Pertidaksamaan Satu Variabel

PERTIDAKSAMAAN SATU

VARIABEL

I. MATERI

A. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

a. Cara Penyelesaian:

1. Suku-suku yang mengandung variabel dikumpulkan di ruas kiri,

dan konstanta diletakkan di ruas kanan.

2. Sederhanakan hingga variabel tidak memiliki kostanta.

b. Contoh Soal

Tentukan batas nilai y jika 6 – 2(y – 3) ≤ 3(2y – 4)!

<=> 6 – 2(y – 3) ≤ 3(2y – 4)

<=> 6 – 2y + 6 ≤ 6y – 12

<=> – 2y – 6y ≤ – 12 – 6 – 6

<=> – 8y ≤ – 24

<=> y ≥ −24

−8

<=> y ≥ 3

B. Pertidaksamaan Kuadrat Satu Variabel

a. Cara Penyelesaian

1. Ruas kanan dibuat menjadi nol

2. Faktorkan ruas kiri

3. Tentukan harga nol, yaitu nilai variabel yang menyebabkan

nilai faktor sama dengan nol

4. Gambar garis bilangannya

- Jika tanda pertidaksamaan ≥ atau ≤, maka harga nol

ditandai dengan titik hitam •

- Jika tanda pertidaksamaan > atau <, maka harga nol

ditandai dengan titik putih °

5. Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval di

garis bilangan. Caranya adalah dengan memasukkan salah satu

bilangan pada interval tersebut pada persamaan di ruas kiri.

6. Tentukan himpunan penyelesaian

- Jika tanda pertidaksamaan > 0 berarti daerah pada garis

bilangan yang diarsir adalah yang bertanda (+)

- Jika tanda pertidaksamaan < 0 berarti daerah pada garis

bilangan yang diarsir adalah yang bertanda (–)

b. Contoh Soal:

Tentukan himpunan penyelesaian dari

(2x – 1)2 ≥ (5x – 3).(x – 1) – 7 !

(2x – 1)2 ≥ (5x – 3).(x – 1) – 7

4x2 – 4x + 1 ≥ 5x2 – 5x – 3x + 3 – 7

4x2 – 4x + 1 – 5x2 + 5x + 3x – 3 + 7 ≥ 0

–x2 + 4x + 5 ≥ 0

–(x2 – 4x – 5) ≥ 0

–(x – 5).(x + 1) ≥ 0

Harga nol:

x = 5 atau x = –1

Garis bilangan:

menggunakan titik hitam karena tanda pertidaksamaan ≥

jika dimasukkan x = 0 hasilnya positif

karena 0 berada di antara –1 dan 5, maka daerah tersebut

bernilai positif, di kiri dan kanannya bernilai negatif

karena tanda pertidaksamaan ≥ 0, maka yang diarsir adalah

yang positif

Maka himpunan penyelesaian : {x | –1 ≤ x ≤ 5}

C. Pertidaksamaan Pangkat Tinggi Satu Variabel

a. Cara Menyelesaikan :

Selesaikan pertidaksamaan hingga mendapat 2 atau lebih

harga nol x

Lakukan uji titik terhadap masing-masing harga nol x

tersebut; daerah sebelum x1, daerah antara x1dan x2,

daerah antara x2dengan x selanjut-lanjutnya, dan daerah

setelah x terakhir

Hasil uji titik tersebut yang sesuai dengan soal adalah

himpunan penyelesaiannya.

b. Contoh soal :

Tentukan himpunan penyelesaian dari (2x + 1)2(x2 – 5x + 6) < 0!

(2x + 1)2(x2 – 5x + 6) < 0

(2x + 1)2(x – 2)(x – 3) < 0

Harga nol: x = –1/2 atau x = 2 atau x = 3

Karena yang dicari adalah bilangan yang kurang dari 0 (bilangan

negatif), maka himpunan penyelesaiannya: {x | 2 < x < 3}

D. Pertidaksamaan Pecahan Satu Variabel

a. Cara Menyelesaikan :

Selesaikan pertidaksamaan hingga mendapat 2 atau lebih

harga nol x

Lakukan uji titik terhadap masing-masing harga nol x

tersebut; daerah sebelum x1, daerah antara x1dan x2,

daerah antara x2dengan x selanjut-lanjutnya, dan daerah

setelah x terakhir

Hasil uji titik tersebut yang sesuai dengan soal adalah

himpunan penyelesaiannya.

