Persamaan Schrodinger Pada Tanggul Potensial

APLIKASI PERSAMAAN SCHRODINGER

PADA TANGGUL POTENSIAL

I. PENDAHULUAN

Pada akhir abad ke 19 dan awal abad ke 20, semakin jelas bahwa

fisika (konsep-konsep fisika) memerlukan revisi atau penyempurnaan.

Hal ini disebabkan semaki banyaknya hasil-hasil eksperimen dan

gejala-gejala fisika yang teramati yang tidak bisa dijelaskan dengan

konsep-konsep fisika yang telah dikuasai pada saat itu (fisika klasik),

sekalipun dengan pendekatan.

Masalah-masalah yang dimaksud di atas muncul terutama pada

obyek-obyek fisis yang berukuran "kecil" (mikroskopik, atomistik),

seperti partikel-partikelelementer dan atom serta interaksinya dengan

radiasi atau medan elektromagnetik. "Perbedaan-perbedaan" dalam

eksperimen fisika mula-mula dapat diatasi dengan postulat-postulat

dan hipotesis-hipotesis. Namun karena jumlahnya semakin banyak dan

persoalannya dipandang mendasar, menuntut dan mendorong

fisikawan untuk melakukan penyempurnaan, dan bila perlu perubahan

pada formulasi dan konsep-konsep fisika. Hasilnya adalah konsep yang

dinamakan "Mekanika Kuantum".

Mekanika kuantum merupakan teori kebolehjadian yang bersifat

abstrak, seperti konsep panjang gelombang, rapat kebolehjadian,

operator, dan lain-lain. Mekanika kuantum disusun di atas postulat-

postulat. Ada dua pendekatan formulasi mekanika kuantum, yakni

dengan Mekanika Gelombang yang dikembangkan oleh Schrodinger,

dan Mekanika Matriks yang dikembangkan oleh Heisenberg.

Mekanika gelombang diperkenalkan oleh Fisikawan Austria Erwin

Schrödinger pada tahun 1962. Digunakan dalam fisika (khususnya

mekanika kuantum), itu adalah persamaan yang menggambarkan

bagaimana keadaan kuantum sebuah perubahan sistem dalam waktu.

Schrödinger menyatakan bahwa perilaku elektron, termasuk tingkat-

tingkat energi elektron yang diskrit dalam atom, mengikuti suatu

persamaan diferensial untuk gelombang, yang kemudian dikenal

sebagai persamaan Schrödinger.

Dalam mekanika kuantum, analog dari hukum Newton adalah

persamaan Schrödinger untuk sistem kuantum, biasanya atom,

molekul, dan partikel subatomic, bebas terkait dan lokal. Persamaan ini

merupakan deferensial melalui fungsi gelombang dari sistem dan

menggunakan dasar-dasar metode matematika yang familiar.

Persyaratan Fungsi Gelombang. Fungsi gelombang Ψ(x) hasil

solusi persamaan Schrödinger harus memenuhi beberapa persyaratan

agar ia mempunyai arti fisis. Syarat-syarat tersebut adalah sebagai

berikut.

Elektron sebagai suatu yang nyata harus ada di suatu tempat. Oleh

karena itu fungsi gelombang (untuk satu dimensi) harus memenuhi

∫−∞

∞

Ψ ¿Ψ dx=1.

Fungsi gelombang Ψ(x), harus kontinu sebab jika tidak kontinu hal

itu dapat ditafsirkan sebagai rusaknya elektron, suatu hal yang

tidak dapat diterima.

Turunan fungsi gelombang terhadap posisi, dΨ/dx , juga harus

kontinyu. Kita telah melihat bahwa turunan fungsi gelombang

terhadap posisi terkait dengan momentum elektron sebagai

gelombang. Oleh karena itu persyaratan ini dapat diartikan sebagai

persayaratan kekontinuan momentum.

Fungsi gelombang harus bernilai tunggal dan terbatas sebab jika

tidak, akan berarti ada lebih dari satu kemungkinan keberadaan

elektron.

Fungsi gelombang tidak boleh sama dengan nol di semuaposisi

sebab kemungkinan keberadaan elektron haruslah nyata,

betapapun kecilnya.

