8/7/2019 pertidaksamaan kel.3

1/21

TUGAS TERSTRUKTUR

MATEMATIKAPERTIDAKSAMAAN

FAKULTAS KEHUTANAN

UNIVERSITAS TANJUNGPURA

2010-2011

8/7/2019 pertidaksamaan kel.3

2/21

NAMA KELOMPOK 3

Nama Nim

1.YUDAS G01110073

2.WANDI G01110075

3.ETTY ATFIANI * G01110077

4.DESI RATNASARI G01110079

5.BAYU AJI P G01110081

6.KHAIRIL F * G01110085

DOSEN

SARMA SIAHAAN S.Si.M.Si

NIP :

8/7/2019 pertidaksamaan kel.3

3/21

KATA PENGANTAR

Puji sukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT atas segala karunianya,

sehingga kami dapat menyelesaikan penulisan presentasi makalah matematika ini.Penulisan makalah ini berdasarkan sumber-sumber yang kami peroleh.

Pada makalah ini kami akan membahas tentang Pertidaksamaan Dengan

mempelajari pertidaksamaan diharapkan anda dapat memahami prinsip-prinsip

pertidaksamaan.

Harapan kami semoga makalah ini dapat memberikan ilmu yang bermakna

bagi kita semua.. Kami menyambut gembira dan mengucapkan terima kasihterhadap semua pihak yang melakukan koreksi dan memberikan saran untuk

perbaikan makalah pertidaksamaan ini.

Penulis

8/7/2019 pertidaksamaan kel.3

4/21

DAFTAR ISI

Nama Kelompok I

Kata Pengantar... II

Daftar Isi III

Pendahuluan.. IV

Rumusan Masalah. V

Isi materi 1

y Arti ketidaksamaan.. 1

y Prinsip prinsip pertidaksamaan.... 1y Sifat Sifat Pertidaksamaan... 2

y Jenis jenis pertidaksamaan... 4

Pembahasan .. 6

y Interval dan Pertidaksamaan Linear... 6

y Pertidaksamaan Kuadrat (pangkat dua).. 7

y Pertidaksamaan bentuk pecahan. 8y Pertidaksamaan Bentuk Akar ( Rasional ).. 10

y Pertidaksamaan Bentuk Mutlak ( Absolut ) 11

Kesimpulan 13

Daftar pustaka 15

8/7/2019 pertidaksamaan kel.3

5/21

PENDAHULUAN

LATAR BELAKANG

Pertidaksamaan adalah sebuah pernyataan yang menyatakan suatu kuantitas

nyata atau pernyataan adalah lebih besar atau pernyataan adalah lebih kecil dari

kuantitas nyata atau pernyataan lainnya.

Dalam pertidaksamaan memiliki :

arti pertidaksamaan yang di antaranya :

1. a>b berarti a lebih besar dari b (atau a-b adalah bilangan positif).

2. ab c, dan a b > 0.2. Arti sebuah ketidaksamaan tidak berubah apabila tiap tiap sisi

dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang sama.

Jadi apabila a > b dan k > 0, maka ka > kb dan

8/7/2019 pertidaksamaan kel.3

6/21

3. Arti sebuah ketidaksamaan berubah apabila tiap tiap sisi dikalikan

atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama.

Jadi apabila a > b dana k > 0, maka ka > kb dan

4. Apabila a > b dan a,b,n adalah positif, maka a, b, n adalah positif,

maka an

>bn

tetapi a-n

>b-n

Ex. 5 > 4 ; maka 53 > 43 atau 125 > 64, tetapi 5-3 > 4-3 atau

6>9; maka > atau 4 > 3, tetapi >

atau

5. Apabila a > b dan c > d, maka ( a + c ) > ( b + d ).

6. Apabila a > b > 0 dan c > d > 0, maka ac > bd.

Jenis jenis pertidaksamaan yang diantaranya :

1. Interval dan Pertidaksamaan Linear

2. Pertidaksamaan Kuadrat (pangkat dua)

3. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan

4. Pertidaksamaan Bentuk Akar (Rasional)

5. Pertidaksamaan Bentuk Mutlak (Absolut)

RUMUSAN MASALAH

Adapun masalah yang akan dibahas dalam makalah kami adalah

PERTIDAKSAMAAN dalam keseluruhan.

