Potensial Listrik

1. POTENSIAL LISTRIK

Potensial listrik merupakan besaran skalar yang berkaitan dengan kerja

dan energi potensial pada medan listrik. Potensial listrik adalah banyaknya muatan

yang terdapat dalam suatu benda. Suatu benda dikatakan mempunyai potensial

listrik lebih tinggi daripada benda lain, jika benda tersebut memiliki muatan

positif lebih banyak daripada muatan positif benda lain.

A B C D

(a) (b) (c) (d)

Gambar1. Muatan listrik pada beberapa benda

Pada gambar 1, terlihat bahwa benda A memiliki muatan positif paling banyak

sehingga benda A mempunyai potensial listrik paling tinggi, disusul benda B, C,

baru kemudian D.

Beda potensial listrik (tegangan) timbul karena dua benda yang memiliki

potensial listrik berbeda dihubungkan oleh suatu penghantar. Beda potensial ini

berfungsi untuk mengalirkan muatan dari satu titik ke titik lainnya. Satuan beda

potensial adalah volt (V). Alat yang digunakan untuk mengukur beda potensial

listrik disebut voltmeter.

Beda energi potensial dapat dituliskan

U ( B )-U ( A )=-q∫A

B

E⋅ds→U ( B)

qunderbracealignl Definisi ¿⏟

potensial ¿

listrik ¿¿−U ( A )

q=−∫

A

B

E⋅ds¿

Jadi beda potensial antara dua tempat adalah

V ( B)-V ( A )=|−∫A

B

E⋅ds

1.1 Potensial Listrik Pada Satu Titik Yang Ditimbulkan Oleh Satu Muatan

Titik

Medan listrik yang diakibatkan oleh muatan titik adalah

E(r )=k

q

r2r

Karena E(r) berarah radial, maka

E(r ) •ds =E (r)dr

Sehingga V B−V A=−∫

A

B

E(r )⋅ds=−∫A

B

E(r )dr=kq ( 1rB

− 1r A

)Jika dipilih V = 0 pada r = ∞, maka potensial listrik pada jarak r dari suatu muatan

titik adalah

V (r )=kqr

Besaran potensial listrik di suatu tempat hanya mempunyai makna jika

dibandingkan dengan potensial di tempat lain. Yang mempunyai makna fisis

adalah beda potensial (ada titik acuannya). Dengan mengambil posisi ∞ sebagai

titik acuan yang potensialnya nol (V(∞) = 0), maka potensial di suatu tempat

akibat muatan titik q adalah

V A=kq

r Aq

Dengan r Aq=|r A−rq|

1.2 Potensial Listrik Pada Satu Titik Yang Ditimbulkan Oleh Beberapa

Muatan Titik

Potensial listrik pada satu titik yang ditimbulkan oleh beberapa muatan

titik maka potensial di suatu titik dapat diperoleh dengan prinsip superposisi

V A = V Aq 1 + V Aq2 + V Aq3 + . .. . .+V Aqn = k [q1

r Aq1

+q2

r Aq2

+ . .. . .. .. .+qn

r Aqn]

= k ∑i=1

n

(qi

r Aqi)

Contoh bentuk potensial satu dimensi yang dihasilkan oleh dua buah muatan

Untuk muatan yang terdistribusi kontinu akan diperoleh

∫mua tan ¿

¿ seluruh ¿¿

1.3.1 Pembuktian rumus V (r )=∑i=1

N qi

4πε 0 Ri = 0

Misalkan, A dan B pada Gambar 1 adalah dua titik di dalam sebuah

medan listrik uniform E (medan listrik homogen E), dan A berjarak d dari B di

dalam arah medan. Anggaplah bahwa sebuah muatan uji positif q0 digerakkan dari

A ke B sepanjang garis lurus yang menghubungkan A dan B. Gaya listrik pada

muatan tersebut adalah q0 E dan mengarah ke bawah. Untuk menggerakkan

muatan maka kita harus menetralkan gaya ini dengan memakaikan sebuah gaya

luar F yang besarnya sama tetapi berarah ke atas. Kerja W yang dilakukan oleh

pengaruh yang membekali gaya ini adalah:

WAB = F d = q0 Ed....................................................................................(1)

q0E

F

E

q0dl

d

A

B

Gambar 2. Sebuah muatan uji positif q0 digerakkan dari A ke B di dalam sebuah medan listrik uniform E oleh sebuah pengaruh luar yang mengarahkan sebuah gaya F pada muatan uji tersebut.

dengan mensubstitusikan persamaan (2). ke persamaan (1) maka akan diperoleh:

Ri=|r− r i|……………………………………………...…….(2)

Persamaan ini memperlihatkan hubungan di antara perbedaan potensial

dan kekuatan medan untuk sebuah kasus khusus yang sederhana (Halliday &

Resnick,1993).

