededor de un eje vertical que pasa por su centro. ¿Con que frecuencia de rotación se despedazara la barra?

SOLUCIÓN

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4. Elasticidad 16

Sea conoce la densidad: ρC u = 8,9g /c m 3 Resistencia a la rotura: σr (C u ) = 3×108N /m 2 Cuan-do la barra gira con velocidad angular w , se tiene la fuerza centripeta para el diferencial de masad m

d F C = d m V 2

x = d m

(w x )2

x = w 2x d m , d m = ρd V = ρSd x

F C = w 2 ρS

L /20

x d x = 1

2w 2 ρS

L 2

a (1)

se ha usado d m = ρd V = ρSd x La barra gira y se rompe cuando supera la fuerza asociada a la

resistencia a la roturaF r = σr S (2)

Igualando (1) y (2)1

8w 2 ρSL 2 = σr S y w = 2πν

ν 1

πL

2σr ρ

1/2≈ 0,827 × 102RPS , ν = 82RPS

EJERCICIO NO4. 8 Al tensar un alambre de Cu , cuya sección transversal tenia 1,5m m 2 de area, se observo que el comienzo de la deformación permanente correspondía a la carga de 4,5K g f . ¿Cual

es el limite de elasticidad del material de que esa hecho el alambre?

SOLUCIÓNSegún el problema, cuando se aplica una fuerza F 1 = 4,5K g f , el alambre se estira x l ; luego ellimite de elasticidad esta dado por:

σ = F

S =

4,5 × 9,8N 1,8 × 10−6m 2 = 2,94 × 10

7N /m 2

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4. Elasticidad 17

EJERCICIO NO4. 9 Del tejado de una casa cuelga un alambre de acero de 40m de longitud y 2m m de diámetro (a)¿Que carga máximo se puede colgar de este alambre sin que llegue a romperse? (b)¿Cuanto se alarga este alambre se de el se cuelga un hombre que pesa 70K g ? (c)¿Se notara alargamien-to permanente cuando el hombre anterior suelta el alambre?. El limite de elasticidad del acero es

igual a 2,94 × 108

N /m 2

SOLUCIÓN

Se conoce d = 2 × 10−3m , L o = 40m La tension a la rotura σr (a c e r o ) = 7,85 × 108N /m 2 Limite deelasticidad: σ = 2,94 × 108N /m 2 Modulo de Young: E = 21,6 × 1010N /m 2(a) La carga maxima pedida: F = σr S

F = σr πd 24

= 7,85 × 108 N m 2

×3,14 (2 × 10−3)24

m 2 = 2469N

F = 251K g f

(b) El alargamiento solicitado ∆L = F L o /ES

∆L = 70 × 9,8 × 40

3,14 × 10−6 × 21,6 × 1010 m = 0,04m

∆L = 4c m

(c) Hallemos el esfuerzo que ejerce el hombre y lo comparamos con el limite de elasticidad.

σ = F

S =

70 × 9,83,14 × (2 × 10−3)2/4 = 2,47 × 10

8N /m 2

Se puede ver que σ < 2,94 × 108N /m 2, y como no supera el limite, la respuesta es no se notara elalargamiento.

EJERCICIO NO4.10 Entre dos paredes macizas se hallan dos barras hechas de diferentes materiales.La sección de las barras es S. sus longitudes son l 1 y l 2. Las barras se calientan en ∆t grados. Hallar las fuerzas con que las barras actúan la una sobre la otra; si los coeficientes de expansion térmica de las barras α1 y α2 y los módulos de elasticidad del material de las barras E 1 y E 2 son conocidos

(Modulo de Yoyng). La deformación de las paredes se desprecia.

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4. Elasticidad 18

SOLUCIÓN

En este problema nuevamente comparamos el alargamiento debido a la temperatura y la compre-sión debido a la elasticidad. El alargamiento debido a la temperatura en las dos barras:

∆l = ∆l 1 + ∆l 2 = α1l 1∆t o + α2l 2∆t

o (1)

La compresión de las barras, debido a la elasticidad en las dos barras:

∆l = ∆l 1 + ∆l 2 = (F l 1/SE 1) + (F l 2/SE 2) (2)

Igualando (1) y (2) y despejando F

F =

(α1l 1 + α2l 2) l 1E 1

+ l 2E 2 A ∆t o

EJERCICIO NO4.11 Una carga de 100K g f esta colgado de un alambre de acero de 1m de longitud y 1m m de radio. ¿A que es igual el trabajo de tracción del alambre?

SOLUCIÓN

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4. Elasticidad 19

Se conoceE = 21,6 × 1010N /m 2, r = 10−3m

F = 10 × 9,8N , S = πr 2 = 3,14 × (10−3)2m 2

Se sabe que el trabajo debido a la tracción del alambre esta dado por

W = 1

2ESL o ∆

2

La deformación unitaria: ∆ = F /SE reemplazando, W = 12

ESL o (F /SE )2 = L o F 2/2SE

W = 1m × (102 × 9,8N )2

2 × 3,14(10−3)2m 2 × 21,6 × 1010N /m 2

EJERCICIO NO4.12 Hallar el modulo de Poisson para el cual el volumen de un alambre no varia al alargarse

SOLUCIÓN

El volumen inicial V o = πr 2o l o , El volumen final V f = π(r o − ∆r )2(l o + ∆l ) donde el radio se acorta y la longitud se alarga. Como el volumen no varia V o = V f

πr 2o

l o =op i (r o − ∆r )2(l o + ∆l )

πr o l o = π(r 2

o l o − 2r o l o ∆r + l o ∆r 2 + r 2o ∆l − 2r o ∆l ∆r + ∆l ∆r 2)

donde los términos que poseen ∆r 2, ∆l ∆r 2 son nulos.Simplificando 2πr o l o ∆r = πr 2o ∆l , 2l o ∆r = r o ∆l como por definición µ =

∆r /r o ∆l /l o

µ = ∆r /r o

∆l /

l o

= 1

2

luego µ0,5

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4. Elasticidad 20

EJERCICIO NO4.13 Una barra de cobre de longitud l se suspende de uno de los extremos de un techo.Hallar (a) el alargamiento de la barra ∆L bajo la acción de su propio peso. (b) El incremento relativo de su volumen ( ∆V /V )

SOLUCIÓN

(a)Debemos suponer que la gravedad permanece constante por que el cambio de la gravedad escero. Como la fuerza se ejerce la barra es su propio peso, entonces tomemos un diferencial de supeso:

d p = g d m = g ρSd z

p = ρg S

l o 0

d z = ρg Sl o (1)

Por definición:

E = F /S

∆l /l o , F = ES

∆l

l o (2)

Igualando (1) y (2),

ES ∆l

l o = ρg Sl o

∆l = ρg l 2o

/E

(b) En teoría se demuestra∆V

V =

(1 − 2µ)σE

(3)

como

E = σ/(∆l /l o ), σ

E =

∆l

l o (4.15)

reemplazando (4.15) en (3):

∆V V

= (1 − 2µ) ∆l l o

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4. Elasticidad 21

EJERCICIO NO4.14 Una esfera de hierro de 20cm de diámetro y 25K g f de peso, se encuentra sus-pendida de un punto a 2,00 sobre el suelo por un alambre de 3m de longitud. El diámetro del alam-bre es 0,10cm se le comunica una oscilación al péndulo así formado de manera que el centro de la esfera, en la posición mas baja esta animado de una velocidad de 2m /s . ¿A que distancia pasara del

suelo? El modulo de Young del hierro es 1,89 × 106

K g f /c m 2

SOLUCIÓN

Las fuerzas que actúan sobre la esfera en su posición mas baja:

= T −W = F c

T = F c + W

T = m v 2

L o + ∆L + m g (1)

La fuerza que produce estiramiento ∆L es la tension.Como por definición

E = T /S

∆L /L o , T =

S E

L o ∆L (2)

reemplazando valores en (2):

T =

3,14×

(0,10)2

×1,89

×106

×9,8

×∆L

4 × 3,0 = 48466∆LN (3)de (3) en (1):

48466∆L = m v 2

L o + ∆L + m g

∆L 2 + 3∆L − 0,017 = 0∆L = 0,05m = 5c m

La esfera pasara a una distancia de 2,00 − 0,05m = 1,95 de suelo.

