Problemario 2

5/28/2018 Problemario 2

1/18

Problemario 2

La seal analgica (t en segundos) semuestrea con una frecuencia tal que la componente de mayor frecuencia

tiene 27 muestras por periodo. Se pide:

a) Representa 54 puntos de la seal obtenidaLas frecuencias analgicas presentes en x (t) son:

La seal obtenida al muestrear ser:

El cdigo y la grfica de dicha seal es el siguiente:


2/18

b) Cuantos periodos de la seal de menor frecuencia hay en larepresentacin anterior?

El nmero de periodos vendr dado por:


3/18

La seal analgica semuestrea con una frecuencia y la seal resultante esreconstruida con un conversor D/A ideal utilizando la misma Determine la seal obtenida tras este proceso.La seal (t en segundos) es una sealcompleja formada por dos exponenciales de frecuencias:

Si se muestrean con

, tenemos que

,y por tanto la

segunda exponencial no cumple el Teorema de Muestreo, produciendo

aliasing. La seal muestreada ser, haciendo :

Cuyas frecuencias digitales son y . Si reconstruimos la seal,

dado que y , la seal analgica resultante ser: La seal de salida contiene dos exponenciales complejas al igual que la

original pero la segunda ha cambiado su frecuencia de 5000 Hz a -3000

Hz como consecuencia del aliasing.


4/18

Un sistema L.I.T definido por el diagrama de bloques de la figura siguiente

es excitado con la seal

a) Obtenga la secuencia de muestras x(n) y represntelagrficamente

En primer lugar la entrada es la convolucion de dos secuencias pero una

de ellas es una seal impulso, por lo que solo retardara la otra secuencia

Si se denota:

Se puede expresar:

Solo para n=k-2, la secuencia no es nula, y en consecuencia: , -

Por tanto, la secuencia obtenida es:

* +Y su grafica es:


5/18

b) Calcule la respuesta impulsional del sistemaSi calculamos la ecuacin en diferencias del diagrama de bloques,

definiendo una variable intermedia w(n) tal como el siguiente diagrama, del

cual se obtiene que:

Para calcular la salida de este sistema debemos de conocer la respuesta

impulsional del mismo ya que Podemos considerar quetenemos dos sistemas en casada de manera que la salida y(n) viene

proporcionada por la convolucion de por w(n) que es la salida, a suvez, del sistema ante la entrada x(n), tal como se ve en el diagramasiguiente. Por esto la respuesta impulsional total estar dada por


6/18

La ecuacin en diferencias del sistema es:

Si , y consideramos condiciones iniciales nulas, tenemos:

Iterando:

`

Observando que la expresin general es:

En cuanto al segundo sistema, tiene por ecuaciones en diferencias:

Si hacemos Al igual que en el caso anterior, dando valores a n, obtenemos:

De este modo, la respuesta impulsional total ser:


7/18

donde hemos aplicado la propiedad distributiva de la convolucion respecto

de la suma y la convolucion con una secuencia impulso retardado.

c) Proponga un procedimiento para calcular la salida del sistemaLa salida se puede calcular como

, donde podemos aplicar

las propiedades distributia y de desplazamiento temporal al convolucionarcon una , si expresamos la entrada como una suma de impulsosretardados


8/18

Un sistema digital tiene la estructura representada en el diagrama

siguiente. Sabiendo que x(n) y h(n) vienen definidas por las grficas y

*+. Calcula la salida del sistema.Diagrama de bloques del sistema

Graficas

Esquemas de conexin del sistema

Relacin entrada salida para el segundo sistema

Este sistema lo podemos ver como la conexin de dos sistemas en cascada

y uno de ellos est formado por dos en paralelo. La respuesta impulsional

para el segundo sistema en paralelo es sencilla de calculas ya que la

relacin entre la entrada y la salida es, y(n)=-x(n-1), luego *+.


9/18

Las respuestas impulsionales y las podemos poner como unasuma de impulsos.

La respuesta impulsional total ser:

,

-

( )

Y por tanto las secuencias a convolucionar son:

*+ *+

Esta ltima expresin se puede resolver mediante el mtodo tabular de

clculo de convoluciones. El caso general de la convolucion de una

secuencia de entrada x(n) con la respuesta impulsional de un sistema h(n),

y(n)=h(n)*x(n) se puede realizar siguiendo estos pasos:

a) Reflexin: Reflejar h (k) respecto de k=0 para producir h (-k)b) Desplazamiento: Desplazar h (-k) n0 veces hacia la derecha

(izquierda) si n0es positivo (negativo), para obtener h (n0-k).

c) Multiplicacin: Multiplicar x (k) por h (n0-k) para obtener lasecuencia producto x (k) h (n0-k).d) Suma: sumar todos los valores de la secuencia producto anteriorobtenindose el valor de la salida en n=n0y h(n0)