Seperti halnya pada medan listrik homogen E, misalkan A dan B adalah

dua titik di dalam sebuah medan listrik tak homogen E (gambar 2). Anggap

sebuah muatan uji q0 digerakkan oleh suatu pengaruh luar dari A ke B sepanjang

lintasan yang menghubungkan A dan B. Medan listrik mengerahkan sebuah gaya

q0 E pada muatan uji tersebut. Untuk mempertahankan supaya muatan uji tersebut

tidak dipercepat, maka sebuah pengaruh luar harus memberikan sebuah gaya F = -

q0 E (tanda minus menunjukkan arah yang berlawanan) untuk semua kedudukan

benda uji tersebut.

q0Eq0B

A

Jika pengaruh luar (gaya F) menyebabkan benda uji bergerak melalui

pergeseran dl sepanjang lintasan dari A ke B, maka elemen kerja yang dilakukan

oleh pengaruh luar (gaya F) adalah F. dl. Kerja total WAB yang dilakukan oleh

pengaruh luar dalam menggerakkan muatan uji dari A ke B, dapat dicari dengan

menjumlahkan (mengintegrasikan) kontribusi-kontribusi kerja untuk seluruh

segmen yang sangat kecil sepanjang lintasan tersebut, yaitu:

W AB =∫A

B

F . d l = −q0 ∫A

B

E . d l………………………………….…………(3)

atau:

r i ..…………………………..……..…….(4)

Karena muatan di setiap titik adalah sama maka dapat dikeluarkan dari faktor

integral, maka persamaannya menjadi:

r………………………………….………..(5)

θ1

Gambar 3. Sebuah muatan uji positif q0 digerakan dari A ke B di dalam medan

magnet E pada muatan uji tersebut.

……

………..………………………………………(6)

iR

r P

q0

Gambar 4. Sebuah titik dalam sistem muatan titik

Ri=(r 2+ri2−2 rri cosθ i)

12

Jika titik A diambil jauh takhingga dan potensial di titik A diambil sebesar

nol, maka persamaan ini memberikan potensial V pada titik B, atau dengan

menghilangkan indeks B, maka akan diperoleh:

V (r )=∑i=1

N q1

4 πε 0 (r2+ri2−2 rri cosθ i)

12

………………………………………………..……..……(8)

Hubungan antara potensial V dan medan listrik E di tinjau dari persamaan

dasar medan listrik:

r

dengan Ri = r-ri, r i , Ri =

ri

r

Dari hubungan t=−2( ri

r )cos θi+(r i

r )2

(1±t )−1

2=1∓12

t + 38

t2∓ 516

t3+.. ., maka dapat ditulis:

( ri

r )3

Jika didefinisikan :

( ri

r )4

Karena V = potensial listrik = potensial scalar, maka persamaan (8) dapat ditulis

menjadi:

……………………………………………(

7)

……………………………

…………..……(9)

………………..…………..…(10)

……

…………..………..…………………..…(12)

V (r )= 14 πε 0r ∑i=1

N

qi+1

4 πε 0r2∑i=1

N

q i ri cos θi+1

4 πε 0r3 ∑i=1

N qi ri2

2 (3 cos2θ i−1)+ .. .…………………………………….…………………(13)

Dengan demikian dari analisis vektor akan dapat ditulis:

V (r )=V M (r )+V D (r )+V Q (r )+ .. .……………………………………….………………….(14)

Karena medan listrik merupakan negative gradient potensial, maka sesuai dengan

sifat identitas vector dari operasi diferensial akan diperoleh

cos θ i=r rrr i

=r ( r i

ri)=l x x i+l y y i+l z zi

ri

Medan skalar V inilah yang disebut dengan potensial skalar atau potensial

elektrostatik.