EJERCICIO NO4.15 (a)Calcular la extension de un alambre de acero que tiene una longitud de 2m y diámetro 1mm cuando es cargado con un peso de 10K g f si el modulo de Young para el acero es 21,6 × 1010N /m 2. (b)¿Cuanta energía se almacena al estirar el alambre?

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4. Elasticidad 22

SOLUCIÓN

(a) de la definición E = F /S ∆L /L o

, y por lo tanto ∆L = F L o E ES

reemplazando valores

∆L = 10 × 9,8 × 2

2,16 × 1010 × π(103)2/4 = 11,55 ×−4 m = 0,115c m

∆L = 0115c m

EJERCICIO NO4.16 Calcular la densidad del agua a 8K m de profundidad si su coeficiente de com-presión es χ = 4,8 × 10−10m 2/N

SOLUCIÓNPor definición del modulo de compreibilidad:

B = 1

χ = − p

∆V

V

Por tanto

∆V

V = −p χ (1)

de ρ = m V

se obtiene por derivacion∆ ρ

ρ = −∆V

V (2)

de (1) en (2)∆ ρ ρ

= 1 × 980 × 8 × 105 × 4,8 × 10−10 × 104105

= 0,038

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4. Elasticidad 23

ρ − ρo ρo

= 0,038

donde ρ = ρo (1 + 0,038) = 1,038 ρo

ρ = 1,038 × 103

K g /m 3

EJERCICIO NO4.17 (a)¿Que presión p debe actuar todas las caras de un cubo de caucho, para que su densidad aumente en el 1 por 100? (b)¿Que fuerza por area nos proporciona el alargamiento del cuboen un 10 por 100 en la dirección de un de sus aristas?. Se sabe que E = 7,2K g f /c m 2 y µ = 0,499

SOLUCIÓNEn teoría se ha deducido ∆V

V =

1−2µE

(σx + σ y + σz ) como la presión es la misma para todas las caras,se tiene:

∆V

V =

3σ

E (1 − 2µ) (1)

Además ∆V

V =

∆ ρ

ρ (2)

tomar en cuenta que σ = p = p r e s i o n De (1) y (2):

p =

∆ ρ

ρ

E

3(1 − 2µ) = 0,01 × 7,2K g f /c m 2

3(1 − 2 × 0,499) = 12K g f /c m 2

p = 12K g f /c m 2

(b)Nos pide el esfuerzo: E = σ∆

, como dato ∆ = 0,10

σ = ∆e = 0,10 × 7,2K g f /c m 2 = 0,72K g f /c m 2

σ = 0,72K g f /c m 2

EJERCICIO NO4.18 ¿Cual es la presión necesario para comprimir un cubo de hule al 90 % de su vol-umen original?. Compara este presión con la presión atmosférica. La compresibilidad del hule es de 40 × 10−11m 2/N

SOLUCIÓNPor definición: B = p

( ∆V V ) Por tanto ∆V

V = 0,10

p = B ∆V

V

= 1

40 × 10‘−11m 2/N × 0,10 = 2,5 × 108N /m 2

p = 2,5 × 108N /m 2

EJERCICIO NO4.19 La suspension de un ascensor montacargas esta construida por 4 cables iguales de acero de 1,00cm de diámetro cada uno. Cuando el suelo del ascensor se encuentra a nivel del primer piso del edificio, la longitud de los cables de suspension es de 20m. Si se introduce en el ascensor una maquina de 1000K g f . ¿a que distancia por debajo del nivel del suelo, quedara el piso del ascensor?. Se supone que el alargamiento de los cables de suspension y el E = 2 × 106K g f /c m 2

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4. Elasticidad 24

SOLUCIÓN F = 0, 4F − W = 0, F = W /4

Por definición E = F i o /S ∆l

∆l = W l o

4SE =

1000 × 204 × π (10−2)2

4 × 2×106

10−4

= 3 × 10−3m

∆l = 3m m

EJERCICIO NO4.20 El extremo superior de un cordon de goma esta fijo y las extensiones causadas por suspender varias masas M de su extremo inferior han sido medidas. Los resultados se muestran en la tabla.

Haga la grafica carga versus extension y de ella determinar el trabajo que se hace en aumentar la extension del cordon desde 7,5cm hasta 22,5c m

SOLUCIÓNPrimero hallemos la constante de elasticidad K del cirdon de goma, a partir de la pendiente de larecta (por minimos cuadrados).

K = 300 − 100

25 − 6,5 = 10,8g f /c m = 10,6 × 103d i n a s /c m

Para determinar el trabajo se usa la expresión vista en teoría:

W = F (x )d x = x 2

x 1

K x d x = 1

2

K [x 22−

x 21 ]

donde x 1 = 7,5c m y x 2 = 22,5c m por tanto W = 4,77 × 106E r g i o s

EJERCICIO NO4.21 Se aplican fuerzas de compreson dos caras opuestas de un bloque rectangular de volumen V o = a o b o c o . La disminicion relativa del volumen es 0,0004 y la dismininucion relativa de la longitud del bloque es 0,02. Hallar µ

SOLUCIÓNSe debuja en teoría

∆V

V

= (1−

2µ)σx + σ y + σz

E en este caso la fuerza se aplica a lo largo del eje X , entonces σ y = σz = 0. Como es una compresióna lo largo del eje X .

