Prak Statistika

Politeknik Telkom Praktikum Statistika

i MODUL 1

PRAKTIKUM STATISTIKA

POLITEKNIK TELKOM

BANDUNG

2008


ii MODUL 1

Dilarang menerbitkan kembali, menyebarluaskan atau menyimpan baik

sebagian maupun seluruh isi buku dalam bentuk dan dengan cara apapun

tanpa izin tertulis dari Politeknik Telkom.

Hak cipta dilindungi undang-undang @ Politeknik Telkom 2008

No part of this document may be copied, reproduced, printed, distributed, modified,

removed and amended in any form by any means without prior written

authorization of Telkom Polytechnic.

Copyright @ 2008 Telkom Polytechnic. All rights reserved


iii MODUL 1

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Wr. Wb.

Segala puji bagi Allah SWT karena dengan karunia-Nya courseware ini dapat

diselesaikan.

Atas nama Politeknik Telkom, kami sangat menghargai dan ingin

menyampaikan terima kasih kepada penulis, penerjemah, dan penyunting atas

kontribusi yang telah diberikan sehingga courseware ini dapat tersusun.

Kami mendorong para pengajar & mahasiswa untuk memberikan masukan

yang positif. Saran mereka akan menjadi bahan pertimbangan yang serius dan

banyak yang akan dimasukkan sebagai bahan perbaikan di edisi berikutnya.

Kami akan sangat menghargai apabila semua pihak dapat menyampaikan

pendapatnya melalui [email protected].

Semoga courseware ini dapat memberikan manfaat bagi seluruh Civitas

Akademika Politeknik Telkom dalam memahami materi perkuliahan di

Politeknik Telkom.

Wassalamu’alaikum Wr. Wb.

Bandung, Desember 2008

Christanto Triwibisono

Wakil Direktur I

Bidang Akademik & Pengembangan

mailto:[email protected]


iv MODUL 1

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR .............................................................. iii

DAFTAR ISI .............................................................................. iv

1 PENGENALAN MINITAB 15, DATA, DAN

TEKNIK PENGAMBILAN SAMPEL ................... 1-1

1.1 Menu-menu pada Minitab 15 ....................................... 1-2

1.2. Mengenal Data ............................................................. 1-14

1.2.1 Populasi dan sampel ................................................... 1-14

1.2.2 Skala pengukuran ....................................................... 1-15

1.3 Metode Sampling .......................................................... 1-17

1.4 Aplikasi dengan minitab ................................................ 1-19

2 STATISTIKA DESKRIPTIF ................................. 2-1

2.1 Ukuran Pemusatan ........................................................... 2-2

2.2 Ukuran Penyebaran ......................................................... 2-2

2.5 Penyajian dalam Bentuk Grafik ........................................ 2-5

2.6 Aplikasi dengan minitab ................................................... 2-6

3 KENORMALAN DATA ........................................ 3-1

3.1 Distribusi normal ............................................................. 3-2

3.2 Statistik uji kenormalan .................................................. 3-3

3.3 Aplikasi dengan minitab ................................................... 3-5

4 TRANSFORMASI DATA ..................................... 4-1

4.1 Transformasi untuk satu angkatan data ........................... 4-2

4.2 Transformasi untuk beberapa angkatan data (menyamakan

sebaran) ........................................................................ 4-3

4.3 Aplikasi Minitab ............................................................. 4-5

5 UJI HIPOTESIS STATISTIK DAN PROPORSI 5-1

5.1 Hipotesis statistik ............................................................ 5-2

5.1.1 Pengujian hipotesis untuk satu nilai tengah ................. 5-3

5.1.2 Pengujian hipotesis untuk selisih dua nilai tengah ....... 5-4


v MODUL 1

5.1.3 Aplikasi dengan minitab ................................................ 5-7

5.2 Uji proporsi .................................................................. 5-11

5.2.1 Uji terhadap satu nilai proporsi ................................. 5-11

5.2.2 Aplikasi dengan Minitab .............................................. 5-12

5.2.3 Pendekatan normal baku untuk uji terhadap satu nilai proporsi ...................................................................... 5-15


5.2.5 Pengujian perbandingan dua proporsi ....................... 5-17


6 ANALISIS VARIANSI .......................................... 6-1

6.1 Asumsi-asumsi pada analisis variansi ............................... 6-2

6.2 Uji Kesamaan Ragam ....................................................... 6-2

6.3 Tabel analisis variansi ....................................................... 6-3

7 REGRESI LINIER DAN NON-LINIER

SEDERHANA ........................................................ 7-1

7.1 Regresi ............................................................................. 7-2

7.1.1 Model untuk regresi linier sederhana ......................... 7-2

7.1.2 Model regresi non linier .............................................. 7-4

7.1.2.1 Model eksponensial .................................................. 7-4

7.1.2.2 Model geometrik (power ) ....................................... 7-4

DAFTAR PUSTAKA ..........................................................


1-1 MODUL 1

1 PENGENALAN MINITAB 15, DATA, DAN

TEKNIK PENGAMBILAN SAMPEL

Overview

Modul ini memberikan pengenalan singkat tentang software Minitab 15

kepada mahasiswa. Pengenalan tentang menu diberikan diawal, sehingga

diharapkan mahasiswa memiliki gambaran umum tentang penggunaan

software ini. Setelah dapat menjalankan software ini, mahasiswa akan

dikenalkan pada beberapa jenis data berdasarkan skala pengukurannya. Pada

tahap akhir, mahasiswa akan diajarkan tentang pengambilan sampel dari

populasi dengan menggunakan beberapa teknik sampling

Tujuan

1. Mahasiswa mendapatkan gambaran singkat tentang software Minitab

2. Mahasiswa dapat membedakan data berdasarkan skala pengukurannnya

3. Mahasiswa dapat melakukan pengambilan data sampel berdasarkan data

populasi dengan menggunakan beberapa metode sampling


1-2 MODUL 1

1.1 Menu-menu pada Minitab 15

Pada software minitab, tampilannya ada 2, yaitu windows worksheet dan

windows session. Worksheet merupakan tempat untuk mengetikkan data dan

menampilkan hasil pengolahan data. Sedangkan session merupakan tempat

untuk menampilkan semua perintah-perintah (command-command) yang

telah kita lakukan dalam bentuk program dan hasil dari pengolahan data yang

tidak dapat ditampilkan pada worksheet. Adapun tampilan minitab sebagai

berikut :

Adapun menu-menu pada minitab 15 yaitu :

1. File

Pada menu file terdapat sub-sub menu antara lain :

- New : menampilkan worksheet baru


1-3 MODUL 1

- Open project : menampilkan data yang telah disimpan pada file kita.

Di bawah open project, terdapat save projects, save projects as,

project description.

- Open worksheet : menampilkan data yang telah disimpan dan disediakan software minitab. Di bawah sub menu ini, terdapat save

worksheet, save worksheet as.


1-4 MODUL 1

- Query database :

- Open graph : membuka grafik yang telah disimpan

- Other file : membuka data dari file lain

- Print session window : mencetak tampilan pada session.

- Print setup : mencetak dengan pengaturan tampilan pada worksheet dan session.

- Exit : Keluar dari minitab

Adapun tampilan dari menu file sebagai berikut :


1-5 MODUL 1

2. Edit

Sub-sub menu pada menu edit adalah :

- undo : kembali ke pekerjaan ke- n-1 (bila kita diposisi n)

- redo : kembali ke pekerjaan ke- n+1 (bila kita diposisi n)

- Clear cells : membersihkan data pada sel-sel worksheet

- Delete cells : menghapus sel-sel

- Copy cells : menyalin data pada sel

- Cut cells : memotong sel (menyalin dan menghapus)

- Worksheet link : memindahkan data yang telah disalin baik dari sel, atau file minitab atau word, excel, dan lain-lain.

- Select all cells : memilih atau menyorot semua data pada sel-sel

untuk pengolahan

- Edit last dialog : mengedit dialog terakhir

- Command line editor : digunakan untuk mengeksekusi perintah secara cepat atau mengekseksekusi ulang atau mengedit perintah

yang digunakan pada sesi sebelumnya.


1-6 MODUL 1

3. Data

Menu data berisi perintah-perintah menampilkan data. Sub-sub menu

yang terdapat pada menu data yaitu :

- Subset worksheet : menampilkan sebagian worksheet

- Split worksheet : membagi worksheet menjadi beberapa worksheet

- Merge worksheet : menggabungkan beberapa worksheet

- Sort : mengurutkan data (mengurutkan suatu kolom berdasarkan kolom lainnya )

- Rank : merangking data (membuat rangking suatu kolom)

- Delete rows : menghapus baris

- Erase variabels : menghapus variabel-variabel

- Copy columns : mengkopi kolom

- Stack/unstack : menggabung data pada kolom yang berbeda menjadi satu kolom/ memisahkan data pada satu kolom menjadi beberapa

kolom berdasarkan kriteria tertentu

- Code : mengkonversi data (numerik ke numerik, numerik ke teks dsb)

- Change data type : merubah tipe data

- Extract from Date/Time : ekstrak data numerik ke text atau sebaliknya

- Concatenate : menggabung dua atau lebih kolom yang berisi data

text menjadi satu kolom, syarat penjang kolom sama.

- Display data : menampilkan data


1-7 MODUL 1

4. Calc (calculation)

Pada menu calc terdapat sub-sub menu :

- Calculator : untuk melakukan perhitungan (penjumlahan, perkalian,

pembagian, sinus, maksimum, eksponen, dan lain-lain)

- Column statistics : menghitung ukuran-ukuran statistik dari suatu kolom

- Row statistics : menghitung ukuran-ukuran statistik dari suatu baris

- Standardize : menormalisasikan data

- Make patterned data : membuat suatu kolom(data) dengan pola tertentu

- Make mesh data : Membuat sebuah fungsi dua dimensi seperti

permukaan berdasarkan pasangan nilai x dan y

- Make indicator variables : membuat variabel dummy untuk data kualitatif

- Set base : menetapkan titik awal untuk pembangkitan data acak. Bila

kita tidak mengeset titik tersebut, maka titik tersebut akan

ditentukan oleh minitab.

- Random data : membangkitkan data acak dari berbagai distribusi

- Probability distributions : menghitung peluang dan distribusi kumulatif peluang dan inversnya dari berbagai distribusi peluang.

- Matrices : merupakan sub menu untuk menghitung matriks dan

operasi-operasinya

Adapun tampilan menu calc adalah


1-8 MODUL 1

5. Menu Stat

Sub-sub menu pada menu stat adalah :

- Fit interceps : mendefault intersep pada persamaan regresi

- Basic statistics : a) descriptiv statistics : menampilkan ukuran-ukuran statistics, seperti mean, median, trimean, standart deviasi, kuartil,

maksimum dan minimum, b) uji hipotesis 1 sampel, 2 sampel , c)

correlation, d) covariance, e) normallity test

- Regression : mencari persamaan regresi serta analisisnya, baik regresi linier maupun non linier untuk kuantitatif maupun kualitatif

- Anova : menganalisis perbedaan lebih dari dua populasi berdasarkan

nilai ragam

- DOE : membuat desain rancangan percobaan faktorial

- Control charts : membuat bagan-bagan kendali

- Quality tools : mengalisis data untuk pengendalian kualitas

- Reliability/survival : membuat plot untuk analisis kehandalan sistem

- Multivariate : menganalisis data banyak peubah

- Time series : menganalisis data deret waktu untuk peramalan

- Tables : membuat tabel kontingensi dan analisis korespondensi

- Nonparametrik : menganalisis data kualitatif tanpa asumsi distribusi tertentu

- EDA (Eksploratory Data Analysis) : memahami dan mengalisis data

melalui diagram dahan daun, box plot, garis resisten, dll

- Power and sample size : digunakan untuk menghitung power (peluang kita akan menolak H0 ketika ia salah), ukuran sampel,

perbedaan minimum (ditampilkan sebagai nilai proporsi alternatif)

pada uji satu proporsi.


1-9 MODUL 1

Tampilan menu stat adalah sebagai berikut :

6. Menu Graph

Pada menu graph berisi sub-sub menu seperti pada tampilan di bawah

yang digunakan untuk membuat grafik-grafik seperti histogram, diagram

lingkaran, plot, countur, plot untuk data time series, box plot, diagram

dahan daun. Untuk grafik-grafik tertentu dapat ditampilkan dalam dua

dimensi maupun tiga dimensi.


1-10 MODUL 1

7. Menu Editor

Berikut adalah sub-sub menu editor pada worksheet :

- Next column : memindahkan kursor ke kolom berikutnya

- Go to active cell : memindahkan kursor ke sell yang aktif

- Format column : memformat kolom dalam numerik, tanggal, text.

- Column : mengatur ukuran-ukuran kolom

- Formulas : menampilkan formula-formula ke kolom dan menghitung formula secara otomatis.

- Worksheet : mengedit sel yang sedang aktif dan merubah arah

inputan

- Define custom list : mengurutkan data

- Clipboard setting : merubah setting untuk data hilang


1-11 MODUL 1

Adapun tampilan menu editor adalah :

Berikut adalah sub-sub menu pada menu editor session :

- Next command : memindahkan kursor ke command berikutnya

- Previous command : memindahkan kursor ke command sebelumnya

- Enable command language : menampilkan bahasa pemrograman yang

dieksekusi , MTB >

- Output editable : mengeset tampilan output hanya dapat di baca

- Find : mencari kata tertentu dalam lingkup session

- Replace : mencari kata tertentu dan menggantinya dengan kata lain

dalam lingkup session

- Apply Font : command font untuk memberlakukan pemilihan font untuk I/O, title, command.


1-12 MODUL 1

8. Tools

Adapun sub-submenu pada menu tools adalah

- Microsoft Calculator : Menampilkan menu calculator microsoft

- Notepad : Menampilkan notepad

- Windows Explorer : Menampilkan menu windows explorer

- Toolbars : Untuk men-setting tool – tool yang ingin ditampilkan atau tidak

- Status Bar : Status bar terletak dibagian bawah layar dan menampilkan pesan yang menjelaskan item menu dan toolbars yang

saat ini sedang aktif.