8/7/2019 pertidaksamaan kel.3

7/21

MATERI

I. Pertidaksamaan

Pertidaksamaan adalah sebuah pernyataan yang menyatakan suatu kuantitasnyata atau pernyataan adalah lebih besar atau pernyataan adalah lebih kecil dari

kuantitas nyata atau pernyataan lainnya.

Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang mengandung variabel dan

menggunakan tanda ketidaksamaan ( > , < , , ) sebagai syarat bahwa bentuk

hubungan yang terjadi adalah tidak sama dengan.

Arti ketidaksamaan yang ditunjukkan adalah sebagai berikut :

1. a>b berarti a lebih besar dari b (atau a-b adalah bilangan positif).

2. ab c, dan a b > 0.

8/7/2019 pertidaksamaan kel.3

8/21

2. Arti sebuah ketidaksamaan tidak berubah apabila tiap tiap sisi

dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang sama.

Jadi apabila a > b dan k > 0, maka ka > kb dan

3. Arti sebuah ketidaksamaan berubah apabila tiap tiap sisi dikalikanatau dibagi dengan bilangan negatif yang sama.

Jadi apabila a > b dana k > 0, maka ka > kb dan

4. Apabila a > b dan a,b,n adalah positif, maka a, b, n adalah positif, maka

an >bn tetapi a-n>b-n

Ex. 5 > 4 ; maka 53 > 43 atau 125 > 64, tetapi 5-3 > 4-3 atau

6>9; maka > atau 4 > 3, tetapi >atau

Apabila a > b dan c > d, maka ( a + c ) > ( b + d ).

5. Apabila a > b > 0 dan c > d > 0, maka ac > bd.

Sifat-sifat Pertidaksamaan

1. Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika ditambah atau dikurang dengan

suatu bilangan atau suatu ekspresi matematika tertentu.

- Jika a > b , maka : a + c > b + c ; a c > b c

- Jika a < b , maka : a + c < b + c ; a c < b c

2. Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika dikali atau dibagi dengan suatu

bilangan positif ( + ).

- Jika a > b dan c > 0 , maka : ac > bc ; a/c > b/c

- Jika a < b dan c > 0 , maka : ac < bc ; a/c < b/c3. Tanda pertidaksamaan akan berbalik jika dikali atau dibagi dengan suatu

bilangan negatif ( - ).

- Jika a > b dan c < 0 , maka : ac < bc ; a/c < b/c

- Jika a < b dan c < 0 , maka : ac > bc ; a/c > b/c

8/7/2019 pertidaksamaan kel.3

9/21

5. Pemangkatan pertidaksamaan

- Jika a > b > 0, maka :

an > bn > 0 ; n bilangan asli

- Jika a < b < 0, makaan > bn > 0 ; n bilangan genap

an < bn < 0 ; n bilangan ganjil

6. Penggabungan dua pertidaksamaan

Dua pertidaksamaan dapat digabung dengan menggunakan kata dan

atau atau.

-

Jika dua atau lebih pertidaksamaan dibabung dengan kata dan , makahasilnya adalah irisan dari hasil semua pertidaksamaan yang ada.

- x < b dan x a a b HP = { x : a x < b}

- Jika dua atau lebih pertidaksamaan diagabung dengan kata atau, maka

hasilnya adalah gabungan dari hasil semua pertidaksamaan yang ada.

a b atau x < a a b HP = { x : x < a atau x b}

8/7/2019 pertidaksamaan kel.3

10/21

Jenis Jenis Pertidaksamaan

a. Interval dan Pertidaksamaan Linear

Interval adalah selang dari suatu himpunan. Interval suatu himpunan

dapat dinyatakan dengan beberapa cara, yaitu dengan :1. Garis bilangan

2. Notasi kurung

3. Notasi pertidaksamaan

b. Pertidaksamaan Kuadrat (pangkat dua)

Pertidaksamaan kuadrat yaitu persamaan dalam x yang bentukumumnya : ax2+bx+c>0 dengan a,b,c konstanta a 0.

Cara penyelesaiaanya dengan cara perfaktoran.

c. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan

Bentuk adalah contoh bentuk pertidaksamaan pecahan di mana

fungsi pada penyebut masih mengandung variabel. Perlu diperhatikan

bahwa pertidaksamaan pecahan mempunyai himpunan penyelesaian

jika nilai pada fungsi tidak nol.

d. Pertidaksamaan Bentuk Akar (Rasional)

Adalah pertidaksamaan yang variabelnya ada di dalam tanda ( ).