∆V

V = (1 − 2µ) σx

E (1)

Además E = σx ∆x

, por dato ∆x = − ∆a a o

, entonces

−∆a a o

= +σx

E (2)

reemplazando (2) en (1):

−∆V V

= (1 − 2µ)−∆a a o

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4. Elasticidad 25

∆V

V = 0,0004,

∆a

a o = 0,02

0,0004 = (1 − 2µ)(0,02)el coeficiente de Poisson: µ = 0,49

EJERCICIO NO4.22 Entre dos columnas fue tendido un alambre de longitud L. En el alambre, exac-tamente en el centro fue colgado un farol de masa M . El area de la sección transversal del alambre es S 1 el modulo de Young es E . Hallar α1 del alambre, considerando pequeño

SOLUCIÓNEl diagrama de fuerza es el siguiente

F y = 0(e q u i l i b r i o )

2T sen α

−m g = 0

T = m g /2sen α (1)

Por definición E = σ∆

= T S ∆

= T (L /2)

S ∆L

T = 2ES

∆L

L

(2)

También

cos α = L /2

L /2 + ∆L

∆L = L

2 1

cos α− 1

(3)

de (2), (3) en (1):

2ES

1

2

1

cos α− 1

= m g

2sen α

Haciendo aproximaciones porque α es pequeño, se tiene:

sen α = α, cos α = 1 − 2sen2(α/2) = 1 − 2(α/2)2 = 1 − α2

2

ES

1

1 − α2/2

=

m g

2α

α3

1 − α2/2 = m g ES ≈ α3

α(m g /ES )1/3

EJERCICIO NO4.23 A dos caras opuestas de un bloque cubico de acero de 25cm de largo se aplica sendas fuerzas de extension opuesta de 200K g f c /u . Hallar el ángulo de cizalla y el desplazamiento relativo. El modulo de rigidez del acero vale 8,4 × 105K g f /c m 2

SOLUCIÓN(a)Por definición η = e s f u e r z o co r t a n t e

D e f o r m a c i o n co r t a n t e =

F /S

Φ

Φ = F

S η =

F

l 2η =

200K g f 202c m 2 × 8,4 × 105K g f /c m 2

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4. Elasticidad 26

Φ = 3,8 × 10−7r a d (b)El desplazamiento x , se determina tan Φ = x

l = Φ

x = Φl = 3,8 × 10−7 × 25c m = 0,95 × 10−5c m

x = 0,95 × 10−5c m

EJERCICIO NO4.24 Un alambre delgado y uniforme de radio r esta colocado horizontalmente entre dos soportes rígidos A y B de tal maneraque la longitud del alambre es L. Una masa m se cuelga en el punto medio C del alambre, deslizándose una distancia vertical Y que es muy pequeña comparada con L . Hallar (a) el esfuerzo, (b) la deformación, (c) el modulo de Young del alambre en función de m , L, r , Y . Despreciase en cada caso cuadrados y potencias mayores de (Y /L ) comparadas con la unidad

SOLUCIÓN(a)F y = 0, 2T cos θ = m g , t = m g /2cos θ El esfuerzo: σ =

T

S =

m g

2πr 2 cosθ

σ = m g

2πr 2

(L /2)2 + y 2Y

=m g (L /2) 1 + (Y /L /2)2

2πr 2Y

σ = m g L

4πr 2Y (b) La deformación unitaria

∆ =L f − L o

L o =

(L /2)2 + Y 2 − (L /2)

L /2

∆ = L

2 1 + 1

2(V /L /2)2 − . . . − 1

L /2 = 2Y 2

L 2 ∆ =

2Y 2

L 2(c)

E = σ

∆ =

m g L

4πr 2Y

2Y 2/L 2 =

m g L 2

8πr 2Y 3

EJERCICIO NO4.25 Una barra de 8K g cuya sección recta es un cuadrado de longitud b = 50m m ,tiene una longitud L = 30c m . Se mueve jalanda sobre una superficie lisa por acción de una fuerza aplicada uniformemente sobre uno de sus extremos. La barra adquiere una aceleración constante 2,4m /s 2. (a) ¿Cual es el esfuerzo en una sección transversal de la barra normal a su longitud y a una distancia de x = 25m m del extremo posterior de la barra? (b) ¿Caul es el valor de dicho esfuerzo en el centro de la barra?

SOLUCIÓN(a)Hallemos la fuerza d F = a d m

d F = a ρb 2d x , F = a ρb 2 x

0

d x

F = a ρb 2x

El esfuerzo σ = a ρb 2x /b 2 = a ρx = a (m b 2L )x

σ = a m x /b 2L = 640N /m 2

(b) Para x = L 2

, σ = a m (L /2)b

2L

= m a

2b 2 = 3840N /m 2

σ = 3840N /m 2

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4. Elasticidad 27

EJERCICIO NO4.26 La compresibilidad del sodio se mide observando el desplazamiento del émbo-lo de la figura al aplicar una fuerza F. El sodio esta sumergido en aceite que llena el cilindro por debajo del émbolo. Supongase que las paredes del cilindro son perfectamente rígidas, que no hay rozamiento ni perdida de aceite. Calculese la compresibilidad del sodio en función de la fuerza F , el

desplazamiento del émbolo x , del area de este ultimo S, del volumen inicial del aceite V o , del volu-men del sodio V o y de la compresibilidad del aceite K o

SOLUCIÓNHallemos el cambio de volumen del aceite:

∆V a c = V o −Sx Hallemos el cambio de volumen del sodio debido al aceite:

∆V N a = V o − K o ∆p V o Luego el cambio a que las paredes del cilindro son rígidas. Luego, por definición

K N a = ∆

V N A /V o ∆p = 1V o

(V o − K o

∆p V o − V o

+Sx

)

∆p

K N a = 1

V o

(Sx − K o V o ∆p )∆p

= 1

V o

Sx

F /S − K o V o

, y ∆p = F /S

K N a = 1

V o

xS 2

F − K o V o

EJERCICIO NO4.27 Al levantar una jaula que pesa 10T n con un cable que tiene 200m de longitud y area de sección recta 1,000m m 2, este se estira 170m m . Hallar la aceleración de la jaula desprecian-do el peso del cable que es de acero y su modulo vale 2 × 106K g f /c m 2

SOLUCIÓNComo no hay equilibrio

F = m a

T −w = m a (1)La tension T da lugar a una deformación ∆L

T = ES ∆L

L o (2)

de (2) en (1)ES ∆L

L o − m g = m a , a = ES ∆L

m L o − g

Reemplazando valores a = 7,86m /s 2

EJERCICIO NO4.28 Dos bandas metálicas se mantienen unidas mediante cuatro remaches que tienen cada uno un diámetro de 6mm. ¿cual es la tension maxima que se puede ejercer sobre la banda remaches no ha de exceder de 7,2K g f /m m 2?. Supongase que cada remache soporta una cuarta parte de la carga

SOLUCIÓNComo el esfuerzo a la rotura es : σr =

F

S Cada remache soporta la cuarta parte, es decir F = F

4,

σr = F

4S

F = 4σr S = 4σr πd 2

d

= op i σr d 2

F = 3,14 × 7,2K g f /m m 2(6m m )2 = 813,8K g f

Fisica II


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4. Elasticidad 28

EJERCICIO NO4.29 Un cubo se encaja en un hueco adecuado de paredes rígidas y sobre la cara libre se hace actuar la presión σz . Calcular la deformación unitaria en la dirección σz

SOLUCIÓN

Por se las paredes rigidas: ∆ y = ∆x = 0 además σx = σ y , porque:Se ha deducido en teoría:

∆ y 0σ y − µ(σx − σz )

E = 0

σ y − µ(σ y + σz ) = 0, σ y

σz =

µ

1 − µTambién ∆x =

σx −µ(σ y +σz )E

= 0

σx − µ(σx + σ y ) = 0, σx

σz =

µ

1 − µ

entonces ∆z = σz

−µ(σx +σ y )

E = σz

−2µσx E

∆z = σz − 2µ[σz µ/(1 − µ)]

E =

σz

E (1 − µ − 2µ2)