- Customize : Digunakan untuk mengedit/menambah/menampilkan

shortcut perintah (command), Toolbars, tool dan lain-lain pada

Minitab

- Options : Digunakan untuk merubah dan menyimpan settingan standar untuk berbagai macam operasi

- Manage Profiles :Digunakan untuk membuat, menghapus,

mengaktifkan atau menonaktifkan satu atau beberapa profil termasuk

mengubah urutan nya.

- File Security :digunakan untuk melindungi file proyek dari pihak lain


1-13 MODUL 1

Tampilan menu tools adalah

9. Menu Windows

Sub-sub menu pada menu windows digunakan untuk mengatur tampilan

dari windows minitab dan menyimpan data, session, grafik yang telah

dibuat untuk sementara, yaitu :


1-14 MODUL 1

10. Menu Help

Menu ini digunakan untuk membantu user, apabila terdapat kesulitan

waktu menggunakan minitab, baik masalah teori, maupun commandnya.

1.2. Mengenal Data

1.2.1 Populasi dan sampel

Persoalan-persoalan yang muncul dalam berbagai bidang, hampir seratus

persen berhubungan dengan data. Data dalam bidang statistika merupakan

keterangan atau informasi mengenai suatu kejadian, biasanya dinyatakan

dengan angka. Diharapkan nantinya data dapat memberikan informasi lebih

banyak bagi yang bersangkutan. Sebelum membahas tentang data, terlebih

dahulu akan dibahas sekilas tentang statistika, populasi, dan sampel. Statistika

yaitu suatu ilmu yang mempelajari tentang data, meliputi teknik pengambilan

data, pengolahan dan penyajiannya, kemudian analisis dan kesimpulan serta

pengambilan keputusan dari kesimpulan yang diperoleh lewat analisis.

Sedangkan data itu sendiri merupakan keterangan yang menggambarkan

kondisi saat itu.

Berdasarkan sumbernya data dibedakan menjadi dua, yaitu 1) data primer dan

2) data sekunder. Data primer adalah keteranngan atau informasi secara


1-15 MODUL 1

umum yang diperoleh oleh dari penelitian peneliti sendiri. Sedangkan data

sekunder merupakan data yang diambil dari penelitian orang lain pada suatu

publikasi.

Berkaitan dengan pengambilan data, terdapat dua istilah yaitu populasi dan

sampel. Populasi adalah seluruh objek yang diamati. Sedangkan sampel adalah

objek yang diamati adalah sebagian dari populasi. Diharapkan pengambilan

sampel yang dilakukan dapat mewakili populasi. Beberapa hal yang mendasari

pengambilan sampel adalah :

1. Waktu

Bila waktu untuk penelitian terbatas, maka pengambilan sampel dapat

dipilih sebagai alternatif pengambilan data.

2. Biaya

Untuk penelitian mengenai suatu komponen yang harganya mahal, bila

pengambilan populasi dilakukan, maka biaya yang dikeluarkan akan besar.

Sehingga untuk biaya yang terbatas, perlu dilakukan pengambilan sampel.

3. Populasi tidak pasti

Salah satu contoh populasi tidak pasti adalah, bila penelitian kita tentang

orang berpenyakit flu burung, maka kita akan kesulitan menentukan

populasinya, karena tanpa pemeriksaan akan sulit ditentukan seseorang

kena flu burung atau tidak. Sehingga pengambilan sampel perlu dilakukan

yaitu pasien flu burung pada suatu rumah sakit.

4. Ketelitian

Hal ini berhubungan dengan waktu dan biaya yang terbatas. Misal biaya

dan waktu penelitian terbatas, maka jumlah tenaga yang membantu

penelitian akan menjadi pertimbangan, sehingga hasilnya pengolahannya

berpengaruh pada tingkat ketelitian.

1.2.2 Skala pengukuran

Skala pengukuran merupakan bagian yang paling mendekati pengukuran data

baik secara diskret maupun kontinu. Skala ini sangat penting, karena berkaitan

dengan pemilihan teknik analisis statistika yang sangat bergantung pada sifat


1-16 MODUL 1

data dan skala pengukuran yang digunakan. Ditinjau berdasarkan skala

pengukurannya, data dapat dibedakan menjadi beberapa kelompok, yaitu (

dari yang terendah sampai yang tertinggi ) :

a. Skala Nominal

Data yang termasuk dalam kelompok ini memiliki ciri bahwa data tidak

memiliki tingkatan. Satu – satunya operator matematika yang berlaku

adalah persamaan dan pertidaksamaan.

Contohnya adalah data tentang jenis kelamin, agama, jenis penyakit dan

sebagainya.

b. Skala Ordinal

Sudah ada tingkatan pada data yang masuk kelompok ini, hanya saja

belum ada ketentuan jarak yang sama antar tingkatan,serta ada hubungan

lebih dari.

Contohnya adalah data tentang golongan kepegawaian, kepangkatan, nilai

huruf, peserta kontes kecantikan, jenis komputer dan sebagainya.

c. Skala Interval

Selain sudah memiliki tingkatan seperti data pada skala ordinal, data yang

masuk dalam kelompok ini juga memiliki sifat bahwa jarak antar tingkatan

adalah sama. Hal ini diperiksa melalui selisih antar tingkatan selalu tetap

Sebagai contoh data suhu yang diukur dalam Celcius, selisih antara suhu

30 dan 29 akan sama dengan selisih suhu 10 dan 11 atau dengan yang

lainnya. Ciri lain dari data ini adalah nilai 0 belum memiliki arti sebenarnya

( tidak ada).

Contohnya adalah suhu 0 derajat bukan berarti tidak ada suhu, tahun 0

bukan berarti tidak ada tahun.

d. Skala Rasio

Data yang memiliki skala ini memiliki tingkatan yang paling tinggi. Semua

sifat pada skala interval juga ada pada data skala rasio ini. Tambahan sifat

untuk jenis data ini adalah nilai 0 sudah memiliki arti yang sebenarnya

( tidak ada ).

Contoh adalah data tentang berat, tinggi, harga, volume dan sebagainya.


1-17 MODUL 1

Dengan mengetahui jenis data yang akan diolah, maka kita dapat menentukan

analisis yang tepat untuk data tersebut. Sebagai contoh data yang memiliki

skala Nominal hanya dapat disajikan dalam bentuk pie chart, bar chart dan

tidak dapat ditentukan ukuran ukuran statistik seperti mean, standard

deviation dan sebagainya. Data yang berskala Ordinal selain dapat dianalisa

seperti nominal juga dapat dianalisa lebih lanjut tetapi sebelumnya harus

ditransformasi ke bentuk numerik. Tetapi, kadang untuk pengolahan lebih

lanjut, data berskala ordinal dan nominal dapat diolah dengan menggunakan

statistika nonparametrik. Sedangkan data yang berskala interval atau Rasio

dapat dilakukan analisa yang lebih lengkap secara langsung. Analisa yang dapat

dilakukan pada data dengan kedua skala terakhir ini relatif sama.

1.3 Metode Sampling

Ditinjau dari pengambilan sampelnya, ada beberapa metode sampling (metode

pengambilan sampel ) yaitu :

1. Acak sederhana

Pada metode ini, pertama kita tentukan populasi yang akan diambil

sampelnya. Misalkan jumlah populasi = 200, maka untuk setiap unit

populasi tersebut diberikan nomor dari 1 sampai 200. Bila diinginkan

jumlah sampel sama dengan 10, dengan menggunakan tabel random

(lampiran A) dapat ditentukan 10 angka yang akan menentukan nomor

unit populasi yang akan diambil.

Misalkan dipilih baris 5 kolom 4,5 dan 6 sebagai titik awal, dan dipilih arah

ke kanan (boleh ke atas,kiri atau bawah) maka nomor sampel secara random yang diperoleh adalah

532, 115, 916, 239, 505, 956, 250, 961, 207, 868

Karena jumlah populasi = 200, maka angka – angka yang melebihi 200

akan dihilangkan digit ratusannya. Sehingga nomor sampel randomnya

menjadi

32, 115, 16, 39, 05, 56, 50, 61, 07, 68

Banyaknya digit bilangan random sebagai titik awal tergantung dari

banyaknya digit maksimal populasi.


1-18 MODUL 1

2. Random Berstrata ( berlapis )

Dalam metode ini, langkah pertama adalah populasi dikelompokkan

dalam beberapa kelompok agar lebih homogen, kemudian dari masing

masing kelompok diambil sampel berukuran tertentu ( secara

proporsional ) secara acak seperti pada metode pertama.

3. Sistematik

Dalam metode ini pertama tama populasi diberi nomor dari 1 sampai

N. Kemudian secara acak ditentukan sebuah nomor antara 1 sampai N

(misal k) dan dibuat suatu barisan aritmatika dengan suku awal k dengan

pertambahan tertentu sampai didapat n data. Bila suatu suku bernilai

lebih dari N maka suku tersebut harus dikurangi N atau kelipatannya.

Nilai penambahan adalah bilangan bulat sedemikian hingga nilainya dekat

dengan n

N dengan N : ukuran populasi dan n : ukuran sampel.

Contoh

Sebuah populasi berukuran 100 dan akan diambil sampel berukuran 15.

Misalkan bilangan acak pertama dipilih 70 agar merata maka

pertambahannya bisa dipilih sekitar 7. Hasil selengkapnya bisa dilihat pada

tabel berikut :

No Barisan Sampel yg terpilih

1 70 70

2 77 77

3 84 84

4 91 91

5 98 98

6 105 5

7 112 12

8 119 19

9 126 26

10 133 33

11 140 40

12 147 47

13 154 54

14 161 61

15 168 68


1-19 MODUL 1

4. Bergerombol ( cluster )

Pada metode ini teknik yang digunakan mirip dengan metode acak

sederhana hanya saja disini yang menjadi unit sampelnya adalah berupa

cluster cluster yang mana masing masing cluster berisi elemen

elemen yang yang lebih kecil. Yang menjadi pedoman untuk

menentukan cluster adalah bahwa cluster cluster tersebut memiliki

karakteristik yang hampir sama.

Contoh

Sebuah populasi berukuran 1000 tetapi dapat dikelompokan dalam

kluster kluster yang berukuran 10, jadi total klusternya adalah 100.

Misalkan dari 100 cluster tersebut akan diteliti sebanyak 6 cluster

maka dengan metode acak sederhana dapat ditentukan 6 kluster yang

terpilih. Unit unit sampel yang diteliti adalah keseluruhan unit populasi atau sebagian unit yang terletak didalam 6 kluster terpilih

tersebut.

1.4 Aplikasi dengan minitab

Menentukan sampel dengan beberapa metode sampling

A. Acak sederhana

Pada metode ini, pertama kita tentukan populasi yang akan diambil

sampelnya. Misalkan jumlah populasi = 200, maka untuk setiap unit

populasi tersebut diberikan nomor dari 1 sampai 200. Bila diinginkan

jumlah sampel sama dengan 20, dengan menggunakan tabel random dapat

ditentukan 20 angka yang akan menentukan nomor unit populasi yang

akan diambil.


1-20 MODUL 1

Adapun langkah-langkahnya adalah :

1. Pilih calc, make patterned Data kemudian Simple Set o Numbers

2. Isilah tabel yang keluar sesuai tabel berikut

Pada langkah ini merupakan proses pemberian nomor populasi

3. Pilih calc,Random Data kemudian Sample From Columns

4. Isilah tabel yang keluar sesuai tabel berikut ( proses ini merupakan

pengambilan sampel berukuran 20 secara acak ). Dalam langkah ini

kemungkinan setiap orang akan mendapatkan hasil yang berbeda.


1-21 MODUL 1

5. Hasil yang keluar diatas merupakan nomor nomor unit populasi yang

akan diambil sebagai sampel (pada kolom sampel) yaitu :

Sampel

72

10

102

156

64

169

2

15

147

164

126

117

121

48

176

110

114

199

79

135

B. Random Berstrata (berlapis)

Misalkan dimiliki data populasi yang terdiri atas 60 mahasiswa jurusan

Teknik Telekomunikasi, 50 mahasiswa Teknik Informatika dan 40

mahasiswa Teknik Industri. Bila ingin diambil sampel sebanyak 20

mahasiswa secara sistematis maka dilakukan dengan langkah – langkah

berikut .


1-22 MODUL 1

1. Buat nomor 1 sampai 60 untuk mahasiswa Teknik Telekomunikasi, 1

sampai 50 untuk Teknik Informatika dan 1 sampai 40 untuk Teknik

Industri.

2. Hitung jumlah sampel untuk masing – masing jurusan.

Teknik Telekomunikasi

820405060

601 xn

Teknik Informatika

620405060

502 xn

Teknik Industri

620405060

403 xn

3. Buat patterned data sebanyak 60,50 dan 40 seperti pada langkah

sebelumnya kemudian simpan(Store samples in) dalam kolom yang

terpisah(C3,C4 dan C5).

4. Lakukan pengambilan secara acak untuk masing – masing

jurusan(patterned data) seperti pada pengambilan sampel acak sederhana

dengan ketentuan 8 berasal dari jurusan Teknik Telekomunikasi(C3), 6

dari jurusan Informatika(C4) dan 6 orang dari jurusan Teknik

Industri(C5).

C. Sistematis

Misalkan dimiliki populasi sebanyak 200 dan akan diambil sampel sebanyak 30,

maka langkah – langkahnya adalah sebagai berikut

1. Tentukan salah satu nilai sebagai titik awal misalkan 50.

2. Nilai pertambahan 730

200

3. Buat patterned data pada file baru dengan nilai pertambahan (in step of)

= 7, nilai awal(From first value) = 50 dan nilai akhir (To last value) =

260.