b. Contoh Soal:

Tentukan himpunan penyelesaian dari :

Harga nol pembilang: x = 4

Harga nol penyebut: x = 3

Uji titik:

( x = 3 digambar menggunakan titik putih karena penyebut tidak

boleh bernilai 0)

Karena penyelesaiannya ialah bilangan yang lebih besar sama

dengan 0, maka himpunan penyelesaiannya: {x | 3 < x ≤ 4}

E. Pertidaksamaan Nilai Mutlak Satu Variabel

Nilai mutlak dari sebuah bilangan riil x didefinisikan sebagai berikut:

Selain dari definisi di atas, nilai mutlak mempunyai bentuk lain,

yaitu:

a. Cara penyelesaiannya ada 2 cara, yaitu:

Cara 1

Jika a bilangan riil positif, maka

|x|< a –a < x< a

Jika a bilangan riil positif, maka

|x|> a x <–a atau x> a

Cara 2

1. Kuadratkan masing-masing ruas.

2. Selesaikan seperti menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat

satu variabel.

0;

0;

xx

xxx

2xx

b. Contoh soal :

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari : -3 < |x-2| < 3!

Penyelesaian :

Menggunakan cara 1

-3 < x-2 < 3 (selanjutnya tambahkan 2 untuk ketiga

ruas)

-3 +2 < x -2+2 < 3+2

-1 < x < 5

Himpunan penyelesaian: {x| -1 < x < 5}

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari |4x – 2| > |x – 3|

Penyelesaian:

Menggunakan cara 2, kuadratkan kedua ruas

(|4x-2|)2 > (|x-3|)2

16x2 -16x + 4 > x2 -6x+9

15x2 -10x -5 > 0

3x2 -2x -1 1 > 0

Selesaikan hingga mendapat himpunan penyelesaian:

{x| x < 1 atau x>−1

3}

F. Pertidaksamaan Irasional/Bentuk Akar Satu Variabel

a. Cara Penyelesaian

Pertidaksamaan bentuk akar memiliki 3 bentuk dasar yang

memiliki cara penyelesaian masing-masing. Ketiga bentuk

tersebut adalah:

1. Bentuk: f x < 𝑎 ; 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎 > 0

diselesaikan dengan: (1) f x ≥ 0

(2) f x < a2

Himpunan penyelesaian merupakan irisan dari kedua langkah

2. Bentuk: f(x) < g(x)

diselesaikan dengan ∶ (1) f(x) ≥ 0

(2) g x ≥ 0

(3) f x < 𝑔(𝑥)

Himpunan penyelesaian merupakan irisan dari ketiga langkah

3. Bentuk: f(x) < 𝑔(𝑥)

diselesaikan dengan (1) f x ≥ 0

(2) g x > 0

(3) f x < g x 2

Himpunan penyelesaian merupakan irisan dari ketiga langkah

b. Contoh Soal

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari 𝑥 − 3 < 1

i. 𝑥 − 3 ≥ 0 𝑥 ≥ 3

ii. 𝑥 − 3 < 12 𝑥 − 3 < 1 𝑥 < 4

Irisan penyelesaian : 3 ≤ 𝑥 < 4

Himpunan penyelesaian: 𝑥|3 ≤ 𝑥 < 4

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari 2𝑥 − 1 ≤ 𝑥 + 3

i. 2𝑥 − 1 ≥ 0 𝑥 ≥1

2

ii. 𝑥 + 3 ≥ 0 𝑥 ≥ −3

iii. 2𝑥 − 1 ≤ 𝑥 + 3

2𝑥 − 𝑥 ≤ 3 + 1

𝑥 ≤ 4

Irisan penyelesaian : 1

2≤ 𝑥 ≤ 4

Himpunan penyelesaian: 𝑥|1

2≤ 𝑥 ≤ 4

II. LATIHAN SOAL

1. Sebuah persegi pajang memiliki panjang 5 cm lebih panjang dari

lebarnya dan kelilingnya tidak lebih dari 38 cm. Jika lebarnya x cm,

maka batas – batas nilai x adalah …

a. x < 7

b. x < 14

c. x ≤ 5

d. x ≤ 7

e. x ≤ 14

2. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2(3r + 2) > 2(r – 4)

dengan r bilangan bulat negatif adalah

c. {-2, -1}

d. {-3, -2, -1}

e. {…, -6, -5, -4}

f. {…, -5, -4, -3}

g. {…, -3, -2, -1}

3. Suatu lempeng logam berbentuk segitiga dengan panjang sisi – sisinya

3a cm, 4a cm, dan 5a cm. Jika kelilingnya tidak kurang dari 70 cm,

tentukan ukuran minimum sisi-sisi segitiga tersebut!