EJERCICIO NO4.30 Un alambre uniforme esta fijo en su extremo superior y tiene un peso atado en el otro extremo. Si la energía de deformación por unidad de volumen es 2 × 104e r g i o s /c m 3 y el incremento de la longitud por unidad de longitud es 2 × 10−4 (a) Halle el modulo de Young. (b)El esfuerzo

SOLUCIÓN(a) Sabemos que el energía que almacena una barra, debido a su deformación es:

W = 1

2E V o ∆

2 = 1

2E (SL o )∆

2

W

V o =

E ∆2

2 , E = 2

W

V o

1

∆2 =

2 × 2 × 104(2 × 10−4)2 e r g i o s /c m

3

E = 1012d i n a s /c m 2

(b)Por definición E = σ∆

, σ = E ∆ = 1012 d i n a s c m 2

× 2 × 10−4

σ = 2 × 108d i n a s /c m 2

EJERCICIO NO4.31 Un alambre de acero cuyo densidad es 7,8g /c m 3, pesa 16g y tiene 250cm de longitud. Si se estira 1,2mm cuando es traccionado por una fuerza de 8K g . Halle (a) el modulo de Young para el acero, (b) la energía almacenada en el alambre.

SOLUCIÓN(a) Se tiene m = ρV o = ρSL o , ρ = 7,8g /c m 3, m = 16g , l o = 250c m , ∆L = 0,12c m , F = 8K g

E = F L o

S ∆L =

F L o m

ρL o

∆L

= 1,99 × 1012d i n a s /c m 2

(b)

W = 12

E V o ∆2 = 12

E m ρ∆2 = 4,71 × 105e r g i o s

Fisica II


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4. Elasticidad 29

EJERCICIO NO4.32 Un tubo de goma de 60cm de longitud y 8mm de diámetro interior se estira hasta alargarse 12c m . Hallar el diámetro interior del tubo estirado, si el modulo de Poisson para la goma es igual a 0,5

SOLUCIÓNPor definición µ = ∆r /r o ∆L /L o

= L o ∆r

r o ∆L

∆r = µr o ∆L

L o , r = r o

1 − µ ∆L

L o

r = 4m m

1 − 0,5 × 12

60

= 3,6m m

EJERCICIO NO4.33 Sobre una superficie horizontal se puso un cilindro de Cu macizo de longitud 65cm y desde arriba se le aplico una fuerza de compresión vertical 103N, distribuida uniforme-

mente por su extremo. ¿En cuanto mm 3

cambio en este caso el volumen del cilindro? µ = 0,34,e = 11,8 × 1010N /m 2

SOLUCIÓNSe tiene deducido en teoría:

∆V

V =

(1 − 2µ)E

(σx + σ y + σz )

En este caso: σx = σ y = 0, V = AL , ∆V

V =

(1−2µ)E

σz , ∆V = 1−2µ

E σz V

∆V = (1 − 2µ)

E (F / A )( A L ) =

1 − 2µE

F L

∆V = (1 − 2 × 0,34) × 0,65

11,8 × 1010 m 3

∆V = 1,7m m 3

EJERCICIO NO4.34 En la figura AB es un alambre de hierro, CD un alambre de cobre de la misma longitud y sección transversal que el AB y BD una barra de 80c m de longitud. De esta barra se quiere colgar una carga P = 2K g f . ¿A que distancia x del punto B habrá que colgar la carga para la que la barra horizontal?

SOLUCIÓN

Para la barra de F e : ∆L F e = T Fe L o SE Fe Para la barra de C u : ∆L C u = T Cu L o SE Cu Por la condición del problema

∆L F e = ∆L C u

T C u

T F e =

E C u

E F e (1)

Por equilibrio de momentos: τB = x P − 80T C u = 0 (2)

τO = x T F e − (80 − x )T C u = 0 (3)

τD = 8T F e − (80 − x )P = 0 (4)Fisica II


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4. Elasticidad 30

de (2), (3) y (4):T F e

T C u =

80 − x x

(5)

de (1) y (5):

80 − x x

= E F e

E C u = 19,6 × 1010

11,8 × 1010 = 1,66

se deduce: x = 30c m

EJERCICIO NO4.35 Para hacer un tirador se ha empleado un cordon de goma de 42c m de longitud y 3m m de radio. El niño que dispara con el, estira la goma 20c m al lanzar la piedra. Hallar el modulo de Young de esta goma sabiendo que una piedra cuyo peso era de 0,02K g f salió disparada por el tirador con una velocidad de 20m /s . La variación que experimenta la sección del cordon al estirarse se desprecia.

SOLUCIÓNCuando la goma se estira, almacena energía potencial, que sabemos esta dada por W = 12 E V o ∆2 =12

ESl o ∆2 Al salir disparado la piedra con cierta velocidad, esta energía cinética E c = ou m m v 2,como no hay perdida de energía se tiene : W = E c

1

2ESl o ∆

2 = 1

2m v 2, E =

m v 2l o

S (∆l )2

reemplazando valores:

E =0,02 × (20)2 × 0,42

3,14 × (0,003)2(0,20)2 = 2,94 × (10)6 N

m 2

EJERCICIO NO4.36 Desde un barco se lanzo una pesa sujeta por un cable de acero para medir la profundidad del mar despreciando el peso de la pesa en comparación con el cable, hallar la profun-didad maxima que se puede medir por este procedimiento. La densidad del agua del mar tómese igual a 1g /c m 2

SOLUCIÓNEl cable de acero soporta una tracción debido a su peso y a la pesa adicional, es decir W

a c + W .

Conforme el cable se sumerja estará sometido a mayor tracción, hasta el limite de resistencia a larotura: σr S Luego: W a c + W = σr S , segun el problema W

a c

W

W a c

= σr S (1)

pero W a c

es el peso del cable de acero cuando esta dentro del agua, es decir el peso aparente,debido al empuje:

W a c

= W a c − E = ρa c SH g − ρa SH g (2)de (1) y (2)

( ρa c − ρa )SH g = σr S

H = σr

g ( ρa c − ρa ) = 12,000m

H = 12K m

EJERCICIO NO

4.37 Hallar la variación relativa de la densidad de una barra de cobre cilíndrica al ser comprimida por una presión p = 1,000K g f /c m 2. Para el cobre el modulo de Poisson es 0,34

Fisica II


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4. Elasticidad 31

SOLUCIÓNSe sabe por teoría

∆V

V =

(1 − 2µ)σE

(1)

Para una presión aplicada p = σ (esfuerzo de compresión) De la expresión ρ = m

V , derivado, seobtiene:∆ ρ

ρ =

∆V

V (2)

De (2) y (1):∆ ρ

ρ =

(1 − 2µ)σE

= (1 − 2 × 0,34) × 103 × 9,8

1,18 × 1011 × 10−4∆ ρ

ρ = 0,265 × 10−3

EJERCICIO

NO

4.38 Hallar la longitud que tendrá un alambre de plomo que colgado verticalmente,comience a romperse por su propio peso.

(σr = 0,2 × 108N /m 2, ρ = 11,3 ×3 K g /m 3)

La fuerza que da lugar al alargamiento de la barra es la tracción gravitacional

SOLUCIÓNd F = ρS g d z , si el cambio de gravedad es nulo

F = ρS g

L

0

d z = ρS g L

El alambre se destruirá cuando alcance la tension de ruptura F r = σr S , como F = F r , entoncesL = σr

ρg , reemplazando valores L = 180,6m

EJERCICIO NO4.39 Una barra uniforme horizontal de masa 200K g esta soportada horizontalmente por tres alambres vertical A, B, C, cada uno de una longitud inicial de 2 metros y sección recta 2c m 2.B es un alambre de cobre, A y C son alambres de acero y están colocados simétricamente uno a cada lado de B. Hallar: (a) la tension en cada alambre, (b) la extension en cada alambre

SOLUCIÓNEn la condición de equilibrio:

F y = 0

2T a c + T C u = m g

Por definición de modulo

2

E a c S ∆L

L o

+

E C u S ∆L

L o = m g

Despejando: ∆L = m g L o S (2E ac +e Cu )

y reemplazando valores:

E a c = 21,6 × 1010N /m 2, E C u = 11,8 × 1010N /m 2

∆L = 0,36 × 10−4m

EJERCICIO NO4.40 ¿Que diámetro mínimo debe tener un cable de acero para poder aguantar 1T n de carga?