1-23 MODUL 1

4. Ambil 30 nomor sampel yang pertama, hasilnya adalah

No Barisan Sampel yg terpilih

1 50 50

2 57 57

3 64 64

4 71 71

5 78 78

6 85 85

7 92 92

8 99 99

9 106 106

10 113 113

11 120 120

12 127 127

13 134 134

14 141 141

15 148 148

16 155 155

17 162 162

18 169 169

19 176 176

20 183 183

21 190 190

22 197 197

23 204 04

24 211 11

25 218 18

26 225 25

27 232 32

28 239 39

29 246 46

30 253 53


1-24 MODUL 1

D. Bergerombol

Misalkan akan diteliti kualitas suatu minuman mineral botol yang dikemas

dalam kotak. Jumlah kotak keseluruhan adalah 100 kotak dimana masing –

masing kotak berisi 10 botol dan sampel yang diinginkan adalah 50 botol.

Alternatif yang dapat dilakukan antara lain dari 100 kotak diambil 5 kotak

secara acak kemudian semua botol dalam kotak tersebut diteliti. Alternatif

lain yang dapat dipilih dari 100 kotak tersebut dipilih 10 kotak acak kemudian

dari 10 kotak tersebut dipilih 5 botol secara acak. Misalkan alternatif kedua

yang dipilih :

1. Beri nomor 1 sampai 100 semua kotak yang dimiliki.

2. Buat patterned data pada file baru sebanyak 100 seperti pada langkah

sebelumnya kemudian simpan dalam kolom yang tertentu(C1)

3. Ambil 10 sampel secara acak berdasarkan kolom C1 simpan pada C2.

4. Beri nomor 1 sampai 10 pada seluruh botol untuk 10 kotak yang terpilih.

5. Buat patterned data pada file baru sebanyak 10 seperti pada langkah

sebelumnya kemudian simpan dalam kolom C3

6. Ambil 5 sampel secara acak berdasarkan kolom C3 simpan pada C4,

ulangi sampai 10X dan simpan dalam kolom yang berbeda.

7. Semua nomor sampel yang terpilih pada masing – masing kotak

merupakan unit sampel yang akan diteliti.

Latihan

1. Tentukan sampel berukuran 30 dari populasi dengan ukuan 300

2. Tentukan sampel berukuran 30 yang diambil dari populasi yang

dikelompokkan dalam 4 kelompok dengan ukuran 25,50,75 dan 100

3. Tentukan sampel berukuran 20 yang diambil dari populasi berukuran

200 dengan metode sistematik

4. Suatu populasi berukuran 500 dan dikelompokkan dalam 25 kluster.

Bila nomor populasi 1 20 masuk dalam kluster 1, nomor populasi

21 40 masuk dalam kluster 2 dst. Bila dari 25 kluster tersebut

diambil 5 secara acak, tentukan nomor nomor populasi mana yang

akan masuk dalam sampel !


2-1 MODUL 2

2 STATISTIKA DESKRIPTIF

Overview

Modul ini memberikan panduan secara singkat tentang teknik penyajian dan

analisis data secara deskriptif. Pada tahap awal, mahasiswa dikenalkan serta

diajarkan menampilkan pada beberapa ukuran statistik seperti ukuran

pemusatan, ukuran penyebaran dan ukuran letak dengan menggunakan

software minitab. Ukuran – ukuran ini adalah ukuran – ukuran sering yang

digunakan dalam penyajian data secara deskriptif. Pada tahap selanjutnya

mahasiswa akan diajarkan cara menyajikan data dalam bentuk tabel frekuensi

dan juga dalam graph seperti : histogram, box plot dan diagram dahan daun

beserta analisa hasilnya

Tujuan

1. Mahasiswa dapat menentukan beberapa ukuran pemusatan dan

penyebaran data

2. Mahasiswa dapat membuat tabel distribusi frekuensi

3. Mahasiswa dapat menyajikan data dalam bentuk histogram, box plot dan

diagram dahan daun


2-2 MODUL 2

2.1 Ukuran Pemusatan

Terdapat beberapa ukuran pemusatan dalam statistika deskriptif antara lain

mean, median, dan modus.

Mean adalah rata rata dari data dan dinotasikan dengan ataux , di

mana x menyatakan rata rata sampel dan menyatakan rata rata

populasi. Secara umum mean memiliki rumusan sebagai berikut :

n

xx i

, n banyaknya sampel

N

x i , N banyaknya populasi

Median adalah nilai yang membagi suatu gugus data yang telah terurut

menjadi 2 bagian yang sama. Median memiliki sifat bahwa di bawah nilai

median terdapat 50% data. Cara menentukan median sebagai berikut :

Misal X1, X2, …, Xn adalah data yang sudah terurut dari kecil ke besar,

maka untuk n ganjil 1

2nXmedian dan untuk n genap

12n

2n XX

2

1median .

Modus yaitu nilai yang paling sering muncul dalam suatu gugus data

Dalam penggunaannya, mean lebih sering digunakan dari pada ukuran

pemusatan lainnya karena keakuratannya dalam menentukan nilai tengah

suatu gugus data, walaupun ada beberapa kasus yang membuat nilai tengah

menjadi kurang tangguh, misalkan ada nilai yang dianggap ekstrim.

2.2 Ukuran Penyebaran

Beberapa ukuran penyebaran antara lain :

Range atau jangkauan yaitu menyatakan selisih antara nilai maksimum

dengan nilai minimum.


2-3 MODUL 2

Variansi adalah nilai tengah dari kuadrat penyimpangan antara xi terhadap

x . Variansi merupakan ukuran penyebaran yang sering digunakan dalam

statistika inferensia. Variansi dinotasikan S2 untuk sampel dan 2 untuk populasi. Variansi memiliki rumusan sebagai berikut :

1

22

n

xxS

i, di mana n banyaknya sampel

N

xi2

2 , di mana N banyayknya populasi

Simpangan baku merupakan akar dari variansi.

2.3 Ukuran Letak

Kuartil menyatakan nilai nilai yang membagi gugus data menjadi empat bagian

yang sama besar. Q1 menyatakan kuartil 1 yang memiliki sifat bahwa ¼ data

terletak di bawah Q1. Q2 sama dengan median. Sedangkan Q3 memiliki sifat

bahwa ¾ data terletak di bawah Q3. Untuk ukuran letak yang lainnya adalh

desil, persentil dll.

2.4 Distribusi Frekuensi

Distribusi frekuensi yaitu penyajian data dalam bentuk tabel. Di mana pada

tabel tersebut menampilkan ciri ciri penting sejumlah data yang diperoleh

dengan cara mengelompokkan data menjadi beberapa kelas, kemudian dari

masing masing kelas dihitung banyaknya pengamatan yang masuk. Langkah-langkah membuat tabel frekuensi :

1. Menentukan banyaknya kelas dengan kaidah Sturges yaitu 12kN ,

dimana Nk log3.31 . Banyaknya kelas sebaiknya antara 5 sampai 15.

2. Menentukan interval kelas (KI)

k

rangeKI

KI sebaiknya kelipatan 5.

3. Untuk komposisi kelas, perhatikan bahwa kelas tidak tumpang tindih.

4. Bila tabel distribusi frekuensi, nantinya digunakan untuk membuat

histogram atau poligon, maka komposisinya diubah ke bentuk batas kelas

(batas bawah kikurangi setengah dan batas atas di tambah setengah)


2-4 MODUL 2

Bila data disajikan sebagai data kelompok, maka ukuran pemusatan,

penyebaran dan letak dapat dihitung dengan menggunakan rumusan sebagai

berikut :

- Ukuran pemusatan

Mean : n

ii

n

iii

f

xf

x

1

1

ix = titik tengan kelas, if = frekuensi kelas

Median : pf

ffBx

m

smtb

21

~

bB = batas bawah kelas median tf = frekuensi total

mf = frekuensi kelas median p = interval kelas

smf = frekuensi kumulatif sebelum median

Modus : pba

aBx bˆ

amm ffa bmm ffb

mf = frekuensi kelas modus

amf = frekuensi sebelum kelas modus

bmf = frekuensi sesudah kelas modus

- Ukuran penyebaran

1

2

11

2

22

nn

cfcfn

pS

n

iii

n

iii


2-5 MODUL 2

- Ukuran letak

Kuarti ( 32 ,, QQQi )

3,2,1,4 ipf

ffBQ

p

spti

bi

pf = frekuensi pada kelas kuartil ke-i

spf = frekuensi sebelum kuarti

Pada tabel distribusi frekuensi, dapat juga diberikan coding untuk

mempermudah perhitungan statistik. Coding dilakukan dengan cara membagi

kelas menjadi dua yaitu kelas yang ditengah-tengah diberi kode nol, sedangkan

dua kelas di bawah dan di atasnya diberi kode negatif dan positif.

2.5 Penyajian dalam Bentuk Grafik

Histogram dibuat berdasarkan tabel distribusi frekuensi. Bila datanya

memiliki skala interval atau rasio, maka histogram dapat digunakan untuk

menyajikan data.

Box plot merupakan bentuk penyajian data yang hanya menggunakan

beberapa statistik yang disebut ringkasan lima angka yaitu nilai minimum,

Q1, median, Q3, nilai maksimum. Pada box plot dapat juga ditentukan

adanya pencilan atau tidak. Pencilan yaitu suatu nilai pada data yang

apabila dibandingkan dengan nilai data yang lain tidak konsisten. Pencilan

dibedakan menjadi pencilan jauh (dalam) dan pencilan jauh sekali (luar).

Untuk menentukan pencilan digunakan rumusan sebagai berikut :

Pagar dalam (p)

13321311 5.15.1 QQQpQQQp

Pagar luar (P)

13321311 22 QQQPQQQP

Pencilan dikatagorikan sebagai pencilan jauh bila letaknya data di antara

pagar dalam dan pagar luar. Sedangkan pencilan jauh sekali, bila data di

luar pagar luar.


2-6 MODUL 2

Diagram dahan daun adalah salah satu teknik penyajian data yang

menggunakan data asli secara langsung. Pada dasarnya dalam diagram

dahan daun, penyajian data terbagi atas dua kolom yaitu dahan dan daun,

dimana dahan berisi data dengan satuan yang lebih besar dari pada kolom

daun.

Dari ketiga bentuk penyajian data di atas, dapat dilihat bentuk distribusi data,

apakah simetri, menjulur ke kiri atau ke kanan. Sedangkan untuk memeriksa

kemencengan digunakan metode Pearson yaitu S

xx ~. Jika 0 , data

menceng ke kiri dan 0 , data menceng ke kanan.


Data adalah data penjualan voucher telepon di lima kota provinsi Jawa barat :

Bulan Bandung Sukabumi Garut Tasik Bogor

1 42 8 32 56 51

2 45 14 33 60 58

3 51 25 41 58 57

4 61 43 52 62 67

5 69 54 62 63 81

6 76 64 72 68 88

7 78 71 77 69 94

8 78 69 75 71 93

9 72 58 68 69 85

10 62 47 58 67 74

11 51 29 47 61 61

12 44 16 35 58 55


2-7 MODUL 2

Langkah-langkah menggunakan software minitab 15 adalah :

1. Ketikkan atau copy data tersebut pada worksheet minitab

2. Pilih menu stat, kemudian basic statistics, lalu klik summary graphics


2-8 MODUL 2

3. Pada kotak dialog, isi kolom tempat data pada variables, lalu klik OK

4. Hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut :


2-9 MODUL 2


2-10 MODUL 2

Dari keempat kota (Bandung, Sukabumi, garut, dan tasik) rata-rata penjualan

voucher telepon tiap bulannya adalah kota tasik yaitu 63.5 dengan variansi

terkecil 26,091. Untuk kota Bandung dan Garut penjualan voucher tiap

bulannya hampir merata, kota sukabumi penjualan terbanyak pada bulan-bulan

terakhir, sedangkan untuk kota tasik penjualan terbanyak pada bulan-bulan

pertama. (Lakukan pengolahan data penjualan voucher di kota Bogor dan

analisis)


2-11 MODUL 2

Latihan

1. Jarak (mil) yang ditempuh oleh suatu tipe kendaraan per gallon bahan

baker adalah:

15.7 16.2 18.2 16.3 17.9 18.1 16.8

17.6 18.1 16.7 16.7 16.0 17.4 17.0

18.6 17.1 14.1 17.5 17.0 17.6 15.6

16.0 17.7 16.1 18.6 15.2 17.1 19.5

17.0 16.9 16.9 16.7 17.3 16.3 17.3

17.0 15.6 15.6 17.9 16.0 17.7 18.2

14.7 17.1 15.2 17.0 17.8 16.1 18.2

16.5 17.7 18.8 14.6 16.5 16.6 15.6

14.9 17.5 16.1 18.5 15.8 16.9 17.3

17.1 15.9 17.1 17.1 16.4 15.6 16.3

a. Buatlah diagram dahan daun

b. Buat tabel distribusi frekuensi dan histogramnya

c. Hitung ukuran pemusatan, penyebaran, dan letak, kemudian buat

box plotnya

d. Kesimpulan apa yang bisa dinyatakan dari data tersebut , berdasarkan a, b, c.

e. Berapa persenkah jarak dari mobil tersebut yang kurang dari 15

mil/gallon, antara 15 dan 18 mil/gallon, dan lebih dari 18 mil/gallon.