Cara penyelesaian :

a.Susunlah dahulu bila kedua ruasnya seimbang.(bila ada dua tanda akar letakkan satu diruas kiri, satu diruas kanan

atau sebaliknya).

8/7/2019 pertidaksamaan kel.3

11/21

b.Kuadratkan kedua ruasnya.

c.Selesaikan pertidaksamaan ( 1 )

Syarat : a adalah non negatif ( 2 )

d.Jawabannya adalah yang memenuhi syarat ( 1 ) dan ( 2 ).

e. Pertidaksamaan Bentuk Mutlak (Absolut)

Yaitu pertidaksamaan di mana variabelnya berada dalam tanda dalam

tanda mutlak (a). Nilai mutlak untuk x R di definisikan

x = x jika x > 0; -x jika x < 0; 0 jika x = 0

Secara umum x = x

2

.Jika x a maka a x a , dan

Jika x a maka x a atau x -a.

Sifat-Sifat Nilai Majemuk

Jika a dan b adalah sembarang bilangan real maka :

1. -a a a dan -b b b.

2. ab = a . b.

3. = b 0 dan

4. a+b a + b

5. x-a < b a-b < x

8/7/2019 pertidaksamaan kel.3

12/21

PEMBAHASAN

a. Interval dan Pertidaksamaan Linear

Contoh soal dan penyelesaianya :Nyatakan nilai x dalam beberapa cara jika x lebih dari atau sama dengan 2

tetapi kurang dari 8, x R.

Nilai jika ditunjukkan dengan garis bilangan adalah seperti berikut.

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Jika x dituliskan dalam notasi kurung : [2,8). Notasi pertidaksamaan : 2 x < 8.

Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan dengan satu pengubah pangkat

satu.

Contoh : Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ini :

a. 3x 2 < 0

b. 3y 1 8y + 2

Penyelesaian :

a) 3x 2 < 0

3x < 2

x =

b) 3y 1 8y + 2

3y-8y 2+1-5y 3

y -

8/7/2019 pertidaksamaan kel.3

13/21

Grafik pertidaksamaan linear akan diarsir ke arah atas apabila pernyataan

bernilai benar dan akan diarsir ke arah bawah apabila pernyataan brnilai salah.

Lebih kecil ( 0 , R

Penyelesaian : x2 + 4x 5 > 0

(x + 5 ) (x 1 ) > 0

x = - 5 x = 1x < -5 x > 1

-5 0 1

Jadi himpunan penyelesaian : { x x < -5 atau x > 1 , x R }

8/7/2019 pertidaksamaan kel.3

14/21

Contoh soal 2 dan penyelesaian

Tentukan 9x2 2 - 3x

Penyelesaian : 9x2 - 2 = -3x

9x2 + 3x 2 = 0Dengan memfaktorkan,

( 3x 1 ) ( 3x + 2 ) = 0

3x 1 = 0 atau 3x + 2 = 0

x =

x =

x

-1

0

1

Bentuk himpunan jawabannya adalah : { x

x

}

TABEL 1

c.Pertidaksamaan bentuk pecahan

Contoh soal 1 dan penyelesaian

Selesaikan pertidaksamaan 5 untuk x R

NO PERTIDAKSAMAAN NILAI NGSIKUADRAT TANDA UNGSI

1 x2 + 4x 5 > 0 x2 + 4x 5 eb h da no po2 x2 + 5x + 6 < 0 x2 + 5x + 6 ku ang da no nega

3 x2 + x 20 0 x2 + x 20 eb h da a au po dan noa a dengan no

4 2x2 9x + 10 0 2x2 9x + 10 ku ang da nega dan no

8/7/2019 pertidaksamaan kel.3

15/21

Penyelesaian :

5 , x 2 0 atau x 2

Kedua ruas dikalikan ( x 2 )2 sehingga,

( x 2 )2 . 5 ( x 2 )2

( x 2 ) x 5 ( x2 4x + 4 )

x2 2x 5x2 20x + 20

0 4x2 18x + 20

Atau,

2x2 9x + 10 0

( 2x 5 ) ( x 2 ) 0Untuk,

( 2x 5 ) ( x 2 ) = 0

x = atau x = 2

0 1 2 3 4

Syarat penyebut x 2 , maka pada garis bilangan angka 2 tidak penuh

bulatannya.