II. PERSAMAAN SCHRODINGER PADA POTENSIAL TANGGUL

Aplikasi persamaan Schrodinger dalam banyak hal akan berkaitan

dengan energi potensial, yaitu besaran yang merupakan fungsi posisi

a

V

dan tidak merupakan fungsi waktu. Perhatian kita tidak tertuju pada

keberadaan partikel dari waktu ke waktu, melainkan tertuju pada

kemungkinan berada dalam selang waktu yang cukup panjang. Jadi jika

faktor waktu dapat dipisahkan dari fungsi gelombang, maka hal itu

akan menyederhanakan persoalan.

Persamaan Schrodinger satu dimensi dapat dituliskan sebagai

berikut;

Solusi dari persamaan bersesuaian dengan persamaan diferensial

biasa orde dua dengan solusi umum sebagai berikut

Ψ ( x )=Ae ikx+Be−ikx

Persamaan tersebut dapat dimaknai sebagai representasi dari sebuah

gelombang yang merambat ke arah sumbu x positif dan sumbu x

negatif, dengan k adalah bilangan gelombang.

Salah satu aplikasi persamaan Schrodinger pada sistem potensial,

yaitu; potensial tanggul (potensial halang persegi) dan ditunjukkan

pada gambar berikut ini

misalkan sebuah partikel bermassa m, berenergi E < V, lebar potensial

tanggul a. Untuk menyelesaikan persamaan Schrodinger pada kasus

tersebut, kita perlu membagi solusi daerah potensial tanggul menjadi

tiga daerah, yaitu 1) x < 0 sebagai daerah I, 2) 0 < x < a sebagai

daerah II dan 3) x > a sebagai daerah III, seperti yang diperlihatkan

pada gambar berikut

Persamaan Schrodinger pada tiga daerah sebagai berikut

persamaan-persamaan diatas disederhanakan menjadi,

---------- (1)

---------- (2)

Persamaan 1 dan 2 dapat lebih disederhanakan lagi dengan

menggunakan pemisalan kI = kIII = √ 2mEℏ dan kII = √ 2m (V 0−E )ℏ

,

sehingga diperoleh

---------- (3)

---------- (4)

Persamaan 3 dan 4 merupakan persamaan diferensial orde dua yang

memiliki akar-akar persamaan berbeda dan berlawanan tanda. Solusi

dua persamaan ini dalam bentuk eksponensial,

Mari kita perhatikan solusi pada daerah I, fungsi ψ I terdiri dari dua

fungsi gelombang yang menjalar ke arah +x (fungsi e ik I x) dan ke arah

−x (fungsi e−ik I x). Kita asumsikan pada masalah ini situasi partikel

awalnya bergerak ke arah +x dan kemudian mengalami refleksi dan

transmisi. Pada daerah III, hanya ada fungsi gelombang transmisi,

sehingga koefisien B’ = 0.

; x < 0 dan x > a

; 0 < x < a0

; x < 0 dan x > a

; 0 < x < a

syarat kontinuitas pada posisi (x = 0) untuk solusi pada daerah (I dan

II) dan posisi (x = a) untuk solusi pada daerah II dan III adalah

yang menghasilkan persamaan untuk koefisien-koefisien solusi yaitu

diperoleh,

---------- (4)

---------- (5)

---------- (6)

---------- (7)

Eliminasi C, antara pers. 4 & 5, pers. 4 & 6, serta pers. 4 & 7 diperoleh

---------- (8)

---------- (9)

X > a

x 1k II

x1

ek IIa

x1

k II ek IIa

Eliminasi A’, antara pers. 8 & 9 diperoleh

----------

(10)

----------

(11)

Misalkan,

subtitusi D dari pers. 10 ke 11 diperoleh

p

p

-----------

(12)

Substitusi kembali pers. 12 ke pers. 10, pers. 12 ke pers. 4 diperoleh

----------

(13)

-----------

(14)-----

----------

(15)

Pers. 12, dan 15 perlu disederhanakan

Koefisien refleksi dan transmisi