Fisica II


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4. Elasticidad 32

SOLUCIÓN

Sabemos por definición de resistencia a la rotura: σr = F /S , σr = F

πd 2

4

, despejando d = 4F πσr

1/2,

reemplazando valores:

d = 4 × 103 × 9,83,14 × 7,85 × 108

1/2 m = 3,98 × 10−3m d = 4 × 10−3m

EJERCICIO NO4.41 Hallar de que altura se puede construir un muro vertical de hormigón si su re-sistencia de rotación es de 180K g /c m 2 y se emplea un coeficiente de seguridad 5. La densidad del hormigón es de 2,200K g /m 3

SOLUCIÓN

Por definición: σr = F /S Como la fuerza que debe soportar el muro es su propio peso, se tiene

F = ρSL o

Luego: σr = ρSL o /S = ρL o reemplazando valores: L o = σr /ρ

L o = 180/2200 × 10−4m = 818m como el coeficiente de seguridad es 5, entonces la altura del muro debe ser: 818 m /5 ∼= 164

EJERCICIO NO4.42 Un cilindro recto, hueco de sección circular, de función, tiene un diámetro exter-no de 10cm y el interior de 8c m . Si se aplica una fuerza axial de compresión de 10,000K g . Hallar el acortamiento, para 60c m de longitud y el esfuerzo de la carga. No considere la deformación lateral del cilindro y E = 2 × 106K g /c m 2

SOLUCIÓN

Fisica II


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4. Elasticidad 33

Para hallar el acortamiento por teoríaL = L o

La deformación unitaria:

= σ/E

Luego el esfuerzo:σ = F /S = F /π(r 22 − r 21 )

Entonces:L = L o F /E π(r 22 − r 21 ) reemplazando:L = 0,011c m

EJERCICIO NO4.43 Una varilla circular maciza de acero de 10mm de diámetro de 30cm de longi-tud, esta rígidamente unidad al exterior de una barra cuadrada de bronce de 8cm de largo y 20c m de longitud, con sus ejes sobre la misma recta. Se aplica una fuerza de tracción axial de 1000K g en cada extremo. Hallar el alargamiento total del conjunto. Para el acero E a = 20 × 105K g /c m 2 y el bronce E b = 9

×105K g /c m 2

SOLUCIÓN

Hallemos la deformación para el acero:

L a = F I 1/S 1E a

L a = 1000 × 303,14(0,5)2 × 20 × 105

L a = 0,0191c m Para el bronce:

L b = F I 2/S 2E b

L b =1000 × 20

8 × 8 × 9 × 105L b = 0,00035c m

Al alargamiento pedido sera:

L a + L b = 0,0191 + 0,00035L a + L b = 0,01945c m

Fisica II


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4. Elasticidad 34

EJERCICIO NO4.44 Una barra de bronce de 20c m 2 de sección esta sometida a las fuerzas axiales representada en la figura. Hallar el alargamiento total de la barra. E = 1 × 106K g /c m 2

SOLUCIÓN

Region AB

La deformación longitudinal es un alargamiento:

L A B = F L /SE L A B = 6000 × 100/20 × 106 = 0,03c m

Region BC:

La deformación es una compresión:

L BC = −2000 × 150

20 × 106L BC = −0,015c m

Region CD:

La deformación es una compresión

L C D = −500 × 200

20 × 106L C D = −0,005c m

La deformación total es un alargamiento:

L = L A B + L BC + L C D = 0,01945c m

Fisica II


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4. Elasticidad 35

EJERCICIO NO4.45 Una placa de acero delgada tiene la forma trapezoidal de la figura. El espesor es e y varia uniformemente desde una anchura de 2a hasta otra de 2b en una longitud L o . Si se aplica en cada extremo una fuerza axial de F . Hallar el alargamiento de la placa, si se conoce E

SOLUCIÓN

Se puede observar que la deformación no es homogénea, de la expresión:

L = F L /SE

Para un diferencial de deformación se tendrá: d L = F d x /SE

d L = F d x /2 y e E (1)

Por semejanza de triángulos:

y − a x − 0 =

b − a L − 0 , y =

x

L (b − a ) + a

reemplazando en (1) el valor de y e integrando:

L = L

0

F d x

2

x

L (b − a ) + a

e E

= F L

2e (b − a ) ln(b /a )

EJERCICIO NO4.46 Una barra cónica maciza de sección circular esta suspendida vertical como en la figura. La longitud de la barra es L, el diámetro de su base D, el modulo de elasticidad E y el peso especifico es γ. Hallar el alargamiento de la barra debido a su propio peso.

SOLUCIÓN

Fisica II


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4. Elasticidad 36

Usando nuevamente la expresión:

L = F L /SE en este caso:

d L = W d y SE

(1)

donde:W = γV = γ1/3Sy (2)

DE (2) en (1)d (L ) = (γ y S /3)d y /SE

integrando:L = γ3E

L

0 y d y

L = γL 2

/6E

EJERCICIO NO4.47 Se tiene un estado de tension en un elemento para el cual se ejerce una tension de σ y , en una dirección y se impide totalmente la contracción lateral en las otras dos direcciones.Hallar la relación σ y / y

SOLUCIÓNSegún las condiciones del problema

Fisica II


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4. Elasticidad 37

x = z = 0De las ecuaciones de teoría:

x = 1/E [σx

−µ(σ y + σz )] (1)

y = 1/E [σ y − µ(σx + σz )] (2)

z = 1/E [σz − µ(σx + σ y )] (3)De (1)

0 = σx − µ(σ y + σz )σx = µ(σ y + σz ) (4)

de (3)0 = σz − µ(σx + σ y )

σz = µ(σx + σ y ) (5)

De (5) en (4)σx = µ[σ y + µ(σx + σ y )]

σx = µσ y (1 − µ) (6)de(6) en (5):

σz = µ

µσ y

1 − µ + σ y

=µσ y

1 − µ (7)

De (6) y (7) em (2):

y =

1

E σ y −µ µσ y

1 − µ +

µσ y

1 − µsimplificando

σ y

y = E (1 − µ)/(1 − µ − 2µ2)

EJERCICIO NO4.48 Una union remachada de dos placas metálicas tiene n o pernos de cierto materi-al. La maxima tension que se puede ejercer sobre la banda es T y la fatiga por cizalladura tiene un valor máximo en los remaches dados por σT . Hallar el diámetro de cada remache.