Misal : x = 0 maka,

( 2x 5 ) ( x 2 ) = ( - 5 ) ( - 2 ) > 0

Jadi , Hp = { x 2 < x , x R.

8/7/2019 pertidaksamaan kel.3

16/21

Contoh soal 2 dan penyelesaian

Carilah x untuk soal

x +

> x

Penyelesaian : 24 (

x +

) > 24 (

x -

)

= - 15x + 16 > 18x 14

Jika x disisi kiri pertidaksamaan Jika x disisi kanan

- 15x - 18x + 16 > - 14 16 > 33x - 14

- 33x > - 30 30 > 33x

x <

> x

Jadi, himpunan jawabannya x lebih kecil dari

, dan ditulis { x x <

}

Garis bilangannya :

-1 0

1d.Pertidaksamaan Bentuk Akar ( Rasional )

Contoh soal dan penyelesaian

Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan berikut :

< 2

Penyelesaian :

Agar 0 , maka x 3 0

Atau x 3 . . . . ( 1 )

< 2 kuadratkan = x 3 4 x< + 3

x < 7 . . . . ( 2 )

8/7/2019 pertidaksamaan kel.3

17/21

Dari langkah ( 1 ) dan ( 2 ) pada garis bilangan diperoleh ;

Langkah 2 Langkah 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 xJadi, Hp = { x 3 x < 7 , x R .

e.Pertidaksamaan Bentuk Mutlak ( Absolut )

Contoh soal dan penyelesaian

Tentukan nilai x yang memenuhi pada :

1.

x < 22. x 2 < 3

Penyelesaian :

x < 2 = x2 < 2

x2 < 4

x2 4 < 0

( x + 2 ) ( x 2 ) < 0

Jika x a maka a x a

Untuk,

x < 2

-2 < x < 2

8/7/2019 pertidaksamaan kel.3

18/21

Jadi, Hp = { x-2 < x < 2 , x R }

x 2 < 3 = ( x 2 )2 < 32

x2 4x + 4 < 9

x2 4x + 4 9 < 0x2 4x 5 < 0

( x + 1 ) ( x 5 ) < 0

Untuk,

( x + 1 ) ( x 5 ) = 0 x = -1 atau x = 5

x 2 < 3 , menurut sifat nilai mutlak yang pertama, maka :

-3 < x 2 < 3-3 + 2 < x < 3 + 2

-1 < x < 5 jadi Hp = { x-1 < x < 5 , x R }.

8/7/2019 pertidaksamaan kel.3

19/21

KESIMPULAN

Pertidaksamaan adalah pernyataan yang menyatakan jumlah kuantitas nyata

atau pernyataan yang menyatakan lebih besar atau pernyataan lebih kecil ataupernyataan lainnya.

Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang mengandung variabel dan

menggunakan tanda ketidaksamaan ( > , < , , ) sebagai syarat bahwa

bentuk hubungan yang terjadi adalah tidak sama dengan.

Jenis jenis pertidaksamaan yaitu pertidaksamaan linier, pertidaksamaan

kuadrat, pertidaksamaan pecahan, pertidaksamaan akar, dan pertidaksamaannilai mutlak.

Arti ketidaksamaan yang ditunjukkan adalah sebagai berikut :

a>b berarti a lebih besar dari b (atau a-b adalah bilangan positif).

a

8/7/2019 pertidaksamaan kel.3

20/21

Arti sebuah ketidaksamaan berubah apabila tiap tiap sisi dikalikan

atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama.

Apabila a > b dan a,b,n adalah positif, maka a, b, n adalah positif, maka

an >bn tetapi a-n>b-n Apabila a > b dan c > d, maka ( a + c ) > ( b + d ).

Apabila a > b > 0 dan c > d > 0, maka ac > bd.

8/7/2019 pertidaksamaan kel.3

21/21

DAFTAR PUSTAKA

Noormandiri dan Sucipto, Endang, Matematika SMA, Jilid 1 Kelas x,

Penerbit Erlangga, Jakarta, 2004. www.google.com

Matematika, Jenis jenis Pertidaksamaan.