a. 15 cm, 20 cm, 25 cm

b. 18 cm, 22 cm, 32 cm

c. 18 cm, 24 cm, 30 cm

d. 18 cm, 24 cm, 28 cm

e. 21 cm, 28 cm, 35 cm

4. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 12x + 12 ≤ 132 !

a. {x | x ≤ 1}

b. {x | x ≥ 10}

c. {x | x ≤ 10}

d. {x | x ≥ 12}

e. {x | x ≤ 12}

5. Adam berusia 3 tahunlebih tuadariDika. Jumlah usia mereka kurang

dari 15 tahun, usia Dika sekarang adalah…

a. Kurang dari 6 tahun

b. Kurang dari atau sama dengan 6 tahun

c. 6 tahun

d. 6 tahun atau lebih

e. Lebih dari 6 tahun

6. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 – 2x – 24 < 0 adalah…

a. {x | -6 < x < 4}

b. {x | -4 < x < 6}

c. {x | x < -4 atau x > 6}

d. {x|-4 < x < 6}

e. {x | x < -6 atau x > 4}

7. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 – 2x – 3 ≤ 0 adalah…

a. {x | -1 < x < 3}

b. {x│-1 ≤ x ≤ 3}

c. {x | -3 < x atau x > 1}

d. {x | -3 < x < 1}

e. {x | -1 < x atau x > 3}

8. Sebuah pabrik lampu pijar menjual produknya seharga Rp.6000,- per

unit. Biaya pembuatan x lampu didapat menurut pesamaan B = x² +

1000x. Berapa unit lampu harus terjual agar mendapatkan laba tidak

melebihi Rp.6.000.000,-?

a. {x | 2000 < x < 3000}

b. {x | x < 2000 atau x > 3000}

c. {x | 2000 < x < 3000}

d. {x | x > 3000 atau x < 2000}

e. {x | x < 2000 atau x > 3000}

9. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 45 - 21x >6x2 adalah…

a. {x | x < -5 atau x > 3/2}

b. {x | x < -3/2 atau x > 5}

c. {x | -3/2 < x < 5}

d. {x | -5 < x < 3/2}

e. {x | x < -3/2 atau x > 5}

10. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3(x + 1)2<16x adalah…

a. {x | x < 1/3 atau x > 3}

b. {x | -3 < x < 1/3}

c. {}

d. {x | x < -3 atau x > 1/3}

e. {x | 1/3 < x < 3}

11. Tentukan himpunan penyelesaian (2x2 + x 9) (x3 – x2 6x) < 0!

a. -2 < x < 3

b. -2 < x < 0 atau x >3

c. x < -2

d. x > 3

e. {}

12. Tentukan penyelesaian xx

)x3xx)(4x)(x2x(2

23422

0!

a. { x 2 x < 0 atau 0 < x < 1 atau x = 2 }

b. { x 2 x < 0 atau 0 < x < 1 atau x = -2 }

c. { x 2 < x < 0 atau 0 < x < 1 atau x = 2 }

d. { x 2 x < 0 atau 0 < x < 2}

e. {}

13. Pertidaksamaan2x+7

x−1≤ 1memiliki himpunan penyelesaian…

a. {x | x ≤ -8 atau x ≥ 1}

b. {x | x ≤ -8 atau x > 1}

c. {x | -8 ≤ x ≤ 1}

d. {x | -8 ≤ x < 1}

e. {x | 1 ≤ x < 8}

14. Bilangan real x yang memenuhi pertidaksamaan 4x−5

x< 𝑥 − 2 adalah

...