SOLUCIÓN

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4. Elasticidad 38

Sea T la fuerza que se ejerce sobre la barra, en la que hay n o pernos, la fuerza sobre un perno sera:F T = T /n o Por definición de cizalladura

σT = F T

S =

T /n o

πd 2/4 =

4T

n oπd 2,

4T

n oπσT = d

EJERCICIO NO4.49 Se tiene un tubo de bronce que rodea a un cilindro macizo de hormigón, com-primido todo el conjunto entre placas infinitamente rígidas, por fuerzas aplicadas centralmente como en la figura. El cilindro de hormigón tiene 12cm, de diámetro y el diámetro exterior del tubo de bronce es de 15cm . Si la fuerza es de 5,000K g . Hallar las tensiones en el bronce y en el hormigón.Para el bronce E = 9 × 106K g /c m 2 y el Aluminio E = 7 × 106K g /c m 2

SOLUCIÓNSea σb el esfuerzo debido al bronce y σ Al al aluminio. Por condición de equilibrio:

F = 0

F − F b − F Al = 0F = F b + F Al (1)

Las deformaciones que se producen en el bronce y aluminio son iguales, debido a las placas rígi-das:

∆b = ∆ Al

F b L

S b E b =

F AL L

S Al E Al (2)

dondeS b = π[(7,5)2 − (5)2] = 31,25πc m 2

S Al = π(6)2 = 36πc m 2

reemplazando en (2):F b = 1,113F Al (3)

de (3) en (1):F = 1,116F Al + F Al = 5000K g

Fisica II


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4. Elasticidad 39

F AL = 2363K g

F b = 2637K g

Por definición:

σb = F b /S b = 26,87K g /c m 2

σ Al = F Al /S Al = 20,90K g /c m 2

EJERCICIO NO4.50 Una barra trococonica de sección circular varia uniformemente entre un radio menor r y uno mayor R, Hallar el alargamiento debido a una fuerza axial F aplicada en cada extremo, ver figura.

SOLUCIÓN

Sabemos por teoría, el alargamiento es igual a ∆L = F L /SE En este caso, la deformación no esuniforme, se tiene que trabajar con un diferencial de alargamiento:

d (∆L ) = F d x /SE

donde S = π y 2

d (∆L ) = F d x

π y 2E (1)

hay que hallar una relación entre X e Y , por semejanza de triángulos.

y − r

x

= R − r

L

y = r + x

L R (2)

de (2) en (1)

∆L =

d (∆L ) =

L 0

F d x

π

r + x L

R 2

E

∆L = F L /πRr E

EJERCICIO NO4.51 Una barra circular de 50c m 2 de sección esta sujeta rígidamente entre los puntos y cargada con una fuerza axial de 12,000k g , como se indica en la figura. Hallar las reacciones en los extremos de la barra y el alargamiento de la parte derecha, si E = 106K g /c m 2

Fisica II


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4. Elasticidad 40

SOLUCIÓN

Sean R 1 y R 2 las reacciones ne los extremos de la barra. Por la condición de equilibrio: F = R 1 + R 2 − 12,000 = 0

R 1 + R 2 = 12,000 (1)

Como la barra esta limitada por sus extremos, se tendrá el acortamiento de la barra L 1 es igual al

alargamiento de la barra L 2∆L 1 = R 1/SE = R 2L 2/SE = ∆L 2

R 1L 1 = R 2L 2, R 1 = 2R 2 (2)

de (2) en (1): 2R 2 + R 2 = 12,000

R 2 = 4000K g y R 1 = 8000K g

El alargamiento se halla:

∆L 2 = 4000 × 10/50 × 106c m = 0,0008c m

EJERCICIO NO4.52 Un cuerpo con forma de solido de revolución soporta una carga F como se ve en

la figura, el radio de la base superior es r o y el peso especifico del material es γ(K g /c m 2). Determinar como debe variar el radio con la altura para que la tension de compresión sea constante, en todas las secciones. El peso del solido no es despreciable.

SOLUCIÓN

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4. Elasticidad 41

Sea F y W el peso sobre la sección S , el esfuerzo es:

σ = F + W

S

Cuando aumenta el radio en: r + d r el peso que soporta es debido a: F , W y d W luego el esfuerzoes:

σ = F + W + d W

S + d S

como el esfuerzo es constante:F + W

S =

F + W + d W

S + d S

d S

d W =

S

F + W =

1

σ (1)

Hallemos: d S = π(r + d r )2 − πr 2 ∼= 2πr d r

d W = γπr 2d y

reemplazando en (1)1

σ =

2πr d r

γπr 2d y ,

γ

σ

y 0

d y = 2

r r o

d r

r

y = 2σ

γ ; r = r o e

γ y 2σ

donde

σ= F

/S = F

/πr 2, r = r

o e

γπr 2o 2F

y

EJERCICIO NO4.53 Se tiene una barra rígida OC suspendida por dos cables, ubicados en A y B. los cuales poseen los datos indicados en la figura. Hallar el máximo peso vertical que se puede colocar en C

SOLUCIÓN

Fisica II


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4. Elasticidad 42

Para hallar el valor de W , usamos las condición de equilibrio:

M o = 01 × F 1 + 2 × F 2 − 2,5W = 0

W = F 1 + 2F 2/2,5

W = σ1S 1 + 2σ2S 2/2,5 (1)

Para σ2ma x hallemos el σ1ma x que le corresponde

tanθ = ∆1

1 =

∆2

2 , ∆2 = 2∆1

σ2L 2E 2

= 2σ1L 1E 1

, σ2σ1

= 2L 1L 2E 2

E 1

σ2

σ1= 2

1

1,5

5

3

=

20

9

σ1 = 20

9 σ2

Para σ2ma x = 4 × 106K g /c m 2

σ1ma x = 9

20× 4 × 106K g /c m 2 = 1,8 × 106K g /c m 2

reemplazando en (1):

W = 1,8 × 106 × 4 + 2 × 4 × 106 × 5

2,5 K g

W = 18,88 × 106K g

EJERCICIO NO4.54 Se cuelga verticalmente dos hilos de fierro de modulo de young E , de longitud L 1 y L 2 y sección S 1 y S 2 respectivamente. Hallar las deformaciones en las barras para los casos:

a) Sosteniendo carga concentradas W 1 y W 2

b) Sosteniendo carga uniforme distribuidas W 1

y W 2 respectivamente

Fisica II


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4. Elasticidad 43

SOLUCIÓN

a) Para la barra 2 se tiene por definicon:

∆L 2 = W 2L 2

S 2E

Para la barra 1 se considera los pesos : W 1 + W 2

∆L 1 = (W 1 + W 2)L 1

S 1E

b) Para la barra inferior

∆L 2 = W d y S 2E Fisica II


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4. Elasticidad 44

∆L 2 =

L 20

γS 2Yd y

S 2E =

S 2γL 222S 2E

∆L 2 = (γS 2L 2)L 2

2S 2E

= W 2L 2

2S 2E Para la barra superior, la deformación es debida a W 2 y W 1 distribuida uniformemente.