2. Suatu penelitian dilakukan untuk mengetahui waktu respon sirkuit yang

digunakan pada kalkulator elektronik. Data yang diperoleh sebagai

berikut :

25 30 33 22 28

22 28 18 25 25

15 22 23 19 24

20 17 31 20 16

23 19 27 15 19

a. Buat box plot dari data tersebut

b. Buat tabel distribusi frekuensi dan histogram

c. Analisis data tersebut dari hasil a dan b


2-12 MODUL 2

3. Ketikan data score toefl dari 100 mahasiswa berikut pada kolom minitab

356 510 345 400 480

423 500 560 456 500

420 460 513 450 400

450 469 426 476 427

458 436 490 475 480

400 400 475 500 368

386 320 518 518 350

520 480 360 346 423

500 479 400 420 446

390 480 436 463 465

475 400 463 460 525

465 500 523 400 468

476 360 500 515 465

475 520 500 375 475

513 348 520 445 525

400 365 500 426 342

476 470 518 450 386

482 473 476 455 346

346 500 482 456 420

400 428 345 468 423

Buat diagram dahan daun, tabel distribusi frekuensi, histogram, lalu beri

kesimpulan


3-1 MODUL 3

3 KENORMALAN DATA

Overview

1. Modul ini memberikan pengenalan singkat tentang karakteristik data

yang berdistribusi normal dan pengujian kenormalan data. Karakteristik

data berdistribusi normal menyatakan gambaran dari data yang

berdistribusi normal ditinjau secara matematis. Karakteristik data belum

bisa digunakan dalam penentuan kenormalan data. Untuk menentukan

kenormalan data, dapat digunakan beberapa uji kenormalan. Modul ini

menyajikan 3 buah uji kenormalan yang dapat digunakan untuk menguji

kenormalan suatu data dengan ukuran statistik yang berbeda – beda

yaitu Statistik Shapiro Wilk W, Statistik Anderson Darling dan

Statistik Kolmogorov Smirnov.

Tujuan

1. Mahasiswa mengenal tentang data berdistribusi normal

2. Mahasiswa dapat menguji kenormalan data


3-2 MODUL 3

3.1 Distribusi normal

Distribusi peluang kontinu yang paling penting adalah distribusi normal. Grafik

dari suatu distribusi normal disebut kurva normal, bentuknya seperti lonceng

pada gambar dibawah ini. Suatu peubah acak X yang distribusinya berbentuk

lonceng, dinamakan peubah acak normal. Persamaan matematika dari

distribusi peluang peubah acak normal kontinu bergantung pada dua

parameter yaitu (rataan) dan (simpangan baku). Dengan demikian

fungsi densitas X dapat dinyatakan oleh : 2

21

2

1 x

exf – < X < .

Sifat-sifat distribusi normal :

1. 1dxxf

2. xxf ,0

3. 0lim xfx

dan 0lim xfx

4. xfxf

5. Nilai maksimum dari f terjadi pada x

6. Titik belok dari f terjadi pada x

x


3-3 MODUL 3

Kurva setiap distribusi kontinu dibuat sedemikian rupa sehingga luas daerah

dibawah kurva diantara dua koordinat 1xx dan 2xx sama dengan

peluang peubah acak X antara 1xx dan 2xx . Hal tersebut dapat

digambarkan sebagai berikut :

)( 21 xXxP = dxedxxnx

x

xx

x

2

1

221

2

1 2

1),;(

= Luas daerah yang diarsir

Untuk mengatasi kesulitan dalam menghitung integral fungsi densitas maka

dibuat table luas kurva normal sehingga akan memudahkan dalam

penggunaannya.

3.2 Statistik uji kenormalan

Dalam statistika parametrik, distribusi normal mendasari beberapa uji

statistik. Misal statistik t student, Fisher, Khai Square, dll. Sehingga dalam

pengolahan data statistik, biasanya diasumsikan data berasal dari populasi yang

berdistribusi normal. Ada dua cara untuk melihat kenormalan data yaitu

secara visual dan dengan uji statistik. Secara visual dengan menggunakan

histogram, dahan daun, box plot, tetapi cara ini bersifat subyektif. Biasanya

dengan uji statistik, akan lebih obyektif untuk mengatakan data berdistribusi

normal.

x2 x1 x


3-4 MODUL 3

Ada beberapa statistik uji kenormalan data antara lain :

1. Statistik Shapiro Wilk W

Statistik ini dikembangkan oleh Shapiro dan Wilk tahun 1965. Statistik

ini merupakan rasio antara dua penduga ragam. Statistik ujinya

dinamakan statistik W. Statistik W ini mengukur straightness dari plot

quantil quantilnya. Bila nilai dari W 1, maka data dikatakan normal.

2. Statistik Anderson Darling

Statistik ini dikembangkan oleh Anderson dan Darling tahun 1954.

Statistik Anderson Darling berdasarkan pada fungsi distribusi empirik. Statistik ujinya dinamakan statistik yang merupakan kuadrat dari selisih

antara luas histogram dengan luas daerah di bawah kurva normal. Bila

nilai P value , maka data berdistribusi normal. Biasanya digunakan

untuk data berukuran besar.

3. Statistik Kolmogorov Smirnov

Statistik ini menggunakan fungsi distribusi kumulatif dan berdasarkan

pada maksimum perbedaan antara dua distribusi, yaitu distribusi normal

dengan distribusi data yang diamati. Biasanya digunakan untuk data

berukuran 30. Bila nilai P value , maka data berdistribusi normal.


3-5 MODUL 3


Contoh 1

Langkah-langkah

1. Data adalah data produksi minyak bumi dalam periode waktu 14 bulan

dari 9 lokasi sumur pengeboran. Ketikan data ini pada kolom di minitab

t Smr

56

Smr

59

Smr

66

Smr

68

Smr

70

Smr

77

Smr

99

Smr

144

Smr

163

1 507 677 633 503 477 636 402 464 309

2 468 763 661 573 498 672 365 504 463

3 500 738 420 571 466 597 582 501 390

4 498 608 425 534 588 597 351 526 413

5 449 433 451 414 589 521 585 414 393

6 513 460 345 575 547 576 622 471 581

7 558 485 377 635 499 568 685 527 590

8 486 552 455 443 503 485 736 508 486

9 478 605 361 445 495 489 614 560 531

10 426 575 345 448 519 443 234 557 537

11 493 553 531 450 482 426 243 222 553

12 555 548 521 468 545 464 351 502 517

13 542 457 360 501 489 428 414 601 430

14 510 356 442 443 392 455 378 575 531


3-6 MODUL 3

2. Pilih menu stat, kemudian pilih basic statistik, lalu normality test

3. Setelah muncul kotak dialog berikut, Ketik C1 pada isian variable, lalu

klik pilihan tests for normality (asumsi 05.0 )


3-7 MODUL 3

Output masing-masing pilihan sebagai berikut :

Shapiro Wilk

P-Value (approx): > 0.1000

R: 0.9938

W-test for Normality

N: 126

StDev: 96.5048

Average: 498.310

700600500400300200

.999

.99

.95

.80

.50

.20

.05

.01

.001

Pro

ba

bili

ty

produksi

Normal Probability Plot

Pada gambar terlihat bahwa nilai statistik W = 0.9938 1, dengan pendekatan

nilai P value > 0.1, maka dapat dikatakan bahwa data berdistribusi normal.


3-8 MODUL 3

Statistik Anderson Darling

P-Value: 0.478

A-Squared: 0.346

Anderson-Darling Normality Test

N: 126

StDev: 96.5048

Average: 498.310

700600500400300200

.999

.99

.95

.80

.50

.20

.05

.01

.001

Pro

ba

bili

ty

produksi


Dengan menggunakan statistik ini diperoleh nilai P value = 0.478, nilai ini

lebih besar dari pada nilai = 0.05.


3-9 MODUL 3

Statistik Kolmogorov smirnov

Approximate P-Value > 0.15

D+: 0.036 D-: 0.050 D : 0.050

Kolmogorov-Smirnov Normality Test

N: 126

StDev: 96.5048

Average: 498.310

700600500400300200

.999

.99

.95

.80

.50

.20

.05

.01

.001

Pro

ba

bili

ty

produksi


Pada gambar terlihat bahwa pendekatan nilai P value > 0.15, nilai ini lebih

besar dari pada nilai = 0.05.

Dari ketiga output di atas, terlihat bahwa untuk ukuran data besar, statistik

Anderson Darling lebih powerfull.


3-10 MODUL 3

Contoh 2

1. Buka software minitab kemudian pilih menu calc , Random Data

kemudian binomial. Pada langkah ini kita akan membangkitkan data yang

berdistribusi binomial. Pada box

yang keluar isilah sesuai isian berikut ini kemudian ok

2. Data yang sudah dipeoleh ini kita anggap sebagai data populasi. Dari data

populasi ini selanjutnya akan kita ambil beberapa sampel berukuran 5, 10

dan 20 untuk selanjutnya akan dibandingkan variansi dari rataan

sampelnya. Dari menu utama pilih calc , Random Data kemudian

sample from column . Isilah box yang keluar seperti isian berikut


3-11 MODUL 3

3. Ulangi langkah 2 sebanyak 5x untuk masing masing ukuran sampel, jadi

akan terdapat 5 sampel berukuran 5, 5 sampel ukuran 10 dan 5 sampel

ukuran 20

4. Dari setiap sampel hitunglah rata ratanya kemudian untuk setiap

ukuran sampel hitunglah rata rata dan variansinya. Anda bisa

menggunakan software lain untuk menghitung rata rata dan variansinya misalnya microsoft Excel .Mungkin hasil yang keluar ini bisa berbeda

dengan hasil perhitungan anda

no sampel ukuran 5 ukuran 10 Ukuran 20

1 39.6 41.4 40.45

2 42.6 40.9 40.7

3 40 37.7 42.85

4 37 42.8 41.85

5 42 38.8 40.5

rata2 40.24 40.32 41.27

variansi 4.908 4.207 1.10575

Dari hasil diatas terlihat rata rata semua sampel mendekati rata rata

populasi yaitu =np = 40, tetapi untuk ukuran n = 20 variansinya adalah yang terkecil, ini juga dapat dilihat dari rataan sampel dari no 1 sampai 5

yang hanya berbeda tipis. Ini menunjukkan dengan pengambilan sampel

yang makin besar keakuratan pendugaannya akan semakin tinggi.

5. Pada pembuktian distribusi rataan sampel, langkah – langkahnya

sebenarnya tidak jauh berbeda dengan 4 langkah sebelumnya hanya saja

dalam hal ini diperlukan jumlah pengacakan yang jauh lebih banyak

daripada 4 langkah sebelumnya. Untuk itu akan digunakan progam matlab

untuk membantu meyelesaikan masalah ini.


3-12 MODUL 3

6. Bila dilakukan dengan software matlab, akan keluar tampilan berikut

Pada program tersebut, pada baris ketiga angka 500 menyatakan jumlah

pengacakan Pada baris 4, perintah random (0,1,100,1) menyatakan perintah pengambilan sampel dari populasi yang memiliki mean 0,

simpangan baku 1, sampel berukuran 100 dari 1 populasi.

Pada baris 6 dan 7 mengandung arti pendefisian variabel Y sebagai sampel

acak pertama yang berukuran 100.

Pada baris 9, mean sampel 1,2,…500 dihitung

Dan pada baris 12, dibuat histogram dari mean sampel hasil perhitungan

pada baris 9

7. Sekarang ubahlah angka 100 pada baris 4 dan 6 dengan angka 5. Jalankan

program ini dengan memilih debug kemudian run and save ( Dalam

langkah ini kita berusaha mengambil sampel acak berukuran 5). Simpanlah

output gambar/ histogram yang keluar dengan file tersendiri. Ulangi

langkah ini dengan mengganti angka 10, 20 dan 30.

8. Dari keempat histogram yang keluar tersebut, analisa apakah keempat

histogram sudah berbentuk kurva normal baku dengan mean 0 dan

simpangan baku 1? apakah ada pengaruh ukuran sampel? jelaskan!


3-13 MODUL 3

Latihan

1. Data seperti contoh no. 1, kemudian dilakukan pengacakan 15 kali dan

diambil sampel ukuran 10, 20, 30. Buat histogram dengan kurva

normalnya dan uji kenormalannya.

2. Bangkitkan data dari komputer, kemudian lakukan pengacakan 20 kali,

dari data berdistribusi normal, poisson dengan rata-rata 2, binomial

dengan p = 0.6 dan n = 15. Buatlah histogramnya.


4-1 MODUL 4

4 TRANSFORMASI DATA

Overview

Modul ini memberikan panduan untuk melakukan tranformasi data baik

untuk satu angkatan data maupun beberapa angkatan data. Transformasi

terhadap satu angkatan data biasanya dilakukan agar asumsi data berdistribusi

normal terpenuhi, sedangkan transformasi untuk beberapa data biasanya

dilakukan agar asumsi ragam sama pada beberapa angkatan data terpenuhi.

Tes kenormalan kemudian juga dilakukan untuk melihat apakah transformasi

yang dilakukan sudah tepat.

Tujuan

1. Dapat melakukan transformasi data dengan menggunakan Tangga

Transformasi Tukey untuk melihat bagaimana bentuk distribusi data

setelah dilakukan transformasi

2. Dapat memilih transformasi yang tepat untuk me-normalkan data


4-2 MODUL 4

4.1 Transformasi untuk satu angkatan data

Dalam ilmu statistik sering kali digunakan asumsi dari bentuk data yang akan

di analisa. Asumsi yang lazim digunakan adalah distribusi Normal. Bentuk data

yang berdistribusi Normal dengan mean dapat digambarkan seperti grafik

berikut

Bila dilihat, data yang berdistribusi Normal akan simetris terhadap dan

sebagaian besar data akan mengelompok di tengah. Dalam kenyataannya

seringkali bentuk data yang diperoleh tidak berbentuk seperti distribusi

normal tetapi berbentuk menjulur ke kanan seperti gambar berikut

Bentuk data yang lainnya adalah menjulur ke kiri yang dapat dilihat pada

gambar berikut :

Agar asumsi bahwa data berdistribusi Normal tetap dipenuhi, maka perlu

dilakukan suatu transformasi terhadap data asli. Transformasi dilakukan untuk

satu angkatan data bila data yang akan ditransformsi hanya satu angkatan data.


4-3 MODUL 4

Untuk memilih fungsi transformasi yang tepat digunakan tangga transformasi

Tukey yang digambarkan sebagai berikut :

x32

210xxxxxlog

x

1

x

1

Tangga transformasi ini dapat diartikan sebagai berikut :

Transformasi x10 akan membuat bentuk distribusi data menjadi menjulur

kekanan secara kuat, sedangkan transformasi 2

1

x akan membuat bentuk

distribusi data menjadi menjulur kekiri secara kuat. Sebagai contoh bila kita

memiliki data yang menjulur kekanan secara lemah maka kita dapat

transformasi x agar data menjadi Normal, sebaliknya bila data menjulur

kekanan secara sedang maka transformasi x3 agar data menjadi Normal.