1.3.2 Pembuktian Curl E sama dengan Nol ( ∇×E=0 )

E(r)=Curl1

4 π ε0∑i=1

N

q1r−r

|r−r|3 +Curl1

4π ε0∫V

❑r−r

|r− r|3 ρ ( r ) d V +Curl1

4 π ε0∫S

❑r−r

|r−r|3σ ( r ) d a

Curl1

4 π ε0∑i=1

N

q1r−r

|r−r|3= 1

4 π ε0∑i=1

N

q1 Curlr−r

|r− r|3

Curl1

4 π ε0∫V

❑ r−r

|r−r|3 ρ ( r ) d´

V =¿1

4 π ε0∫V

❑

ρ ( r ) d V Curlr−r

|r−r|3 ¿

Curl1

4 π ε0∫S

❑r−r

|r−r|3σ ( r ) d a= 1

4 π ε0∫S

❑

σ ( r )d a Curlr−r

|r−r|3

Ketiga persamaan di atas mengandung Curlr−r

|r−r|3

Sehingga dalam hal ini dibuktikan Curlr−r

|r−r|3=0

Buktinya:

1.4 Hubungan Medan Listrik dengan Potensial Listrik

Persamaan medan listrik (E) pada suatu muatan titik adalah sebagai berikut:

E= Fq0

= 14 π ε0

|q|r2

Sedangkan persamaan potensial listrik (V) dapat dinyatakan sebagai berikut:

V=Uq0

= 14 π ε0

qr

Dari kedua persamaan tersebut dapat dicari hubungan medan listrik dan potensial

listrik, yaitu:

dW =F . d l

dW =q0 E . d l

W =q0∫a

b

E . d l (Halliday et all, 1996)

Sehingga jika dicari persamaan potensial dari persamaan

V=Uq0

, maka akan didapatkan bentuk persamaan sebagai berikut:

Va−Vb=∫a

b

E . d l

Jika E diketahui pada berbagai titik, kita dapat menggunakan persamaan ini untuk

menentukan beda potensial. Atau kita dapat menentukan medan listrik E bila

diketahui potensial V pada berbagai titik dalam ruang. Misalkan V sebagai fungsi

dari (x, y, z) dari setiap titik dalam ruang, kita akan menunjukkan bahwa

komponen-komponen E secara langsung berhubungan dengan turunan potensial

dari V terhadap x, y, z. Perbedaan potensial Va-Vb adalah potensial dari a

terhadap b yakni perubahan potensial bila suatu titik muatan bergerak dari b ke a.

Dapat dituliskan sebagai berikut:

Va−Vb=∫b

a

dV =−¿∫a

b

dV ¿

Di mana dV adalah perubahan potensial infinitesimal yang menyertai setiap

elemen infinitesimal dl dari b ke a.

Jadi −∫a

b

dV =∫b

a

E . d l

Atau

– dV = E.dl

Dengan

E = i Ex + j Ey + k Ez

dV = ( ∂ Vx∂ x )dx+( ∂Vy

∂ y )dy+( ∂ Vz∂ z )dz

dl = i dx + j dy + k dz

Maka

( ∂ Vx∂ x )dx+( ∂Vy

∂ y )dy+( ∂ Vz∂ z )dz=Exdx+Eydy+Ezdz

Atau

Ex=−∂ Vx /∂ x

Ey=−∂ Vy /∂ y

Ez=−∂ Vz /∂ z

Hal ini konsisten dengan

E=−(i ∂V∂ x )+ j( ∂ V

∂ y )+k ( ∂V∂ z )

¿−¿

Jadi E = −∇V dengan ∇ dibaca gradient

Dalam ruang satu dimensi persamaan ini menjadi

E = - i dV/dx

Medan listrik di suatu titik dalam ruang adalah gradient dari potensial listrik pada

titik tersebut (Suma, 2004).

1.5 Energi Potensial Listrik

Teorema kerja-energi menyatakan bahwa perubahan energi potensial sama

dengan kerja yangharus dilakukan melawan medan gaya untuk memindahkan

benda dari A ke B. Secara matematis dapat ditulis

Misalkan kita akan menentukan energi potensial muatan titik seperti pada

Gambar 12.2.