∆L 1 = W 2L 1

S 1E +

L 10

(γS 1Yd y )

S 1E

∆L 1 = W 2L 1

S 1E +

W 1L 1

2S 1E

EJERCICIO NO4.55 El peso W cuelga de 3 varillas de los cuales las del medio tiene una longitud L. Los módulos de elasticidad y las secciones respectivas E 1 y S 1 para la central, E 2 y S 2 para las

laterales. Hallar las tracciones en las varillas y el descenso en A

SOLUCIÓN

Fisica II


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4. Elasticidad 45

Por las condiciones de equilibrio F y = 2F 2 cos θ + F 1 − W = 0

donde F 1 y F 2 son las tracciones en las varillas

2F 2 cos θ + F 1 = W (1)

también:

cos θ δ2

δ1(2)

donde

δ2 = F 2L 2

E 2S 2=

F 2L

E 2S 2 cos θ (3)

también:

δ1 = F 1L 1E 1S 1

= F 1L E 1S 1

(4)

de (3) y (4) en (2)

cos θ = F 2L /E 2S 2 cos θ

F 1L /E 1S 1=

F 2E 1S 1

F 1E 2S 2 cos θ

F 2 = 2E 2S 2 cos2 θ F 1

E 1S 1(5)

de (5) en (1)

2E 2S 2 cos2 θ

E 1S 1F 1 cos θ + F 1 = W

F 1 = W /1 +2cos2 θ E 2S 2

E 1S 1(6)

reemplazando (6) en (4)

δ1 =

W /1 + 2cos

2 θ E 2S 2E 1S 1

L

E 1S 1

δ1 = W L

E 1S 1 + 2E 2S 2 cos2 θ

EJERCICIO NO4.56 Sea una barra cilíndrica de longitud L y de radio R. La sección superior esta fija

y a la inferior se le aplica un momento o torque τ, que tuerza la barra como se indica en la figura y gira un ángulo θ , si n es el modulo de rigidez de la barra. Hallar este torque

Fisica II


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4. Elasticidad 46

SOLUCIÓN

Vista de la base inferior:

De la figura y el triángulo A A B :

tanβ =

AA

L =

r θ

L

Como β es pequeño

tanβ ∼= β = r θ L

(1)

De la definición de modulo de rigidez:

η = σT

tanβ∼= σT

β =

σT r θ L

= σT L

r θ

σT = ηr θ /L (2)

Por definición de momento:

d τ = r d F = r (σT d S )d τ = r [σT ][r d ϕd r ] = r

2σT d ϕd r

Fisica II


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Capítulo 5

Oscilaciones

5.1. Movimiento periódico

Es aquel movimiento que es repite es intervalos iguales de tiempo.

5.2. Movimiento oscilatorio o vibratorio

Si una partícula que tiene movimiento periódico se mueve alternativamente en un sentido y en otro siguiendo en la misma trayectoria a su movimiento.

5.3. Movimiento Armónico simple (MAS)

Figura 5.1: Movimiento Armónico simple

5.3.1. Elongacion (x )

Es la distancia lineal o angular de la partícula que oscila a su posición de equilibrio en uninstante cualquiera.

5.3.2. Posición de equilibrio (x 0) Aquella para la cual no abra ninguna fuerza neta sobre la partícula oscilante

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5. Oscilaciones 49

5.3.3. Amplitud ( A )

Es la maxima elongacion.

5.3.4. Periodo (T )

Es el tiempo necesario para completar un ciclo completo del movimiento.

5.3.5. Frecuencia (ν)

Es el numero de ciclos por unidad de tiempo, ciclos/seg = Hertz. También se usa la frecuenciaangular w = 2πν y en función del periodo:

ν = 1

T (5.1)

5.3.6. Energía almacenada en MAS

Si no existe función de rozamiento la energía mecánica se conserva

E = K + U (5.2)

1

2m v 2 +

1

2k x 2 =

1

2k A 2 (5.3)

5.4. Péndulo simple o MatemáticoSe considera como tal, a una partícula de masa m , que cuelga de una cuerda longitud L y masa

despreciable y que se lleva de su posición vertical a otra posición medida por el desplazamientoangular θ < 10o, la ecuación del movimiento es:

m d v d t

= m d d t

(Lw ) = m L d w d t

= m L d d t d θ

d t

m L d 2θ

d t 2 = −m g sin θ = −m g θ

d 2θ

d t 2 +

g

L

θ = 0 (5.4)

donde: w =

g

L = 2πν = 2π

T , T = 2π

L

g

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5. Oscilaciones 50

Figura 5.2: Péndulo simple

Figura 5.3: Péndulo fisico

5.5. Péndulo compuesto o Físico

Cualquier cuerpo rígido que puede oscilar libremente alrededor de un eje horizontal ( A B ),bajo la acción de la gravedad.

En dinámica de rotación se tiene: τ = I α, donde: I : momento de inercia, α: aceleración angu-lar, τ: torque.

τ − m g b sin θ

α = d 2θ

d t 2

Fisica II


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5. Oscilaciones 51

Luego:

−m g b sin θ = I d 2θ

d t 2 (5.5)

d 2θ d t 2

+ g b m I θ = 0 (5.6)

Donde se considera que θ es un ángulo pequeño, y el periodo esta dado por T = 2π

I

g b m

5.6. Péndulo de torsion

Cuando un cuerpo de masa m , esta suspendido de su centro de masa (C ), por un alambre, elcual se tuerce un ángulo (θ ) pequeño, aplicando un torque (τ), proporcional a ángulo: τ = −k θ .

Figura 5.4: Péndulo de torsion

Por dinámica de rotación: τ = I α, k coeficiente de rotación del alambre

I d 2θ

d t 2 = −k θ (5.7)

d 2θ

d t 2 +

k

I

θ = 0 (5.8)

y el periodo sera:w =

k

I = 2π

T , T = 2π

I

k

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5. Oscilaciones 52

5.7. Superposición de MAS en la misma dirección

Varias ondas pueden coincidir en el espacio independiente una de las otras. El proceso deadición vectorial de las elongaciones de un partícula se llama superposición.

A) Superposición de dos MAS. Igual dirección, frecuencia, pero diferente amplitud y fase inicial.

Si x 1 = A 1 sin(w t + α1), y x 2 = A 2 sin(w t + α2), el movimiento resultante x = x 1 + x 2 = A sin(w t +α) esMAS,donde A = ( A 21+ A

22+2a 1 A 2 cos δ)

1/2, δ = α2−α1 y tanα = ( A 1 sinα1+ A 2 sinα2) A 1 cosα1+ A 2α2 .Si δ = 0 están en fase, δ = π en oposición, y δ = π

2 en cuadratura.

B) Superposición de dos MAS. Igual dirección, diferencial frecuencia y amplitud.

Si x 1 = A 1 sin w 1t y x 2 = a 2 sin w 2t , el movimiento resultante no es MAS, porque su amplitudvaria con el tiempo, así: x = a 1 sin w 1t + A 2w 2t

A = A 21 + A 22 + 2 A 1 A 2 cos(w 1 − w 2)t Caso especial. Si A 1 = A 2, entonces el movimiento resultante esta dado por: x = 2 A 1 cos

(w 1−w 2)2

t sin (w 1

se uso: sin A + sin B = 2sin A +B 2

cos A −B 2

5.8. Superposición de dos MAS en dirección perpendiculares

Caso A Si w 1 = w 2, A = B , y δ = 0, π, entonces x = A sin w t , y = B sin(w t + δ), se obtiene y =±

B

A

x , llamada polarización rectilinea.