Penentuan bahwa suatu data menjulur secara lemah,sedang atau kuat besifat

subyektif sehingga akan lebih baik bila digunakan beberapa transformasi

sekaligus kemudian baru dibandingkan hasilnya. Penentuan apakah hasil

transformasi sudah Normal atau tidak adalah melalui uji kenormalan

4.2 Transformasi untuk beberapa angkatan data

(menyamakan sebaran)

Ketika dimiliki beberapa angkatan data, maka biasanya ingin dilakukan

pembandingan antara angkatan satu dengan angkatan lainnya. Proses

membandingkan ini lebih mudah bila semua angkatan data memiliki

Bentuk distribusi baku

Sebaran data yang sama

Kuat sedang lemah lemah sedang kuat

MENJULUR KE KIRI SIMETRIS MENJULUR KE KANAN


4-4 MODUL 4

Bila kedua syarat diatas sudah dipenuhi, maka untuk membandingkan angkatan

angkatan tersebut, cukup dibandingkan masing masing tarafnya ( nilai

Median ) saja. Untuk menyamakan sebaran semua angkatan ( membuat

sebaran hampir sama), digunakan transformasi seperti pada tangga

transformasi Tukey tetapi dengan acuan yang sedikit berbeda. Sebaran masing

masing angkatan diukur dengan dQ = Q3 Q1 yaitu simpangan kuartil.

Penentuan transformasi yang tepat dilakukan dengan prosedur berikut

1. Hitung taraf dari setiap angkatan

2. Hitung sebaran dari setiap angkatan

3. Tentukan Taraf terbesar (TA), Taraf terkecil (TB), Sebaran yang

berseuaian dengan TA (= SA) dan Sebaran yang berseuaian dengan TB

(= SB) dari seluruh angkatan

4. Hitung koefisien arah b yang memiliki rumus

)Tlog()Tlog(

)Slog()Slog(b

BA

BA

Berdasarkan nilai b, pilihlah transformasi yang tepat sesuai dengan tabel

berikut

Nilai b

(disekitar)

Transformasi yang

dipilih Keterangan

Negatif xk Makin kecil b > makin besar k (k : bulat)

0,5 x

1 Log x

1,5 x

1

2 2

x

1


4-5 MODUL 4

4.3 Aplikasi Minitab Berikut ini contoh data (tabel data transformasi) yang menjulur ke kanan

yang digambarkan dengan histogram.

Tabel data transformasi

7.2 5.6 9.7 2.9

2.3 14.3 2.6 6.8

1.8 3.0 15.3 1.8

5.9 2.5 8.3 3.4

17.3 3.8 2.4 6.9

2.0 1.7 1.9 8.8

4.8 5.5 3.6 6.5

10.9 3.7 4.9 1.9

3.4 2.9 9.3 3.6

4.4 4.6 3.4 3.4

9.6 4.8 10.4 3.7

7.5 8.3 4.0 2.4

1.7 5.8 3.8 13.7

4.6 2.8 4.9 15.3

3.4 6.3 1.5 1.3

2.1 3.1 4.8 4.9

1.5 7.6 4.4 12.0

3.7 5.5 2.9 2.3

5.3 8.0 6.4 3.2

4.1 3.5 0.5 5.9

9.1 1.7 2.1 3.0

5.7 11.4 8.1 3.7

0.9 6.5 3.6 3.6

1.9 1.7 11.9 2.4

2.3 2.1 5.2 2.9

1. Buat file baru : file transformasi, kemudian simpan data diatas pada

kolom c1


4-6 MODUL 4

2. Buat histogramnya

20100

20

10

0

jlrkanan

Fre

qu

en

cy

Histogram menjulur ke kanan

3. Lakukan tes kenormalan data terhadap data C1

Dari hasil uji Anderson-Darling (lihat modul kenormalan data)

,didapatkan p-value = 0.000 ini berarti secara kuat disimpulkan bahwa

data tidak berdistribusi Normal.

4. Lakukan transformasi x terhadap C1, simpan datanya pada C2. Buat

Histogram berdasarkan data C2, diperoleh

4.53.52.51.50.5

15

10

5

0

akar x

Fre

qu

en

cy

Histogram Transformasi dg akar x


4-7 MODUL 4


Dari Dari hasil uji Anderson-Darling,didapatkan p-value = 0.001 ini

berarti disimpulkan bahwa data juga tidak berdistribusi Normal.

6. Lakukan transformasi Log x terhadap C1, simpan datanya pada C3.

Histogram berdasarkan data C3, diperoleh

1.00.50.0

15

10

5

0

log x

Fre

qu

en

cy

Histogram Transformasi dg log


Dari hasil uji Anderson-Darling,didapatkan p-value = 0.849 ini berarti

secara kuat disimpulkan bahwa data berdistribusi Normal.

Dari kedua transformasi diatas dapat dilihat bahwa data yang sebelumnya

menjulur kekanan secara sedang, dengan transformasi x bentuk data

menjadi menjulur ke kanan secara lemah, sedangkan dengan transformasi Log

x data menjadi Normal. Nantinya yang diolah dengan statistik adalah data Log

x bukan data aslinya.

Sebagai eksperimen lainnya, lakukan tranformasi x2 atau x3 , simpan datanya

pada C4, C5 kemudian buat histogram dan lakukan tes kenormalan maka


4-8 MODUL 4

diperoleh bentuk data akan semakin menjulur kekanan seperti ditunjukkan

dari histogram berikut.

3002001000

35

30

25

20

15

10

5

0

transf x

Fre

qu

en

cy

Histogram of hasil transformasi x2

5000450040003500300025002000150010005000

80

70

60

50

40

30

20

10

0

transf x

Fre

qu

en

cy

Histogram of transformasi x3


4-9 MODUL 4

Latihan

Periksa distribusi data berikut, bila belum simetris, lakukan transformasi yang

tepat seperti pada langkah – langkah praktikum diatas

605 507 633 477

575 468 661 498

553 500 420 466

548 498 425 588

457 449 451 589

356 513 345 547

445 558 377 499

448 486 455 503

450 478 361 495

468 426 345 519

501 493 531 482

443 555 521 545

489 542 360 489

443 510 442 392

426 677 503 636

464 763 573 672

428 738 571 597

455 608 534 597

552 433 414 521

443 460 575 576

485 485 635 568


5-1 MODUL 5

5 UJI HIPOTESIS STATISTIK DAN

PROPORSI

Overview

Modul ini memberikan panduan untuk melakukan uji hipotesis terhadap nilai

tengah dan proporsi. Uji hipotesis terhadap nilai tengah meliputi uji terhadap

terhadap satu nilai tengah maupun perbandingan antara dua nilai tengah,

sedangkan uji proporsi meliputi uji satu proporsi dan perbandingan dua

proporsi. Semua uji hipotesis yang dilakukan berdasarkan beberapa asumsi

yaitu ragam diketahui maupun ragam tidak diketahui.

Tujuan

1. Mahasiswa memahami tentang uji hipotesis statistik

2. Mahasiswa memahami tentang uji satu nilai tengah dengan diketahui

atau tidak dan dapat menerapkannya

3. Mahasiswa memahami tentang uji selisih nilai tengah dari dua sampel

dengan diketahui atau tidak dan dapat menerapkannya

4. Mahasiswa memahami tentang uji proporsi satu dan dua proporsi


5-2 MODUL 5

5.1 Hipotesis statistik

Hipotesis statistik merupakan hal sangat penting dalam statistika inferensia.

Hipotesis statistik yaitu suatu anggapan atau pernyataan yang mungkin benar

atau tidak mengenai satu populasi atau lebih. Suatu hipotesis dianggap benar

atau salah, tidak bias diketahui dengan pasti kecuali dilakukan pemeriksaan

terhadap seluruh populasi. Tetapi hal tersebut tidak efisien. Untuk mengatasi

hal tersebut dilakukan pengambilan sampel secara acak.

Dalam uji hipotesis sering digunakan istilah menerima atau menolak hipotesis

yang dirumuskan, artinya jika diterima maka hipotesis yang dirumuskan benar

dan jika ditolak maka berlaku sebaliknya. Dari hal tersebut, dapat dikatakan

bahwa perumusan suatu hipotesis sering dipengaruhi oleh bentuk peluang

dari kesimpulan yang salah. Hipotesis yang dirumuskan dengan harapan akan

ditolek disebut hipotesi nol. Penolakan terhadap hipotesis nol tersebut akan

mengakibatkan pada penerimaan terhadap suatu hipotesis lain yang disebut

hipotesis alternatif.

Prosedur pengambilan kesimpulan kadang kadang dapat membawa pada

kesimpulan yang salah. Dalam pengujian hipotesis statistik, ada dua jenis

kesalahan yaitu:

a. Kesalahan jenis pertama (galat jenis I)

Yaitu penolakan hipotesis nol, padahal hipotesis nol benar. Peluang galat

jenis I disebut taraf nyata yang dinotasikan dengan . Biasanya taraf nyata disebut dengan ukuran wilayah kritis.

b. Kesalahan jenis kedua (galat jenis II)

Yaitu penerimaan hipotesis nol, padahal hipotesis nol salah. Peluang galat

jenis II dinotasikan dengan . Nilai dari tidak mungkin dihitung, kecuali

bila hipotesis alternatifnya lebih spesifik.

Sifat dari pengujian hipotesis nol melawan hipotesis alternatif ada dua yaitu :

Hipotesis alternatif yang bersifat dua arah

H0 : = 0

H1 : 0 Pada hipotesis jenis ini, wilayah kritisnya terbagi menjadi dua bagian, yang

letaknya pada masing masing ekor dari sebaran statistik ujinya.


5-3 MODUL 5

Hipotesi alternatif yang bersifat satu arah

a) H0 : 0 atau b) H0 : 0

H1 : > 0 H1 : < 0

Wilayah kritis untuk a) terletak seluruhnya di ekor sebelah kanan dari

sebaran statistik ujinya. Sedangkan untuk b) sebaliknya.

Dalam menentukan keputusan akhir untuk menerima atau menolak H0 ,

didasarkan pada wilayah kritis dengan p value yang mendukung keberartian

suatu uji dalam bentuk peluang. P value adalah taraf keberartian terkecil,

sehingga nilai suatu uji statistik yang diamati masih berarti.Bila p value ,

maka H0 ditolak.

Prosedur pengujian hipotesis dapat mengikuti langkah langkah berikut :

1. Merancang hipotesis nol dan hipotesis alternatif

2. Menguji kenormalan

3. Memilih taraf keberartian 4. Menguji kesamaan ragam

5. Menentukan dan menghitung nilai statistik uji yang sesuai

6. Menentukan daerah kritis dan membuat keputusan apakah menerima

atau menolak H0 (di mana pengambilan keputusan dapat didasarkan pada

tiga hal yaitu nilai kristis dari statistik uji, selang kepercayaan, atau

p value)

7. Membuat kesimpulan akhir mengenai sampel yang diambil

5.1.1 Pengujian hipotesis untuk satu nilai tengah

X1, X2, …, Xn merupakan peubah acak yang menyebar secara normal dengan

nilai tengah tidak diketahui. Perumusan hipotesinya sebagai berikut :

H0 : = 0 atau H0 : 0 atau H0 : 0

H1 : 0 H1 : > 0 H1 : < 0

Pengujian hipotesis terhadap nilai tengah ada dua asumsi :

1. Ragam diketahui

Uji hipotesis untuk rata rata x, di mana hipotesis nol menyebar normal

dengan nilai tengah 0 dan simpangan baku rata rata populasi / n,

statistik ujinya adalah :


5-4 MODUL 5

n

xZ 0

Kriteria penolakan terhadap hipotesis nol ditampilkan dalam tabel berikut

:

NO Hipotesis Alternatif Kriteria penolakan

1 H1 : 0 H0 ditolak pada saat Z Z /2 atau Z

Z1 /2

2 H1 : > 0 H0 ditolak pada saat Z Z1

3 H1 : < 0 H0 ditolak pada saat Z Z

2. Ragam tidak diketahui

Bila ragam tidak diketahui, maka statistik ujinya adalah t student, di mana

ragam populasi diduga oleh ragam sampel. Statistik ujinya didefinisikan

sebagai berikut

ns

xt 0

Adapun kriteria penolakan terhadap hipotesis nol dijelaskan pada tabel

berikut


1 H1 : 0 H0 ditolak saat t t /2, n 1 atau t t1 /2, n 1

2 H1 : > 0 H0 ditolak pada saat t t1 , n 1

3 H1 : < 0 H0 ditolak pada saat t t , n 1

5.1.2 Pengujian hipotesis untuk selisih dua nilai tengah

X1, X2, …, Xn dan Y1, Y2, …, Yn merupakan dua peubah acak yang saling

bebas dan menyebar secara normal dengan nilai tengah x dan y, simpangan

baku x dan y. Perumusan hipotesinya sebagai berikut :

H0 : x y = 0 atau H0 : x y 0 atau H0 : x y 0

H1 : x y 0 H1 : x y > 0 H1 : x y < 0


5-5 MODUL 5

Di mana 0 adalah suatu konstanta bernilai positif atau nol yang menunjukkan

selisih antara dua nilai tengah yang tidak diketahui.seperti pada pengujian

hipotesis untuk satu nilai tengah, ada dua asumsi yaitu :

1. Ragam diketahui

Statistik uji didefinisikan sebagai berikut

y

y

x

x

nn

yxZ

22

0

Kriteria penolakan terhadap hipotesis nol adalah :


1 H1 : x y 0 H0 ditolak pada saat Z Z /2 atau Z

Z1 /2

2 H1 : x y > 0 H0 ditolak pada saat Z Z1

3 H1 : x y < 0 H0 ditolak pada saat Z Z

2. Ragam tidak diketahui

Bila ragam tidak diketahui, maka sebelum dilakukan pengujian hipotesis

terlebih dahulu dilakukan pengujian terhadap ragam. Pengujian tersebut

dilakukan untuk menduga apakah ragam kedua sampel sama atau tidak.