Gaya yang bekerja pada muatan uji, q0, bila berada pada jarak r dari

muatan sumber, q, adalah

Maka perubahan energi potensial untuk melawan gaya di atas dalam

menggerakkan q0 dari Q ke P adalah

Secara umum energi potensial medan listrik oleh muatan sumber q yang

dimiliki oleh muatan uji q0 pada jarak r dari q adalah

Contoh 1

Jarak dua proton dalam inti U238 adalah 6 x 10-15 m. Berapa energi potensial

listrik bersama kedua proton tersebut jika diketahui muatan proton adalah + 1,6 x

10-19 C.

Jawab

Energi potensial bersama

2. DIPOL LISTRIK

Jika dua buah muatan berlawanan ”diposisikan” sejauh d

seperti pada gambar maka terbentuk sebuah sistem sumber listrik statis

yang disebut dipol listrik (Yunani : dyo = dua, polos = sumbu/pasak).

Dipol listrik ini menarik, karena meskipun secara total besar muatannya

nol (karena q + (-q) = 0), namun dapat kita lihat bahwa sistem dipol

masih memiliki medan listrik di sekitarnya. Di alam dipol listrik

ditemukan dalam molekul H2O di mana hidrogen memiliki muatan

positif, sedangkan oksigen bermuatan negatif.

Gambar 5. Dipol listrik ditemukan pada molekul H2O

Dalam medan listrik dipol yang dibentuk oleh molekul H2O

bergerak menyearahkan diri dengan medan yang mempengaruhinya,

dan jika medan ini dibuat bolak-balik, maka molekul H2O ikut

berosilasi bolak-balik sehingga menaikkan temperaturnya. Teknik inilah

yang dimanfaatkan oleh Percy Lebaron Spencer secara tidak sengaja

E

d

-q +q

dalam ”menemukan” pemanggang microwave pertama kali pada tahun

1946-an. Dalam pemanggang microwave, medan listrik dengan

frekuensi 2,45 GHz (atau dengan panjang gelombang 12.2 cm) di

dalamnya dibuat bolak-balik sehingga membuat molekul H2O yang

ada di dalam makanan bergerak bolak- balik juga, akibat gerak bolak

balik ini makanan yang dipanggang menjadi panas dan dalam waktu

yang cukup dapat mematangkan makanan. Dipol listrik ini diukur oleh

sebuah besaran bernama momen dipol p yangdidefinsikan sebagai perkalian

muatan q dengan jarak antar muatannya (d) :

p = qd

jika berada dalam medan magnet E, momen dipol ini akan berputar hingga

sejajar dengan medan megnetnya seperti pada gambar 1.14 :

Gambar. 6 Dipol listrik menyejajarkan diri terhadap medan listrik yang

mempengaruhinya

Torsi dari putaran ini dapat dihitung melalui :

τ = p x E

Contoh :

Sebuah dipol listrik memiliki momen dipol sebesar 1 e nm dikenakan⋅

padanya medan listrik 5x103 N/C dengan arah 30o terhadap dipol.

Hitunglah besarnya torsi yang timbul

Jawab :

Momen dipol 1 e nm = 1(1,6 x 10-19 C)(10-9 m) = 1,6 x 10-28 Cm⋅

Torsi dapat dihitung melalui persamaan :

τ = p x E

= pE sin θ

= (1,6x10 −28 )(5x10 3 N /C) sin 30 o = 4x10 − 23 Nm

2.2 Energi Potensial Listrik Dan Kuat Medan Disekitar Dipol Listrik

Energi potensial listrik dari sistem muatan titik didefinisikan sebagai usaha

yang diperlukan untuk merakit sistem itu, mulai dari muatan diam dan berada di

tak hingga satu sama lain. Untuk dua muatan, energi dihitung dengan rumus

U (=W )= 14 πεo

q1 q2

r

Kerja yang harus dilakukan oleh gaya luar F terhadap medan listrik E untuk

memindahkan muatan q dari titik a ke titik b sejauh de adalah:

dW =- { F .d e =-q { E ¿ .d e¿Jumlah kenaikan energi potensial listriknya adalah:

ΔU=Ub−Ua=−∫a

b

q E .d e=Wab

Jika dimisalkan titik a terletak di titik yang tak terhingga jaubnya maka V. = 0 dan

energi potensial di titik b adalah;

Ub=−∫∞

b

q E .d e

Ket: tanda minus menunjukkan bahwa gaya luar F besamya sama dengan gaya

listrik yang melawannya, dan muatan percobaan q diambil sangat kecil.