a. x > 0

b. 0 < x < 1

c. x > 5

d. x < 0 atau 1 < x < 5

e. 0 < x < 1 atau x > 5

15. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan x2−5x−4

x+3> 1adalah…

a. {x | -3 < x < -1}

b. {x | -1 < x < 7 }

c. {x | x < -3 atau -1 < x < 7}

d. {x | -3 < x < -1 atau x > 7}

e. {x | x < -3 atau x > 7}

16. Jika x2 – x – 2 > 0, maka (x−2)(x2−x+3)

(x+1)...

a. Positif

b. Negatif

c. Antara -1 dan -2

d. Kurang dari -1 atau lebih dari 3

e. Antara -2 dan 1

17. Agar 3x2+2x+1

x2−7x+10 bernilai negatif maka harga x yang memenuhi adalah...

a. 2 < x < 5

b. x > 4

c. 4 < x < 5

d. 1 < x < 3

e. x > -8

18. Penyelesaian pertidaksamaan 3

𝑥−5<

−5

𝑥−3 adalah...

a. 3 < x < 5

b. 41

4< x < 5

c. x < 3 atau41

4< x < 5

d. x < 3 atau 41

4< x < 5

e. x < 3 atau x > 5

19. Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan |x–3| > 4!

a. x < -7 atau x >1

b. x < -1 atau x > 7

c. -1 < x < 7

d. x < -1

e. x > 7

20. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak

|3x–6|>|2x+1|!

a. {x | x > 7}

b. {x | x < 1}

c. {x | 1 < x < 7}

d. {x | x < -7 atau x > -1}

e. {x | x < 1 atau x > 7}

21. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak

4x2 − 1 < |2𝑥 + 3|!

a. {x | x > −6

5 }

b. {x | x < −5

6 }

c. {x | x > −5

6 }

d. {x | x > 5

6 }

e. {x | x < 6

5 }

22. Penyelesaian dari pertidaksamaan|x - 3|² < 4|x - 3| + 12 adalah . . . .

a. -1 < x < 3

b. -2 < x < 6

c. -3 < x < 9

d. 1 < x < 9

e. 2 < x < 6

23. Tentukan himpunan penyelesaian dari x² – 2|x| – 15 ≤ 0 !

a. {x | -5 ≤ x ≤ 5}

b. {x | -3 ≤ x ≤ 3}

c. {x | -3 ≤ x ≤ 5}

d. {x | -5 ≤ x ≤ 3}

e. {x | 3 ≤ x 5}

24. Penyelesaian untuk |x2 - 2| - 6 + 2x < 0 adalah…

a. x < -2

b. x < -4

c. x > 2

d. 2 < x < 4

e. -4 < x < 2

25. Harga-harga x yang memenuhi −x + 3 < 2x + 1 adalah…

a. x < 3

b. x ≥ −12

c. 2

3< x < 3

d. x <2

3

e. x < −12 atau x >

2

3

26. Harga x yang memenuhi pertidaksamaan 3x + 1 > 4 adalah…

a. x > 1

b. x > 2

c. x > 3

d. x > 4

e. x > 5

27. Nilai-nilai x yang memenuhi x + 2 < 10 − x2 adalah…

a. − 10 ≤ x ≤ 10

b. x < -3 atau x > 1

c. 2 ≤ x < 10

d. 1 < x < 10

e. -3 < x ≤ 10

28. Jika x2 − 4x + 4 − 2x + 3 ≥ 0 maka…

a. -3 ≤ x ≤ −15

b. -5 ≤ x ≤ −1

3

c. x ≥ -5

d. x ≤ -5 atau x ≥ −1

3

e. x ≤ -3 atau x ≥ −1

5

29. Fungsi f(x) = 𝑥2−2𝑥+1

16−𝑥2 terdefinisi kan bila memenuhi…

a. -1 < x < 4

b. x < -1 atau x > 1

c. -1 ≤ x < 1

d. x < -4 atau x > 4

e. -4 < x < 4

30. Fungsi f dengan rumus f(x) = 𝑥2−𝑥

𝑥+1terdefinisi pada himpunan…

a. {x | x ≥ -1}

b. {x | x ≥ 0}

c. {x | x ≥ 1}

d. {x | -1 ≤ x ≤ 0 atau x ≥ 1}

e. {x | -1 < x ≤ 0 atau x ≥ 1}