Hipotesisnya adalah sebagai berikut : H0 : x = y H1 : x y

Sedangkan statistik ujinya adalah statistik uji Fisher yaitu 2min

2

S

SF maks .

Bila didapatkan bahwa F F( , (nx 1, ny 1)), maka H0 ditolak, artinya

ragam kedua sampel tidak sama. Sehingga derajat bebas yang akan

digunakan dalam statistik ujinya adalah


5-6 MODUL 5

11

222

2

222

y

y

y

x

x

x

y

y

x

x

n

n

S

n

nS

n

S

n

S

v

Statistik uji pengujian hipotesis terhadap selisih antara dua nilai tengah

untuk ragam berbeda adalah

y

y

x

x

n

S

n

S

yxt

22

0

Sedangkan untuk ragam sama, dalam statistik ujinya menggunakan ragam

gabungan, yaitu :

2

11 222

yx

yyxxgab

nn

SnSnS

dimana statistik ujinya adalah

yxgab

0

n

1

n

1S

yxt .

Kriteria penolakan terhadap hipotesis nol adalah :


1 H1 : x y 0 H0 ditolak pada saat t t /2, m atau t

t1 /2, m

2 H1 : x y > 0 H0 ditolak pada saat t t1 , m

3 H1 : x y < 0 H0 ditolak pada saat t t , m


5-7 MODUL 5

5.1.3 Aplikasi dengan minitab

Teknologi telekomunikasi di Indonesia berkembang sangat pesat, mulai dari

teknologi berbasis AMPS, GSM, dan CDMA. Kehadiran produk

telekomunikasi berbasis CDMA, merupakan alternatif bagi pengguna jasa

telekomunikasi untuk memilih yang kualitasnya terbaik dan termurah. Saat ini

banyak operator selular menggunakan teknologi berbasis CDMA, antara lain

Bakrie Telecom dengan produknya esia, Telkom dengan flexi, dan Mobile-8

dengan fren. Suatu penelitian dilakukan untuk mengetahui rata-rata pengguna

produk esia, flexi, dan fren dari 15 kecamatan di kota Bandung. Berikut adalah

datanya :

NO Fren Flexi Esia

1 55 60 37

2 42 33 60

3 45 39 35

4 71 61 61

5 83 40 31

6 47 94 56

7 75 71 65

8 48 61 78

9 60 77 59

10 69 64 27

11 85 65 30

12 54 70 45

13 31 80 38

14 25 61 25

15 30 50 35

Langkah-langkah pengolahan dengan menggunakan minitab 15 :

1. Simpan data tersebut pada worksheet minitab

2. Kemudian uji kenormalan data, bila data sudah normal, maka dilakukan

uji dua ragam (ragam sama atau berbeda) dengan cara pilih menu stat,

lalu basic statistics, kemudian dua ragam, maka akan muncul kotak

dialog seperti di bawah kemudian ketikkan kolom data pada isian sampel,

klik option atau storage bila perlu, lalu OK


5-8 MODUL 5

3. Hasil yang diperoleh sebagai berikut :

Dari hasil yang diperoleh di atas, dapat diketahui bahwa ragam kedua

sampel sama, karena Pvalue = 0.582 > 0.05


5-9 MODUL 5

4. Pengujian hipotesis, dilakukan dengan cara pilih stat, basic statistics,

kemudian pilih 2-sample t, kemudian isi kotak dialog


Two-sample T for Fren vs Flexi N Mean StDev SE Mean Fren 15 54.7 19.0 4.9 Flexi 15 61.7 16.3 4.2 Difference = mu (Fren) - mu (Flexi) Estimate for difference: -7.07 95% CI for difference: (-20.31, 6.18) T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value =-1.09 P-Value = 0.284 DF = 28 Both use Pooled StDev = 17.7062


5-10 MODUL 5

FlexiFren

100

90

80

70

60

50

40

30

20

Da

ta

Boxplot of Fren, Flexi

Untuk menolak atau menerima Ho dapat dilihat dari 3 hal yaitu :

- Karena selang kepercayaan untuk selisih nilai tengah adalah

18.6,31.20 , sehingga nol termasuk di selang tersebut, maka Ho

diterima

- Pvalue = 0.284 > 0.05, maka Ho diterima

- Nilai kritis (t hitung = -1.09 > t tabel) maka Ho diterima

Karena Ho diterima, maka dapat disimpulkan bahwa rata-rata jumlah

pengguna produk fren dan flexi di 15 kecamatan kota Bandung sama. Hal

itu dimungkinkan dua produk tersebut masing-masing mempunyai

kelebihan dan kekurangan, sehingga konsumen akan memilih produk yang

sesuai dengan kebutuhannya.

6. Untuk latihan, lakukan langkah dan analisis yang sama untuk fren vs esia,

flexi vs esia.


5-11 MODUL 5

5.2 Uji proporsi

Proporsi menyatakan perbandingan “banyaknya sukses” terhadap total

pengamatan. Bila x menyatakan banyaknya sukses dari n ulangan, maka nilai

proporsi p dihitung dengan rumus : n

xp .Uji proporsi dapat dilakukan

terhadap satu nilai proporsi atau perbandingan beberapa nilai proporsi.

Asumsi yang digunakan adalah proporsi berdistribusi binomial.

5.2.1 Uji terhadap satu nilai proporsi

Hipotesis yang digunakan untuk uji satu nilai proporsi dengan taraf antara

lain berbentuk :

a. 00 : ppH

01 : ppH

Wilayah kritik: ax dimana a adalah bilangan bulat terbesar yang bersifat

a

x

pnxbaXP0

0;;

0p;n;xb : Distribusi Binomial dengan parameter n dan p0

n : banyaknya eksperimen/ulangan

p0 : peluang “sukses”

b. 00 : ppH

01 : ppH

Wilayah kritik ax dimana a adalah bilangan bulat terkecil yang bersifat

n

ax

pnxbaXP 0;;

0;; pnxb : binomial dengan parameter n dan p0




5-12 MODUL 5

c. 00 : ppH

01 : ppH

Wilayah kritik ax atau ax dimana a adalah bilangan bulat terkecil

untuk ax atau bilangan bulat terbesar untuk ax yang bersifat

2

;;0

0

a

x

pnxbaXP atau 2

;; 0

n

ax

pnxbaXP

0;; pnxb : binomial dengan parameter n dan p0



Bila dari hasil perhitungan, nilai berada diwilayah kritik, maka tolak H0.

5.2.2 Aplikasi dengan Minitab

Contoh

Dimiliki suatu pernyataan bahwa 70% rumah yang ada di kota A sudah

terpasang AC. Dari 15 yang rumah yang diamati, ternyata hanya 8 rumah yang

telah terpasang AC. Benarkah pernyataan tersebut ?

Langkah – langkah

1. Karena yang ingin disimpulkan adalah proporsi rumah terpasang AC =

70% atau tidak, maka uji hipotesis yang dipilih adalah

7,0:0 pH

7,0:1 pH

Taraf = 5% = 0,05


5-13 MODUL 5

2. Pilih menu Basis Statistic , 1 Proportion

3. Isilah kotak dialog dengan isian berikut


5-14 MODUL 5

Number of event = 8, menyatakan banyaknya kejadian sukses

Number of trial = 15, menyatakan banyaknya sampel yang diambil

Hypothesized proportion =0,7 menyatakan nilai dari H0

4. Klik option untuk menentukan tingkat signifikan ( ) dan jenis hipotesis

yang akan dipilih

5. Hasilnya adalah sebagai berikut :

Karena nilai P-value=0.258 >0.05, maka H0 tidak ditolak. Data tidak

cukup kuat untuk menolak pernyataan bahwa 70% rumah terpasang AC.

Test and CI for One Proportion Test of p = 0.7 vs p not = 0.7

Exact

Sample X N Sample p 95% CI P-Value

1 8 15 0.533333 (0.265861, 0.787333) 0.258


5-15 MODUL 5

5.2.3 Pendekatan normal baku untuk uji terhadap satu nilai

proporsi

Pada pengujian satu nilai proporsi, ada situasi dimana tabel binomial sulit

untuk digunakan, misalkan untuk nilai n yang sangat besar(kecuali dengan

bantuan komputer). Salah satu pendekatan yang bisa digunakan adalah dengan

melakukan transformasi ke bentuk normal baku. Parameter dan 2 ditaksir

dengan rumus : 0np dan npq2 .

Statistik uji yang digunakan adalah

00

0

qnp

npxz


p0 : peluang “sukses” / proporsi

Z berdistribusi normal baku dengan 0 dan 12 . Wilayah kritiknya

menjadi

Zz bila uji hipotesisnya 01 : ppH

1Zz bila uji hipotesisnya 01 : ppH

2

Zz atau 2

1Zz bila uji hipotesisnya 01 : ppH


Contoh

Obat untuk ketegangan syaraf selama ini memiliki kefektifan 60%. Sebuah

obat baru diuji terhadap 100 pasien, 70 orang sembuh sehingga tingkat

keefektifannya 70%. Apakah obat baru tersebut bisa dikatakan lebih efektif

dari obat lama?


5-16 MODUL 5

Langkah – langkah

1. Karena yang ingin disimpulkan adalah tingkat keefektifan obat baru > 60%

atau tidak, maka uji hipotesis yang dipilih adalah

6,0:0 pH

6,0:1 pH

Taraf = 5% = 0,05

2. Langkah – langkah yang dilakukan untuk uji hipotesis ini mirip dengan uji

hipotesis tanpa menggunakan pendekatan normal. Perbedaannya adalah

ketika memilih kotak option kita memilih check list “use test and interval

test based on normal distribution” seperti berikut ini


5-17 MODUL 5


Berarti nilai z masuk dalam wilayah kritik karena P-value= 0,021 < 0,05.

Jadi dapat disimpulkan bahwa tingkat keefektifan obat baru lebih tinggi

dari obat lama.

5.2.5 Pengujian perbandingan dua proporsi

Pengujian terhadap proporsi tidak hanya bisa dilakukan terhadap satu nilai

proporsi. Bila kita sedang meneliti dua buah proporsi, maka kedua proporsi

tersebut dapat diperbandingkan yaitu berdasarkan sebaran selisih

proporsinya. Selisih proporsi ini kemudian ditransformasi kebentuk normal

baku dengan rumus z yaitu :

21

21

11ˆˆ

ˆˆ

nnqp

ppz

Dimana

1

11

ˆn

xp

2

22

ˆn

xp

21

21ˆnn

xxp pq ˆ1ˆ

1x : Banyaknya sukses kategori 1

2x : Banyaknya sukses kategori 2

1n : Banyaknya ulangan/sampel kategori 1

2n : Banyaknya ulangan/sampel kategori 2

Test and CI for One Proportion Test of p = 0.6 vs p > 0.6

95% Lower

Sample X N Sample p Bound Z-Value P-Value

1 70 100 0.700000 0.624623 2.04 0.021

Using the normal approximation.


5-18 MODUL 5

Hipotesisnya

210 : ppH

Wilayah kritiknya sama seperti pendekatan normal baku untuk pengujian

terhadap satu nilai proporsi yaitu :



2

Zz atau 2



Contoh

Suatu penelitian dilakukan untuk melihat apakah proporsi lulusan smu

kotamadya Bandung(p1) yang akan melanjutkan ke PT(Perguruan Tinggi) lebih

tinggi daripada proporsi lulusan smu kabupaten Bandung(p2) yang akan

melanjutkan ke PT dengan taraf 2,5%. Dari sampel acak yang diambil,

diperoleh hasil bahwa dari 200 lulusan asal kotamadya, 120 orang akan

melanjutkan ke PT. Sedangkan dari 500 lulusan asal kabupaten, 240 orang

akan melanjutkan ke PT.


5-19 MODUL 5

Langkah – langkah

1. Karena yang ingin disimpulkan proporsi lulusan smu kotamadya

Bandung(p1) yang akan melanjutkan ke PT(Perguruan Tinggi) lebih tinggi

daripada proporsi lulusan smu kabupaten Bandung(p2), maka uji hipotesis

yang dipilih adalah

210 : ppH atau 0: 210 ppH

211 : ppH atau 0: 210 ppH

Taraf = 5% = 0,025 selang kepercayaan = 97,5 %

2. Pilih menu Basis Statistic , 2 Proportion


5-20 MODUL 5

3. Isilah kotak dialog dengan isian berikut

Number of event menyatakan banyaknya kejadian sukses (siswa yang

melanjutkan ke PT). First : kodya, Second : kabupaten

Number of trial , menyatakan banyaknya sampel yang diambil

4. Klik option untuk menentukan tingkat signifikan ( ) dan jenis hipotesis yang akan dipilih


5-21 MODUL 5


Karena nilai P-value =0.002 <0.025, maka H0 tidak ditolak. Proporsi

lulusan siswa SMA kodya yang melanjutkan ke PT lebih tinggi daripada

lulusan siswa SMA kabupaten

Latihan

1. Suatu penelitian diadakan untuk mengetahui apakah rata-rata banyaknya

panggilan tiap 2 jam yang diterima oleh swicthboard pada dua wartel

sama atau tidak. Berikut adalah rata-rata banyaknya panggilan dari dua

wartel tiap 2 jam selama 15 hari

H 1 2 3 4 5 6 7 8

W1 20 10 12 6 12 8 22 13

W2 10 10 23 6 8 6 15 12

W1 10 8 9 15 20 15 10 10

W2 11 5 10 18 8 6 12 12

a. Buatlah hipotesisnya

b. Uji dan buat kesimpulannya

Test and CI for Two Proportions Sample X N Sample p

1 120 200 0.600000

2 240 500 0.480000

Difference = p (1) - p (2)

Estimate for difference: 0.12

97.5% lower bound for difference: 0.0392076

Test for difference = 0 (vs > 0): Z = 2.91 P-Value = 0.002

Fisher's exact test: P-Value = 0.003


5-22 MODUL 5

1. Suatu sampel acak berukuran 20 diambil dari nilai UTS matakuliah

Statistika dari mahasiswa 01. 02, dan 03 Penelitian tersebut dimaksudkan

untuk membandingkan kemampuan akademik antara mahasiswa kelas 01.