Untuk mengilustrasikan kuat medan disejitar dipole listrik pandang

sepasang muatan titik pada sumbu -x. Kedua muatan dipisahkan oleh jarak d.

Disini kita meninjau dua kasus :

1. Medan listrik akibat kedua muatan pada suatu titik di sumbu-x

2. Medan listrik akibat kedua muatan pada suatu titik di sumbu-y

Kasus -1

Gambar. 6

Besar medan listrik di titik P akibat masing-masing muatan adalah

E+ = k Q/( r - d/2)2 arahnya menuju x positif

E- = k Q/( r + d/2)2 arahnya menuju x negatif

Besar medan listrik total di titik P akibat kedua muatan adalah

| E+ + E. | = kQ [l/( r + d/2)2 ] - [l/( r - d/2)2] = (kQ/ r2) [( 1 + d/2r)-2 - ( 1 - d/2r)-2

Untuk r » d atau d/2r « 1, ( 1 - d/2r)-2 « 1 - d/2r dan ( 1 + d/2r)-2 « 1 + d/2r Jadi

| E+ + E. | = (k/r3)(Qd) = (k/r3) p = (k p)/r3 arahnya ke kanan

dimana p = Qd adalah momen dipol yang vektor arahnya dari muatan negatif menuju

muatan positif. Jadi persamaan diatas dapat juga dinyatakan sebagai besar medan listrik yang

itimbulkan oleh momen dipol p sepanjang momen dipol tersebut.

Kasus – 2

Gambar. 7

Besar medan listrik oleh masing-masing muatan adalah

E+ = k Q/( r2 + d2/4) arahnya lihat gambar di atas

E- = k Q/( r2 + d2/4) arahnya lihat gambar di atas

Perhatikan bahwa besar kedua medan listrik sama, sehingga medan total di titik P

hanya memiliki komponen horizontal saja. Komponen vertikal saling meniadakan.

Jadi

│ E+ + E-│= 2kQ [(d/2)/( r2+ d2/4)3/2 ] = (kQd/r3) ( 1 + d2/4r2)-3/2

Untuk r >> d, ( 1 + d2/4r2)-3/2 ≈ 1

│ E+ + E-│= (kQd/r3) = k p/r3 arahnya ke kiri

Medan listrik oleh dipol p secara umum dapat ditentukan menggunakan hubungan

antara E dan potensial listrik V. Untuk itu ada baiknya kita tinjau potensial listrik

yang ditimbulkan oleh sebuah dipol p. Perhatikan gambar di bawah ini, potensial

litrik di titik P akibat masing-masing muatan adalah

V+ = k Q/r1 dan V- = - k Q/r2 Potensial total di titik P adalah

V = V+ + V. = k Q ( 1/n - l/r2) = k Q ( r2 - n)/ri r2

Ambil untuk r » d, maka ( r2 - n) ~ d cos 0 dan n r2 ~ r2 .

Maka

V= k Q d cos0/ r2 = k p . r / r2

2.3 Multipole Listrik

2.3.1 Ekspansi Multipole dari Potensial Saklar

Misal sistem N muatan q1, q2, q3, ……….qi,…..qN diletakkan dalam

suatu volume V (gambar ). Vektor posisi masing-masing muatan adalah

r 1 , r 2 , r 3 ,. .. . .. .. . , r i , . .. .. r n . Sebuah titik P berada pada posisi r . Potensial di titik P

adalah

¿ N ¿ ¿dimana R i =|r− ri|¿¿(a)

Gambar.8 Potensial yang disebabkan oleh sistem muatan-muatan titik

Jika sudut antara r i dan r adalah I dan dengan menggunakan aturan

cosinus, maka dari gambar diperoleh

Ri=(r 2+ri2−2 rri cosθ i)

12

(b)

sehingga (a) menjadi

V (r )=∑i=1

N qi

4 πε0 (r 2+ri2−2 rri cosθi )

12

(c)

Misalkan titik P cukup jauh di luar V’ sehingga letaknya sangat jauh dari

titik asal dibandingkan dengan letak muatan, jadi, r > r i untuk semua i. Rasto

ri

r

adalah selalu lebih kecil daripada satu satuan, dan dapat dinyatakan dengan

ekspansi deret pangkat dalam pembagian. Jika fektor r2 dikeluarkan dari akar

kuadrat dalam persamaan (b), maka dapat dituliskan

1R i

= 1

r (1+t )12

(d)

dimana

t=−2( ri

r )cos θi+(r i

r )2

(e)

Sekarang digunakan deret pangkat

(1±t )−1

2=1±12

t + 38

t2+ 516

t3+. . .. ..(f)

Dengan tanda negatif di atas untuk ekspansi akar kuadrat dari persamaan (d).