Caso B Si w 1 = w 2, A 1 = B , y δ = π

2 , 3π

2 se obtiene x 2

A 2 +

y 2

B 2 = 1, llamada polarización elíptica.Caso C Si w 1 = w 2, δ = π2 ,

3π2 , se obtiene x 2 + y 2 = A 2, llamada polarización circular.

Caso D Si w 1 = w 2, δ = α1 − α2 = 0, para gráficas se utilizan las expresiones: w 2w 1 = a

b y δ = c , donde

a , b y c son conocidos, la superposición da lugar a las curvas de Lissajous.

5.9. Movimiento oscilatorio amortiguado

En esta caso la masa esta sometida además de la fuerza recuperadora del resorte a otra fuerzade rozamiento, debido al liquido que lo rodea.

F = m a = −k x − λv d 2x

d t 2 +

λ

m

d x

d t +

k

m

x = 0

Si w 0 = k

m y 2γ = λ

m

d 2x

d t 2 + 2γ

d x d t

+ w 20 x = 0 (5.9)

Fisica II


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5. Oscilaciones 53

Figura 5.5: Movimiento oscilatorio amortiguado

donde: w 0: frecuenciaangular sin amortiguamiento, γ: coeficiente o constante de amortiguamien-to.

La solución de esta ecuación, tiene tres casos:

Caso A Si γ < w 0, x = Ae r 1t + B e r 2t donde:

r 1 = −γ + γ2 − w 20r 2 = −γ −

γ2 − w 20

y el movimiento se llama sobreamortiguado.

Caso B Si γ = w 0, x = e −γt ( A + B t ), el movimiento es criticamente amortiguado.

Caso C Si γ < w 0, x = C e −γt cos(w t + α), donde w =

w 20 − γ2, y C se determinan por las condi-ciones iniciales. Este movimiento oscilatorio Amortiguado.

Se define el decremento longitud (D L ): es el logaritmo de la relación entre dos valores suce-

sivos de la amplitud separados entre si por un tiempo igual a un periodo T

D = ln C e −γt

C e −γ(t +T ) = γT (5.10)

5.10. Movimiento oscilatorio forzado

Este movimiento se produce, cuando además de la fuerza elastica del resorte y la fuerza deamortiguamiento del liquido, se aplica una fuerza oscilatoria externa, con diferente frecuenciaw f .

Fisica II


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5. Oscilaciones 55

en un extremo la aceleración es maxima, entonces.

a m a x = 3 × 103m /s 2 = −102( A )

w 2 = 4×

106

w = 2,0 × 103r a d /s (a)Frecuencia f = w

2π

f = 2,0 × 1032 × 3,1416 = 318,31H z

(b) Velocidad en el punto de equilibrio esta velocidad maxima, luego:

v (t ) = Aw cos(w t + α)

v m a x = Aw , cos(w t + α) = 1

v m a x = (2,0 × 103)(2,0 × 10−3) = 4m /s (c) Velocidad cuando x = 1,2m m . Si

x (t ) = A sin(w t + α)

1,2 = 2sin(w t + α)

sin(w t + α) =3

5, w t + α = 37o

Siv (t ) = Aw cos(w t + α)

v (t ) = (2 × 103)(2 × 10−3) cos37o

v (t ) = 44

5 = 3,2m /s

(d) Fuerza en función de posiciónF = f (x )

Si F = m a = m (−w 2x ) = −m w 2x

F = −(103)(2,0 × 103)2x

F = −4 × 103, Siempre a la izquierda(e) Fuerza en función de tiempo F = (t ) Si

F = −4 × 104x

F = −4 × 103 A sin(w t + α)F = −4 × 103(2 × 10−3) sin(2 × 103t + α)

F = −8sin(2000t + α)

EJERCICIO NO5. 2 Una barra uniforme de masa M longitud L esta suspendido de un extremo (a)Determinar el periodo de oscilacion para pequeñas desplazamientos angulares (b) Determinar el periodo de os-

cilacion se esta suspendida de un punto P a una distancia x del centro de masa (C M )

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5. Oscilaciones 56

SOLUCIÓN(a)El periodo para un pendulo fisico en general esta dado por

t = 2π I

m g r

Calcularemos el momento de inercia de una barra que gira de un extremo.

I =

r 2d m =

ρr 2d V , ρ =

d M

V

I =

ρr 2 Ad r = ρS

L 0

r 2d r

I = ρ A

3 L 3, ρ =

M

V =

M

AL

I = 1M A L 3

3 A L =

1

3M L 2

entonces

T = 2π

M L 2

3M (L /2) = 2π

2L

3g

(b) Alrededor de un punto P r = x y el momento de inercia viene dado por

I P = I C M + M r 2

y el momento de inercia respecto del C M es:

I C M =

r 2d m =

ρr 2d V =

ρr 2 Ad r

I C M = 2 ρ A

L /20

r 2d r

I C M = 2 ρ A

3

L

3

3=

1

12M L 2

I P = I C M + M r 2

=

M L 2

12 + M x 2

T = 2π

T P

M g x

T = 2π

(1/12)L 2 + x 2

g x

EJERCICIO NO5. 3 Una masa m se conecta a dos resortes de constantes de fuerza k 1 y k 2 como mues-tran en las figura se mueve sobre una mesa sin fricción y se desplaza de la posición de equilibrio y se suelta. demostrar que la mesa tiene movimiento armónico simple con periodo

Fisica II


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5. Oscilaciones 57

SOLUCIÓN

(b) T = 2π

m

k 1+k 2(a)

−k 1x − k 2x = m ẍ

ẍ +

k 1 + k 2

m

x = 0

w 0 =

k 1 + k 2

m

T = 2π

m

k 1 + k 2

EJERCICIO NO5. 4 La amplitud de unas vibraciones armónicas es igual 50m m , el periodo a 4g e s y

la fase inicial π/4. (a)Escribir la ecuación de estas vibraciones. (b)Hallar la elongacion del punto vibrante cuando t = 0 y t = 1,5s e g

SOLUCIÓN(a) Se tiene como datos A = 50m m , T = 4s e g , α = π/4, luego la ecuación del MAS:

x = A sen(w t + α) = A sen

2π

T t + α

x = 50sen

2π

4 t +

π

4

= 50sen

π

2t +

π

4

(b) Parat = 0, x = 50sen

π

4 = 25

2m m

t = 1,5, x = 50sen

π1,5

2 +

π

4

= 0m m

EJERCICIO NO5. 5 ¿Cuanto tiempo transcurrirá desde el comienzo del movimiento armónico, hasta que el punto vibrante una elongacion igual a la mitad de la amplitud. El periodo de las vibraciones es igual a 24s e g y fase inicial igual a cero?

SOLUCIÓNLos datos x = A /2, T = 24s e g , α = 0 ,reemplazando en la ecuación x = A sen

2πT

t + α

, se tiene:

A 2

= A sen2πt 24

+ 0donde:

Problemas Resueltos de Fisica 2

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