02, dan 03, berdasarkan uji selisih nilai tengah antara dua sampel. Adapun

datanya sebagai berikut :

NO Nilai UTS 01 Nilai UTS 02 Nilai UTS 03

1 43 92 63

2 75 47 83

3 43 56 44

4 78 74 37

5 60 79 34

6 76 28 53

7 60 71 53

8 63 68 60

9 60 69 42

10 53 80 36

11 60 63 37

12 25 86 50

13 50 65 72

14 40 99 52

15 50 59 65

16 65 65 73

17 70 78 58

18 65 66 81

19 75 66 15

20 5 96 63

a. Pengujian selisih nilai tengah antara nilai UTS mahasiswa 01 dengan 02

Misal X adalah peubah acak yang menyatakan nilai UTS mahasiswa 01

Misal Y adalah peubah acak yang menyatakan nilai UTS mahasiswa 02

b. Pengujian selisih nilai tengah antara nilai UTS mahasiswa 02 dengan 03

Misal X adalah peubah acak yang menyatakan nilai UTS mahasiswa 02

Misal Y adalah peubah acak yang menyatakan nilai UTS mahasiswa 03


5-23 MODUL 5

3. Lakukan uji proporsi pada data-data berikut, yaitu :

2) Data miskonsepsi siswa dengan model konstruktivis terhadap suatu

mata pelajaran

NO PRA TEST POST TEST JENIS

1 8 15 P

2 7 15 P

3 10 21 L

4 10 15 P

5 11 21 L

6 12 25 L

7 16 21 P

8 15 22 P

9 17 10 P

10 17 21 L

11 16 23 P

12 17 25 L

13 18 25 P

14 18 12 L

15 18 20 L

16 19 25 L

17 20 26 L

18 19 20 L

19 23 27 P

20 20 26 P

21 18 27 L

22 21 20 P

23 22 25 P

24 22 25 P

25 20 26 L

26 18 27 L

27 21 28 P

28 19 29 L

29 23 29 L

30 21 29 P

31 25 29 P

32 25 29 P

33 23 29 L

34 26 30 P

35 25 30 L


6-1 MODUL 6

6 ANALISIS VARIANSI

Overview

Analisis variansi ini merupakan alternatif lain bagi pengujian nilai tengah selain

menggunakan uji-t. Salah satu perbedaan utama antara analisis variansi

dengan uji-t adalah kemampuan uji untuk membandingkan beberapa angkatan

data secara serempak. Pada analisis variansi yang lebih kompleks (banyak

faktor), nilai tengah bisa berasal dari beberapa faktor. Modul ini memberikan

penjelasan mengenai analisis satu faktor saja.

Tujuan

1. Mahasiswa memahami tentang konsep analisis variansi dan asumsi-

asumsinya

2. Mahasiswa dapat membuat tabel analisis variansi untuk

membandingkan nilai tengah beberapa angkatan data secara

serempak

3. Mahasiswa dapat membuat kesimpulan yang tepat terkait dengan uji

hipotesis yang dibuat


6-2 MODUL 6

6.1 Asumsi-asumsi pada analisis variansi

Pada modul IV, telah dibahas masalah kenormalan data. Hal tersebut

merupakan landasan yang penting pada tahap pengujian hipotesis dan analisis

variansi. Hal mendasar pada analisis variansi adalah membandingkan lebih dari

dua populasi berdasarkan pada lebih dari dua buah angkatan data. Asumsi-

asumsi yang diperlukan pada analisis variansi adalah :

1. Setiap angkatan data berasal dari populasi yang berdistribusi normal.

2. Setiap populasi memiliki variansi yang sama.

3. data yang satu dengan yang lainnya merupakan pengamatan yang saling

bebas.

Dalam prakteknya asumsi-asumsi tersebut tidak dituntut terlalu ketat, yaitu :

1. Mengenai kenormalan data, bila distribusinya cukup dekat ke normal,

maka asumsi tersebut sudah dipenuhi

2. Mengenai kesamaan variansi, bila nilai variansi terbesar < 3 x variansi

terkecil, maka hal tersebut tidak sudah cukup

3. Mengenai kebebasan antar pengamatan, dapat dilakukan dengan metode

pengambilan sampel secara acak.

6.2 Uji Kesamaan Ragam

Hipotesis kesamaan ragam :

H0 : 21 = 2

2 = .... = 2n

H1 : ragam-ragam tersebut tidak semuanya sama

Ada dua kasus pada uji bartlett :

a. Ukuran sampel sama

2

121222

1121

1

..........

g

nk

k

nn

S

SSS

b

kN


6-3 MODUL 6

2gS adalah ragam gabungan yaitu

kN

Sn

S

k

iii

g1

2

2

)1(

2iS adalah ragam masing-masing sampel

Bila );( nbb k , maka H0 ditolak pada taraf nyata

b. Ukuran sampel tidak sama

Pada kasus ini, bila )...,,,;( 21 kk nnnbb , maka H0 ditolak pada taraf

nyata . Dalam hal ini,

N

nbnnbnnbnnnnb kkkk

kk

);(...);();()...,,,;( 11211

21

6.3 Tabel analisis variansi

Berdasarkan asumsi-asumsi di atas, maka terdapat hubungan bahwa variansi

hasil penggabungan dari semua angkatan data terdiri atas rata-rata variansi

setiap angkatan dan variansi daris semua rata-rata angkatan. Misalkan akan

dibandingkan m buah angkatan data, maka hubungan tersebut dapat

dinyatakan sebagai :

JKAJKDJKT

VmSnmNSN i

m

ii 111 2

1

2

di mana

JKT = Jumlah Kuadrat Total

JKD = Jumlah Kuadrat Dalam angkatan

JKA = Jumlah Kuadrat Antar angkatan 2

11

1 m

ii XX

mV

ni = banyaknya data dalam angkatan ke-i

V = variansi dari semua rata-rata angkatan


6-4 MODUL 6

N = Total data penggabungan semua angkatan

S2 = variansi gabungan 2iS = variansi angkatan ke-i

iX = rata-rata angkatan ke-i

X = rata-rata gabungan

N – 1 = derajat kebebasan total

N – m = derajat kebebasan dalam angkatan

m – 1 = derajat kebebasan antar angkatan

Misal diketahui data setiap angkatan sebagai berikut :

Angkatan ke-1 Angkatan ke-2 ......... Angkatan ke-m

X11 X21 ......... Xm1

X12 X22 ........ Xm2

: : :

X1n1 X2n2 ........ Xmnm

Untuk menghitung JKT, JKD, dan JKA digunakan rumusan sebagai berikut :

m

i i

n

jij

m

i

n

jij

n

X

XJKD

i

i

1

2

12

1 1

2

1 11

2

1 m

i

n

jij

m

i i

n

jij

i

i

Xn

X

JKA

2

1 1

2

1 1

m

i

n

jij

m

i

n

jij

ii

XXJKT


6-5 MODUL 6

Untuk membandingkan m populasi berdasarkan m buah angkatan data, dan

berdasarkan asumsi-asumsi analisis variansi, maka hipotesis nol dan hipotesis

alternatifnya didefinisikan sebagai berikut :

H0 : 1 = 2 = ..... = m

H1 : paling sedikit ada satu pasangan (i, j) sehingga i ≠ j

Sedangkan statistik uji yang digunakan adalah statistik Fisher yang didefinisikan

sebagai RKD

RKA

mNJKD

mJKA

F 1 . Kemudian nilai F hasil perhitungan

debandingkan dengan nilai F dari tabel, yaitu F , (m-1), (N-m). Bila Fhit

F , (m-1), (N-m), maka H0 ditolak, sehingga paling sedikit ada satu pasangan

(i, j) sehingga i ≠ j.

Tabel analisis variansi dapat ditampilkan sebagai berikut :

Sumber

Variansi

Jumlah Kuadrat Derajat

bebas

Rata-rata

Kuadrat

Fhit

Antar

angkatan

JKA m – 1 RKA RKA/RKD

Dalam

angkatan

JKD N – m RKD

Total JKT = JKA +

JKD

N – 1


Teknologi telekomunikasi di Indonesia berkembang sangat pesat, mulai dari

teknologi berbasis AMPS, GSM, dan CDMA. Kehadiran produk

telekomunikasi berbasis CDMA, merupakan alternatif bagi pengguna jasa

telekomunikasi untuk memilih yang kualitasnya terbaik dan termurah. Saat ini

banyak operator selular menggunakan teknologi berbasis CDMA, antara lain

Bakrie Telecom dengan produknya esia, Telkom dengan flexi, dan Mobile-8

dengan fren. Suatu penelitian dilakukan untuk mengetahui rata-rata pengguna

produk esia, flexi, dan fren dari 15 kecamatan di kota Bandung.


6-6 MODUL 6

Berikut adalah datanya :

NO Fren Flexi Esia

1 55 60 37

2 42 33 60

3 45 39 35

4 71 61 61

5 83 40 31

6 47 94 56

7 75 71 65

8 48 61 78

9 60 77 59

10 69 64 27

11 85 65 30

12 54 70 45

13 31 80 38

14 25 61 25

15 30 50 35

Langkah-langkah pengolahan dengan menggunakan minitab 15 :

1. Simpan data tersebut pada worksheet minitab

2. Kemudian uji kenormalan data, bila data sudah normal, maka dilakukan

uji kesamaan ragam dengan cara pilih menu stat, lalu ANOVA,

kemudian test for equal variances, maka akan muncul kotak dialog

seperti di bawah kemudian ketikkan kolom data pada isian response dan

kolom subcript pada factor, klik option atau storage bila perlu, lalu OK

(catatan kolom harus di stack dulu, pada menu data)


6-7 MODUL 6

3. Hasil yang diperoleh sebagai berikut :

Dari hasil yang diperoleh di atas, dapat diketahui bahwa ragam ketiga

sampel sama, karena Pvalue = 0.811 > 0.05


6-8 MODUL 6

4. Pengujian hipotesis, dilakukan dengan cara pilih Stat, ANOVA,

kemudian pilih 2-sample t, kemudian isi kotak dialog


Test for Equal Variances: C4 versus C5

One-way ANOVA: Fren, Flexi, Esia

Source DF SS MS F P

Factor 2 1996 998 3.35 0.045

Error 42 12520 298 Total 44 14516

S = 17.27 R-Sq = 13.75% R-Sq(adj) = 9.64%


6-9 MODUL 6

EsiaFlexiFren

100

90

80

70

60

50

40

30

20

Da

ta

Boxplot of Fren, Flexi, Esia

Untuk menolak atau menerima Ho dapat dilihat dari 2 hal yaitu :

- Pvalue = 0.045 < 0.05, maka Ho ditolak

- Nilai kritis (F hitung = 3.35 > F tabel) maka Ho ditolak

Karena Ho ditolak, maka dapat disimpulkan bahwa rata-rata jumlah

pengguna produk fren, flexi dan esia di 15 kecamatan kota Bandung

berbeda. Hal itu dimungkinkan satu atau dua dari tiga produk tersebut

Individual 95% CIs For Mean Based on

Pooled StDev

Level N Mean StDev ----+---------+---------+---------+-----

Fren 15 54.67 18.98 (--------*--------)

Flexi 15 61.73 16.33 (--------*--------)

Esia 15 45.47 16.35 (--------*--------)

----+---------+---------+---------+-----

40 50 60 70

Pooled StDev = 17.27


6-10 MODUL 6

ada yang mempunyai kelebihan, sehingga konsumen akan cenderung

memilih produk tersebut.

Latihan

1. Berikut adalah data pengunjung dari lima warnet dalam waktu 1 minggu.

Warnet/hr 1 2 3 4 5 6 7

A 10 20 25 8 35 20 20

B 18 15 10 26 25 30 30

C 12 25 30 35 9 10 10

D 15 15 20 10 25 20 25

E 20 10 8 9 35 35 15

Lakukan pengujian apakah rata-rata pengunjung dari lima warnet dalam

waktu satu minggu sama atau tidak, dengan taraf nyata 0.05 dan 0.01.

2. Berikut adalah data penjualan dari lima merk Laptop yang dijual di BEC

dari 8 pusat penjualan selama satu bulan.

Merk/ Toko I II III IV V

Accer 6 10 8 12 5

Toshiba 4 3 9 10 2

Compac 15 10 8 12 10

IBM 5 3 6 8 2

HP 4 3 6 10 3

Dengan menggunakan analisis ragam dan taraf nyata 0.05, uji apakah rata-

rata penjualan dari kelima merk laptop di BEC sama, dengan

menggunakan hipotesis seperti pada dasar teori di atas.


6-11 MODUL 6

3. Berikut adalah data nilai toefl tiga jurusan yaitu TE, IF, dan TI angkatan

2006

ST TI IF

426.667 450.000 453.333

520.000 506.667 480.000

216.667 456.667 550.000

290.000 576.667 460.000

410.000 360.000 403.333

400.000 500.000 380.000

370.000 430.000 443.333

490.000 413.333 216.667

343.333 386.667 450.000

390.000 363.333 453.333

373.333 433.333 216.667

430.000 543.333 463.333

456.667 350.000 430.000

580.000 436.667 363.333

410.000 386.667 430.000

436.667 350.000 216.667

423.333 416.667 473.333

413.333 410.000 403.333

396.667 386.667 406.667

430.000 366.667 413.333

410.000 406.667 446.667

430.000 543.333 416.667

510.000 426.667 416.667

216.667 363.333 443.333

420.000 383.333 540.000

420.000 380.000 473.333

483.333 413.333 413.333

370.000 383.333 520.000

433.333 216.667 510.000

476.667 420.000 420.000

Lakukan analisis ragam dengan taraf nyata 0.05 pada data tersebut.