Persamaan (e) dimasukkkan ke (f) den mengabaikan seluruh suku yang

mengandung ( ri

r )3

dan ( r i

r )4

, dan seterusnya akan diperoleh

1

(1+t )12

=1−12 [−2(ri

r )cosθi+(ri

r )2 ]+3

8 [−2(ri

r )cosθi+(ri

r )2 ]

2

=1+(r i

r )cosθ i+12 (ri

r )2

(3 cos2θi−1)

Jika dibagi dengan r, menurut (d), dan substitusi hasil ke (a) akan diperoleh

V (r )= 14 πε0 r ∑i=1

Nq1+

14 πε0r ∑i=1

Nq1ri cosθ i+

14 πε0r ∑i=1

N q1ri2

2 (3cos2θi−1)+.. . .. .. .

(g)

Persamaan (g) adalah ekspansi multipole dari potensial, masing-masing suku

dalam penjumlahan itu disebut monopole, dipole, dan quadrupole. Untuk

memudahkan penulisan, persamaan (g) dapat ditulis :

V (r )=V M (r )+V D(r )+V Q(r )+. . .. .. (h)

Jika perhatikan, fungsi sudut dalam persamaan (g) adalah merupakan Polynomial

Legendre. Jika fungsi Polynomial dinyatakan dengan Pl (x), maka didefinisikan

bahwa :

1

(1−2 xy+ y2 )12

=∑l=0

∞Pl (x ) y1 (|x|≤1, y<1)

(i)

sehingga fungsi tersebut adalah koefisien dari y1 dalam penjumlahan tersebut.

Contoh beberapa fungsi Polynomial Legendre:

Po(x) = 1, P1(x)= x, P2 (x) = ½ (3x2-1)

P3(x) = ½ (5x3-3x)……… (j)

Untuk Po(x) sudah diketahui, sedangkan untuk fungsi yang lain dapat dicari

dengan memanfaatkan hubungan berulang (recursion relation) yang ditunjukkan

sebagai berikut :

(l+1) Pl+1 (x) = (2l+1) x Pl(x) – lPl-1(x) (k)

Perlu diperhatikan bahwa Pl(1) = 1

Jika dikomparasikan (i) dengan (d) dan (e) dapat diketahui bahwa y =

ri

r

dan x = cos I , keduanya memenuhi kondisi tanda kurung dalam persamaan (i).

Untuk itu dapat dituliskan

V (r )=1r ∑l=0

∞Pl(cosθ i)( ri

r )l

(l)

Sehingga persamaan (a) secara umum dinyatakan sebagai

V (r )= 14 πε0

∑l=0

∞ 1l+1 [∑i=l

N

qi ril Pl (cos θi )]

(m)

Meskipun persamaan (m) merupakan pernyataan yang lengkap, tetapi yang akan

digunakan selanjutnya adalah persamaan (g).

Berdasarkan gambar (8) diketahui bahwa

cosθ i=r . r i

rri

=r .( ri

ri)= lx x i+l y y i+lz zi

ri (n)

dimana lx, ly, lz adalah arah cosinus dari posisi r terhadap P daalah koordinat letak

n xi, yi, zi, adalah koordinat letak dari muatan qi.

2.3.2 Monopole

Penjumlahan dalam suku pertama dari persamaan (g) adalah mudah

didefinisikan, yaitu

∑i=l

N

qi=Qtotal=Q(o)

dimana Q adalah pola muatan. Selanjutnya monopole mempunyai bentuk

V M (r )= Q4 πε0 r (p)

Dalam konteks ini, pola muatan Q disebut momen monopole dari

distribusi muatan. Dengan kata lain, momen monopole adalah bagian penting dari

ekspansi V, dan bagian dominan untuk pola muatan. Jika muatan terdistribusi

kontinu, maka penjumlahan dapat diganti dengan integral, sehingga momen

monopole dapat dinyatakan dalam bentuk Q=∫

V '

ρ(r ' )dV '(q)

dimana integral meliputi volume V’ dari sumber muatan terdistribusi.