Calculo de la respuesta impulsional mediante el procedimiento de la

tabulacin

k -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

1 0 1 1h(-2-k) 1 2 3 2 1

h(-1-k) 1 2 3 2 1

h(0-k) 1 2 3 2 1h(1-k) 1 2 3 2 1

h(2-k) 1 2 3 2

h(3-k) 1 2 3

h(4-k) 1 2

h(5-k) 1


10/18

Multiplicando la primera fila por cada una de las siguientes y sumando los

trminos tenemos:

Salida del sistema


11/18

Dado el sistema de respuesta impulsional || . Definimosla constante de tiempo como el nmero de muestras necesarias para que

la respuesta impulsional tenga un valor , donde e es la basede los logaritmos neperianos. Determine el valor de para valores de bprximos a la unidad.

El sistema es una exponencial decreciente ya que |b|


12/18

Determine la respuesta impulsional de los sistemas definidos por:

cuando se combinan en paralelo y en cascada.La respuesta impulsional de los sistemas descritos se muestran a

continuacin:

La conexin en paralelo:

La conexin en cascada equivale a la convolucion de ambas secuencias:

Calculo de la respuesta impulsional

mediante el mtodo grfico.

Multiplicando la primera fila por cada una de las siguientes y sumando los

trminos tenemos:

*+

k -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

1 0 1 1h(-4-k) 1 1 1 1 1

h(-3-k) 1 1 1 1 1

h(-2-k) 1 1 1 1 1

h(-1-k) 1 1 1 1 1

h(0-k) 1 1 1 1

h(1-k) 1 1 1

h(2-k) 1 1


13/18

Calcule la combinacin en cascada y paralelo de dos sistemas cuyas

respuestas impulsionales son y , siendo .Para la combinacin en paralelo,

, -De esta expresin observamos que los trminos impares se anulan ya que

el trmino entre parntesis es cero. Adems, , para k=0,1, y , para k=0,1,, por lo que obtenemos:

La secuencia obtenida es real, podramos haber obtenido el mismo

resultado expresando con lo que 0 1 Para la disposicin en cascada:

La primera funcin escaln es nula para kn. Por

tanto, el sumatorio se convierte en:

Por tanto, para n impar tenemos que h(n)=0 y para n par y,en consecuencia, la secuencia es compleja. Dado que son


14/18

secuencias casuales, la secuencia resultante debe ser causal, como hemos

obtenido.

La correlacin entre dos seales x(n) e y(n) viene dada por la expresin:

Determine qu relacin existe entre la convolucin de x(n) e y(n) y su

correlacin, .

Dadas dos secuencias x(n), y(n) se define su convolucin como:

Que podemos expresar como

Si reflejamos la secuencia y(n),

Obtenemos la expresin de la correlacin en el segundo trmino dela igualdad. Por tanto, la relacin es

Es decir, podemos aplicar los mismos procedimientos que hemos visto

para la convolucin y si empleamos el clculo tabular, no ser necesario

reflejar la segunda secuencia.


15/18

Determine la energa de la siguiente secuencia:

0, En otro caso

Aplicando la definicin de energa se tiene que

Si aplicamos la frmula de Euler para expresar el coseno como suma de

exponenciales complejas ), obtenemos:

Calculamos

. Si sustituimos

y tenemos encuenta que , este sumatorio es nulo. Lo mismo ocurre con eltrmino de la exponencial negativa, luego:


16/18

Las secuencias siguientes representan un periodo fundamental de una

secuencia sinusoidal del tipo

. Determine los valores de

en cada caso:a) { }

A partir dey dando valores a n:

Consideremos el primer trmino (n=0)

Consideremos para n=4:

. / . /

La primera solucin implica que con lo que la secuencia generadaseria constante que no coincide con x(n). Con la segunda solucin tenemos

. Ahora, para determinar A, podemos calcular x(n) para n=1,

. /

La secuencia es . /si tomamos

y sustituimos para

n=4, obtenemos

con lo que

. Sustituyendo estos valores

en la expresin general y considerando n=1 obtenemos A=2 luego:

Si manipulamos esta expresin:


17/18

.

/

Donde hemos tenido en cuenta que la seal coseno es peridica con

periodo y simtrica; es decir obtenemos la misma solucin:

b) *+Otra forma de hacerlo sera considerando que la seal es peridica con

periodo luego Si , podemosdesarrollar as:

Como , tenemos que .Para calcular solo necesitamos conocer el valor de la secuencia endos puntos.

Para n=0, tenemos:

La solucin ms sencilla es considerar pero existen infinitassoluciones del tipo:

c) * +La seal es peridica de periodo N=4 luego por lo que .Considerando tenemos:

.

/

.

/

Con lo que:


18/18

Si elegimos obtenemos A=pero si damos valores a n comprobamos

que la secuencia obtenida es * +que no es la correcta.

Problemario 2

Documents