Kemudian uji apakah rata-rata nilai toefl mahasiswa dari tiga juruan sama

ataukah berbeda.


7-1 MODUL 7

7 REGRESI LINIER DAN NON-LINIER

SEDERHANA

Overview

Dalam sebuah penelitian, sering kita memiliki data yang berpasangan (X,Y).

Data tersebut bisa jadi diperoleh dari sebuah percobaan terhadap peubah X

sedangkan respon yang terjadi dicatat sebagai peubah Y. Hal menarik yang

bisa disimpulkan dari data yang berpasangan adalah tingkat keeratan

hubungan antara X dan Y serta bentuk hubungan fungsionalnya. Modul ini

memberikan panduan langkah – langkah kepada mahasiswa dalam

menentukan hubungan antara dua peubah X,Y yang paling tepat, langkah –

langkah pengujian koefisien regresi beserta penentuan tingkat keeratannya.

Tujuan

1. Mahasiswa dapat membuat model regresi linier maupun non-linier

sederhana dari data berpasangan (X,Y).

2. Mahasiswa dapat memahami keterkaitan antara model linier dan model

non-linier.

3. Mahasiswa dapat menentukan model regresi yang terbaik berdasarkan

pengujian terhadap koefisien regresi dan nilai R2


7-2 MODUL 7

7.1 Regresi

Suatu permasalahan penelitian biasanya dapat dijelaskan oleh dua atau lebih

variabel yang saling berhubungan satu sama lain. Variabel-variabel yang saling

berhubungan tersebut membentuk suatu persamaan matematis yang dapat

digunakan untuk menentukan nilai sebuah variabel yang bergantung pada nilai

variabel yang lain. Dalam statistika, hubungan fungsional antara variabel tak

bebas ( dinotasikan Y ) dengan variabel bebas ( dinotasikan X ) disebut

regresi antara Y dan X. Persamaan regresi yang akan dibahas pada bab ini

persamaan linier sederhana, persamaan non-linier yang dibangkitkan dari

persamaan linier yaitu eksponensial dan geometrik.

7.1.1 Model untuk regresi linier sederhana

Bentuk umum :

xy

y : variabel takbebas

x : variabel bebas

: error yang terjadi pada eksperimen

Nilai selalu berubah ubah pada setiap x jadi sulit untuk ditebak, model ini

kemudian diduga oleh xbay dengan metode kuadrat terkecil yaitu

meminimumkan jumlah kuadrat error ( 2

yyi ). Dari metode kuadrat

terkecil didapatkan nilai untuk a dan b

xbya dan

n

xx

n

yxxy

b2

2

Untuk melihat seberapa baik model regresi yang diperoleh, dapat dilihat

melalui nilai koefisien korelasi determinasi R2 yang memiliki nilai 0 sampai 1

dan memiliki rumus

2

2

2ˆ

yy

yy

JKT

JKRR


7-3 MODUL 7

Selain menggunakan R2, untuk mengetahui kelayakan suatu model regresi yang

telah diperoleh yang digunakan menduga hubungan antara variabel X dengan

variabel Y, dilakukan dengan pengujian terhadap koefisien-koefisien regresi

yaitu :

1. Pengujian koefisien regresi secara serentak

Hipotesis :

- H0 : a = b = 0

- H1 : paling tidak terdapat satu koefisien tidak sama dengan nol Tabel analisis ragam untuk uji koefisien regresi secara serentak

Sumber

keragaman

Derajat

bebas

Jumlah Kuadrat Kuadrat

Tengah

Fhitung

Regresi p 2YnYXb tt

p

JK reg

galat

reg

KT

KT

Galat n-p-1 Sisa

1pn

JK galat

Total n-1 2YnYY t

Statistik uji untuk penolakan H0 adalah : 1pn,phit FF

2. Pengujian koefisien regresi secara individu

Hipotesis :

- H0 : bp = 0

- H1 : bp ≠ 0

Statistik uji yang digunakan : pe

p

hitbS

bt

Kriteria penolakan H0 adalah 1pnhit tt

Arti penolakan terhadap H0 adalah variabel bebas berpengaruh nyata

terhadap variabel tak bebas Y (untuk H0 : b1 = 0), sehingga model regresi

linier dikatakan layak.


7-4 MODUL 7

7.1.2 Model regresi non linier

7.1.2.1 Model eksponensial

Bentuk umum regresi model eksponensial adalah xy . Model

tersebut diduga dengan xaby .Nilai a dan b diperoleh dengan cara

langkah langkah berikut :

- Dengan melogaritmakan persamaan xaby , diperoleh

dxcbxay logloglog

- Model tersebut berubah menjadi model linier, sehingga nilai c dan d

didapatkan dari rumusan model linier yaitu

xdyc log dan

n

xx

n

yxyx

d2

2

loglog

dimana ca 10 dan

db 10

7.1.2.2 Model geometrik (power )

Regresi model geometrik mempunyai bentuk umum xy .

Pendugaan model tersebut adalah baxy .Nilai a dan b diperoleh dengan

cara sebagai berikut :

- Dengan melogaritmakan persamaan baxy , diperoleh

xbcxbay loglogloglog


7-5 MODUL 7

- Nilai c dan d bisa didapatkan dari rumusan model linier yaitu

xbyc loglog dan

n

xx

n

yxyx

b2

2 log)(log

loglogloglog

dimana ca 10

7.1.3 Aplikasi dengan minitab

Regresi Linier

Berikut adalah data produksi pulsa tingkat nasional (106)

a. Gambarkan diagram pencar

b. Tentukan persamaan regresinya

c. Hitung korelasinya

d. berapakah produksi pulsa pada tahun 2007

Langkah-langkah : 1. Ketik data tersebut pada kolom C1(X) dan C2(Y)

2. Membuat diagram pencar dengan cara: pilih menu graph, lalu pilih

scatter plot, klik with regression. Setelah muncul kotak dialog, ketik

kolom yang sesuai untuk variabel Y dan X, dan atur skala, dan lain-lain,

kemudian OK

Tahun Pulsa

1998 35451

1999 37221

2000 40905

2001 45875

2002 50260

2003 56852

2004 59981

2005 67230

2006 70020


7-6 MODUL 7

Outputnya sebagai berikut :

9876543210

70000

60000

50000

40000

30000

Tahun

Pu

lsa

Scatterplot of Pulsa vs Tahun


7-7 MODUL 7

3. Pilih menu stat, kemudian basic statistics, lalu correlation. Setelah

muncul kotak dialog berikut, isi kotak variabel dengan kolom tempat X

dan Y, kalau ingin menyimpan matriknya klik store matrix, bila tidak,

langsung klik OK

Hasilnya adalah Correlation of X and Y = 0.994, Pvalue = 0.00

Karena korelasi antara X dan Y nilainya mendekati 1, maka antara tahun

dengan produksi pulsa terdapat hubungan linier, sehingga dapat dianalisis

dengan regresi linier.


7-8 MODUL 7

4. Pilih menu stat, kemudian regression, lalu regression. Setelah muncul

kotak dialog, pada kotak respon ketik kolom tempat Y, dan predictor

dengan kolom tempat X, kemudian OK

Hasil yang diperoleh adalah :

Regression Analysis: Pulsa versus Tahun The regression equation is

Pulsa = 28413 + 4624 Tahun

Predictor Coef SE Coef T P

Constant 28413 1066 26.66 0.000

Tahun 4623.9 189.4 24.41 0.000

S = 1467.20 R-Sq = 98.8% R-Sq(adj) = 98.7%


7-9 MODUL 7

Dari hasil yang diperoleh tersebut, dapat diketahui bahwa tiap tahun

peningkatan produksi pulsa linier. Hal tersebut dapat dilihat dari uji

koefisien regresi, semua koefisien, nilai P value nya nol (P value yang

dihitung dari T). Dari segi kelayakan model regresi dapat dilihat dari nilai

R2 = 98.8% dan pada analisis variansi, nilai P value juga nol. Sehingga

dengan menggunakan model regresi di atas, dapat diprediksi produksi

pulsa tingkat nasional pada tahun 2007 adalah 74653 (106).

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P

Regression 1 1282808577 1282808577 595.91 0.000

Residual Error 7 15068810 2152687

Total 8 1297877388

Unusual Observations

Obs Tahun Pulsa Fit SE Fit Residual St Resid

1 1.00 35451 33037 902 2414 2.09R

R denotes an observation with a large standardized residual.


7-10 MODUL 7

Regresi Non Linier

Berikut ini merupakan contoh dari regresi non linear, diketahui bahwa data

penjualan suatu produk dari mulai diproduksi sampai produk tersebut

berumur 24 bulan (2 tahun).

Bulan ke- Keuntungan

(dalam ribuan rupiah)

1 150

2 270

3 480

4 750

5 1350

6 2310

7 3625

8 5390

9 9950

10 15510

11 26500

12 40350

13 77510

14 111950

15 165300

16 311600

17 627480

18 804250

19 1540980

20 2314250

21 3923250

22 6010500

23 12334230

24 15975210

Dari data diatas, kita akan mencoba memprediksi keuntungan perusahaan

saat produksi berlangsung selama 3 tahun (36 bulan).


7-11 MODUL 7

Seperti yang telah diketahui sebelumnya, kita dapat membuat diagram pencar

(scater plot) dengan mintab, yaitu :

2520151050

18000000

16000000

14000000

12000000

10000000

8000000

6000000

4000000

2000000

0

bulan

ke

un

tu

ng

an

Plot bulan vs keuntungan

Jelas bahwa regresi linear kurang baik untuk diterapkan. Melihat bentuk

diagram pencar diatas kita akan mencoba mendekatinya dengan fungsi non

linear yaitu xaby atau

baxy . Untuk menentukan persamaan regresi

yang terbaik antara dua model tersebut dapat dilihat dari nilai R2.


7-12 MODUL 7

Langkah – langkah dengan Minitab

1. Pilih stat, kemudian Regression dan Fitted Line Plot

2. Isi kotak dialog dan optionpnya seperti berikut,


7-13 MODUL 7

Untuk model geometrik baxy isi seperti ini

Untuk model eksponensial xaby isi seperti ini


7-14 MODUL 7

3. Hasilnya adalah sebagai berikut

Untuk model geometrik baxy

Untuk model eksponensial xaby

4. Kedua model, berdasarkan uji T cukup layak digunakan, tetapi

berdasarkan nilai R2 masing – masing model, maka diperoleh

kesimpulan bahwa model eksponensial lebih baik daripada model

geometric.

Jadi persamaan regresi nonlinier yang terbaik adalah

xy 218.001.2log

Atau bila dituliskan dalam xaby menjadi

xy 652,133,102

5. Bila dihitung keuntungan pada akhir tahun ke-3 (bulan ke 36) maka

diperoleh hasil

11736

10.22.7652,133,102y ribu.

The regression equation is ylog = 2.01 + 0.218 x

Predictor Coef StDev T P

Constant 2.01111 0.01549 129.83 0.000

x 0.218240 0.001084 201.31 0.000

S = 0.03676 R-Sq = 99.9% R-Sq(adj) = 99.9%

The regression equation is

ylog = 0.798 + 3.98 xlog

Predictor Coef StDev T P

Constant 0.7983 0.3558 2.24 0.035

xlog 3.9751 0.3381 11.76 0.000

S = 0.5848 R-Sq = 86.3% R-Sq(adj) = 85.6%


7-15 MODUL 7

Latihan

1. Berikut adalah pengaruh temperatur pada proses deodorizing terhadap

warna suatu produk :

Temperatur (X) Warna (Y)

460 0.3

450 0.3

440 0.4

430 0.4

420 0.6

410 0.5

450 0.5

440 0.6

430 0.6

420 0.6

410 0.7

400 0.6

420 0.6

410 0.6

400 0.6

a. tentukan model regresi linier Y = a + b X

b. Hitung korelasi antara Y dan X

2. Seorang distributor ingin mengetahui hubungan antara biaya pemasangan

iklan per minggu dengan hasil penjualannya, datanya sebagai berikut :

Biaya iklan ($) Penjualan ($)

40 385

20 400

25 395

20 365

30 475

50 440

40 490

20 420

50 560

40 525

25 480

50 510


7-16 MODUL 7

a. Buat diagram pencar

b. Tentukan persamaan garis regresi yang terbaik untuk meramalkan

penjualan mingguan berdasarkan biaya iklan

3. Berikut adalah data tentang pengaruh antara nilai ujian pertama dengan

nilai ujian kedua :

Nilai ujian pertama (X) Nilai ujian kedua (Y)

4.1 2.1

2.2 1.5

2.7 1.7

6.0 2.5

8.5 3.0

4.1 2.1

9.0 3.2

8.0 2.8

7.5 2.5

8.5 3.0

9.3 2.8

9.5 3.0

7.4 1.7

a. Gambarkan diagram pencar

b. Tentukan persamaan regresi linier dan non-liniernya

c. Hitung korelasinya dan tentukan regresi yang terbaik

d. berapakah nilai ujian kedua, jika nilai ujian pertama 6.4


DAFTAR PUSTAKA

1. Devore J. L., 1991, Probability and Statistics for Engineering in The

Sciences, third edition, Pacific Grove California.

2. Erickson, B. H., dan Nosanchuk, T. A., 1993, Memahami Data,

Terjemahan : R. K. Sembiring, LP3ES, Jakarta.

3. Djauhari, M., Catatan Kuliah, ITB, Bandung.

4. Minitab Inc, 1994, MINITAB Reference Manual 10 for Windows ,

Minitab Inc, New York.

5. Walpole, R. E., 1997, Pengantar Statistika, Edisi ke-3, Penerbit PT

Gramedia Pustaka Utama, Jakarta.

6. Hines William M. W., and Montgomery D. C., 1990, Probability and

Statistics in Engineering and Management Science, third edition, Jhon

Wiley & Sons, New York.

Prak Statistika

Documents